高考数学复习：导数在函数中的应用 （原卷版）

解密10讲：导数在函数中的应用

【考点解密】

1.导数的概念

(1)如果当Ax-0时，平均变化率尧无限趋近于一个确定的值，即先有极根，则称)，=«i)在x=xo处可导,

ZvAI\A-

并把这个确定的值叫做)，=/u)在x=x)处的导数(也称瞬时变化率)，记作/(用)或y

即/的=坦含=J"O+AA)—ZUo)

妈雇'

⑵当x=xo时，/'Go)是一个唯一确定的数,当X变化时，y=f(x)就是x的函数，我们称它为＞，=人幻的导函数(简

称导数)，记为/'(幻(或)，'),即/(x)=y'

ALOX

2.导数的几何意义

函数)，=/1)在X=M)处的导数的几何意义就是曲线y=«r)在点P(xo,/U)))处的切线的斜率,

相应的切线方程为y-/Uo)=f(的)。一刀0).

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

J(x)=c(c为常数)fU)=0

凡i)=V(a£Q,aWO)f(x)=axa~l

fix)=s\nxf(x)=cosX

fix)=cosxf(x)=­sinx

fix)=a\a>0且启1)f(x)=a'ln«

flx)=efa)=e'

«v)=lo劭x(a>0且a#1)S(x)-.vlna

fa)=F

7(x)=lnx

4.导数的运算法则

若「⑵，/(x)存在，则有

lf1x)±g(x)]'=f(x)±gr(x)；

i/u)ga)i'=/a)ga)+yu)g'a)；

「假】/'(K)g(X)—/UM'(A，.八、

U)J=侬刈23"。)；

[cfix)]1=cf(x).

5.复合函数的定义及其导数

(I)一般地，对于两个函数y=A〃)和“二g(x),如果通过中间变量/y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数

>=贝〃)与〃=g(x)的复合函数，记作y=7(g(x)).

(2)复合函数了=虑(幻)的导数和函数y=y(〃)，〃=g(x)的导数间的关系为y'x=y'〃•〃'x，即y对x的导数等于y对〃

的导数与u对x的导数的乘积.

6.函数的单调性与导数的关系

条件恒有结论

f(x)>0©在(小协上单调递增

函数)，=yu)在区

fu)<o凡r)在(小力上单调递减

间(a,。)上可导

f(A)=0人幻在(。,份上是常数函数

7.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导数/(x)的零点；

第3步，用/(用的零点将人幻的定义域划分为若干个区间，列表给出，。)在各区间上的正负，由此得出函数

y=«r)在定义域内的单调性.

8.函数的极值

(1)函数的极小值：

函数1y=/(.r)在点x=a的函数值人〃)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f3)=0；而且在点工=。附近的左侧

f(x)<(),右侧/(x)>0.则a叫做函数y=«r)的极小值点，人。)叫做函数)，=/(x)的极小值.

(2)函数的极大值：

函数y=/U)在点的函数值火力)比它在点附近其他点的函数值都大，.尸俗)=0；而且在点附近的左侧

f(x)x),右侧/a)<o.则6叫做函数y=ya)的极大值点，/〃)叫做函数)，=/u)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

9.函数的最大（小）值

（1）函数”［）在区间［小句上有最值的条件：

如果在区间团，句上函数y=Ar）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

⑵求y=/（x）在区间I“，，”上的最大（小）值的步骤：

①求函数），=凡1）在区间（小切上的极值；

②将函数），=/U）的各极值与端点处的函数值负幻，人份比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

【方法技巧】

1.（1）处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：

①切点处的导数是切线的斜率：②切点在切线上；③切点在曲线上.

（2）注意区分”在点夕处的切线”与“过点。处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线

上，又在切线上；“过点。处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上.

2.根据函数单调性求参数的一般思路

（1）利用集合间的包含关系处理：），=凡6在（凡A）上单调，则区间3,切是相应单调区间的子集.

（2求幻为增（减）函数的充要条件是对任意的x^（a,力）都有，（幻20«（x）WO）,且在（〃，份内的任一非空子区间上,

，不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

3.函裁极值的两类热点问题

（1）求函数7U）极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域.

②求导数，（%）.

③解方程/'（#=0,求出函数定义域内的所有根.

④列表检验/（此在/（幻=0的根xo左右两侧值的符号.

（2）根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

②验证：求解后脸证根的合理性.

【核心题型】

题型一：由函数的单调区间求参数

1.（2022•黑龙江佳木斯佳木斯一中校考三模）已知函数/"）=/一如一川门，aeR，若/（"在口,止）单调递增,

〃的取值范围是（）

A.（y,l）B.（F,l]C.（L+oo）D.[1,+co）

2.（2020•辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测）已知/（工）=勿1门+竟若对于内,々«0,田）且玉工吃都

/（"-/（壬）>4,则。的取值范围是（）

不一看

A.“向B.口收）C.（0,1）D.（0,1]

3.（2019♦四川达州•统考一模）若八"""+"n”+&+l）%，0c“是（0"）上的减函数则实数〃的

取值范围是

A.U,e]B.[e,+oo）C.（（）,D.”

题型二：由函数在区间上单调性求参数

4.（2022.宁夏吴忠.吴忠中学校考三模）若函数/（.t）=ae，_.t,x£[2,4],在定义域内任取两个不相等的实数％5，

不等式一"*）23恒成立,则实数。的取值范围是（）

王一赴

（2}「4）（4A（2'

A.11收）B.了什刃C.^-00,—jD.1-8,/

5.（2022.安徽.南陵中学校联考模拟预测）已知函数〃x）=2』+2x+41nx-3若当〃>〃>0时，

/（〃?）f（n）>m*则实数a的取值范围足（）

A.（0,9）B.（-oo,9]C.（T,8]D.[8收）

6.（2022•黑龙江齐齐哈尔♦统考二模）设函数〃x）=（x+l）如x+ax+b,若/（同为（0,+8）上的单调函数,则实数,

的取值范围为（）

A.（y,-2）u（2,+8）B.（-<»,-2]u[2,+<»）C.（-2,-KC）D.[-2,-KO）

题型三：含参数的分类讨论问题

7.（2023・全国•高三专题练习）若x=2是函数/（x）=f+2g-2）x-4alnx的极大值点，则实数。的取值范围是（）

A.(f-2)B.(-2,+oo)C.(2,+oo)D.(-2,2)

8.（2023秋•四川宜宾•高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数若g（x）=/（x）-如有

lnx,x>0

四个不同的零点，则。的取值范围为（）

A.B.C.[l,e）D.[e,网

9.（2020・全国•高三专题练习）己知不等式ex-.[（x+1）]对--切正数x都成立，则实数机的取值范围

是（）

A.-c0,—B.卜8,5C.（-oo,I]D.（-co,e]

题型四：根据极值（点）求参数问题

10.（2021秋•四川泸州•高三四川省泸县第二中学校考阶段练习）已知函数/（x）=or-e"与函数g（1）=%lnx+l的图

像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数。的取值范围为（）

e-\

A.(e-l,4<c)B.C.--------,+00D.(—,”】)

*2

11.（2022・陕西咸阳•武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数f（x）=（x-,存在极大值

\乙）

点和极小值点，则实数机可以取的一个值为（）

3

A.-3C.D.4

B.-12

12.（2022•陕西西安•西安中学校考二模）已知函数=渥+版+。有两个极值点1不，若/（为）=%,则

关于工的方程/2。）+,矿3）+力=。的不同实根个数为（）

A.2B.3C.4D.5

题型五：由导数求函数的最值问题

13.（2022•安徽•巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式如-空之q对近reU,”）恒成立，则实数。的最小

厂x

值为（）

A.-B.-C.~D.1

432

x,x<0,

14.（2022秋・湖南郴州•高三校考阶段练习）已知函数〃x）=1।1/-2.八若方程=依-士恰有

-x--（a+\）x+ax,x20,48

3个不同的实根，则实数。的取值范围为()

A.(f2)

15.(2021秋•河南驻马店•高三校考阶段练习)已知函数/(x)="+e'-xlna(a>OeHl),对任意苒,we[。/，不

等式|/伍)-/㈤卜。-2恒成立，则。的取值范围为()

-I-1、

A.不B-[e',+co)C.-,+coD.

题型六：由函数最值求参数问题

16.(2022•浙江•高三专题练习)已知函数/(x)=e'T—lnx-or+“aGR),当x«l,+8)时，若/(xRl恒成立，则。

的取值范围为()

A.(—0]B.(-<x>,0)C.(-L0]D.[0,y)

17.(2C22・辽宁丹东・统考一模)设/(幻=卜一八，若函数/("的最小值为则实数。的取值范围为()

x-tzlnx,x>0

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[1,+QO)

18.(2022秋.河南洛阳.高三校联考阶段练习)设函数/(丫)=<，若/(±)=〃々)«<4)，且2工-%的

最小值为In2,则。的值为()

A.1B,"in行)c.£D.，

2-22

题型七：函数的单调性极值和最值问题综合

19.(2023・全国•模拟预测)已知函数/(x)=wv,g(x)=2呜+2.

(1)求函数人力的最值;

⑵若关于x的不等式/(6-屋”之如恒成立，求实数&的取值范围.

2().(2023•陕西•西安市西光中学校联考一模)已知函数/(x)=；+lnx,其中〃为常数，e为自然对数的底数.

⑴当a=-l时，求/")的单调区间；

⑵若〃”在区间(。同上的最大值为2,求”的在

21.（2023•广东广州•统考二模）己知定义在（0,+少）上的函数/（司=五©二

⑴若"R,讨论/（力的单调性；

⑵若"0,且当x«（）,田）时，不等式e2皿恒成立，求实数。的取值范围.

【高考必刷】

一、单选题

22.（2023・云南昆明・昆明一中校考模拟预测）函数=-cos2x,则满足不等式/（2,+1）>/（3'+1）的实数X

的取值范围是（）

A.（0,1）B.（O,+8）C.（-1,0）D.（-a）,0）

23.（2023•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数/（编为定义在R上的偶函数，当xe（0,”）时，/（x）>2x,

42）=4,则不等式4（x—l）+2f>F+x的解集为（）

A.（一1,0卜（3,+8）B.（T,1）U（3,”）

C.（YO,-1）U（0,3）D.（-1,3）

24.（2023,甘肃兰州・校考一模）已知函数/（工）=9+工-1以的极值点为巧，函数〃（"二竽的最大道为々，则（）

22x

A.再>七B.x2>xyC.>x2D.x2

25.（2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测）已知函数〃工）=马+2alnx-这存在唯一的极值点，则实数。的取值范围为

X

()

「e'0、fe-,1-/e"，e,-、「e'，e"2l

A.—,+coB.一8,一C.——，一D.——,—

L4/\4J\44zL44」

26.(2023•全国•模拟预测)函数/(x)=2e'-eT+ln(x+l)+aLl恰有3个零点，则，」的取值范围是（）

A.(«,-4)B.(f-4]C.(4,+oo)D.[4,+co)

27.（2023・吉根长春十一高校联考模拟预测）已知函数/（x）=e'+ax+3（。，力wR）在区间[1,2：上总存在零点，

则/+伊-4）2的最小值为（）

A.gifB,-C.1+旷D,4

213-^―e4

28.（2。22秋•新疆•高三校联考阶段练习）已知函数y=/（x）对XG（O,5）均满足3/红）5皿2入・十/6）-：-1,其中

尸（力是/（力的导数，则下列不等式恒成立的是（）

A.研胃>3/仔）B.（243）据卜痣

C.（3+26即37（]D./信）>（2+石晤，

eh+l）,x<0

29.（2023・全国•高三专题练习）已知困数/（力=4，匣数）有四个不同的零点，从小到大依

x+—3,x>0

x

次为阳，演，M，X4,则玉々+马+儿的取值范围为（）

A.（5,3+c]B.[4,4+e）C.[4,+00）D.（-00,4]

二、多选题

30.（2023•全国.唐山市第十一中学校考模拟预测）已知/（x）="Mn..x（a>°）存在两个极小值点，则”的取值可

.1

以是（）

A.log,—B.e°1-1C.sin—D.tan—

'2125

31.（2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数/（刈=丁+奴2+4+"（〃<0）在卡-1处有极值，且极值为

8,则■）

A.有二个零点

B.b=c

C.曲线y=/（x）在点（2J（2））处的切线方程为3x+y+4=0

D.函数y=/（x）-2为奇函数

32.（2023•湖北•宜昌市一中校联考•模拟预测）已知1±1吧=士;=空二1>0,则（）

abc

A.a>bB.b>cC.a>cD.2b>a-\-c

33.（2。23•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=e'-ln（〃抹）（"蚱R）,则下列结论正确的是（）

A.当加>0时，函数/（%）的图象在点。，/⑴）处的切线的斜率为e-l

B.当加=1时，函数/⑺在（。,小上单调递减

C.当加=1时，函数/（犬）的最小值为1

D.若f（x）之。-1）%对X£（0,卡»）恒成立，则OvmVe

34.（2023・全国•高三专题练习〉已知函数〃x）=c=x,g（x）=x-lnx,则下列说法正确的是（〉

A.用卜、）在（。,+8）上是增函数

B.Vx>l,不等式〃aY）2f（lnx2）恒成立，则正实数4的最小值为|

C.若