2026年中考数学二轮复习：垂径定理综合训练

2025-2026学年九年级中考数学二轮专•题复习：垂径定理综合训练

I.如图，是OO的直径，点C,。是C。上的点，且0/)〃87,4。与00相交于点石,

连接BE.

(1)求证：AE=EC.

(2)若AC=8,7)E=2,求陀的长.

2.如图，。。是V44C的外接圆，点。在8c延长线上，且满足NC4O=/B.

⑴求证：A。是。的切线;

(2)若AC是的平分线，sin/^=|,BC=4,求。。的半径.

3.如图，点A,B,C为IO上的三个点，ZfiAC=60°.OC=4.

⑴求8c的长；

(2)求弦BC和它所对的劣弧围成的弓形面积.

4.如图，A8是。的直径，C。是。的一条弦，AB,C。交于点E,且CE=DE,连接

CO,过点8作8尸〃CO,交CO的延长线于点尸.

⑴求证：8F是。的切线；

(2)连接AC.若4C=石，tan/ACQ=g,求8尸的长.

5.如图，。中，A4是直径，弦。_LAB于点E,连接并延长，交(。于点A连接AF,

BF.

(1)若/4R?=25。，求4B尸和NZX有的度数:

⑵若8=16,A£=4,求©O的半径.

6.如图，四边形A8CO中，ZA=Zfi=90°,点E是A3的中点，CE平分NBCD,以C。为

直径的。。交A8于点E、交BC于点F.

⑴求NCE。的度数：

(2)求证：直线与。相切：

⑶若BC=5,AB=6,求CD的长.

7.如图，O的弦AD〃8C,。为AC的中点，连接AC,过点。作£>E〃AC交BC的延

长线于点E,连接。。并延长，分别交AC、BC于点G、F.

(1)求证：DE是。的切线；

⑵若AQ=10,DE=16,求C。的半径.

8.如图，A8是的直径，。。是：O的弦，AB1CD,垂足是点〃，过点。作直线分别

与A8,AO的延长线交于点E,尸，旦NECD=2NBAD.

⑴求证：。尸是「O的切线；

⑵如果A3=20,CD=12,求4E的长.

9.如图，GO的直径AB垂直弦CO于点E,尸是圆上一点，。是8尸的中点，连结交0B

于点G,连结BC.

(1)求证：GE=BE；

⑵若OG=1,CD=8,求sin8.

10.如图，A8是（。的直径，弦CO〃A8,过点。作：0的切线交A3的延长线于点£,

连接3C,BD.

⑴求证：ZE=NCBD；

(2)若4E=8,DE=4,求CO的长.

II.如图，()0是VAAC的外接圆，N84C=45。.过点。作。尸_LA3,垂足为石，交AC于

点、D,交。于点尸.过点尸作。的切线，交C4的延长线于点G.

⑴求证：FD=FG；

⑵若：。的半径5,AB=8,求AG的长.

12.如图，A8为。。的直径，弦CDJ_48于点E,G是人。上一点，连接AG并延长，交DC

的延长线于点尸，连接AD,CG,G。，其中GO与48交于点〃.

(2)若8C=GC，请判断A〃G的形状，并说明理由;

⑶在(2)的条件下，已知AG=6,CG=2后，求。尸的长.

13.如图，C。是：0的直径,弦ABA.CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点，EDA.AP,

垂足为点E,/LEAD=NE4D.

⑴求证：4万是。。的切线；

(2)若以=4,PD=2,求C。的半径和OE的长.

14.如图所示，A8是圆。的直径，C。和AC是圆0的弦，AB工CD于点、E,Ob_LAC于

点尸，连接OC,CB.

⑴若BE=2,CO=8,求圆。的半径；

Q)当OF=BE,4c=6时•，求图中阴影部分的面积.

15.如图，AB、C。为£。的直径，弦AE〃CO,连接跖交CD于点〃，过点E作直线EP

与。。的延长线交于点P,使NPE£>=NC.

(1)求证：PE是。的切线；

(2)若。的半径为5,C/=2七尸，求鹿的长;

⑶当NP=45。时，直接写出线的值.

参考答案

1.【详解】(1)证明：是直径，

ZC=90°,

;OD〃BC,

・•・ZOE4=ZC=90°,

ODA.AC,

为半径，

AE=EC；

(2)解：•.AE=EC,AE+EC=AC,

：.AE=EC=-AC=-xS=4

22f

设OA=8=x,贝iJOE=8-OE=x-2,

在RtZXOAE中，根据勾股定理得：AE^OE^OA1,

222

・••4+(x-2)=x1

解得：x=5,

,AB=2OA=W,

在RtaABC中，根据勾股定理得：

RCMJAR2-AC?=6,

在RtBCE中,根据勾股定理得：

BE=yjBC2+EC2=2Vl3•

2.【详解】(1)证明：如图，连接。4,OC与A8相交于点E,

•.OA=OCt

:.ZOAC=ZOCA.

AC=AC，

答案第1页，共16页

Z5=-ZX0C.

2

・.・NC4O=N8,

:.ZAOC=2^CAD.

ZOC4+ZCAO+ZAOC=180P,

2ZCAO+2ZCAD=18(F,

二.zLCAO+z：CAD=90°,

/.ZOAD=90°.

・・・OA是。的半径，

二•AO是。的切线；

(2)・・•AC是284。的平分线，

ABAC=ADAC.

・.・NC4O=N8,

ZBAC=ZB,

OC人AB,BE=AE.

在RtBEC中,4c=4,

CECE3初出厂012

•smZn?=—=-=-,解得CE=(,

，BE=VBC2-CE-=^42-(y)2=y.

12

设OO的半径为八则OE=OC-CE=L7,

在RtAAOE中，OA2=OE2+AE2,

，解得「=与

3.【详解】（1）解：作OE_L3C于E,

QZBAC=60°,

...Z^OC=2Z/MC=120°,

答案第2页，共16页

OB=OC,

ZOCB=g(180。-NBOC)=30°,

在Rl^COE中，OE=、OC=2,

2

：.CE=y]42-22=2>/3»

\'OElBC,OE过圆心，

/.RC=2CE=A6

(2)由(1)得到54咏=,8。0七=40'2=46,

22

120^x4216

,^ORC~―360--Tn，

16r

S弓形=SlilOBC.-StOBC=-n-4\j3.

4.【详解】(1)讦明：A/T是：。的真.径，CE=DE,

/.AI3J.CD,即NCEO=90°,

.CD//BF,

/.Z05F=ZCE0=90°,

・•.3尸是：。的切线；

(2)解：.ABA.CD,

.-.ZAEC=90o,

vtanZACD=-=

CE2

・•・设AE=x,CE=2x,

：.AC=y/AE2+CE2=&=石，

x—1»

:.AE=\,CE=2,

\CE2+OE2=oc2,

22+(OC-\)2=OC2,

：.oc=-

2t

53

：,OB=OC=-,OE=-,

22

CD//BF,

答案第3页，共16页

・••COEs.FOB,

CEOE

/.——=——,

BFBO

3

.-L=i

…BF-3'

2

DL10

RF=——.

3

5.【详解】(1)解：OA=OF,ZAFC=25°

ZO/\F=ZAFC=25°,

,A8是。的直径，

/.ZAFB=90°,

AZABF=90°-ZMB=90°-25°=65°,

•JABLCD,

"EC=900,

AZOCE+ZAOC=90°,

ZAOC=ZOAF+ZAFC=50°,

ZDCF=-ZAOC=90°-50°=4QP,

则NAftF=65。，ZZ)CF=40°；

(2)VABLCD,AB是60直径，CO=16,

CE=DE=8,

设。A=OC=x,则OE=x—4,

在Rt"E中，ZOEC=90°,则0。2=。炉+。七2

HPX2=(X-4)2+82,解得X=10,

「•©0的半径为为.

6.【详解】(1)解：・・・。0是。的直径,

ZCED=90°.

(2)证明：连接OE,

答案第4页，共16页

°：OE=OC,

，/OEC=NOCE,

,:CE平分/BCD,

，/OCE=/BCE,

，/OEC=/BCE,

■:2B90?,

••・/BCE+/BEC=90。,

・•・NOEC+ABEC=90°,即NOEB=90°,

•・・OE是。的半径，

・•・直线A8与。相切.

(3)解：连接。尸，交。E千点G,

••.CD是的直径，

/.ZCFD=90°,

/.ZBFD=1800-NCFD=90。,

*/ZA=ZB=90°,

工四边形48"。为矩形，

/.?ADF90?,AD=BF,

VZ4=90°,OEA.AB,

・•・四边形AEG。为矩形，

AZEGD=90°,AD=EG,

：・OG1DF,

，DG=FG.

•：OC=OD,

・•・OG是VCO/的中位线，

答案第5页，共16页

・•・OG=-CF

2t

设AO=x,则EG=B/=AO=x,CF=BC-BF=5-x,

：.OG=-CF=-(5-x\

22V)t

54-r

••・OE=OG+EG=^—,

2

：.CD=5+x

:在中，DF2+CF2=CD2,

•••62+(5-X)2=(X+5)2,

9

解得x二『

9

・•・AD=1,

934

・•・CD=5+x=5+-=—.

55

7.【详解】(1)证明：・・・D为AC的中点，

ZODIAC.

DE//AC,

IODIDE.

又,.・o。是半径，

:・DE是。的切线；

(2)解：VAD//BC,DE//AC,

・•・四边形ACEQ是平行四边形，

••・AC=DE=\6.

9：ODLAC,

：.AG=CG=-AC=^,

2

,DG=ylAD2-AG2=V102-82=6•

如图，连接。4,

设。。的半径为八则办=。。=「,

答案第6页，共16页

.・.OG=r-6.

vOG2+AG2=OA2,

A（r-6）2+82=r2,

25

解得，・二1，

・••GO的半径为号.

8.【详解】（1）证明：连接OC、BC,如图所示:

A8是。的直径，

/.ZACfi=90°,AO=I3O,

.ABLCD,

.：A8平分弦CO,AB平分C。，

:.CH=HD,CB=DB，ZCHA=90°=ZCHE,

ABAD=ABAC=NDCB,

•;NECD=2/BAD,

/.NECD=2ZBAD=2/BCD,

・.・Z.ECD=/ECB+/BCD,

/BCE"BCD,

:./BCE=NBAC,

-,OC=OAf

ZBAC=ZOCA,

NECB=NOCA,

•/ZACB=90°=ZOCA+NOCB,

/.ZECB+ZOCZ?=90°,

..半径COJ.R?,

.♦.b是。的切线:

答案第7页，共16页

(2)解：vAB=20,6=12,

在(1)的结论中有AO=OB=10,CH=HD=6,

在RtOCH中,0H=y]0C2-CH2=V102-62=8«则6〃=06—=10—8=2,

在RtaBC”中，BC7cH2+BH?=2而，

在Rl.AC〃中，/M=QA+O”=8+10=18,则AC=，收+CH?=6而,

*：HE=BH+BE,

在RtAECH中，EC2=HC2+HE2=62+(2+BE)2,

CF是。的切线，

:.NOCB=90°,

在RtAECO中，EC2=OE2-OC2=(OB+BEf-102=(10+BE)2-102,

.•.(10+㈣*-102=62+(2+㈣2,

解得=

545

AE=AB+BE=20+-=—.

22

9.【详解】(1)证明：・・・D是行的中点，

***DF=DB，

：./FCD=NBCD,

在，GCK和ACE中，

4GCE=NBCE

CE=CE,

NCEG=NCEB=90。

_GCE-BCE(ASA),

:・GE=BE；

(2)解：如图，连结OC,

设GE=BE=x,则。3=l+2x,

VA8JLCO,CO=8,

:・CE=DE=4,

在△OCE中，OE2+CE2=OC2,

答案第8页，共16页

/.(1+X)24-42=(1+2X)2

3/+216=0，

Q

解得：x,=2,.r2=-|(舍去)，

ABE=2,

•*-BC=y/CE24-BE1=\l42+22=2石•

,/NBEC=900,

10.【详解】（I）证明：过点O作。F_LCO于点尸，连接OC。。，如图1,

图I

.­.ZDFO=90°,

•.CD//AB,

.•.ZDro+ZEOF=180°,

:.NEOF=90。,

:.ZDOF+ZDOE=9(rt

DE是­。的切线，。是切点,

:.ODLDE,

.­.ZE+ZZX>E=90o,

:"E=NDOF,

・.OC=OD,

答案第9页，共16页

:"DOF=—/DOC,

2

•・ZCBD=-ZDOC,

2

:2DOF=/CBD,

:"E=NCBD.

（2）解：作QG_LAE于点G,如图2,

•;CD〃AB、OF1CD,

：.DGJ-CD,OF.LAEt

J四边形OHR为矩形,

:.DG=OF,

设的的半径为「，则。4=。。二＞

AE=8,

：.OE=S-r,

•:在RiODE^,ZODE=90°,DE=4,

r+42=（8-r）2,

解得r=3,

.•.OE=8-3=5,

­.SUoDnE.=-2ODDE=2-GDOEt

八.~、ODDE12

/.OF=DG=---------=一,

OE5

1-9

工在msDFO中，DF=XIOD2-OF2=-,

IQ

：.CD=2DF=—.

5

11.【详解】（1）证明：：。产_148,G尸是。的切线,

ADFIGF,

AH//G卜,

答案第10页，共16页

/./从C=NG=45。，

・•・ZFZX；=90o-45o=45°,即是等腰直角三角形,

FD=FGx

（2）解：*/DF1AB,

：.AE=-AB=4,

2

VZBAC=45°,

・•・ZAD£=90°-45°=45°,即V4DE是等腰直角三角形,

,EA=ED=4,

由（1）得FD=FG,

如图所示，连接。人，

•a,在Rt中，OE=JOAr-AE2=3,

・•・EF=OF-OE=5-3=2,

・•・FD=EF+ED=6,

•••FG=FD=6.

12.【详解】（1）解：•・•A8为CO的直径，弦C£>_LA8,

•,AC—AD»BC—BD»

二ZADC=ZAGD,

（2）解：AUG是等腰三角形，理由如下，

连接AC,

*.CDLAB,BC=GC，

Z.GAC=ZC4B=ZI3AD=ZGDC,

,/AC=AD‘

答案第li页，共16页

AC=AD,

-ZACG=ZADH,

.1AGC^_AHD(ASA),

:.AG=AHf

・••A//G是等腰三角形;

(3)解：连接8。，

ZMG%A/V/O,

AG=AH=6,CG=DH=2逐,ZHAD=ZGAC,

：.GC=HD=BDf

:.HE=BE,设HE=BE=x,

ED?=EBEA=DH2-EH、

/.x(6+x)=20-x2,

解得：x=2,

DE=CE=4,AD=AC=4逐,

CAG^.FAC,

二.——AG=——CG,

ACCF

.6_2x/5

,.邛一五’

CFW

3

“2()44

DF=4+44-----=—

33

13.【详解】（1）证明：如图，连接0A,

答案第12页，共16页

叶A

•••弦AB1CD

，ZE4£)+ZOZM=9()?

••・乙EAD=乙FAD

，ZEAD+ZODA=W

：.OA=OD

ZOAD=ZODA

ZEAD+ZOAD=90?,即ZOAE=90?

•••AE1OA

乂丁QA是。的半径

・•・4七是(。的切线

(2)解：如图，连接。人，

设的半径为乙则。4=OQ=r

VPD=2

：.OP=r+2

在RtZXOAP中，OA2+PA2=OP2,即r+4?=(r+2y

解得：r=3

・・・OA=3,"=5

•・,AELOAJJE1AP

/.DE//OA

・•・LPDES&POA

.DE_PDDE_2

OAOP35

解得：DE=1

答案第13页，共16页

所以。的半径为3,DE的长为

14.【详解】(1)解：AB为0的直径，AB1CD,

:.CE=-CD=4,

2

设OC=r,则0E=r—2,

r2=(r-2)2+42,

=5,

故圆。的半径为5.

(2)解：连接O。，如图.

・.・A8_LCDOF