函数与方程、函数模型的应用（易错专练）-2026年高考数学二轮复习原卷版

专题05函数与方程.函数模型的应用

：目录

i

i第一部分易错点剖析

!

!9易错典题9避错攻略9举一反三

j易错点1忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错

1易错点2二次函数零点分布问题考虑不全

，易错点3画函数图象时不准确而出错

；易错点4分类讨论时对分类标准把握不准确而出错

!易错点5数学建模时忽视实际意义而致错

I

!第二部分易错题闯关

I

易错点剖析

易错点1忽视零点存在定理的条件或不可逆性而出错

。易错典题

【例1】(2026广东广雅中学月考)已知函数)，=/("图象是连续不断的，并且是R上的增函数，有如下

的对应值表

X1234

y-0.241.213.7910.28

以下说法中错误的是()

A./(0)<0B.当x>2时，/(x)>0

C.函数/(x)有且仅有一个零点D.函数g(x)=〃x)+x可能无零点

【答案】D

【解析】对于A,因为函数)，=/")是R上的增函数，所以/(0)</(1)=-0.24<0,A正确；

对于B,因为函数.丫=〃月是R上的增函数，所以当x>2时，f(x)>/(2)=1.21>。，B正确：

对于C,因为函数)，=/(力是R上的增函数，/⑴<0且/(2)>0,即/(1)/(2)<0,所以函数/行)有且仅

有一个在区间(1,2)的零点(易错点)，C正确;

在关区间内单调的函数最多一个零点

对于D,因为函数g(x)=/(x)+x的图象连续，且g(O)=/(O)v/⑴vO,g⑴=〃1)+1>0,即g(O)g⑴<0,

所以函数g(x)=/(x)+x在区间(0,1)上一定存在零点(易错点)，D错误.

利用零点存在性定理判定零点的存在性

【错因分析】本题易忽略函数的单调性而认为C错误.

知识混淆：把零点存在定理与零点唯一性定理混用，误将“存在”当作“只有一个”.

概念模糊：忽略函数必须连续这•前提，只看端点函数值异号就判定有零点.

望文生义：误以为定理可逆，由函数有零点，直接推出端点函数值一定异号.

9避错攻略

【方法总结】牢记：必须满足闭区间连续、端点函数值异号，才能判定有零点；定理不可逆，有零点不能

反推端点异号；

【知识链接】

1.函数的零点

(|)定义：使得>Uo)=o的数*称为方程yu)=o的解，也称为函数大外的零点.

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：

有实谈)

(3)零点存在定理

若函数y=/U)在闭区间［小句上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即,*〃)：/(〃)

V0,则在开区间3,份内，函数y=/")至少有一个零点，即在区间(小份内相应的方程儿1)=()至少有一个

解.

［微提醒I(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程儿6=0的实根.零点一定在定义域内.

(2)由函数丁={0(图象是连续不断的)在闭区间［〃，可上有零点不一定能推出；(。)穴〃)<0,如图所示.

y尸〃刀)

\,

0aV/bx

2.二分法

对于一般的函数y=/(x),b］,若函数)，=人幻的图象是一条连续的曲线，人。)负份V0,则每次取区间的

中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.

9举一反三

【变式1・1】(24-25高三上•山东荷泽•期中)若函数〃x)=V+以2+Zzr+c有三个零点-1,1,

若c«2,3),则零点/所在区间为()

A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

【变式1・2】(24-25高三上•陕西咸阳•期中)已知函数小)=sin®r+w),则"/⑴”2)20”是“函数

在区间(1,2)上没有零点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1・3】(25-26高三上•上海•期中)已知/("=/一。凶+*+〃一|,且函数y=/(x)有且仅

有一个零点.若方程/(力二攵无解，则实数左的取值范围是().

A.(f,0)B.(0,+<x>jC.(—J)D.(1,-KO)

易错点2二次函数零点分饰问题考虑不全

9易错典题

【例2】(24-25高三上•江西赣州•阶段练习)函数/")=/一2尔+9的两个不同的零点均大于I的一个

充分不必要条件是()

A.me(2,5)B.〃?e(3,5)

C.me(3,4)D.we(3,+oo)

【答案】C

A=4/n2-36>0

【解析】由函数-2〃优+9的两个不同的零点均大于1,得,(易错点)

/(l)=10-2/n>0

此处易犯的错误是：所列式子不全面

解得3〈机<5,

因此所求充分不必要条件是⑶5)的非空真子集，ABD不满足，C满足.

故选:C

【错因分析】本题在根据根的分右列不等式组时，容易因为考虑不全面漏掉条件而出错.

知识混淆:将零点存在定理直接套用于二次函数，漏判开口、判别式、对称轴等条件.

概念模糊：只关注端点函数值符号，忽略判别式、对称轴、区间范围对零点的限制.

望文生义:看到“有零点”只想到有解，不区分在指定区间内亦是全体实数上有零点.

9避错攻略

【方法总结】研究二次函数零点的分布，一般从以下三个方面考虑:

（1）一元二次方程根的判别式；

（2）对应二次函数区间端点函数值的正负;

（3）对应二次函数图象，即抛物线的对称轴工=一/与区间端点的位置关系.

【知识链接】1.概念

二次方程Q/+匕工+C=0的根（即二次函数y=ax2+bx+c零点）的分布问题.

2.一元二次方程根（二次函数零点）的0分布

方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大,

一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

0分布结合判别式、韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围.

3•一元二次方程根（二次函数零点）的k分布

两根都小于人即两根都大于A即一根小于女，一大于人即

分布情况

X1<

k,x2<kx}>k,x2>kX]<k<x2

JyAy

、；/一

大致图象（a>0）

>w*

[A>0fA>0

b.

得出的结论<-----<kf(k)<0

2〃2a

*

-\

大致图象（〃<0）Jh

fr1¥

'A>01A>0

h>k

得出的结论<-----<k]~i/⑹>0

2a

皿)<0

A>0A>()

综合结论

-Lk

«aaf(k)<0

（不讨论a）2a2a

af(k)>0〃•/(%)>()

4.一元二次方程根（二次函数零点）在区间的分布

两根仅有一根在（n）内

m,一根在（/%,〃）内，另一根在

两根都在（，〃,〃）内

分布情况（图象有两种情况，只画

（P，4）内'm<n<p<q

了一种）

y>

大致图象

1\L

（。>o）VA\人

r/n\^^p/q*

A>0'/(〃?)>0

/(〃?)>0/(〃)<()或“吟小)<o

得出的结论・小)>0/(p)<。f(p)f⑷<0

b

in<--<nJ⑷>0

lay，

大致图象1

（〃<。）AA

m/xixAnx

>mfxinxAx)mfxinpxAq/

A>07W<°

/(«)<o/(〃)>()或,

得出的结论</(〃)<()

〃p)〉oJ(p)f⑷<0

m<-±<n

2aJ⑷<o

综合结论（不7(,W)/(H)<0

—加)/(〃)<。«

讨论。）J(p)f(q)<o

。举一反三

【变式2・1】（23-24高三上•北京石景山・期中）若关于%的一元二次方程/-2.+4=0有两个实

根，且一个实根小于1，另一个实根大于2,则实数。的取值范围是（）

A.（-<x）,-2）B.（2,-KO）

C.（g'+8）D.（一一2）52,+8）

【变式2・2】（25-26高二上•云南昆明•期中）已知x=2是函数〃x）=（x-2a）（x-。）（〃/wR）的零

点，则/+力2的最小值为（）

A.0B.1C.4D.5

【变式2・3】（25-26高一上•北京西城•期中）已知函数/"）=/+奴+匕，/⑼=4且满足

VxeR,/（A）>/（1）.

(I)求a,b的值；

⑵已知函数g(x)=/(“-(〃-2)工有两个不同的正数零点如占.

(i)求”的取值范围；

(ii)若|八一百二2,求加的值：

易错点3画函数图象时不准确而出错

9易错典题

|3x+,-l|,.r^0,

【例3】(多选题)(2026•河北衡水中学月考)已知函数/")=,1函数g(x)=/(x)—〃?有四个

|lnjq,x＞0,

不同的零点四，々，七，5，且芭＜占＜七＜七，则()

A.6的取值范围是(0,2)B.3*+3”=：

C.2%+5的最小值是2&D.川越大，占+七的值越大

【答案】BCD

【解析】画出/(X)的图象，如下图所示：

-1o1%

对于A.由图可知易错点1，则A错误.

当X0时，函数)，=|37一”的图象存在一条惭近线直线y:1

X,+IX2+I

对干B,因为4＜占＜七＜%,所以3-1+3-1=0,1ILV3+ln,v4=0,

2

所以3"+3"=§,七%=1，则B正确.

对于项C,由图可知!＜占＜1,所以2七+匕=2占+,之2及，

eA3

当且仅当七=也\匕=应时，等号成立，则C正确.

1(\\

对于选项D：)，=当+七=七+一在一』上单调递减.

le

因为机越大，/越小，所以%的值越大，则D正确.

【错因分析】利用函数图象解决函数零点时，因为所画图象不够标准而出错.

知识混淆:混淆函数单调性、奇偶性、渐近线等性质，把图像画错，导致零点个数、位置判断失误.

概念模糊:对关键点(零点、极值点、端点)坐标、符号判断不清，图像形状与位置画不准，误判零点.

不细算特征，凭感觉画图，忽略定义域与限制条件，得出错误零点结论.9

望文生义:只看解析式表面,

避错攻略

【方法总结】常利用图象法研究函数的零点问题，此时要特别注意函数的定义域、图象的渐近线等，尤其

是在换元后要注意新元的取值范围.

【知识链接】1.利用描点法作函数图象的步骤

2.函数图象的四种变换

(1)上移及代>。)个单位长度一厂/(，)+1

y=/(x)|-⑵下移AgO)个单位长度一y=/(%)-田

莺换,

(3)左移A(A>0)个单位长度一产&她

⑷右移A/>0)个单位长度一尸必也.

⑴纵坐标不变，横坐标变为原来的J(a>0)

倍一,吆吟.

⑵横坐标不变，纵坐标变为原来的A(4>0)

宿一尸”(4)._______________________

(1)关于力轴对称一>¥=4*1.

y=/(%)卜(2)关于7轴对称一,=/(-*).

⑶关于原点对称一y=/(r).

(1)保留工轴上方图象I。”

----------------------->y=17(x)1.

将“轴下方图象翻折上去

翻折y=/^)h

⑵保留y轴右侧图象，并

作关于戈轴对称的图象一

【注意】(1)函数图象平移变换的八字方针：“左加右减”，要注意加减指的是自变量：“上加下减”，要注

意加减指的是函数值.（2）将），=/*）图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y=/（》S＞0）的图

象.

3.与图象有关的常用结论

（1）图象的左右平移仅仅是相对于£而言，如果x的系数不是1,常需把系数提出来，再进行变换.

（2）图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.

Q举一反三

【变式3・1】（25-26高三上•江苏连云港•期末）已知函数〃x）=/cos7Lj则方程在区间

[T,3]上的实数根个数为（）

A.10B.8C.6D.4

【变式3・2】（25-26高三上•北京西城•期末）函数y=/（x）,X«-“可和尸g（x）,.何0"]的图象

A.方程/[g（A-）]=0恰有一个解B.方程g[/（x）]=。恰有两个解

C.方程/[/（力]=。恰有三个解D.方程g[g（"]=。恰有四个解

【变式3・3】（多选）（2025高三上•江苏•专题练习）设函数，贝!下列判断正

x2+2x+l,x＜0

确的是（）

A.方程〃力=1的实数根为-2,0；,2

B.若方程/（x）=攵有3个互不相等的实数根，则上的取值范围为（1.+司

C.若方程/（x）=A有4个互不相等的实数根不七玉,王（芯〈W＜七＜%），则（x+x）x+21\七的取

值范围为卜7,-2）

D.若方程/（力=〃有3个互不相等的实数根币占，工3（不＜七＜玉），则中用的取值范围为（-8,-1）

易错点4分类讨论时对分类标准把握不准确而出错

。易错典题

【例4】(2026江西赣州一中质检;已知函数八外=(吁：*，若有另一函数g(x)=/(x)-2/(x)+1-2a

e+z,xs\z

有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为()

(\_52a、

A.B.D.贤］

U534

【答案】C

|lar|,x>0

/(、)=

e-x+2,A<0

【解析】由函数

f(x)=e~'+2=|—|+2

当x«0时，一,所以函数在(―⑼上单调递减：

当Ovxvl时，f(x)=—lnx,所以函数/(“)在(0,1)上.单调递减：

当XN1时,f(x)=lnx,所以函数f0)在口，”)上单调递增；函数图象如下:

令/(")=',由函数的图象及性质可知,

当0々＜3时,方程/(、)=，有两个不同的根；

当C3时,方程/(X)'有三个不同的根(易错点)；

对t分类讨论时，易犯错误是：讨论不全或确定不了讨论的标淮

函数g(x)=^2(幻-2/*)+l-2a有且仅有$个不同零点，

就等价于函数g(/)="-2/+l-2〃有2个零点，且一个零点在03),另一个零点在⑶+8)

笠匕崛，8⑺=-2/+1只有一个零点，不符合题意；

所以awO,此时二次函数ga)=)-2/+l_2a,

且』=(一2)2-4”(l-2a)=&/-4a+4-4)十？,。恒成立.

a>0

1

a>0a<—

2

g(0)=\-2a>0,51

八x=—>0g(3)=la-5<()0<a<-

>°时，其图象的对称轴为。，97,解得2(易错点):

要注意对a分类讨论

当。V。时,此时具图象的对称轴"一7<,二次函数&⑺=”-2，+1-2a在（0,18）上至多有一个根，故不

符合题意.

（。—）

综上可知，常数〃的取值范围为‘2.

【错因分析】研究含参数的函数的零点时，必须注意对参数分类讨论，讨论时易犯的错误是讨论不全面或

者不能确定讨论的标准.

知识混淆：混淆参数讨论对象，把开口方向、判别式、根大小、区间位置混在一起，逻辑混乱.

概念模糊：不清楚以零点个数、单调性、根大小为标准，讨论重复或遗漏，导致结果不全.

望文生义：只看“有零点”字面意思，不结合定义域、区间范围，盲目分类，与题意不符.

2避错攻略

【方法总结】对于含有多个参数的函数零点问题，要注意对各参数分别分类讨论，讨论时要注意做到不重不

漏.

【知识链接】1.求解函数零点个数的基本方法

（1）直接法：令/U）=0,方程解的个数即为函数零点个数.

（2）定理法：首先确定函数_/u）在区间加上是连续不断的曲线，且贝〃加。）<0，再结合函数的图象与性质

确定函数零点个数.

（3）图象法：把原函数拆分为两个简单函数，两函数图象的交点个数即为函数零点个数.

2.利用函数零点求参数范围的方法

先直接根据题设条件构建关于参数的不等

、直接法式（组），再通过解不等式（组）确定参数的

取值范围

分离将参数分离，转化成求函数值域问题加以

—

参数法解决

数形先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中

结合法〔画出函数的图象，然后数形结合求解

3.求函数的多个零点（或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标）的和（积）时，实质上是等高

线问题，重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利

用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.

举一反三

【变式4・1】（多选）（25-26高三上•浙江宁波•月考）已知定义域为R的函数〃刈=皿2-3区+1

在区间（0,2）内恰有一个零点，下列结论正确的是（）

7I

A.若。=-1,W1]b>--B.若匕=0,Ma<--

68

Is.59

C.若。=—,则〃,一D.若〃=1,则。4,或。二-

2688

【变式4・2】（25-26高三上•山西晋中•期末）已知函数'若"X）有3个零点，则

实数〃的取值范围是（）

A.（fl）B.（0,1）C.（0,2]D.g』）

【变式4・3】（25-26高三上•辽宁沈阳•期末）已知函数/（x）=hu」（x+l）,。为函数

ac

/（X）的一个零点，则2%+HiUo的取值范围为（）

A.B.（-+1,41C.[-,11D.1+1,31

）\cleJle；

易错点5数学建模时忽视实际意义而致错

9易错典题

【例5】（25-26高一上•四川南充・期中）如图1,有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形A8C。的下

底A8是石的直径，上底。。的端点在圆周上，记线段AO的长度为五,梯形A4CO的周长为丁.

（1）写出），与工的函数关系式，并求出它的定义域；

（2）当梯形八次”>的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，直线/：x=，（/>0）与下底A8交

于尸.记梯形ABC。位于直线/左侧的图形的面积为/（/）,求函数/"）的解析式；

⑶在（2）的条件下，当/[）=6时，求班'的长.

【解析】（1）如图，过£>作。。_LA8于O,圆心为E,迷接宓，设一切，贝1]恒。|一2-加，

由|D0『二|AO『-|A0|2=|ED|2-|6E|2,得V—(2—〃)=22-nr,

2/2\2

整理得〃I=2—土，|C£)|=22---=4——,

41114yl2

r-*>7r*

/.y=4--+2x+4=-—+2x+8,

-22

2

A>0,"]=2-J>0,即犬<8，解得0<司<2啦(易错点)•

~4~

注意各线段长均为正数

.•一与x的函数关系式为尸-方.+2K+8，0<x<2\/2•

(2)

"/----------^C\y=

/12

------blx+8=—(x-2)+10,0<<2\/2»

2-------------2

A\OEB

当x=2时，y取得最大值，此时1Aq=2,陷=3=1,卬=2,凶=6,

sin44=扁=：-故等腰梯形A8CO的底角为60,,面积为s=；(

M2

令从可=/,当0</<1时，/(1)=$."=乎产；

当1</«3时，/")="+«—1)出=®一旁；

当3vf44时，/(/)=3>/3-l(4-r)-^(4-/)=-^

-Z2+4X/3Z-5X/3；

—r,0<z<l

2

.•./(/)=•&一冬y43

--r2+4>/3f-5x/3,3<f^4

2

(3)-./(/)=-V3/-y,l<r<3

令f（/）=G,则0<Yl时，争=白，解得f=±及（舍去）；

当1<Y3时，向一直=6解得满足条件；

22

当3<fW4时，r+4x/3r-5x/3=V3，解得，=2（舍去）或1=6（含去），

2

3S

综上所述，|AF|=],故忸可=4-|4目=].

【错因分析】只关注代数式成立，忽略人数、长度、时间等实际限制，导致定义域、最值错误.

知识混淆：将纯数学函数与实际模型混用，不区分抽象定义域与现实取值范围.

概念模糊：对自变量实际意义、约束条件理解不清，漏写定义域，结果不符合现实.

望文生义：仅按文字表而列式，不结合实际情境，结果出现负数、小数等不合理解.

9避错攻略

【方法总结】建模前先明确变量实际意义，严格确定定义域；列式后检验是否符合现实约束，验证结果合理

性；不忘单位统一，确保函数与情境匹配，杜绝纯代数思维.

【知识链接】

1.指数、对数、幕函数模型性质比较

函数y=axy=log„xy=.d

性质3>1)3>1)(〃>0)

在（0,+8）上的增减

单调递增单调递增单调递增

性

增长速度越来越快越来越慢相对立稳

随X的增大逐渐表现为与随X的增大逐渐表现为弓

图象的变化随〃值变化而各有不同

V轴平行X轴平行

值的比较存在一个X0，当X>Xo时，有logdVfV炉

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型人工）=”+伙处心为常数，〃W0）

二次函数模型人工）=加+尻+。3,乩c,为常数，aWO）

与指数函数相关

j[x}=bax-\-c\a,b,。为常数，。>0且6#0)

的模型

与对数函数相关

fix)=b\ogaX+c(a,b,c为常数,a>0且aWl,6W0)

的模型

与暴函数相关的

yU)=ox"+"a,b,〃为常数，。#0)

模型

3.已知函数模型解决实际问题的步骤

。举一反三

【变式5・1】(25-26高三上•黑龙江•期中)如图，在VABC中，AB=AC=y/2fABJ.AC,直线/与

边AC分别交于M,N两点，且&AMN的面积是VA8C面积的一半.设用储=)，，记

)，="x)，则/("的定义域为，/(%)的最小值与最大值之和为.

【变式5・2】(多选)(25-26高一上•江苏无锡•期中)设矩形A8C£>(A8>8C)的周长为⑵把它沿

对角线4c对折后，设A8交。C于点此时点3记作B',如图所示，设A3=x.

(1)设PC=y,将丁表示成关于x的函数，并写出定义域:

⑵设△4)P的面积为S,

(i)将S表示成关于x的函数；

(ii)求S的最大值及相应x的值.

02易错题闯关

一、单选题

1.（25-26高三上•陕西商洛・期末）函数/（x）=4'+x-6的零点所在的区间为（）

2.（25-26高三•全国•课后作业）已知矩形的周长为20cm,设矩形的宽为x（cm）,面积为）卜0?）,则）,

关于x的函数表达式为（）

A.y=x（10—x）（x<10）D.y=x（10—x）（x>0）

C.y=x（10-x）（0<x<10）D.y=x（10-x）（0<x<10）

3.（25-26高一上.黑龙江哈尔滨.期末）已知函数/（x）=sinx,则方程/'（x）=|lgx|解的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2026•河南濮阳•一模）已知函数/。）=2'+工-l,g（x）=log2X+xT，/2（x）=V+x—l的零点分别为

ahc,则。也。的大小顺序为（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>