高中数学一轮复习：圆的方程

专题10.2圆的方程

1.圆的方程

圆的标准方程圆的一般方程

定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径

x2+y2Dx+Ey+F=0(D2+F2-4F>0)

方程(%-a)2+(y—b)2=r2(r>0)

+)+(/2D2+E2-4F

4

圆心(a,b)

2+E2-4F

半径ryjD

2

区别(1)圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；

与(2)圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；

联系(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程

注意：./+y2+。％++尸=0.

(1)当。2+产一4尸>0时，方程表示以(',一|)为圆心，以叵亭亚为半径的圆.

(2)当。2+F2-4F=0时，方程表示一个点(一^一9.

2

(3)当。2+E-4F<0时,方程无意义.

2.解决圆问题时，可将一般方程转化为标准方程，快速确定圆心与半径.

【重要结论】

1.直径式方程:以/(%1，31),8(%2，、2)为直径端点的圆的方程为(%—%!.)(%—%2)+(y—

yj(y—丫2)=0.

2.二元二次方程4/+Bxy+Cy2+0%+Ey+F=0表示圆的充要条件为

(A=CW0

8=0

(。2+F2-4F>0

r教材改编

1.【人教A版选择性必修一2.4.1练习4P85](多选)已知△4BC的三个顶点分别为

4(-2,3),8(-2,-1),C(6,-l),则下列说法正确的是()

A.△48C外接圆的面积为几

B.直线AC的方程为x+2y-4=0

C.△48C为直角三角形

D.△4BC外接圆的标准方程为Q-|)2+y2=Y

2.1人教A版选择性必修一2.4.2练习2P88]已知方程/+*一2(£+3)x+2(1-

4t2)y+16t4+9=0(tGR)表示的图形是圆.

(1)求用勺取值范围，并求其中面积最大的圆的方程；

(2)若点P(3,4/)恒在所给圆内，求£的取值范围.

考点归纳

考点一圆的方程

【典例精讲】

例1.(2025•江苏省•月考试题)曲线C:(7+y2-1)2_8(/+y2)+15=0的周长为

例2.(2025•山东省枣庄市•模拟题)若圆/+必_2ax-2y—1=0关于直线x+by-2=

0对称，其中Q>0,b>0,则工+等的最小值为()

ab

A.2B,-C.4D.2+2AT5

2

例3.(2025•广东省•月考试卷)已知直线(3+2A)x+(34-2)y+5-2=0恒过定点P,则

与圆C:(%-2/+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()

A.(%-2)2+(y+3)2=36B.(%-2)2+(y+3)2=25

B.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=9

【方法储备】

L求圆的方程：

⑴直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接带入圆的标准方程即可求解.

⑵待定系数法：根据题目中的条件，设出所求圆的标准方程或一般方程，即若由已知条

件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程，如果已知条件与圆心

坐标、半径无直接关系，常选用一般方程；再根据已知的条件建立圆心坐标和半径的方程组.

⑶几何性质法：利用数形结合的思想，结合圆的性质求出圆的基本量.常用的几何性质有:

①圆心到切点的连线垂直一过切点的圆的切线；

②圆心到切线的距离等于半径；

③圆中任意弦的垂直平分线，必过圆心；

④圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.

⑷定义法：结合条件，判断动点的轨迹是圆，写出圆的方程.

补充：已知圆的一条直径的端点分别是A(Xi，yi),B(>2，y2)，

则圆的方程是(x-xO(x-%2)+(y-%)(y—%)=o.

证明：设圆上任意一点为P(居y),

则而=(x-xvy-yj丽=(x-x2,y-y2)»

由圆的性质可得而•而=0,

(%-%i)(x--2)+(y-%)(y-y2)=。，

故圆的方程是(x-》i)(x-x2)+(y-%)(y-y2)=0-

2.关于点、直线对称的圆的方程

对称后的圆，圆心坐标变化，圆的半径不变，转化为点的对称问题解决，即求圆心关于

点、直线的对称点.

【拓展提升】

练1・1.(2025•福建省福州市♦联考题)已知函数/X%)=/一。2一汽所有满足/'(a)+f(b)=0

的点(a,b)中，有且只有一个在圆。上，则圆C的方程可以是.(写出一个满足条件的圆的

方程即可)

练12(2025•江苏省南京市•月考)以点做1,2)为圆心，两平行线x-y+1=。与2x-2y+

7=0之间的距离为半径的圆的方程为()

2222

A.(x+l)+(y+2)=|B.(x-l)+(y-2)=^

B.(X+1)2+(y+2)2号D.(x-l)2+(y-2)2=|

练1-3.(2025•湖南省岳阳市•联考24BC的顶点A(-l,0),B(2,0)f4BC的垂心(三条高交点

)为”(1,1).

(1)求顶点。的坐标；

(2)求圈4BC的外接圆方程.

考点二与圆有关的轨迹问题

【典例精讲】

例4.(2025•陕西省西安市•模拟题)已知点做一1,1),OM的方程为(X-+⑶+l)2=10,

P,Q为OM上的动点，满足乙PAQ=90。，则PQ中点的轨迹方程为.

例5.(2024•广东省东莞市模拟)已知4B为圆C:N+y2一2》一4丫+3=0上的两个动点，

若N4cB=120°,则△ABC的面积为()

A.-B.—C.<3D.2

22

例6.(2025•福建省龙岩市•模拟题)己知4(%i，yD，81.2/2)是圆/+y2=9上的两个相异

的动点，动点M满足而7=2丽，旦2与切+2、1丫2=—9，则动点M的轨迹方程为［)

A.x2+y2=x/_3B.x2+y2=yj~6C.%24-y2=3D.%24-y2=6

例7.(2024•福建省福州市月考)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.

他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值”入>0且;IH1)的点的轨迹是圆”.后来人

们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，

>4(-2,0).8(2,0),点P满足阴=3,则甫•丽的最小值为.

【方法储备】

I.与圆有关的轨迹问题的常用解法：

⑴直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.

⑵定义法：根据圆的定义列方程求解.

⑶几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.

⑷代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.

2.阿氏圆:

已知平面上两定点A、B,则所有满足詈=2(4。1)的点P的轨迹是一个以定比根:几内

PB

分和外分定线段48的两个分点的连线为直径的圆.

补充：在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足需，其中8为参数,

则点P的轨迹是圆心为(a,b),半径为r的圆.

证明：『二[)%啰，化简可得：产「二~噂

(y=b+sind(y—b=stn3□

然后分别计算①,②的平方,再相加即得：(x-a)2+(y-b)2=(rcosO)2+(rsinG)2=r2

故点P的轨迹是圆心为(a,b),半径为r的圆.

【拓展提升】

练2・1.(2025•浙江省衢州市•模拟)法国天文学家乔凡尼・多美尼卡・卡西尼在研究土星及其

卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼

卵形线(Cassini。加。小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的

数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M和N,动点为H,若丽•丽=2,则动点

H的轨迹为()

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

练22(2024•广东省广州市月考)已知点4(一1,1)，设动直线3+=0和动直线几工一y一

4n+2=0(neR)交于点P,则|P川的取值范围是.

练23(2024•重庆市市辖区月考)在平面直角坐标系中，己知两个定点4(-2,0),8(4,0),

动点P满足|PB|=21P*，设动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线c的方程；

(2)过点4作两条互相垂直的直线与曲线C分别交于点E,F,P,Q,求四边形PFQE面积

的最大值.

新题放送

1.(2025•浙江省♦期中考试)已知实数x,y满足/+y2-6x-4y+12=0,则

J%2+(丫+2)2的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

3.(2025•云南省文山壮族苗族自治州・月考试卷)(多选)己知。为坐标原点，Q为圆C:/+

y2-4x+3=0上的动点，点P(3,-3),则下列选项正确的是()

A.点P在圆。外

B.线段PQ中点的轨迹方程为。-1)2+(y+|)2=1

C.若圆。关于直线a%+by=1对称，则Q=1

D.当匕。PQ最〃、时，COSLOPQ=零

4.(2025•江苏省苏州市♦模拟题)已知函数/(%)=%2-8%,且点P(x,y)满足/(%)4-

/(-y)<32,/(y)<0,若记点P构成的图形为。，则C的面积是()

A.--160B.—+16/^C.647r-16yJ~3D.64+160

33

5.(2025•河南省•期末联考)几何学史上有一个著名的米勒问题：”设点M,N是锐角乙4Q8

的一边Q4上的两点，试着在边QB上找一点P,使得乙MPN最大”.如图，其结论是：点尸为过M,

N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，

给定两点M(—1,2),N(l,4),点P在不轴上移动，当心MP/V取得最大值时，该圆的方程是()

QPB

A.(%-l)2+(y—2产=2B.(x+7)2+(y-10>=100

B.(x-l)2+(y—2产=4D.(%+7)2+(y-10)2=10

【答案解析】

教材改编11人教A版选择性必修一2.4.1练习4P85]

解：易知48的垂直平分线的方程为、=1,线段4c的中点为(2,1),直线4c的斜率为一g

所以线段4c的垂直平分线的斜率为2,4c的垂直平分线的方程为y-l=2。-2),

与y=1联立，得A4BC外接圆的圆心为P(2,l),易得|PA|=2，亏，

所以外接圆的标准方程为。一27+(y-I)2=20,面积为20兀，

所以D中说法错误，4中说法错误；

依题意得直线4c的方程为当=三，即x+2y—4=0,所以B中说法正确；

3+1—2—6

因为|4B|2+|BC|2=|4C|2,所以△48。是直角三角形，所以C中说法正确.

故选：BC.

教材改编21人教A版选择性必修一2.4.2练习2P88]

解：(1)将已知方程化为：

(%-t-3)2+(y+1-4t2)2=(£+3)2+(1-4t2)2-_%

r2=-7尸+6t+1>0,即7产-6t-1<0,

解得一所以£的取直范围是(一，1).

丫=7-7"+6t+l=J_7(T)2+争

当t(一;,1)时,rmax=^~,

此时圆的面积最大，对应的圆的方程是Q—争？+⑶+捻2=学

(2)圆心的坐标为(t+3,4尸-1),半径丁2=-7t2+6£+1,

•・•点P(3,4d)恒在所给圆内，

・•・«+3-34+(4t2-1-4t2)2<-7t2+6t+1,

8t2-6t<0,即0Vt<|,

所以t的取值范围(o[).

例1.解：由+y2_])2_8(%2_|_y2)+]S=0,得(产+y2—I)2—8(%2+y2-1)4-

7=0,

即(7+y2_2)(x2+y?-8)=0,即/4-y2=2,或/+y2=8

所以曲线表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为2C，

所以曲线C的周长为27TX(yT2+=6。此

例2.解：由/+y2―2ax-2y-1=0得(x—a)24-(y-l)2=a2+2,

所以圆心为(a,1),又圆关于直线x+by-2=0对称，

则直线x+by-2=0过圆心，即Q+b=2,

山卜|1.4a+l1,4(2-b)+li,9.

所"+丁3+^^.+「4,

又"沪G+j?="io+2+8,

ab\abJ22\a

2—也a=-

当且仅当ab=>时，等号成立,

a+b=2

ia

所以3+4Q+1___>8-4=4,

b=+4

故选：C.

例3.解：由(3+2A)x+(3A-2)y+5-A=0,得(2%+3y-1)A+(3%-2y+5)=0,

则由禽鹭二二湎喉『'即P(TD

•・•圆C:Q-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),

PC=J(一1-2)2+(1+3尸=5,

•••所求圆的标准方程为(x-2/+(y+3)2=25,

故选B.

练1・1.解：由函数/(%)=e*-合-*,得/(%)=靖+e2T>0,

所以f(无)=ex-e2r在定义域R上单调递增，

又因为/(2-x)=e2T-靖=-/(%),

所以/(%)=e”一e2r关于(i,o)对称，

则/(a)=-/(2-Q)，即f(a)+/(2-a)=0,

因为f(a)+f(b)=0,所以b=2—Q,即a+b—2=0,

所有满足/(a)+/(，)=0的点(a,b)中，有且只有一个在圆C上，

则直线x+y-2=。与圆C相切,假设圆心C(0,0),

所以r=d=呆=。，所以圆C可以是/+y2=2.

故答案为/+y2=2.(圆心到直线％+y-2=0的距离为半径即可)

练1・2,解：•••两平行线x-y+1=0与2x-2y+7=0之间的距离为舄=平，

.•・以点4(1,2)为圆心，零为半径的圆的方程为。-I)2+(y-2)2=

48

故选:B.

练1・3•解:⑴设C(m,n),

由题意得BCkAH=^,kBH=-1,

跖c%/=1》=T

所以，解得｛：二;

kACkBH--^--1

所以顶点C的坐标为(1,2)；

(2)设团ABC的外接圆方程为(%-Q)2+(y—b)2=r2(r>0),

((—1—Q)2+(—b)2=r2

则卜2-a)2+(-b)2=r2，解得p

t(l—Q)2+(2—b)2=r2

lr2=i

22

所以团/BC的外接圆方程为(％—3+(y-0=|.

例4.解：由题意设线段PQ的中点为B(%y),^PAQ=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有|BP|=\BQ\=\BA\,

，故+|BQ|2=|MQ|2,所以|BM|2+田川2=|MQ|2,

乂因为4(一1,1),“(1,一1),|加。|二VTO,

所以(%一+(y+l)2+(%+I)2+(y-l)2=10,化简整理有％2+.2=3.

故答案为：x2+y2=3.

例5.解：圆C:/+y2-2%一4y+3=0,BR(x-I)2+(y-2)2=2,

故半径为「，则|C/|=\CB\=IL

又=120°,

故△4BC的面积为］|C4|x\CB\xsin^ACB=|x<7x<7x^=^.

故选从

例6.解：设M(x,y),由于俞=2Mg,8(%2，丫2)，

因此(%-xlty-%)=2(x2-x,y2-y)-

二「髭二品所以%+2X=3%

所以2

.71+2y2=3y.

2

将(%1+2X2)+01+2y2)2展开,可得(*+yf)+4(%2+yf)+4。1%2+%%)•

由于8。2，丫2)，4(丁,、1)在圆光2+y2=9上,因此好+羽=9,xl+yl=9,

又因为2%I%2+2yly2=一9，所以打工2+7172=-

将上述值代入(*+yf)+4(xf+y分+4(%I%2+y，2)，可得9+4x9+4x(-，=9+

36-18=27.

2

根据图+2y"=3/可得®+2g)2+(71+2y2产=(3x)2+(3y)2=9(x+根).

2222

又由于(%i+2X2)+(yi+2y2)=27,因此9(/+y}=27,所以％?+y=3.

故选：C.

例7.解：设点尸(x,y),由罂=3可得N=3,整理可得/+丫2一5%+4=0,

22

\PB\V(x-2)+y」

2

化为标准方程可得卜-9+y2=£

因为。为A8的中点,

所以，丽.丽=（丽+57）.（而+网=（丽+57）.（而—网=网-[OA\

=|PO|2-4,

记圆心为Mg,0),当点P为线段OM与圆［-1)2+V=:的交点时,

|A可取最小值,此时，［PO\=2---2=1,

所以，PA-~PB=|PO|2-4>1-4=-3.

故答案为：-3.

练2・1.解：设|M/V|=2c,以线段MN的中点。为平面直角坐标系原点，M/V为叉轴,

建立如图所示平面直角坐标系，则M（-c,0）,N（c,0）,

设H(x,y),则•NH=(x+c,y)•(x—c,y)=x2-c2+y2=2,

即/+y2=2+c2,所以H的轨迹是以原点为圆心，半径为、2+C2的圆.

故选：B.

练2-2.解：由动直线kx+ziy=0恒过定点。(0,0),

动直线％：九工一丫一4九+2=0恒过定点M(4,2),且k1。，

可知动点P的轨迹是以OM为直径的圆，

圆心C(2,l),半径r=C，如图所示，

于是|71C|-r<\PA\<\AC\+rf

即|尸川E［3—门,3+门］.

故答案为［3-门,3+/司.

练2-3.解：(1)设P(%,y),因为|PB|=2|P川,

所以/(X-4尸+y2=2y/(x+2)2+y2,

化简得：x2+y2+8%=0,

即曲线C的方程为:(%+4尸+方=16；

(2)由(1)可知，圆C的圆心C(-4,0),半径r=4,

设弦E/，PQ的中点分别为K.L,连接CK,CL,

则CK1EF,CL1PQ,

22

设CK=di，CL=d2,WJd^+dz=AC=4,

因为E尸=产一dj=2,16—d/,

222

PQ=2jr-d2=2J16-CZ2,

22

所以S=|xEFxPQ=1x2J16-dix2J16-d2

22

=2J256-16(^+d2)+刈2d2?=2Xd^d-^+192

=2j一周+4宙+192,

则当d/=2时，面积有最大值28.

1.解：:实数x，y满足/+V-6x-4y+12=0.

・♦.(x-3)2+(y-2)2=1,.♦.点(x,y)的轨迹为圆，圆心C(3,2),半径r=1,

J/+⑶+2＞表不A(0,—2),B(x,y)的距禺＞

A\^\max=»C|+r=5+l=6.

故选：C.

2•解：对于4把点P坐标代入圆C,可得32+(—3产-4x3+3=9>0,

所以点P在圆C外，故A正确;

对于B,设点Q(mm),线段PQ的中点为M(%y),