高一数学（人教A版）学案 必修二 第1课时 直线与平面垂直的判定定理

8.6.2直线与平面垂直

第1课时直线与平面垂直的判定定理

——(教学方式：深化学习课一梯度进阶式教学)

［课时目标］

借助长方体,通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理.

I.直线与平面垂直的定义及有关概念

一般地，如果直线/与平面。内的__直线都垂直，我们就说直线/与平面

定义

a互相垂直

记法—

直线/叫做平面。的______,平面。叫做直线/的______,直线与平面垂直时，它

有关概念

们唯一的公共点P叫做______

1

图示7

性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条

垂线段与过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与_____间的线段，叫做这个点到该平

点面距面的垂线段，垂线段的______叫做这个点到该平面的距离

।微I点।助I解।

关于直线与平面垂直的定义的理解

(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直

线和平面内所有直线垂直.

(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.

(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线

垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法.

2.直线与平面垂直的判定定理

k-如果一条直线与一个平面内的___________直线垂直，那么该直线与此平面

文字语言

1

图形语言五

1

符号语言/_La,/_!_〃，aua,bua,_________=/_La

I微I点I助I解I

(1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”：①“一点”即两条直线的交点；②“三线”

即平面内两条相交直线、平面的垂线；③“•面”即两条相交直线所确定的平面，也是直线

的垂面.

(2)该定理中有五大条件：

/_La,/_LZ?,aua,bua,aC\b=P,它们缺一不可.

(3)两个线线垂直：定理中注意直线I与直线a,b都垂直，但要注意直线/与直线a,b

的位置关系可能相交，也可能异面，即直线/可能经过交点P,也可能不经过交点P.

(4)“两条相交直线”是定理中的关键，即直线a,〃必须是平面a内的两条相交直线.

3.直线与平面所成的角

(1)直线和平面所成角的有关概念

有关概念对应图形

斜线一条直线/与一个平面a_____,但不与这个平面____(图中______)

斜足斜线和平面的______

过斜线上斜足以外的一点P向平面«引_______,过_______和________的直线

射影

A0叫做斜线在这个平面内的射影

(2)直线与平面所成角的定义

平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角，叫做这条直线和这个平面产成的

定义

角

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_____：一条直线和平面平行，或在

规定

平面内，我们说它们所成的角是______

范围直线与平面所成的角0的取值范围是__________

I微I点I助I解I

理解直线和平面所成角应注意的问题

(1)直线和平面所成的角0的取值范围是0OW9W90。，而斜线和平面所成的角0的取值范

围是0。＜*90。.

(2)斜线和平面所成的侑反映了斜线和平面的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线

所成的角度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角.

(3)当直线与平面平行或直线在平面内时・，直线与平面成0。角；当直线与平面垂直时，直

线与平面成90。角.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.()

(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.()

2.若三条直线04,OB,OC两两垂直，则直线04垂直于()

A.平面048B.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

3.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是

()

A.平行B.垂直

C.相交不垂直D.不确定

4.在正方体A4CO—A|8iGQ|中，直线A0与平面A88所成的角等于.

题型(一)对线面垂直概念的理解

[例1](多选)下列命题中，正确的是()

A.若直线/与平面a内的无数条直线垂直，则/J_a

B.若直线/与平面a内的一条直线垂直，则/_La

C.若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直

D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条

听课记录：

I思|维健|模|直线与平面垂直定义的“双向”作用

(1)证明线面垂直

若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直.即线线垂直

=线面垂直.

(2)证明线线垂直

若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直二线线

垂直.

［针对训练］

1.设/，，〃是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是()

A.若/L〃，〃?ua,则l.La

B.若/_La,I//in,则mA-a

C.若/〃a,则/〃加

D.若/〃a,HOI//m

题型(二)求直线与平面所成的角

［例2］已知在三棱柱ABC-481G中，各楂长相等，侧棱垂直于底面，且点。是侧面

8&GC的中心，则AD与平面8历GC所成角的大小是()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

听课记录：

I思I维健I模I

求解直线和平面所成角的一般步骤

求直饯和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影，基本步骤为

(1)作：即在斜线上选我恰当的点向平面引垂线，准确确定垂足的位置是关键；几何图形

的特征是确定垂足的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如线段的中点、平面图形的中心、

重心、垂心等.

(2)证：即证明所找到的角为直线和平面所成的角.

(3)求：将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算.

［针对训练］

2.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且

AB=BC=2,NCBO=45。，求直线8。与平面4CD所成的角.

题型(三)直线与平面的判定定理的应用

［例3］如图，在三棱锥S-ABC中，ZA5C=90°,。是4c的中点，且S4=SB=SC.

(1)求证：SO_L平面ABC：

(2)若求证：8O_L平面S4C.

听课记录：

I思I维健I模I

证线面垂直的方法

(1)线线垂直证明线面垂直：

①定义法不常用，但由线面垂直可得出线线垂直；

②判定定理最常用：要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线)，结合平面图形

的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与

另一条垂直等结论来论证线线垂直.

(2)平行转化法(利用推论)：

①a"b、a_La=b_La；②Q〃夕，a_La=a_LK

［针对训练］

3.如图，为。。的直径，网垂直于。。所在的平面，M为圆周上任意一点，4N1PM,

N为垂足.

p

(1)求证：AN_L平面PBM；

(2)若4Q_LP8,垂足为Q,求证：NQUB.

课下请完成课时跟踪检测(二十六)

8.6.2直线与平面垂直

第1课时直线与平面垂直的判定定理

课前预知教材

1.任意一条l±a垂线垂面垂足垂足长度2.两条相交垂直aOb=P

3.⑴相交垂直直线PA交点垂线P0雁足0斜足A(2)射影9(T0°

o°weW9o°

［基础落实训练］

1.(i)V(2)V

2.选C由线面垂直的判定定理知。A垂直于平面08c.故选C.

3.选B一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直三角形所在平面，从而垂直第三

边.故选B.

4.解析：如图所示，因为正方体中，BiB工平面ABCD,所以48即为

A8在平面A8CO中的射影，NSA8即为直线A囱与平面A8C。所成的角.由题意知，NSAB

=45°,故所求角为45。.

答案：45。

课堂题点研究

［题型(一)1

［例1］选CD当直线/与平面«内的无数条直线垂直时，/与a不一定垂直，所以A

不正确；当/与a内的一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以B不正确；当/与a

不垂直时，/可能与a内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂

直十已知平面，所以DIE确.

I针对训练］

1.选B对于A,直线/_L〃?，加并不代表平面a内任意一条直线，所以不能判定线面

垂直；对于B,因为LLa,则/垂直a内任意一条直线，又/〃〃?，由异面直线所成角的定义

知，机与平面a内任意一条直线所成的角都是90。，即〃?_La,故B正确；对于C,也有可能

是/,/〃异面；对于D,/,〃?还可能相交或异面.故选B

［题型(二)］

［例2］选C如图，取8C的中点E,连接。E,AE,AD依题意知三棱柱A8cAsG

为正三棱柱，易得AE_L平面8氏GC,故NAOE为AO与平面8小GC所成的角.设各棱长

A/3IAF2C-

为1,则AE=与，OE=5，从而tanN4OE===-p=V5,则NAOE=6。。.

G

［针对训练I

2.解：取AC的中点E,连接DE.

由题意知A5J_平面6CD,ikABLCD.

又8。是底面圆的直径，

.\ZBCD=90°,

即CD工BC.

•：ABCBC=B,AB,8CU平面ABC,

.\CQ_L平面ABC又•：8£U平面ABC,

：.CDLBE.

'：AB=BC=2,AB