2026年高考数学第一轮复习：第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

第2课时圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题

［素养▼够卵提升

明考向•直击考例考法.

考点一圆锥曲线中的定值问题(综合型)

复习指导।探究圆锥曲线的定值问题，常先从特殊情形入手，找到满足题意的定直线

方程，再从一般情形进行推理得到关联坐标的等式，验证等式成立即可.

硒(2018・高考北京卷)已知抛物线C炉=2/比经过点p(|,2).过点Q(0,1)的直线/

与抛物线C有两个不同的交点4,8,且直线外交y轴于M,直线PB交)，轴于N.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，说=2函，函=〃①，求证：为定值.

【解】(1)因为抛物线)?=2/犹过点(I,2),

所以2p=4,即〃=2.

故抛物线。的方程为9=4.工

由题意知，直线/的斜率存在且不为0.

设直线/的方程为)，=履+l(ZWO).

y2=4x,

由，,得炉/+(2攵-4)x+l=0.

产心+1

依题意4=(2左-4)2-4XFx1>0,

解得AV0或0V2VL

又以，尸8与〉轴相交，

故直线/不过点(1,-2).

从而k手一3.

所以直线/斜率的取值范围是(一8,-3)U(-3,0)U(0,I).

(2)证明:设A(xi，川,B(X2»").

「x..2—41

由(1)知即+也=---1，X1X2=^.

直线PA的方程为y-2=:~r(x-l).

令x=0,得点M的纵坐标为加=2+2=+2.

■加,一广1x"\—心\'

—kx^>"4-1

同理得点N的纵坐标为y=------7+2.

NX2-I

由次=7沃九函=〃前得7=1一加，"=1一处.

^..1.11.IX1—1.X2—1

所以了+-="^----+-----=-——+-：~—

4"11-yN（我—l）R伏-1）X2

12T|X2-(X|+X2)

X\X2

所以!+,为定值.

磁窗图

求圆锥曲线中定值问题常用的方法

(1)引起变量法：其解题流程为

变量一选择适当的量为变量

函数一把要证明为定值的量表示成上述变量的函数

医福|一|把得到的函数化简，消去变量得到定值]

(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

22

考法全练;(2020・长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：力+方=1(〃＞人＞0)的离心率

为I，左、右焦点分别为人，出,人为椭圆C上一点，AF2±FIF2,且依尸2l=*

(I)求椭圆。的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为4,A2,过4,4分别作x轴的垂线八，区椭圆C

的一条切线/：尸去+〃?与，2分别交于M,N两点，求证：NMQN为定值.

解：(1)由AE,KB，|A尸2|=/得!='•

Z*1

又e=£=Q，a1=b1-\-c1,

所以片=9,从=8,

故椭圆C的标准方程为方+芸=1,

(2)证明：由题意可知，八的方程为x=—3,，2的方程为x=3.

直线/分别与直线/],，2的方程联立得M(—3,—3A+机)，M3，3&+机)，

所以百血=(-2,—3&+机)，月为=(4,3太+6),

所以QM*RN=­8+〃户一98

用+9=1,

联立J98

j="+/〃，

得(9炉+8)f+19m2-72=0.

因为直线/与椭圆C相切，

所以/=(18A7〃)2—4(9标+8)-(9w2-72)=0,

化简得/后=93+8.

所以用0•百为=一8+〃尸—9s=o,

所以户由_LRA,

故/例QN为定值，

考点二圆锥曲线中的定点问题（综合型）

复习指导|1.引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变

化的量与参数何时没有关系，找到定点.

2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

_,9

IWD（2020•安徽省考试试题）己知椭圆C：，+/=1伍>b>0）的上顶点为P，右顶点为

Q,直线PQ与圆f+y2=］相切于点M1,"

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不经过点夕的直线/与椭圆C交于4,B两点,且防两=0,求证：直线/过定点.

【解】（1）由已知得直线OM（O为坐标原点）的斜率总h=2,则直线P。的斜率依。=一

11

koM2'

所以直线PQ的方程为y—1=一区工―£），

即x+2y=2.可求得P(0,1),2(2,0),故a=2,b=\,

故椭圆C的方程为亍+)?=1・

（2）证明：当直线/的斜率不存在时，显然不满足条件.

当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=H+〃(〃Wl),

联立[4+)’-L消去),整理得(以2+11+8七江+4[/—|)=(),

/=(8A〃)2—4X4(4K+1)(〃2—])=16(4好+1-n2)>0,得43+1>n2.®

一蚓4(7?2—1)

设4即，yi),8(x2,)2)，则xi+x2=4?+7,“送2=4产+1.②

PAPB=O,得(xi，yi—1＞。2，”—1)=0，又yi=Hi+〃，＞2=^2+〃，所以(F+l)xiX2

+k(〃-1)(JV1+.V2)+(〃-1)2=0,③

3

由②③得〃=1(舍)，或〃=—g,满足①.

此时/的方程为尸左T，故直线/过定点（（），

陶信阳

求解定，点问题常用的方法

（1）“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标

的一般性证明.

（2）“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性

得到定点坐标.

（3）求证直线过定点（刖，光），常利用直线的点斜式方程），一州=&（工一即）来证明.

考法全练;（2020・武汉模拟）过抛物线C：/=4.r的焦点F且斜率为k的直线/交抛

物线C于A,B两点,且|A8|=8.

（1）求直线/的方程；

（2）若A关于x轴的对称点为。，求证：直线8。过定点，并求出该点的坐标.

解：（1）由）2=4x知焦点F的坐标为（|,（））,则直线/的方程为），=心一1）,

代入抛物线方程）2=4X,得标/一（2标+4比+标=0,

由题意知kWO,

且/=[一(2。+4)]2—4炉・^=16(^+I)＞0.

2s+4

设4沏，》），5a2,）2），则为+必=X]X2=1.

23+4

由抛物线的弦长公式知|A8|=XI+X2+2=8,则一p—=6,即炉=1,解得Z=±l.

所以直线/的方程为y=±（x-l）.

（2）证明：由（1）及抛物线的对称性知，。点的坐标为（汨，—yi）,

直线BD的斜率展户山=字怖=—匚，

x2-x\\2_VTyi-yi

44

4

所以直线8。的方程为y+yi=v^_V|（x—xi）>

即。2—V»+>26—>'?=4A—4X|.

因为）彳=4内，比=4.0，X\X2=1,所以。叮2）2=16n工2=16,

即yij2=-4（yi，”异号）.

所以直线8。的方程为4（%+1）+。|一户»=0,

x+1=0,

对任意》，”£R，有，

口=0，

x=-1,

解得八

b=o，

即直线8。恒过定点(-1,0).

考点三圆锥曲线中的探索性问题(综合型)

复习指导I解决圆锥曲线中的存在性问题，一般是假设符合题设条件的常数、点、、直

线存在，然后再利用题干条件建立起关于该常数、点、直线的等量关系，如果能求出符合题

意的常数、点的坐标、直线方程，则说明存在；否则，由题设推出矛盾，则说明不存在.

钢叵1(2019•布者全国卷I)已知点A,B关于坐标原点O对称，|AB|=4,(DM过点A,

4且与直线x+2=0相切.

(I)若A在直线x+)，=0上，求。M的半径；

(2)是否存在定点P,使得当A运动时，|MA|一|MP|为定值？并说明理由.

【解】(1)因为。M过点A,B,

所以圆心M在A3的垂直平分线上.

又已知A在直线X+Y=0上，

且A,8关于坐标原点O对称，

所以M在直线y=x上，故可设M(a,a).

因为。M与直线x+2=0相切，

所以。M的半径为r=|fl+2|.

连接M4,由已知得|AO|=2,又Mb_LA。，

故可得2/+4=伍+2)2,

解得a=0或a=4.

故(DM的半径r=2或r=6.

(2)存在定点P(l,0),使得|MA|一|MP|为定值.

理由如下：

设M(x,y),由已知得(DM的半径为r=|x+2|,\AO\=2.

由于历_1_公，故可潺/+产+4=。+2)2,

化简得M的软迹方程为r=4x.

因为曲线C:—=4x是以点P(1,0)为焦点,

以直线工=一1为准线的抛物线，所以|MP|=x+l.

因为1MAi—|MP|=r-m=.r+2-(.t+1)=1,

所以存在满足条件的定点P.

存在性问题的求解簧略

解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正

确则不存在.

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论.

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

（3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

考法会练；是否存在过点由0，—4）的直线，交椭圆笈十石=1丁点凡T,且满足

OROT=y2若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

解：存在.

假设存在满足题意的直线/,易知当直线/的斜率不存在时，OROT<^,不满足题意.

故可设直线/的方程为），=履一4,R（xi，yD，T（X2,也）.

——16

因为（尔07=亍,

所以用"+》）'2=半

y=kx-4,

x2y2得（3+4后）/-32履+16=0,

行+立=1

由IJ>0得（-32攵）2—64（3+49）>0,

解得.①

一、，,32k16

因为"+工2=讦而，用及=3+4标'

所以丁|）2=（41—4）（匕214）=FXIX2—4攵（.曲+必）+16.

必16।16.12816

故汨必+叫炉+标必+

2-3+43+43+46-7，

解得炉=1.②

由①②解得出=±1,

所以直线/的方程为y=±x-4.

故存在直线/:x+y+4=0或x—y—4=0满足题意,

,演练▼③僖突破练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练1

1.直线/与抛物线C：>2=2x交于A,B两点,O为坐标原点，若直线OA,。8的斜率

2

分别为■k2,且满足火温号，则直线/过定点（）

A.(一3,0)B.(0,-3)

C.(3,0)D.(0,3)

解析：选A.设A。”>,i）,8（x2，”），因为h&2=1，所以尸•.又y?=2xi，yi=2x2»

J人］人2J

所以）D'2=6.将直线/：x="y+。代入抛物线C:炉=21得）2—2"少一2〃=0,所以yy=一

2/7=6,得力=-3,即直线/的方程为x=/叫一3,所以直线/过定点（一3,0）.

2.以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设A,8为两个定点，K为正数，若||以|一|PB||=K,则动点P的轨迹是双曲线；

②方程北一51+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③双曲线5=1与椭圆*+），2=1有相同的焦点；

④已知抛物线V=2p.r,以过焦点的一条弦A8为直径作圆，则此圆与准线相切.

其中真命题为.（写出所有真命题的序号）

解析：A,8为两个定点，K为正数，||以|一|PB||=K当K=|48|时，动点P的轨迹是

两条射线，故①错误；

方程2?-5.r+2=0的两根为1和2,可分别作为械圆和双曲线的离心率，故②正确；

•>2*>

双曲线卷一］=1的焦点坐标为（士\/55,0）,椭圆=+y2=I的焦点坐标为（±A/34,0）,故

③正确；

设A8为过抛物线焦点尸的弦，P为AB中点，A,B,尸在准线/上的射影分别为M,N,

Q，

因为AP+BP=AM+BN,所以PQ=^AB,

所以以人8为直径作圆，则此圆与准线/相切，故④正确.

故正确的命题有②®④.

答案：②③④

3.（2020•福延五校第二次联考）已知椭圆C：兴+盘=1（心力>0）的离心率为坐上顶点

M到直线5yI4=0的距离为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线/过点（4,-2）,且与椭圆C相交于A,8两点，/不经过点M,证明：直线

MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值.

’c小

e=a=2，,

|a=4,

解：(1)由题意可得，\|〃+4|八解得「

--=3,[h=2,

所以椭圆。的方程为*+9=1.

Io4

(2)证明：易知直线/的斜率恒小于0,设直线/的方程为y+2=总-4),AV0且后一

1,A(x\,yi),8(x2，”)，

y+2=Mx—4),

联立

16十4T

得(1+4好)/一16©2k+l)x+6W+l)=0,

16A(2A+1)64A(A+1)

则即+工2=|+软2，即刈=]+4好，

vi-2-2

因为k\1A+k.MH=-.-1]-十、4一2

(依I-4k—4)X2+(g-4k-4)即

X]X2

所以k\h\+£w8=22-[42+4)X'"=2〃—4(k+1)X16k(2k+l)

X1%26W+1)

=2k—(2攵+1)=-1(为定值).

r2|

4.(2019•加考全国卷III)已知曲线C：)，=亍，D为直线)，=一]上的动点，过。作。的

两条切线，切点分别为A,A

(1)证明：直线A4过定点；

的5

若

以-

2)2为圆心的圆与直线八B相切，且切点为线段人8的中点，求该圆的方程.

解：⑴证明：设从3—9，A(x\,)，i),则后=21yl.

Ji+j

由于尸r,所以切线/乂的斜率为用故京=7=打

整理得2g-2y+l=0.

设8(x2,”)，同理可得2^2-2》+l=0.

故直线A8的方程为2口一2)，+1=0.

所以直线AB过定点(0,

1尸

(2)由(1)得直线AB的方程为丁=a+].由12可得f-2出一1=0.于是xi4.r2=

b,=2

23yi+y2=/(xi+x2)+1=2尸+1.

设M为线段48的中点，则户+；)

由于由J_Q,而说=",尸一2),几与向量(1,。平行，所以1+(户一2"=0.

解得f=0或r=±l.

当f=0时，|说|=2,所求圆的方程为『+(,一擀)=4;

当;=±1时，|原/|=、伉，所求圆的方程为/+()，—,)=2.

[综合题组练]

1.(2020•广州市调研测试)已知动圆C过定点尸(1,0),且与定直线.1=-1相切.

(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；

(2)过点M(—2,0)的任一条直线/与轨迹E交于不同的两点尸，Q,试探究在x轴上是

否存在定点M异于点M)，使得NQVM+/PNM=TI?若存在，求点N的坐标；若不存在，

请说明理由.

解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(l,0)的距离，与到定直线工=-1的距

离相等，

由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以尸(1,0)为焦点，工=一1为准线的抛物

线，其中“=2.

所以动圆圆心C的航迹E的方程为/=4x.

法二：设动圆圆心Cir,y)，依题意得N(x—ij+y2=|x+11,

化简得>2=4X,即为动圆圆心C的轨迹E的方程.

(2)假设存在点N(.m，0)满足题设条件.

由/QNM+NPNM=TC可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即及呐+%\「=0.①

易知直线PQ的斜率必存在且不为0,设直线P。：.r=〃?.y-2,

y2=4v,

由I得y2—4a，+8=0.

x=my-2

由/=(—4/〃)2—4X8>0,得m>巾或m<—y[2.

设P(.ri，yi),2(X2，J2),则)“+)，2=4〃?，yi”=8.

由①得kpN+kQN=_"一+一”一