湖南省2025年初中学业水平模拟考试模拟预测数学试题（含答案）

湖南省2025年初中学业水平模拟考试模拟预测数学试题

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选

项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下列实数中，最小的是（）

A.-V3B.0C.1D.-1.5

2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

3.下列运算正确的是（）

A.V34-V5=V8B.Q9+Q3=Q6

C.（3x2）3=9x6D.(a-b)2=a2-ab+b2

4.下列说法正确的是（）

A.”随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是不可能事件

B.“一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是必然事件

C.调查市场上某品牌灯泡的使月寿命，适宜采用全面调查的方式

D.神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查，应采用全面检查

5.将一块等腰直角三角板按如图方式摆放，其中QIIb,Z2=155°,则41的度数为（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

6.不等式3（3-x）<3x-3的解集在数轴上表示正确的是（）

11

A11<!>—>R--~~C>

A-012012

ii】A-1-1~~

C012Du-012

7.正九边形的每一个内角的度数是（）

A.40°B.140°C.45°D.135°

8.如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆。】，。2，。3,…组成一条平滑的曲线，将一枚棋

子放在原点。处，第一步，棋子从点0跳到点4（2,2）；第二步，从点&跳到点%（4,0）；第三步，从点力2跳

到点&（6,-2）；然后依次在曲线上向右跳动一步，则棋子跳到点&os时的坐标为（)

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0\k02M4Oy

A.(2026,0)B.(2026,-2)(2024,0)D.(2026,2)

9.如图，A8是O。的直径，CO切O。于点。，连接AC,BC,若乙48c=26。，则4BCO的度数为（）

/T

A.64°B.54°D.74°

10.2025年某单位举行春节联欢会，其中有4丛四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.

个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下表所示：

节目ABCD

演员人数122121

彩排时长258208

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的

节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.若使这27位演员的候场时间之和最小，则节目彩排

的先后顺序为（）

A.A-B-C-DB.A-C-B-DC.C-A-B-DD.C-B-A-D

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.计算：a2-4b2=.

12.要使二次根式VS=荻有意义，则工的取值范围是.

13.我国古代数学名著记载：“今有牛十、羊四，直金三十八两；牛四、羊六，直金二十四两.问牛、羊各直

金几何？''题目大意是：10头牛、4只羊共38两银子；4头牛、6只羊共24两银子，每头牛、每只羊各多少两

银子？设1头牛刀两银子，1只羊y两果子，则可列方程组为.

14.在某校举办的2024年秋季田径运动会上，参加初二女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：

1.30,1.35,1.20,1.25,1.40,1.35,1.40.这组数据的中位数是.

15.如图，将△48。沿8C边向右平移得到aOEF,DE交AC于点、G,连接4）.若5%改：5"〃=4:9,BC=

10,则C/的值为.

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16.如图，在已知的△4BC中，按如下步骤作图：

①分别以点8,C为圆心，大于*BC的长为半径作弧，两弧分别相交于点MN；

②作直线MN,交48于点D,连接CD.

若CD=AC,^ACD=64°,则44cB的度数为.

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、

23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

1一2

17.计算：（―a）+V2tan45°—|v2—1|4-y/S,

18.先化简，再求值：（Q+3-誓利・窄炉，其中Q=|.

19.坐落于长沙望城区雷锋大道的雷锋双面雕塑，以雷锋的形象为艺术原型，突出表现雷锋舍己为人的伟大

精神，为我们的城市增光添彩.某校数学社团的同学对该雕塑的高度进行了测量，如图，他们在

4处仰望雕塑CD的顶部，测得仰角为30。，再往雕塑的方向前进34m至B处，测得仰角为60。.（参考数据：

V3«1.7）

D

//rl

ABC

（1）求证：AB=DB；

（2）若学生.的身高忽略不计，求该雕塑CO的高度（结果精确到1m）.

20.某校为提高学生体育运动能力，进一步增强学生的身体素质，现决定开设篮球、足球、排球、乒乓球、

游泳5门运动课程.为了解学生需求，学校随机抽取部分学生进行调查（每人限选1门），并将调查结果绘

制成加下两幅不完整的统计图.

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请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生一共有人；

(2)扇形统计图中，“排球”所在扇形圆心角的度数为；

(3)若全校共有2200名学生，估计全校选择“乒乓球”的学生人数；

(4)在选择“篮球”的3名学生中，有2名男生和1名女生，从这3名同学中随机抽取2名学生，求恰好

抽到一名男生和一名女生的概率(用画树状图或列表的方法解答).

21.如图，四边形是菱形，AELCD于点E,CFJ.AD于点F.

(1)求证：AF=CE；

(2)若AB=2,/.ABC=45°,求菱形48co的面积.

22.电影《哪吒之魔童闹海》是一部大型的动画电影题材影片，该片以神话人物为背景，讲述一个感人的故

事，影片于2025年1月开始上映后，深受人们的喜爱，票房过百亿.某影院开展“优惠”系列活动，对团体购

买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价18元，这样按原定票价需花费5000元购买的门

票张数,现在只花费了3200元.

(1)求每张电影票的原定零售票价；

(2)为了进一步回馈观众，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价

后票价为每张40.5元,求原定零售票价平均每次降价的白分率.

23.如图，48是。。的直径，点在。。上，BC||OD,

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（1）求证：0。平分乙40C；

（2）延长。。交。。于点E,连接CE交。8于点F,过点B作。。的切线交DE的延长线于点P,若黑=

QE=1,求P8的长.

24.定义：已知平面直角坐标系X。），中有4,8两点（点4在点8左侧），AB>0,且||x轴，若抛物线

C:y=ax2+bx+c（a。0）经过4,B两点,则称抛物线C:y=ax2+bx+C（QH0）是线段4B的“共弦抛物

线”.

（1）若4（1,3）,8（7,3）,线段4B的一条“共弦抛物线"C:y=a/+b%+c（Q。0）的顶点N的纵坐标为

-6,求这个抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，抛物线C与x轴相交于E,F两点，求AEFN的面积；

（3）若AB=6,线段48的“共弦抛物线”的:为=2（%+h）2+k和心：丫2=a（x+九产+力的顶点分别为点

P,Q,且点P,Q距线段的距离之和为21,求a的值.

25.如图1,将一张平行四边形纸片04BC放置在平面直角坐标系中，点。与原点重合，。力在义轴上，点

4（6,0）,点8,C在第一象限,且48=4,乙4OC=60°.

（1）如图I,点8的坐标为，点C的坐标为.

（2）如图2,若P为工轴的正半轴上的一个动点，过点P作直线轴，沿直线I折叠该纸片，折叠后点0

的对应点。'落在x轴的正半轴上，点C的对应点为C'.设。P=匕

①若直线，与边8C相交于点Q,将纸片折叠，当四边形PO'C'Q与团。48C重叠部分为五边形射，O'c'与48相

交于点E.试用含有£的式子表示线段8E的长，并直接写出£的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为S,当［工亡工早时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：旧41.732>1.5,

*,•-V3<-1.5<0<1;

・••最小的是一百；

故答案为：A.

【分析】首先利用估算无理数大小的方法判断出遮。1.732>1.5,进而根据正数大于0,。大于负数，两个

负数，绝对值小的反而大，进行判断即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

C、此选项中的图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、此近项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故答案为：B.

【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；

把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180。后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可

逐一判断得出答案.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、国与病不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；

B、09+凉=。6,原式计算正确，符合题意；

c、（3/）3=27d，原式计算错误，不符合题意；

D、（a-by=a2-2ab+b2,原式计算错误，不符合题意.

故答案为：B.

【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次

根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同

类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据同底数暴的除法，底数不变，指数相减即可判断B选

项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘即可判断C选项；根据完全平方公

式的展开式是一个三项式（首平方，尾平方，积的2倍放中央），可判断D选项.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A、“随意翻开数学书，恰好翻到第20页”是随机事件，原说法错误，不符合题意；

B、”一名篮球运动员在罚球线上投篮一次，投中篮筐”是随机事件，原说法错误，小符合题意；

C、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，由于具有破坏性，适宜采用抽样调查的方式，原说法错误，不符合

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题意；

D、神向飞船发射前对飞船仪器设备的检查，足非常重要的事情，应采用全面检查，原说法正确，符合题意.

故答案为：D.

【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的

事件就是不可能事件；在一定条件二，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A、B选项；调查方式

的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要

求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查

对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据

此可判断C、D选项.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示：

•・•△ABC是等腰直角三角形，

?.ZA=90°,ZABC=45°,

XVZ2=155°,

・•・ZAGH=Z2-ZA=65°,

Va/7b,

AZABD=ZAGH=65°,

.\Z1=ZABD-ZABC=20°.

故答案为：C.

【分析】由等腰直角三角形的性质得/ABC=45。，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的利得出

ZAGH=Z2-ZA=65°,然后又二直战平行，同位角相等得ZABD=/AGH=65。，最后根据/kNABD-

NABC算出答案.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：3(3-x)<3%-3,

去括号得：9-3%<3%-3,

移项合并同类项得：

解得：x>2,

把解集在数轴上表示为：

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故答案为：D.

【分析】根据解不等式的步骤：先去括号，再移项合并同类项，进而系数化为1,求出不等式的解；最后根

据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式解集在数轴上表示出来

即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：正九边形的每一个外角的度数是竿=40。，

正九边形的每一个内角的度数是14。。.

故答案为：B.

【分析】由于正n多边形的外角都相等，且外角和都是360。，故正n多边形的每一个外角的度数为呼，再

根据正n边形的一个内角与之相邻的外角互补，可求出内角的度数.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：观察图形可知：4（2,2）,人2（4,0），&（6,-2）,A4（8,0）,……

各个点的横坐标是各A点的下标的2倍，纵坐标分别为2,0,-2,0,且每4个点一循环，

，4O23的横坐标为2026,

•••1013+4=253-1,

・・・力1013的纵坐标为2，

・・・力1013的坐标为（2026,2）,

故答案为：D.

【分析】观察前几个点的坐标可知：各个点的横坐标是各A点的下标的2倍，纵坐标分别为2,0,-2,0,

且每4个点一循环；则点Aion的横坐标为2026：而1013+4=253……1,故点Aig的纵坐标与Ai点的纵坐标

相同为2,从而可得答案.

9.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，连接OC,

〈CO切。。于点C,

:.nccn.

:,乙OCD=90°,

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*：/-ABC=26°,OB=OC,

.\^DCO=^LABC=26°,

"BCD=AOCD-乙BCO=90°-26°=64°,

故答案为：A.

【分析】连接OC,由圆的切线垂直经过切点的半径得NOCD=90。，由等边对等角得48co=乙48c=26。,

再利用角的和差，由48co=/。。。一乙8C。可算出答案.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：A、按“4-8-(7-。'’的顺序，候场时间之和为(2十12十1)X25十(12十1)X8十

20xl=499(min)；

B、按Z-C-B-D”的顺序，候场时间之和为(2+12+1)x25+(2+1)x20+8x1=443(min)；

C、按“C-A-B-。”的顺序,候场时间之和为(12+2+1)x2D+(2+1)x25+8x1=383(min)；

D、按“C-B-A-D”的顺序,候场时间之和为(124-24-1)X20+(12+1)X84-25x1=429(min)；

因为383<429<443<499,

所以按“C-A-B-D”的顺序，这27位演员的候场时间之和最小，

故答案为：C.

【分析】根据候场时间定义，结合有理数混合运算顺序将四种彩排的候场时间计算出来，进行比较找到最小

值即可.

11.【答案】(a+2b)(a-2b)

【解析】【解答】解：a2-4b2=a2-(2b)2=(a+2b)(a-2b)

故答案为：(a+2b)(a-2b).

【分析】本题主要考查平方差公式的运用。

根据公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”，代入计算即可。

12.【答案】x<|

【解析】【解答】解：由题意得：5-3%>0,

解得：

故答案为：x<

◊

【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数''得到5-3x之0,解出工的取值范围即可.

13.【答案心4y要

(4%4-6y=24

【解析】【解答】解：根据题意，得[艺T之]对

[4,%十oy—

故答案为.[10*+4y=38

取T盖〃.[4x+6y=24.

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【分析】根据单价乘以数量等于总价及“10头牛的总价+四只羊的总价=38、4头牛的总价+6只羊的总价=24”列

出方程组即可.

14.【答案】1.35

【解析】【解答】解：将数据由小到大进行排序得1.20,1.25,1.30,1.35,1.35,1.40,1.40,

・••中位数应为排序后的第四个数1.35.

故答案为：1.35.

【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中

间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做

这组数据的中位数，据此求解即可.

15.【答案】6

【解析】【解答】解：由平移的性质得到：AD=BE=CF,AD||EC,

：.LCEG〜UOG

■:S4CEG_产、_4

S△力DGUDJ9

.CE_2

,•荷=4

设40=3k,贝IJCE=2k

：.BC=BE+CE=5k

•:BC=10,

：.5k=10,

解得：k=2

：.CF=AD=3k=6

故答案为：6.

【分析】由平移的性质得至IAD=BE二CF,AD〃EC,由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截

三角形与原三角形相似得出△CEGs/XADG,由相似三角形面积的比等于相似比的平方可得焉=等结合

BC=10,即可求解.

16.【答案】930

【解析】【解答】解：VCD=AC,Z,ACD=64°,

-'•^ADC=1（180°-乙力CO）=58。，

由题中作图方法可知，MN为线段8c的垂直平分线，

则CO=BD,

，乙DCB==^ADC=29。，

：.LACB=/.ACD+乙BCD=64°+29°=93°.

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故答案为：93°.

【分析】根据等角对等边及二角形的内角和定理可得NADC=58。，山题中作图方法可知，MN为线段BC的

垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得CD=BD,再由等边对等角及三角形外角性质

可推出NDCB=NB=：NADC=29。，最后根据角的构成，由NACB=NACD+NBCD代值计算即可.

-2

17•【答案】解:(,I)+V2tan45°-|V2-1|+V8

=4+V2x1-(V2-1)+2V2

=4+遮一鱼+1+2直

=5+2加

【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据负整数指数鼎的性质,-。=/9=0)”、绝对值的代

数意义及二次根式的性质分别化简，再计算二次根式的乘法及按括号法展开括号，最后合合并同类二次根式

及进行有理数的加减法运算即可.

18.【答案】解：伍+3-姆坪)+亘驾±2,

\a-3)a—3

(a+3)(a-3)-(3a+a2)(Q+3)2,

a-3ct—3

_-3(a+3)a-3

—Q_3(a+3产

3

=-a+3*

O32

当a=W时，原式=一并=一多

【解析】【分析】将括号内的整式%+3”看成(0+3)(；-3),然后按同分母分式减法法则计算括号内分式的减

a—3

法，同时将除式的分子利用完全平方公式分解因式，进而将被除式的分子利用提取公因式法分解因式，根据

除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后计算分式乘法，约分化简，再将a的值

代入化简结果计算可得答案.

19.【答案】(1)证明：由题意得：LDAB=30°,LDBC=60°,

408C是△4BD的一个外角，

二乙ADB=乙DBC一乙DAB=30°,

乙DAB=4ADB=30°,

AB=DB；

(2)解：由(1)可得：AB=DB=34m,

在欣。。。中，48c=60。，

•••CD=BD•sin408c=BDxsin600=34x字a29m，

•・・该雕塑CD的高度约为29m.

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【解析】【分析】(1)利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可求得NADB=NDAB=30。，从

而根据等角对等边可得AD=DB；

(2)然后在RSBCD中，利用锐正弦函数的定义，由NDBC的正弦函数可求CD的长.

(1)证明：由题意得：^LDAB=30°,/-DBC=60°,

"BC是△4BO的一个外角，

乙ADB=4DBC-4DAB=30°,

•••/-DAB=^ADB=30°,

:.AB=DB；

(2)解：由(1)可得：AB=DB=34m,

在中，Z.DBC=60°,

ACD=BD-sinZ-DBC=BDxsin60°=34x堂429m，

•・.该雕塑G)的高度约为297n.

20.【答案】(1)4

(2)72°

/oxAW-40-3—4-8-20_1

(3)-2200x40—275人，

・•・全校选择“乒乓球”的学生人数275人；

(4)解：根据题意，列出表格，如下：

男I男2女

男1男2,男1女，男1

男2男1,男2女，男2

女男1，女男2,女

一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况,

・•・恰好抽到一名男生一名女生的概率为之=全

6J

【解析】【解答】(1)解：4+10%=40人，

即本次调查的学生一共有40人：

故答案为；40；

(2)解：360。xg=72%

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“排球”所在扇形圆心角的度数为72。；

故答案为:72°；

【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择“足球”的人数除以其所占百分比即可求出本次调查的学生人

数；

（2）用360度乘以选择“排球”的学生人数所占百分比，即可得到扇形统计图中“排球”所在扇形圆心角的度

数；

（3）用全校总人数乘以样本中选择“乒乓球''的学生人数所占百分比，即可估计全校选择“乒乓球”的学生人

数；

（4）此题是抽取不放回类型，根据题意列出表格列举出所有等可能的结果数，由表可知一共有6种情况，

恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况，利用概率公式进行求解即可.

（1）解：4+10%=40人，

即本次调查的学生一共有40人；

故答案为：40

（2）解:360。x5=72。，

“排球”所在扇形圆心角的度数为72。；

故答案为：72°

（3）解：2200x竺二*曰=275人，

即全校选择“乒乓球''的学生人数275人；

<4）解：根据题意，列出表格，如下：

男1男2女

男1男2,男1女，男1

男2男1,男2女，男2

女男1，女男2,女

一共有6种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有4种情况,

・•・恰好抽到一名男生一名女生的概望为之=I

OD

21.【答案】（1）证明；•・•四边形4%?。是菱形，

：.AD=CD,

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*：AE1CD,CFLAD,

：.^AED=乙CFD=90°,

VzD=ZD,

A△AED=△CDF(AAS),

：.DE=OF,

：.AD-DF=CD-DE,

：.AF=CEx

(2)解：'：AE±CD,

:•乙AED=90°,

,：Z-ABC=45°,四边形ABCD是菱形

VzD=乙ABC=45°,

：.DE=AE,

A/ID=y]AE2+DE2=0AE,

•・•四边形A8C0是菱形，48=2,

：.AD=CD=AB=2,

••・&E=2,

•»AE=V2>

・•・菱形4BCO的面积为4ExCD=2痘.

【解析】【分析】(1)根据菱形的四边相等可得AD=CD,从而利用AAS可判断出△AED丝Z\CDF,由全等

三角形的对应边相等可得DE=DF,进而根据线段和差，由等量减去等量差相等可得结论；

(2)由菱形的对角相等得/D=/B=45。，由等腰直角三角形性质得DE=AE,AD=V2AE,由菱形的四边相

等得AD=AB=2,从而得到力E=&,最后根据菱形的面积公式列式计算即可.

(1)证明：•・•四边形4BCD是菱形，

：.AD=CD,

*：AE1CD.CFLAD,

：,^AED=乙CFD=90°,

VzD=匕D,

：.^AEDSACDF(AAS),

：.DE=DF,

：.AD-DF=CD-DE,

：.AF=CE；

(2)解：*：AE1CD,

第14页

：.LAED=90°,

V^ABC=45°,

VzD=乙ABC=45°,

：.DE=AE,

=Ve+DE2=4iAE、

•・•四边形ABCO是菱形，AB=2,

：,AD=CD=AB=2,

:・\^AE=2,

・"E=VZ，

・•・菱形ABC。的面积为4ExCD=272.

22•【答案】(1)解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，

5000_3200

-^-xz;T8，

解得：x=50,

经检验，x=50是原方程的根且符合题意，

故每张零售电影票的原定价为50元；

(2)解：设原定零售票价平均每次的下降率为m,

由题意得:50(1-m)2=40.5,

解得mi=0.1=10%，m2=1.9(不合题意，舍去)，

即原定零售票价平均每次的下降率为10%.

【解析】【分析】(1)设每张零售电影票的原定价为x元，则团体票价格为(x-18)元，根据总价除以单价等于

数量及根据''按原定票价需花费5000元购买的门票张数，现在只花费了3200元”列方程，即可求解；

(2)此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(l-x)n=p,其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低

次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可.

(1)解：设每张零售电影票的原定价为x元，则题意可得，

5000_3200

~x~~x=:T8,

解得：%=50,

经检验，％=50是原方程的根且符合题意，

故每张零售电影票的原定价为50元.

(2)设原定零售票价平均每次的下降率为m,

由题意得：50(1-m)2=40.5,

解得mi=0.1=10%,7712=L9(小合题意，舍去)，

即原定零售票价平均每次的下降率为10%.

第15页

23.【答案】（I）证明：VOB=OC,

AZODC=ZOCD,

•・•BC||OD,

AAOD=乙ABC,ZCOD=ZOCB,

•••Z.AOD=乙DOC,

。。平分乙40C；

（2）解：连接AC交。。于点H,

OEFBCF,

OF_0F_FF_5

：,~BC=BF=CF=^

，设OE=5x,BC=6x,

•••OA=OB,OH||BC,

•••AH=CH,

OH=^BC=3x,

•••P8是。。的切线，

乙OBP=90°,

乙PBO=乙AHO,

•••乙BOP=z.AOHf

•••△AOH〜〉POB»

PO_OB

•*而二而'

.5%+l_5x

**5x-3%'

.•.%=磊或％=0（不符合题意，舍去），

3S

：,OE=OB=aPO=宗

乙乙

---PB=>JPO2-OB2=2.

【解析】【分析】（1）由等边对等角得NOBO/OCB,由二直线平行，内错角相等（同位角村等）得

第16页

ZAOD=ZABC,ZCOD=ZOCB,则NAOD=NCOD,从而根据角平分线定义可得结论；

(2)连接AC交OD于点H,由平行于二角形一边的直线截其它两边的延长线，所截二角形与原二角形相似

得△OEFs—CF,由相似三角形对应边成比例得盖=需=洋=京，设OE=5x,BC=6x：由平行线分线

段成比例定理得力H=CH,根据三角形中位线定理得。，==3%:由切线性质可得NOBP=90。，从而由有

两组角对应相等的两个三角形相似得^AOH^APOB,由相似三角形对应边成比例建立方程求出符合题意的

x的值，最后再根据勾股定理算出PB即可.

(1)证明：；BC||0D,

:.Z.AOD=乙ABC,

AC=AC,

Z.AOC=2z.ABC^

又乙AOC=^AOD+Z.DOCt

Z.AOD=乙DOC,

A。0平分z/OC：

(2)解：连接4c交。。于点H,

:*&OEFBCF,

,FF_5

：,~BC=~BF=CF=：6"

.•.设0E=5x,BC=6x,

•・•OA=OB,OH||BC,

­.AH=CH,

OH=^BC=3x,

・•・PB是。。的切线，

•••Z-OBP=90。，

乙PBO=乙AHO,

•••乙BOP=乙4。"，

•••△AOH—△POB>

第17页

PO_OB

•*AO=OHt

5x+l_Sx

,•=57

...%=4或30（不符合题意，舍去），

35

0E=0B=等P0=5，

:.PB=>JPO2-OB2=2.

24.【答案】（1）解：・・・4（1,3）,2（7,3）,线段AB的一条“共弦抛物线”,

・••抛物线的对称轴为直线％=孚=4,

•・•顶点N的纵坐标为-6,

・•・顶点坐标N为（4,一6）,

设抛物线解析式为：y=Q（x—4）2-6,且过点4（1,3）,

.*.3=a（l-4）2—6,解得:a=1,

，抛物线解析式为y=（x一4/_6=x2-Qx+10；

由（1〕得，这个抛物线的解析式为：y=/—8x+10,顶点坐标N为（4,一6）,

当y=0时，x2—8%+10=0,

解得：=4+V6»x2=4-V6»

AF（4-V6,0）,F（4+V6,0）,

:・EF=|4+V6-（4-V6）|=2V6.

△E/N的面积为x|yw|=x2\/6x6=6x/6：

（3）解：・・•线段48的“共弦抛物线”的i1=2（欠+/1）2+k和。2：为二。（%+九）2+仇

・•・对称轴为直线％=-九，

*：AB=6,

・・・A（-h-3,18+k）,B（-九+3,18+4）,抛物线仃的顶点坐标为P（-h,k）,

・•・抛物线C】的顶点P距线段线段48的距离为|18+k-々|=18,

・••点Q距线段4A的距离为21-1H=2.

.••抛物线。2的顶点Q为（一九15+幻或（一九,21+k）,

第18页

①当顶点Q为(一九,15+幻时，金：为=。(％+九)2+15+匕

将4(一h-3,18+/c)代入。2：丫2=a(x+九/+IS+k得,18+k=a(-h-3+h)2+15+/c,

解得：a=1»

2

②当顶点Q为(一九,21+k)时，C2：y2=a(x+h)+15+k,

将4(—h-3,18+k)代入。2：丫2=+h/+15+k得,18+k=a(-h-3+h)2+21+/c,

解得：Q=—4，

◊

•••a的值为强

【解析】【分析】(1)根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线x=4,则顶点坐标N为(4,.6),然后

利用顶点式可求出抛物线的解析式；

(2)令(1)所求抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求得E、F的坐标，根据三角形面积

计算公式由SA七四二;后/x回丫|求解即可；

(3)易得抛物线Ci与C2的对称轴为直线x-h,抛物线Ci的顶点坐标为P(-h,k),由抛物线的对称性及

“共弦抛物线”定义得A(・h・3,18+k),B(-h+3,18+k),则抛物线Ci的顶点P距线段AB的距离为|18+k-

k|=18,点Q距线段AB的距离为3,从而得到抛物线C2的顶点Q为(-九,15+口或(-九,21+幻，然后分①

当顶点Q为(一九,15+幻时，②当顶点Q为(一九,21+幻时两种情况分析即可.

(1)解：:4(1,3),8(7,3),线段48的一条“共弦抛物线”,

・•・抛物线的对称轴为直线％=皆=%

•・•顶点N的纵坐标为-6,

・•・顶点坐标N为(4,一6),

设抛物线解析式为：y=a(%—4)2-6,且过点4(1,3),

.*.3=a(l—4)2—6,解得：Q=1,

・•・抛物线解析式为y=(x-4)2-6=x2-8x+10；

(2)解:如图,

第19页

由（1）得，这个抛物线的解析式为：y=x2-8x+10,顶点坐标N为（4,一6）,

当y=0时，%2-8%+10=0,

解得：%i=4+后，x2=4-V6»

AE（4-V6,0）,F（4+V6,0）,

:・EF=|4+V6-（4-V6）|=2n.

・••△E/N的面积为*EFx=^x2乃x6=6伤：

（3）解：•・•线段AB的“共弦抛物线"Ci：%=2（%+九）2+左和的：力=。。+八）2+九

・•・对称轴为直线3=-九，

*：AB=6,

•••^4（—ft—3,18+fc）,8（—九+3,18+k）,抛物线Ci的顶点坐标为P（-九,k）,

・•・抛物线Ci的顶点P距线段线段48的距离为|18+k—k|=18,

，点Q距线段48的距离为21-18=3,

*,•抛物线。2的顶点Q为为儿15+k）或（―九,21+k）,

2

①当顶点Q为（一九,15+k）时，C2,.y2=a（x+h）+154-fc,

将4（—h—3,18+k）代入。2：丫2=Q（“+八产+15+k得,18+k=a（—h—34-/i）2+15+k,

解得：Q=%

②当顶点Q为（一儿21+k）时，C2：y2=a（x+h）2+15+上

将4（一h-3,18+A）代入。2：%=a。+九尸+15+k得，18+k=a（—九-34-h）2+21+k,

解得：a——i»

・・・a的值为4或-J.

25.【答案】⑴（8,2V3）,（2,2g）

（2）解：®3<t<5；

第20页

②如图：过点C作CH104

由(1)得出C(2,2A/5),Z.COA=60°

•・.•tan“60。°=M-Pgpf后73=M~P^~，

；・MP=图，

11^

-<<时S--£X£22

212-2V3

••岑＞0,开口向上，对称轴直线£=0,

••・在在亡〈2时，s=空产随着《的增大而增大,

♦•.竿WSV2百；

当2WCW3时，如图：

1

S=5(0'P+MC)XMP=5(OP+CM)xMP=jQ+£-2)x2V5=V3(2t-2)=2怎-273

乙乙乙

.*.2x/3>0»S随着£的增大而增大，

・・・在£=3时S=2V3x3-273=46；在£=2时S=2百x2-2百=2百：

・•・当2<t<3时,2V3<S<4V3

•・•当3<t<5时,过点E作，如图:

•・•由①得出是等边三角形,EN1AO,

11

•MN=^AOr=久2t-6)=t-3,

乙乙

第21页

•'•tanZ.EAO'=V3，g=器

・・・EN=百（£-3）,

1

S=275t-2国一5xA。'xEN

乙

1

=2\［3t-2V5—5［（2t-6）x百（£-3）］

乙

=一收2+8叔一11百，

,**—V3<0,

O与

，开口向下，在£=_2x（二"）=4时，s有最大值为一V5x42+875x4—1175=575,

，在3<亡<5时，|4一3|=|4-5|,

・・・S=-V3X324-8V3x3-11V3=4百，

则在3<t<5时，4V3<S<5V3;

当号时，如图，

A-2V3<0,S随着£的增大而减小，

・••在学时，则把"5,"学分别代入S=-2V3t+14V5,

得出S=-2V3x5+14百=4百，S=-2百x9+1473=3VJ,

・••在5<t<?时，3百WS工4百，

综上：等WSV50

【解析】【解答】（1）解：如图：过点C作CH_LO4

・・・OA=6,

第22页

•・•四边形。ABC是平行四边形，AB=4,4AOC=60°,

：.OC=AD=4,CB=OA=G/B=^AOC=60°,

,：CH104,

:.(OCH=30°,

：.0H=』0C=2,

:・CH=y/OC2-OH2=2y[3

・・・C(2,2⑹；

*：CB=04=6

.*.2+6=8,

・"(8,2百)：

(2)解：①•・•过点P作直线/_Lx轴，沿直线E折叠该纸片，折叠后点。的对应点0,落在3轴的正半轴上,

^Z.OO'C'=Z-A0C=60°,0'P=0P,

：.OOf=2OP=2t

•••4(6,0),

：.OA=6,

：.AO,=OO,-OA=2t-6,

•・•四边形。ABC为平行四边形，

：.AB=OC=4,AB||0C,^O'AB=Z.AOC=60°

•••△EO'A是等边三角形

：,AE=AO'=2t-6,

=AB-AE,

：.BE==4-(2t-6)=10-2t；

当。'与点4重合时，

此时与do'的交点为E与A重合，0P=*0A=3,

如图：当与点B重合时，

第23页

此时工B与c'。'的交点为E与B重合，0P=穹二=5,

・」的取值范围为3Vt<5；

【分析】(1)过点C作CH_LOA,根据平行四边形的对边相等，对角相等，得出0C=AB=4,CB=0A=6,

ZB=ZAOC=60°,由含30。角直角三角形的性质得0H=2,利用勾股定理算出CH的长，进而根据点的坐标

与图形性质可求出点B的坐标；

(2)①由折叠得NOOC=NAOC=6。。，OP=OP,则OO，=2OP=2t,ACT=2t-6,由平行四边形的性质得

AB=OC=4,AB〃OC,2048二乙限》60。，山有两个内角为6。。的三角形是等边三角形得公£0八是等边三

角形；运用线段的和差关系列式化简得BE=10-2t；分当O,与点A重合时与当C，与点B重合汨，分别作图，

得出t的取