高三数学一轮试题 第54练 随机事件与概率

第54讲随机事件与概率

链教材夯基固本

激活思维

1.(人A必二P233练习T1)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件

“至少一次中靶，，互为对立事件的是()

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没中靶

2.(人A必二P243习题T3(2))抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=”第

一枚硬币正面朝上"，事件B="第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是

()

A.A与8互为对立事件B.A与B互斥

C.A与8相等D.P(A)=P(B)

3.(人A必二P242练习T1)已知P(A)=0.5,P(B)=0.3.

(1)如果8GA,那么P(4U8)=—,P(AB尸：

(2)如果A,B互斥,那么P(AU3)=,P(AB)=.

4.(人A必二P243习题T8)从长度为1,3,5,7,9的5条线段中任取3

条，则这三条线段能构成一个三角形的概率是一.

5.(人A必二P239练习T3)从0〜9这10个数中随机选择一个数，则这个

数的平方的个位数字为1的概率是—;这个数的四次方的个位数字为1的概率

聚焦知识

1.样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的—称为样本点，常用口表示.

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用。表示.

②有限样本空间：如果一个随机试验有〃个可能结果①I，①2,…，助”则

称样本空间。=｛如，5，…，①〃｝为有限样本空间.

(2)随机事件

①定义：将样本空间。的—称为随机事件，简称事件.

②表示：大写字母A,B,C,….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件.

2.两个事件的关系和运算

含义符号表示

包含关系4发生导致B发生

相等关系B^A且A^B—

并事件(和事件)A与B至少一个发生AU3或A+4

交事件(积事件)A与B同时发生AG3或A3

互斥(互不相容)A与8不能同时发生ACB=0

A与B有且仅有一个发

互为对立___,____

生

3.古典概型

(1)有限性：样本空间的样本点只有一；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性—.

4.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是占典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含

其中的左个样本点，则定义事件4的概率为P(A)=5=5兴，其中，以A)和〃(。)

分别表示事件A和样本空间。包含的样本点个数.

5.概率的性质

性质1：对任意的事件A,都有P(A)2().

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(O)=1,%。)=

0.

性质3：如果事件A与事件8互斥，那么尸(AUB)=_.

性质4：如果事件A与事件8互为对立事件，那么P(8)=1—P(A),P(A)=

性质5：如果AG8,那么P(A)〈P(8),由该性质可得，对于任意事件A,因

为所以()WP(A)<1.

性质6：设A,8是一个随机试验中的两个事件，有P（AU8）=

研题型能力养成

举题说法

目帧H随机事件的关系与运算

例1—1（1）口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，

现从中取出3个球，则下列是互斥而不对立的事件是（）

A.“至少有1个红球”与“至少有1个黑球”

B.“至少有1个红球”与“都是黑球”

C.“至少有1个红球”与“至多有1个黑球”

D.“恰有1个红球”与“恰有2个红球”

（2）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A=｛两次都击

中飞机）,3=｛两次都没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机｝,。=｛至少有一弹

击中飞机｝,下列关系不正确的是（）

A.AQDB.800=0

C.AUC=DD.AUB=BUD

・总结遑炼a

判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事

件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件.对立事件一

定是互斥事件.

变式1一1（1）在一次随机试验中，彼此互斥的事件A,B,C,。发生的概

率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是（）

A.AUB与C是互斥事件，也是对立事件

B.8UC与。是互斥事件，也是对立事件

C.AUC与8UQ是互斥事件，但不是对立事件

D.A与8UCUO是互斥事件，也是对立事件

（2）（多选）某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A

="两人都中奖”，B="两人都没中奖”，C="恰有一人中奖”，。="至少

,人没中奖”.下列关系正确的是（）

A.BUC=DB.Anew。

C.CQDD.BCD=B

视角2利用事件的互斥、对立关系求概率

135

例1-2(1)已知随机事件4,B满足P(A)=jP(B)=吊尸(AU8)=不，则

P(AQB)=()

1

A•-

*B8

16

3.D1

c-

4

16

(2)已知事件A,B互斥，它们都不发生的概率为小且P(A)=2P⑻,则P[A)

14

--

3B.9

5D.2

Ac.--

93

视角3用频率估计才既率

例1—3某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本

车辆中每辆车的赔付结果统计如下表所示.

赔付金额/元01000200030004500

车辆数/辆6008011012090

若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为

；在样本车辆中，车主是新司机的占15%,在赔付金额为4500元的样本车

辆中，车主是新司机的占30%,估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元

的概率为一.

变式1-3某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分

为A,B,C三个等级.加工业务约定：对于A级品、6级品、C级品，厂家每件

分别收取加工费80元、50元、30元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务,

甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件.该厂家为决定由

哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了1()0件这种产品，并统计了这些

产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABC

频数453025

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABC

频数401050

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为人级品的概率：

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为

依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？

目帧日古典概型

例2（1）（2023•全国乙卷文）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛

同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概

率为（）

A-6B-3

C.z4D.TJ

（2）（2024•苏锡常镇调研）有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装

有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则

恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）

〈总结提炼A

求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点

的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法（列表法、树状图

法），以及排列、组合法.

变式2（2024•湖北宜荆荆随恩5月联考）今天的课外作业是从6道应用题

中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（）

目标间概率的综合问题

例3某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示.

人数01234大于等于5

概率0.10.160.30.20.20.04

(1)求派出医生至多2个的概率;

(2)求派出医生至少2个的概率.

＜总结提燎A

求复杂互斥事件的概率的两种方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单).

随堂内化

1.(2024•全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或

乙在排尾的概率是()

A./B-3

C.：D.1

2.已知随机事件A和B互斥，且P(AU8)=0.7,P(B)=0.2,则P(~A)=

()

A.0.5B.0.1

C.0.7D.0.8

3.(2024•济南一模)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的

85人中，有75人是高级工程师，既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程

师的员工共有14人.公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访，被选

中的员工是高级工程师的概率为()

•3「17

A-8B.正

「4卜33

C.5D-40

3

4.(2024•济南、青岛、枣庄三模)某人上楼梯，每步上1阶的概率为本每

步上2阶的概率为;,设该人从第1阶台阶出发,经过第3阶台阶的概率为一.

配套热练

一、单项选择题

1.（2022•全国甲卷）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随

机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

2.（2023-全国甲卷文）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2

名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的

B.

2

-

D.3

3.（2024•唐山一模）从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则

能构成正三角形的概率为（）

A-7B-14

C,7D,35

4.（2024•黄山一检）2024年是安徽省实施“3+1+2”选科方案后的第一年

新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，

假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是

11

A--

*6R.2

5

C-

D.6

二、多项选择题

5.有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件厂为

“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸"，事件”为“不订甲报纸”，

事件/为“一种报纸也不订”.下列说法正确的是()

A.E与G是互斥事件

B./与/是互斥事件，且是对立事件

C./与G不是互斥事件

D.G与/是互斥事件

6.对于事件A和事件8,尸(A)=0.3,P(8)=0.6,则下列说法正确的是()

A.若A与8互斥，则尸(AB)=0.3

B.若A与B互斥，则尸(AU8)=0.9

C.若则/W)=0.18

D.若A与5相互独立,则-(43)=0.18

三、填空题

7.(2025•八省联考)有8张卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,

现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡

片上的数字之利相等的概率为一.

8.(2024•十堰4月调研)某校开设美术、书法、篮球、足球和象棋兴趣班，

已知该校的学生小明和小华每人报名参加其中的两种兴趣班，且小明至少参加一

种球类的兴趣班，则小明和小华至少参加同一个兴趣班的概率是—.

9.某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等

品.从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93,

抽到一等品或三等品的概率为0.85,则抽到一等品的概率为

四、解答题

10.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作.某

市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生

进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布

直方图.

(1)求频率分布直方图中。的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间

(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值);

(2)若采用分层随机抽样的方法从样本在[60,80),[80,100]内的学生中共

抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2

名学生来自不同组的概率.

11.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、

2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由

于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3

人组成代表队.

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生不

少于2人的概率.

第54讲随机事件与概率

激活思维

1.D【解析】对于A,“至多一次中靶“包含一次中靶、两次都不中靶，“至少一次中

靶”包含一次中靶、两次都中靶，A不满足条件；对于B,“两次都中靶”与“至少一次中靶”是

包含关系，B不满足条件：对于C,“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C不满

足条件；对于D,“两次都没中靶”与“至少一次中靶”对立，D满足条件.

2.D【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，

(反，反).事件人包含的结果有(止，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，

显然事件4,事件8都含有“(正，反)”这一结果，即事件A,事件B能同时发牛.，因此，事

件A与事件8既不互斥也不对立，故A,B错误；因为寻件A,事件8中有不同的结果，所

以事件A与事件B不相等，故C错误；由古典概型知，P(A)=l,P(8)=看,所以

P(A)=P(B),故D正确.

3.(1)0.50.3【解析】如果BGA,那么AC\B=B,所以尸(AUB)=P[A)=

0.5,/W)=P(8)=0.3.

(2)0.80【解析】如果A,8互斥，那么An8=0,所以f(AUB)=P(A)+P(4)=0.5

+03=0.8,P(AB)=0.

3

4.而【解析】该试验的样本空间可表示为。={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),

(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)),共有10

个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3个，故所

3

求概率P=^Q.

]2

5.55【解析】从0〜9这10个数中随机选择一个数，共有10种可能，其样本

空间可表示为。={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}.若一个数的平方的个位数字为1,则

该数为1或9,共2个，故其概率2为1%；若一个数的四次方的个位数字为1,则该数平

方的个位数为1或9,所以该数为I,3,7,9,共4个，故其概率流=|.

聚焦知识

1.(1)①基本结果(2)①子集

2.AQBA=BAAB=0AUB=Q

3.(1)有限个(2)相等

5.P(A)+P(B)1-P(B)P(A)+P(B)-P(An8)

举题说法

例11(1)D【解析】对于A,不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至少有1

个黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B,“至少有I个红球”与“都是黑球”不能

同时发生，且必有其中之一发生，所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对

于C,不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至多有1个黑球”不是互斥事件，所以C不

符合题意；对于D,“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不能同时发生，所以为互斥事件，但

不对立，如“恰有3个红球“，所以D符合题意.

(2)D【解析】川5,也)表示试验的射击情况，其中汨表示第1次射击的情况，％2表

示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中，则样本空间◊={((),()),((),1),(1,

0),(1,I)}.由题意得，。={(1,1)}＞。={(0,0)},0={(0,I),(I,0)},力={(0,1),(1,

0),(I,I)},则AGO,4UC=。，且800=0,即A,B,C都正确；又BUO=0,AUB

={(0,0),(1,1)}12所以AU理3U£),故D不正确.

变式11(1)D【解析】A中，与C是互斥事件，但不对立，因为P(AU8)+

P(C)=O.7W1，故A错误；B中，BUC与。是互斥事件，但不对立，因为尸(8UC)+P(Q)=

0.8^1,故B错误；C中，4UC与8U。是互斥事件，也是对立事件，因为P(4UC)+P(8UD)

=1,故C错误；D中，A与8UCU。是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)+P(8UCU/))

=1,故D正确.

(2)ACD【解析】对于A,事件8UC为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所

以8UC=。，故A正确：对于B,事件AC1C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的

事件，所以4CC=0,故B错误；对于C,“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖呻产两人

都没中奖''两种情况，所以CG。，故C正确；对于D,由C选项可知BGO,所以8no=8,

故D.正确.

1351

例12(1)D【解析】依题意，P(An〃)=P(A)+P(B)-P(AU或=亍+]=4.

(2)C【解析】由事件A,8互斥，且A,B都不发生的概率为3，得尸(AU8)=P(A)

179?4

+P(8)=1—§=],又P(A)=2P(8),所以2P(8)+P(8)=§,解得P(8)=吊，P(A)=§,

所以P(4)=1—P(A)=1.

_______120+90

例130.210.18【解析】赔付金额大于投保金额的频率为

600+80+1104-1204-90

=921,估计赔付金额大于投保金额的概率为。21.在样本车辆中，车主是新司机的占IJ%,

故投保的新司机人数为15%x(6OO+8O+110+120+90)=150,在赔付金额为4500元的样本

车辆中，车主是新司机的占30%,即90x30%=27(人)，估计在已投保的新司机中，获赔金

97

额为450()元的概率为育=0.18.

变式13【解答】(1)由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率端

=0.45,乙分厂加工出来凶一件产品为八级品的概率为湍=0.4.

(2)甲分厂加工100件产品的总利润为45x(80-40)+30x(50-40)+25x(30-40)=1

850(元)，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为18.5元.乙分厂加工100件产品的总利

润为40x(80—35)+10x(50-35)+50x(30—35)=1700(元)，所以乙分厂加工100件产品的平

均利润为17元.故该厂家应选甲分厂承接加工业务.

例2(1)A【解析】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6x6=36(种)，若

甲、乙抽到的主题不同,则共有&=30种,则其概率为翡=1.

(2)B【解析】将4个盒子按顺序拆开有A；=24(种)方法，若恰好拆开2个盒子就能

确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有A；应+A；$=8(种)

情况，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为尸=合.

变式2D【解析】由题知所有的基本事件个数为C1xC]=15x15=225,“恰有一

1onQ

题相同”包含的基本事件数为C；XA；=6x5x4=120,所以0=市=7T.

例3【解答】⑴设事件A=”不派出医生"，事件4=”派出1名医生“，事件C="派

出2名医生”，事件。="派出3名医生”，事件E=”派出4名医生”，事件尸=”派出5名或

5名以上医生”，且事件4B,C,D,E,广彼此互斥，P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(O=0.3,

P(D)=0.2,P(E)=0.2,尸尸)=0.04.“派出医生至多2个”的概率为P(AU4UC)=P(A)+P(8)

+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一：“派出医生至少2个”的概率为P(CUOUEUF)=P(C)+aD)+P(E)+P(F)

=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.

方法二：“派出医生至少2个”的概率为1-P(AU8)=1—0.1—0.16=0.74.

随堂内化

1.B【解析】方法一：画出树状图，如图，

「丙丁乙丙乙J-丙J*甲丙甲

□

o

由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且

甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率/>=/=|.

方法二：当甲排在排尾，乙排第一位时，丙有2种排法，丁就1种，共2科1；当甲排在

排尾，乙排第二位或第三为时，丙有I种排法，丁就1种，共2种.于是甲排在排尾共4种

方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意.基本事件总数显然是A；=

24,根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为薨=:.

A*IJ

2.A【解析】因为随机事件A和8互斥，且尸(AU8)=07P(8)=0.2,所以P[4)=

P(AUB)-P(8)=0.7-0.2=0.5,所以P(了)=1一户(人)=1-0.5=05

3.C【解析】由题意得没有荣获“优秀员工”称号的高级工程师有120—85—14=21(人),

则公司共有高级工程师的人数为75+21=96,故被选中的员工是高级工程师的概率为9合6

1

13

4•点【解析】经过第3阶台阶的情况有两种：第一种：每步上一个台阶，上两

步，则概率为3:x宁3―9；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为京I，所以经过第3

阶台阶的概率为得+(4.

配套精炼

1.C【解析】从6张卡片中无放回随机抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4).(1,

5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,

6),共15种情况,其中数字之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),

(4,6),共6种情况，故所求概率为私=1.

2.D【解析】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的样本点

个数为C：=6,其中这2名学生来自不同年级的基本事件个数为C；C；=4,所以这2名学

生来自不同年级的概率为1=1.

3.A【解析】如图，从正方体的八个顶点中任选三个构成三角形有C；=56(种)情况,

其中能构成正三角形的有8种情况：△AC。，△3OG，△ACBi，△4D4],△AiGZL△554,

Q|

△5iDiC,△AiGD故所求概率为豆.

(第3题)

4.D【解析】依题意，从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门共有C：=

6(种)情况，其中化学和地理都没有被选中共有C：=1(种)，因此，化学和地理至少有一门被

选中的概率是P=1一3=1.

5.BC【解析】对于A,E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对

于B,尸与/不可能同时发生，且发生的概率之和为1,是互斥事件，且是对立事件，故B

止确；对于C,尸与G可以同时发生，不是互斥事件，故C止确；对于