2026年高考数学二轮复习讲义：嵌套函数与函数零点（原卷版）

专题05嵌套函数与函数零点

录

01析•考情精解.....................................................2

02构•知能框架.....................................................3

03破•题型攻坚.....................................................3

考点一函数零点...................................................3

真题动向

知识1求函数零点/方程的根的个数

必备知识知识2由函数的零点/方程的根个数求参数范围

知识3比较零点大小

考向1求函数零点/方程根的个数

考向2根据函数零点/方程根的个数求参数范围

命题预测

考向3比较零点的大小考向4零点之和问题

考向5类周期型的零点问题考向6高斯取整型的零点问题

考点二嵌套函数..................................................8

必备知识知识1镶嵌函数

考向1自嵌套复合模型考向2互嵌套复合模型

命题预测考向3二次嵌套复合模型（可因式分解）

考向4二次嵌套复合模型（不可因式分解）

-F

析•考情精解

近三年全国卷中，嵌套函数与零点问题是高频核心考点，多以选择、填空压轴题形式

呈现，部分年份在解答题中穿插考查，分值5-10分。命题核心围绕换元思想展开，

将嵌套函数拆分为内外层函数，通过求解外层函数零点，转化为内层函数与直线的交

命题

点问题，再结合数形结合、导数分析单调性与极值求解。

轨迹

题型集中于零点个数判断、参数范围求解、曲线交点转化三类，常融合函数奇偶性、

透视

周期性等性质，综合性较强。命题趋势更侧重逻辑思维与转化能力，易错点在于换元

后忽略定义域限制、图象绘制偏差或参数讨论不全面。整体难度中等偏.匕是区分中

档生与尖子生的关键题型。

考点2025年2024年2023年

考点I卷T7,5分

甲卷（文）T12,5分

频次函数零点II卷％5分

甲卷（理）T10,5分

总结甲卷（文）T16,5分

嵌套函数

2026年全国卷中，嵌套函数与零点问题仍将是高频核心考点，大概率以选择、填空

2026

压轴形式呈现。命题将延续换元解套、数形结合与导数应用的核心逻根，可能融入类

命题

周期、分段函数等创新情境，侧重参数范围求解与零点个数判定。整体难度中等偏匕

预测

强调转化与分类讨论能力,

-F

构•知能框架

函数零点/方程的根的个数

（比较零点大小

/零点之和问题

《类周期型的零点问题

嵌套函数与函数零点《高斯取整型的零点问题

卜自嵌套复合模型

卜互嵌套复合模型

\二次嵌套复合模型

LNO-i3-^^

•题型攻坚

考点一零点问题

I.（2024.新课标n卷•高考真题，6,5分）设函数/（1）=〃（.丫+1）2-[,g（x）=cosx+2or,当工时,

曲线y=.f（x）与y=g（x）恰有一个交点，则”=（）

A.-1B.gC.1D.2

2.（2024.新课标I卷.高考真题，7,5分）当川。2m时，曲线产sinx与y=2sin（3x-3）的交点个数

为（）

A.3B.4C.6D.8

3.(2023・全国甲卷・高考真题，10,5分)函数y=/(x)的图象由函数)一叫24+£|的图象向左平移2个

单位长度得到，则)，=/("的图象与直线)，=；,'-3的交点个数为()

A.IB.2C.3D.4

4.(2024.全国甲卷•高考真题，16,5分)曲线y=V一3%与丁=-(工-1)2+。在(0,+8)上有两个不同的交点，

则”的取值范围为___.

知识1求函数零点/方程的根的个数

1.代数法：解方程八幻=0,直接统计根的个数(注意重根)；

2.图像法：①画出>=/3)图像，统计与x轴交点个数；②转化为y=/(x)与y=g(x)交点个数；

3.辅助分析：利用函数单调性、极值、奇偶性、区间端点值确定图像特征.

知识2由函数的零点/方程的极个数求参数范围

1.构造含参函数y=/(x,k),分析其单调性、最值；

2.画出函数大致图像，结合零点个数要求(与X轴交点个数)：

3.建立极值与0的大小关系、区间端点值与0的关系，解不等式求参数范围.

知识3比较零点的大小

1.构造辅助函数：设F(x)=/(x)-g(x),比较/(x)=0与g。)=0的零点即比较F(x)=0的根；

2.分析函数单调性：若单调递增，由/(%)=0、/(/)=。可直接比较王，&；

3.图像法：画出多个函数图像，观察零点的横坐标位置关系；

4.区间定位：利用零点存在定理确定各零点所在区间，间接比较大小.

考向1求函数零点/方程根的个数

/、(e*x<0,,、I]

1.(2025・安徽黄山•一模)已知函数/(x)=,0、八，方程/(力=-，+：的根的个数为()

」(X—o2

A.2B.3C.4D.5

2.(2024.广东阳江.三模)已知函数是奇函数，则函数雇力=/("-§的零点个数

为•

3.（2025•甘肃庆阳•模拟预测）己知函数y=/（x）是周期为2的周期函数，且当.问-川时，/（力=2忖-1,

则函数Rx）=/（x）T】gx|的零点个数是（）

A.9B.10C.11D.18

,、z/、|2sinxr,-l<x<\

4.（2025•黑龙江伊春,二模）已知函数/"）满足/（工+2）=/（公2）,且=11THlc<3，则方程

2/（x）=x的实数解的个数为.

\\/\2cos—1<XW1

5.（2025・辽宁阜新,模拟预测）已知函数/（x）满足〃工+2）=/（工-2）,且/（6={2,则

1—|x—2|,1<A'<3

函数/（力的最大值为:方程2〃X）=X的实数解的个数为.

考向2根据函数零点/方程根的个数求参数范围

6.（2025・广东广州•模拟预测）已知函数,，若存在实数。，使函数y=/（x）-b恰有3个

|2-4|,x>«

零点，则实数。的取值范围是.

7.（2025.四川泸州•一模）设函数f（x）=e'+ad,j?（x）=6/-ev,若曲线y=/（x）与y=g（x）恰有一个交

点，则实数4=.

8.（2025・甘肃定西•模拟预测）设函数./■（"二1:一区若。=1,则满足〃力>0的x的一个取值

-2xyx>a

为;若/（x）恰有3个零点，则实数。的取值范围是.

9.（2025•甘肃武威・一模）己知函数:一若方程/*）=&的实数解恰有两个，则实数出

-2+lnx,x>0

的取值范围是（）

A.攵<-4R.C.”=-4或%>一3D.〃=T或4>一2

/\

10.（2025•辽宁辽阳•一模）设函数/（x）=2cos袅+2«x,^（x）=«（x-2）2+8«,曲线），=/（力与尸g（x）

恰有一个交点，则。=（）

A.0B.-IC.--D.一巫

34

11.（2025•甘肃天水—模）己知函数/。）=抚'-公-〃有两个零点，则实数。的取值范围是.

考向3比较零点的大小

v

12.（2025•陕西西安•模拟预测）已知函数/（x）=2+x-l,g（x）=\og2x+x-\,"（x）=sinx+x-l的零点

依次为4，A-2,X3,则以下大小关系正确的是（）

A.<x2<x3B.X,<x3<x2c.<x2<D.x2<x3<xt

13.（2024•浙江温州•模拟预测）已知实数a",c满足G出-Inc,则下列不等式一定不成立的为（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

14.（2024.湖南株洲.一模）（多选）若实数logzaJog•，都是一次函数〃X）=B-1的零点，则下列不等关系

中可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

15.（2024•江苏常州•一模）若"og2X=3,y2'=3,zlnz=3,则x,J,z由小到大的顺序是

考向4零点之和问题

16.（2025♦黑龙江鹤岗•二模）函数与函数网同=注的图象所有交点的横坐标之和为（）

X-1

A.-In2B.In2C.0D.1

17.（2024•福建龙岩•三模）已知函数/（幻=2'+大*"）=1。82工+尤〃。）=/+式的零点分另1」为。，b,c,

则4+Z?+C=（）

A.0B.2C.4D.6

18.（2024.广东河源.一模）函数〃x）=ex（x-1）7-1的所有零点之和为（）

A.0B.-1C.GD.2

r.2万15,,5

2sin——x,-----<x<—

19.（2025・四川乐山•二模）已知函数〃x）=54J,若存在实数.占,&百（％<&〈王<%）

|10g2（A：-l）|,X>-

满足/（3）=/（毛）=/（七）=/（玉）=用，则错误的是（）

+x="

A.x；+x：<8B.2|C.-x3-x4=0D.0<m<2

20.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知知士分别是函数"x）=e'+x-2,g（x）=lnx+x-2的零点，则铲+11］勺

的值为.

21.（2024•海南僧州•二模）已知函数/（©=加|A+2||-5,旭为正的常数，则/⑸的零点之和为

考向5类周期型的零点问题

|x-l|-l,x<2

22.（2024•河北邯郸•一模）已知函数/（x）=I,,Qc，若函数g（x）=MXx）—〃的零点个数恰为2

-万山-2）/>2

个，则()

2门73

A.-<a<-^a=-\B.一<ci<一

3782

「73Tlc73T5

C.-<a<-sSa=-\D.一<。<一或。=—

82t824

23.（2024.安徽淮南.一模）定义在口上的函数/（“满足/（.1+2）=2/（力，且当工«0,2）时，/（^）=x（2-x）,

则函数y=在（-4,4）上的零点个数为（）

A.5B.6C.7D.8

24.（2025・广西南宁•一模）已知函数〃力=’若方程小）=履恰好有四个实根，则实

数k的取值范围是（）

28

A.B.

3,7

484

C-D-

57-5

25.（2025•甘肃兰州♦模拟预测）已知函数/（只是定义在（F,0）J（0,”）上的偶函数，当x>0时,

2M-kO<x^2

x=,则函数g（力=2/（力-1的零点个数为［）个

/()1卜1(工—2)»〉2

A.6B.2C.4D.8

26.（2025•江苏连云港•三模）已知函数八封是定义在（-6,6）上的偶函数，且当（）4文<6时，

3ZI_］o<丫<2

/（<）='一'，则方程（-1）/。）7-2=。的根的个数为

2f（x-2）,2<x<6

A.6B,7

C.8D.9

||x2-l|

27.（2025・四川达州・二模）已知函数/（%）=TT+1，Xel-2,0J若函数g（x）=/（x）—x—2〃z—l在区间

2小一2八£（0,+8）

：-2,4］内有3个零点，则实数机的取值范围是（）

C.{m\-—<m<——或〃？=0}D.|——<〃？<一或/〃=1}

2222

考向6高斯取整型的零点问题

28.（2025♦云南昭通•二模）已知函数〃力二X+国（其中国表示不超过x的最大整数），则关于x的方程

5v

.0=3-©<2）的所有实数根之和为（）

A.2B.3C.4D.5

29.（2025•河南平顶山•三模）已知函数/（x）=41nx-3[司（0c<3）,其中国表示不大于x的最大整数（如

[1,6]=1,[-2.1]=-3）,则方程/。-）=-3的实数根的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

30.（2024.广东清远.模拟预测）已知卜]表示不超过x的最大整数，则方程/=口]+2的解集为.

31.（2025•安徽马鞍山•一模）已知函数〃X）="十国，其中表示不超过x的最大整数，则方程/（x）=f

的所有实数根之和为.

32.（2024•广东湛江•一模）设[可表示不超过力的最大整数,如[闾=1,[-1.5]=-2则函数=f-国-1

的零点为.

考点二嵌套函数

知识1镶嵌函数

核心是先拆解“镶嵌”结构，明确内外层函数的关系。首先识别外层函数和内层函数（如）=/（g（x））

中，）（，）为外层，，=g（工）为内层），将镶嵌函数零点问题转化为“外层函数零点一内层函数方程解”的

两步问题。

先求外层函数/（。=0的所有解4出,…应；再分别求解内层方程g（x）=4，g（x）=G，…，g*）=，”，

统计所有方程的解的总数（需注意函数定义域对解的限制）。

若涉及参数，需结合内层函数的单调性、最值等性质，分析每个方程g（x）=/,•解的个数与参数的关系，

进而根据零点总数要求列不等式（组），求解参数范围。

考向1自嵌套复合模型

2x,x<0

1.(2025•山东滨州•模拟预测)1多选)已知x>0时，x>log2x,则关于函数/(x)=[|晦虫>。下列说

法正确的是()

A.方程J'(x)=x的解只有一个B.方程〃/。))=1的解有五个

C.方程/(/(x))=，,(Ov，vl)的解有五个D.方程1/V(x))=x的解有三个

2.(2025•广西崇左•一模)已知函数/(幻=则方程“(2=2实数根的个数为()

A.6B.7C.10D.11

2Kr<1

3.(2024.辽宁盘锦.模拟预测)1多选))已知函数〃力二・,'、］，g(r)=/(“N))=〃的零点个数为

3-x,xN】

机，。为实数，则下列正确的有()

A.当。=2时，〃?=2B.当lvav2时，m=3

C.g(x)在(0,1)上单调递增D.g(x)在(1,2)上单调递增

,、-x+l,x<1/、//、\

4.(2025桔林白城•三模)已知函数=则函数g(x)=/'(〃x))-2的零点个数为.

f|x-l|.0<x<2,、(

5.(2025•黑龙江黑河•一模)已妇函数八2,…则函数尸//(x)-/3+等的零

l-2(x-3)+3,x>2(3J

点个数为.

6.(2025•广西柳州•三模)设函数/("=|2，-矶〃>1),则关于x的方程/(〃x))=0根的个数为,

其所有根之和的取值范围为.

考向2互嵌套复合模型

4

7.(2025・陕西商洛•一模)已知函数〃x)=7,g(x)=V+©+〃，若方程g[〃x)]=。有且

log2|x-l|,x<0

仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于()

A.-28B.-27C.27D.28

8.(2024•江苏南通•一模)设函数/(刈=犬+依+/"3=*+4+".若函数尸/仅3)与)，=且(/3)都

没有零点，则函数y=/（/（x））与产g（g（x））（

A.都没有零点B.都有零点

C.至少有一个没有零点D.至少有一个有零点

3X-X2,X<0

9.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知函数/（"='<，若关于x的方程/（力=。有2个不同的实

根，则实数〃的取值范围为;若关于"勺方程2/（力+（1-4a>/（x）-为=0有4个不同的实根，

则实数。的取值范围为.

1八

x+—，x>0

10.（2025•湖北孝感•二模）已知函数,g[x）=x2+ax+b,若方程（刈=0有且仅

-,X<0

有5个不相等的解，则a-。的取值范围是.

考向3二次嵌套复合模型（可因式分解）

11.（2025・广东云浮•二模）设函数/3=三>,则方程㈤-4y（x）-5e2=0的实数根的个数可能为

e

（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2025・河南信阳•模拟预测）已知函数是定义在（YO,0）（0,”）上的偶函数，且当/«0,+oo）时,

/（上也则函数g（x）=/（〃x））T的零点个数为（）

j（X-21+>2

A.5B.6C.16D.8

13.（2025.吉林白山.三模）已知函数/（x）=r1bl-，若函数雇力=尸（力-4（力+6有8个

不同的零点，则实数。的取值范围是（）

A.（276,5]B.（276,5）C.（4,5]D.（4,5）

,.（V+4x+2（x40）

14.（2024.广东梅州•模拟预测）（多选）函数/3=%og同（工>0）关于％的方程：

[/（x）『-2（p+2）/（x）+p2+4p=0有六个零点，则下列选项正确的（）

A.