【双工业机器人协调运动系统数学分析6500字】

双工业机器人协调运动系统数学分析 1 1 2 第二章总体目标是建立双工业机器人运动模基础。以JLRB8-600型机器人为研究对象，对双机器人协调运动系统数字化建模，这是后续双机空间位置标定和轨迹规划的基础33。总体可以分为两个步骤(见图2-1):以JLRB8-600型机器人为研究对象，研究单机器人模型建立方法，进一步推导正逆运动学双工业机器人协调运动数学分析双工业机器人协调运动数学分析机器人运动学建模双机器人协调运动正运动学分析逆运动学分析协作空间协调运动模型Fig.2-1Theblockdiagramofcoordi1.2单机器人运动学分析机器人运动学分析是研究机器人的基础。本节以JLRB8-600型六轴机器人为研究对象，它是采用固定基座的国产科研型机器人。首先对机器人参数进行分析，采用D-H法对机器人建模，然后推导其正逆运动学公式，最后验证所建立的机器人模型。1.1.1机器人运动学建模本文研究的机器人为欧德吉JLRB8-600型六自由度串联机器人。该机器人结构精巧、占地少、重量轻，非常适合用于学术研究，可以选择平台安装、挂装、倒装等安装方式，臂展长度不超过1000mm,手臂重量42Kg,最大荷重8Kg,重复定位精度0.05mm。机器人模型与运动范围见图2-2。机器人末端位姿用矩阵表示为：以机械夹爪为例(图2-3),上式中p表示末端坐标系原点的位置，一般定位在末端外侧中心；a称作接近矢量，方向为机器人末端进入物体的方向；o称作方向矢量，由机器人末端的一侧指向另一侧；n称作法线矢量，与矢量a和矢量o构成右手矢量集和，首先规定机器人各坐标系的位置方向。根据机器人的结构以及参数建立机器人坐标系{R,},(i=0,1.…6),末端执行器的位姿信息由坐标系{R₀}到{R₆}的相互转化得到。为机器人连杆编号1,,(i=0,1…6,规定固定的基座为l₀,末端连杆为1₆)。{R₀}与机器人基座底部重合，{R₆}与末端最后一个关节原点重合，为了方便观察机器人各关节的实时运动情况，坐标系原点在允许的情况下定义在连杆的前一个关节原点处。关节轴线方向为Z轴，连杆方向为X轴，由右手法则得出Y轴，目标机器人各关节坐标系见图2-4。!已知机器人各机械臂参数和各坐标系的位置，使用D-H广义连杆分析方法341,相邻坐标系的关系可以用4×4的齐次变换矩阵表示，即用两个旋转和两个平移按照下列顺序建立图2-4中的相邻坐标系{R:₋1}和{R;}的关系。(2){S}沿着x;-1轴平移a₁-1,使坐标系{R:₋1}的原点移动到相邻两坐标系的连杆上，这个过程使坐标系{S}过渡到{Q}。(3)坐标系{Q}绕z;轴旋转θ,使x;-1转到和x方向一致的位置，这个过程使坐标系(4)坐标系{P}沿着z,轴平移d,最终使坐标系{P}过渡到和{R;}重合。以上变换方式可以用矩阵的方式表示，即坐标系{R;-1}可通过四个齐次变换转换到坐标系{R},有下公式：上式4个变换矩阵，每个都表示一个连杆参数的基础变换，要么平移、要么旋转。根据上述的坐标系变换规则，式(2-1)也可以写成：为了方便对两个旋转和两个平移的参数进行描述和计算，把下列参数称为：a;_1(连杆长度):相邻两个关节轴线之间的公共法线的长度，即沿x;-1轴，从z;-1移动到z;的距离。α;-1(连杆扭转):一个关节的轴线相对于另一个关节的轴线绕其共同法线旋转的角d;(连杆偏移):一个关节与下一个关节共同的法线和它与上一个关节共同的法线沿这个关节轴线的距离。即沿z;轴从x;₋1移动到x;的距离。θ;(关节转角):一个关节与下一个关节下共同的法线和它与上一个关节共同的法线绕这个关节轴线的转角。即绕z轴从x;-1旋转到x;的角度。式(2-2)中，Rot代表旋转矩阵，Trans代表平移矩阵，四个矩阵的含义如下：根据式(2-2)至式(2-6),可以得出：根据图2-4机器人参数以及所建立的D-H坐标系，可以求出JLRB8-600型机器人的D-H参数表，把表2-1代入式(2-8)可以求出机器人各个轴之间的位姿转换关系。关节θ100203004500机器人正运动学建模，就是在获得各关节类型、位置如果机器人的基座与工件参考系存在某种坐标变换Z,机器人末端执行器相对于坐标系{R₆}存在某种坐标变换E,那么机器人末端执行器相对工件参考系的坐标变换X基坐标系的期望位置和姿态T,求解机器人可以到达目标位姿时的各个关节变换的值从图2-4可以看出JLRB8-600型机器人后面三个关节的轴线存在相交与一点的姿机器人逆运动学的解可能有很多个[36,求解存在一定难度，逆运动学解法有代数解法、未知的，它们的值取决于关节转角θ,我们要求解的就是这个数值。根据逆运动学求解得出的范围比实际的θ₁小，在操作中需要根据θ₁的具体角度在值域中保持不变或者又因为cos²(θ₂+θ₃)+sin²(θ₂+θ₃)=1,所以式(2-17)可以写成：上式中ε、φ、γ分别为：根据式(2-20),可以得到θ₂的值：上式中只有θ₂是未知量，其他都是已知量因此可以求出关节转角θ₂的值。此外，考虑实际情况，如果ε²-γ²+φ²<0,θ₂将没有数值解，ε²-γ²+φ²≥0时，根据θ₂的实际范围(-95°,135°),在式(2-21)中的“±”需根据类似于θ₁的方法来实际判断。(3)分离并求解θ₃。根据等式(2-10),两边同时左乘T¹、2T¹和T¹,这样可以得所以有：在式(2-13)中，有结合式(2-23)以及式(2-24),可以得出：上式中：根据式(2-26),可以得到θ₃的值：式(2-26)和式(2-27)中只有θ₃是未知量，其他参数都已知。(4)分离并求解θ₄。根据等式(2-22)可知：K=cosθ₃(sinθ₂d₂+cosθ₂a₂)+sinθ₃(cosθ₂d₂-sinθ₂a₂)-cos(θ₂+θ₃)cosθ₁Px-cos(θ₂+θ₃)sinθ₁P由式(2-14)又可知：结合式(2-28)与式(2-29),可以得出θ₄:式(2-30)中只有θ₄是未知量，其他参数都已知。根据表2-1可知θ₄的运动范围是(-180°,180°),而上式的周期是(-∞0,+∞),如果θ₄超出了其实际运动范围，可以通过±π或者±2π使其到达运动区间，然后按照θ₂的方法转化。(5)分离并求解θ₅。根据等式(2-28)和等式(2-29),可以知道：定义M=sinθ₁Px-cosθ₁py,则有：根据上式可求出θ₅:式(2-33)中只有θ₅是未知量，其他参数都已知。(6)分离并求解θ₆。根据等式(2-10),两边同时右乘₆T¹、5T¹和4T¹,这样可以得所以可以得出：本节使用MATLAB中的机器人工具箱对机器人运动学模型验证，工具箱是由澳洲学者PeterCorke开发的一款对关节式机器人与移动机器人进行研究和仿真的插件，提观地展示所编程序等优点。将表2-1中JLRB8-600型机器人的D-H参数输入至程序中，可以建立图2-5所示的机器人简图。√由于机器人工具箱自身包含求解机器人的正解与逆解的公式，依据下述步骤检验机器人运动学模型是否正确。(1)验证基于D-H建模方法的机器人正运动学模型是否正确。机器人正解就是根据已知的机器人各关节角情况得出机器人末端位姿矩阵，因此设定机器人各关节为向量q,并结合机器人自身参数代入式(2-8)和式(2-10),求出此刻机器人末端位姿矩阵A作为理论值。然后使用机器人工具箱计算关节角q时的机器人末端位姿A'作为实验值，将A与A′进行对比，如果一致，则可以证明建立的机器人正运动学模型正确。在此规定q=[-45°,-90°,30°,45°,0,-90°],与机器人连杆参数一起代入式(2-8)和式(2-10)中，得到机器人末端位姿矩阵的理论值见式(2-39),再将q代入机器人工具箱中，得到末端位姿矩阵的实验值见图2-6。A0.2500-0.7500-0.6NX从式(2-39)与图2-6可以看出，当q和姿态均相同，证明前面建立的机器人正运动学是正确的。(2)验证基于D-H建模方法的机器人逆运动学模型是否正确。设末端位姿矩阵为式(2-39)中的A,根据前面小节所述逆解求值方法计算出机器人各关节角的值q作为理论值，将A代入机器人工具箱利用逆解求解代码得到各关节量q′作为实验值，将理论值与实验值对比，若一致则证明建立的逆运动学模型正确。将A代入式(2-12)至式(2-38),求解理论值q的结果见式(2-40),再将A代入机器人工具箱中，得到实验值q′见图2-7。K>>q1=robot.ikine(A-45.000000000000000-90.00000000000000029.99999999999999645.00000000000000006列从上述结果可以看出，理论值与实验值存在10⁻¹⁵精度的差别，这是因为MATLAB机器人工具箱的逆解是通过迭代的方式使各关节角收敛到预期值，而本文采用的是基于解析形式的封闭解法。虽然求解方式不同，但得到的结果几乎是一致的(相差等级10⁻¹⁵),可以认为两个结果相等，由此证明建立的机器人逆运动学模型是正确的。至此机器人运动学模型验证完毕。1.3双工业机器人协调运动分析1.3.1双工业机器人协调运动的空间范围选择机器人的运动空间范围受到多种因素制约，包括机械臂长度的限制、关节轴转角的限制、自身机械臂干涉限制等等，只有在工作空间范围内工作机器人才可以正常执行任务。在工作空间中，某些点属于机器人可以到达的极限位置，称为机器人工作的临界点，机器人在临界点处只能以一种姿态表示，这降低了它的灵活性，因此对于单个机器人而言任务的工作地点应避免接近临界点。对于双机器人，由于任务要求需要在共同的工作空间范围内工作，这就使两台机器人不能相距太远，超出彼此的工作空间范围。同时也不能相距太近，否则不仅容易发生碰撞，也会缩减两台机器人共同的运动空间范围，降低双机器人的灵活性。因此在规划机器人轨迹时必须控制两台机器人基座的距离。双机器人基座的距离可以通过控制双机器人基坐标系的位置达到，对于六轴工业机器人每个关节轴都存在各自的运动范围，每个关节轴在运动范围内的所有值组合形成了机器人的工作空间范围。蒙特卡洛法是借助于随机抽样来解决数学问题的数值方法391,使用此方法可以求解机器人的运动空间范围。使用蒙特卡洛法分析机器人运动空间的核心思想是依据机器人每个关节轴都存在一定运动区间，通过在区间内随机遍历取值，经过正运动模型生成末端位置的全部随机点，随机点的合集就是机器人的工作空间。具体方法如下：(1)根据1.1.2节机器人正解获得关节角位移量与笛卡尔空间中机器人末端在三个坐标轴的关系式：(2)在每个关节的活动区间范围内，随机选择n个值作为随机角度样本：N=[θ,θ₂,θ₃,θ₄,05,θ₆],i=1,2,3…n,将其代入式(2-41)中，获得n个机器人末端位置，所以蒙特卡洛法可以表示为：小和最大的运动角度，rand(n,1)代表在区间(0,1)中随机抽取的n个值，n越大代表采样越多结果越准确，但是计算量也越大。根据上述方法，本文共随机采样n=30000组关节角度样本，以MATLAB作为计算工具将样本代入机器人正运动学模型中，将得到的末端空间位置通过函数plot3绘制在笛卡尔空间中，最终以点云图的形式生成JLRB8-600型机器人的工作空间。图2-8为单机器人坐标系原点在世界坐标系[0,0,0]下的工作空间。NXNXNXa)XYZ三维工作空间b)XOZ平面工作空间N×N×-1Y从上图可以看到，机器人的工作空间近似一个球体，不考虑碰撞、触地等因素，在30000个末端位置样本中，机器人在X、Y、Z轴方向理论上可以达到的最远距离分别后续工作要求，设另一个机器人基坐标系原点在世界坐标系中X轴的方向上，两机器人相互对立摆放，彼此原点距离为L,由于两机器人尺寸参数完全相等，则根据双方工作空间必须有重叠部分、每台机器人的临界点不能触碰对方的原则，可以确定L的取值范围：(748.324,1496.648)。由于L的值不能靠近区间的边界，最终选取双台机器人工作时基坐标系的距离为L=1000mm。图2-9为两机器人相距1000mm时各自的工作空间。X从上图可以看出，机器人各自的工作空间存在相交的区域，这就是双机协调运动任务所在的共同空间，后续任务的规划就在这个区域内。为了获得区域的三个方向的值域，检验公共空间的最远位置，采用遍历搜索对比法寻找重叠部分，思路见图2-10,使用MATLAB搜索的结果见图2-11。开始开始MATLAB搭建双机器人运动空间模型T₃、计数变量t和距离因子c设置循环变量i=1和j=1机器人1第i个与机器人2第j个位置向量差的模<=c?将机器人2第j个位置向量赋给矩阵T₃第1个位置向量输出T₃Nj=1,i=i+1j=30000?Nj=j+1根据上图，可以看到双机器人共同的工作空间位于它们中间，类似空间椭圆的形状，读取得到的数据，在X、Y、Z轴方向理论上可以达到的最远距离分别是[251.676787.6104、[-556.6117,548.2511]、[30.3054,113.4763(单位：mm)。在后续基坐标系标定实验与轨迹规划实验中，设置的路径运动范围都应当在这个区域之内。合适的运动空间不仅可以减小机器人发生事故的可能，也会避免发生超限的情况，大大增加双机协调的稳定性。在实际情况中，还需要结合路径运动的方式、是否有障碍物等因素考虑双机器人基座的位置。至此，完成了对双工业机器人协调空间范围的选择。1.3.2双工业机器人运动建模方法双工业机器人协调工作从时间和运动形式上可以分为三