第3课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质课件北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优备课课件（精做课件）1.2第3课时

等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质第一章

三角形的证明北师大版数学八年级下册1.2第3课时

等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕“等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质”核心内容设计，侧重等边三角形的三种判定方法、含30°角的直角三角形的核心性质（30°角所对的直角边等于斜边的一半）及应用，贴合本节课重难点，助力掌握两种图形的核心知识点，能规范运用判定方法判断等边三角形、运用特殊直角三角形性质求边长，规避判定方法混淆、性质应用不规范等常见错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于等边三角形的判定方法，错误的是（

）A.三条边都相等的三角形是等边三角形B.三个角都相等的三角形是等边三角形C.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形D.有两个角是60°的三角形是等腰三角形2.含30°角的直角三角形的核心性质是（

）A.三个角分别为30°、60°、90°B.30°角所对的直角边等于斜边的一半C.斜边等于直角边的2倍D.60°角所对的直角边等于斜边的一半3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8cm，则30°角所对的直角边BC的长为（

）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm4.下列三角形中，能判定为等边三角形的是（

）A.有两个角为60°的等腰三角形B.有一个角为60°的直角三角形C.三条边都不相等，但三个角都为60°D.有一个角为60°，且两条边相等的三角形5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，斜边AB=8cm，则∠A的度数为（

）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空题（每题4分，共20分）1.等边三角形的判定方法1：________都相等的三角形是等边三角形；判定方法2：________都相等的三角形是等边三角形；判定方法3：有一个角是________的等腰三角形是等边三角形。2.含30°角的直角三角形中，30°角所对的________边等于________的一半。3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个内角都等于________°，每条边上的中线、高、顶角平分线都________（填“重合”或“不重合”）。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=5cm，则斜边AB=________cm，另一条直角边BC=________cm（结果保留根号）。5.若一个等腰三角形的顶角为60°，则这个三角形是________三角形，依据是________。三、解答题（每题10分，共20分）1.运用本节课知识点，完成下列题目（写出完整步骤）。（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，求直角边AC和BC的长；（3）在△ABC中，∠A=∠B=60°，BC=5cm，求△ABC的周长。2.辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合本节课知识点）。（1）判断：有一个角是60°的三角形一定是等边三角形；（2）解题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6cm，求AB的长。解：∵∠A=30°，∴AB=2AC=12cm；（3）判定：在△ABC中，AB=BC，∠B=60°，判定△ABC是等边三角形，理由是“三个角都相等的三角形是等边三角形”。四、拓展题（10分）已知在等边△ABC中，点D在AB上，且CD⊥AB，AD=2cm，求等边△ABC的边长及CD的长（提示：结合等边三角形性质和含30°角的直角三角形性质求解）。五、应用题（10分）一个直角三角形的一个锐角为30°，斜边与30°角所对的直角边的和为15cm，求这个直角三角形的三条边长；若将这个直角三角形沿30°角的对边折叠，求折叠后形成的新三角形的周长。参考答案提示：一、1.D2.B3.B4.D5.A；二、1.三条边，三个角，60°2.直角，斜边3.60，重合4.10，5√35.等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三、1.（1）证明：∵AB=AC（已知），∴△ABC是等腰三角形，又∵∠A=60°（已知），∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）；（2）∵∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm，∴BC=1/2AB=5cm，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=5√3cm；（3）∵∠A=∠B=60°，∴∠C=60°，△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=5cm，周长=15cm；2.（1）不正确，改正：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，普通三角形有一个角是60°不一定是等边三角形，错误原因：混淆等边三角形的判定条件；（2）不正确，改正：∠A=30°，其对边是BC，而非AC，∴BC=1/2AB，无法直接得出AB=2AC，应通过勾股定理求解，错误原因：误用含30°角的直角三角形性质（找错对应边）；（3）不正确，改正：理由是“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，错误原因：误用判定依据；四、∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，∴AD=1/2AB（三线合一），∵AD=2cm，∴AB=4cm（边长为4cm），在Rt△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°，∴CD=√(AC²-AD²)=2√3cm；五、设30°角所对的直角边为xcm，则斜边为2xcm，由题意得x+2x=15，解得x=5，三条边长分别为5cm、5√3cm、10cm；折叠后新三角形为等边三角形（边长为5cm），周长=15cm。学习目标1.探索等边三角形的判定条件并证明，运用所学知识进行相关的证明和计算。2.探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程。进行新课一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴进行交流。1等边三角形的判定一个三角形满足什么条件就是等边三角形?

由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些结论吗？ABC已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B，证一证∴AB=AC=BC.∴AB=AC.∵∠B=∠C，∴AC=BC.定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.∴△ABC是等边三角形.ABC已知：若

AB＝AC，∠A＝60°.求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB=AC，∠A=60°，证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？∴AB=AC=BC.∴∠A=∠B=∠C.∴∠B=∠C=

(180°－∠A)=60°.∴△ABC是等边三角形.定理2：有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形.证明：∵AB=AC，∠B=60°(已知)，∴∠C=∠B=60°(等边对等角).∴∠A=60°(三角形内角和定理).∴∠A=∠B=∠C=60°.

∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等

边三角形).已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】操作：用两个含有30°角的三角板，

你能拼成一个怎样的三角形？30°30°你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°30°30°合作探究30°30°结论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.含30°

角的直角三角形的性质2已知：如图，在

△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：

BC=AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题30°30°猜想验证∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，30°ABCD证明：延长

BC至点

D，使

CD＝BC，连接

AD.∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).∴BC＝

BD＝

AB.∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABC≌△ADC(SAS).

∵AC＝AC，∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.还有别的方法吗？几何语言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．∴

BC

＝

AB．(在直角三角形中，30°角所对的直

角边等于斜边的一半)ABC30°定义总结定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例3求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.

已知：如图，在△ABC中，AB＝

AC，∠B＝15°，

CD是腰

AB上的高，

求证：CD＝

AB.CBAD证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B+∠ACB

＝15°

+15°＝30°.

CBAD∴CD＝

AC(在直角三角形中，如果一个锐角等

于30°，

那么它所对的直角边等于斜边的一半).∵CD是腰

AB

上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝

AB.1．根据下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(

)A．∠A＝∠B＝∠CB．AB＝AC，且∠B＝∠CC．∠A＝∠B＝60°D．AB＝AC，且∠B＝60°B返回2．在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的长为(

)A．3 B．4 C．5 D．6C返回3．将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为________。2cm返回4．如图，一艘轮船从A地出发，向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距________。100海里返回5．(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA，∠ECB＝60°，求证：△BCE是等边三角形。证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC。又∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC。∵∠ECB＝60°，∴∠B＝∠BEC＝60°，∴△BCE是等边三角形。返回6．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，则AC的长为(

)A．1 B．1.5 C．2 D．2.5C返回D返回8．[教材P16随堂练习T2变式]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝