高中数学一轮复习：椭圆的标准方程及性质

专题10.4椭圆的标准方程及性质

L椭圆的定义

我们把平面内到两个定点F2的距离之和等于常数(大于I&F2I)的点的集合叫作椭圆.

这两个定点后，尸2叫作椭圆的焦点，两个焦点h，F2间的距离叫作焦距.

其数学表达式：集合P=十IMF2I=2Q},I&F2I=2c,其中Q>0,c>0,且

a,c为常数：

①若Q>C,则集合P为椭圆；

②若a=c,则集合P为线段；

③若QVc,则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程及一般方程

方程焦点在工轴上焦点在y轴上

X2V2、2x2

标准方程—x+To-=l（a>£>>0）—7+73,=1（。>b>0）

Q/b乙

一般方程—+—=1或m/+2y2-1（血,〃>0,mn）

mn7

说明当椭圆的焦点位置不明确时，可以分类讨论设标准方程，或设一般方程.

补充：椭圆系方程

①方程今+言=1(。>力>。)与^7+1=入(。>b>0)(A>0)有相同的罔心率；

②与椭圆［+'=1(Q>b>0)共焦点的椭圆系方程为g=1(Q>b>0/2+

a,a^+kb^+k

k>0),

恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.

3.椭圆的几何性质

x2y2y2x2

肃+京=1（。>力-+-=l（a>b

标准方程说明

>0）>0）

1y

图形

A1

-a<x<a,-b<x<h,求最值或范围问题时，注意封闭曲线上

范围

-b<y<b-a<y<a点的坐标的取值范围

在解决求点坐标、判断点个数、求弦

轴对称：关于％,y轴对称

对称性长、求最值等问题时，可利用对称性求

中心对称：关于原点对称

解

长轴端点(±a,0)短轴端点(0,±a)

顶点

短轴端点(0,±匕)短轴端点(±b,0)

注意区分“长轴”与“长半轴”、“短

轴长轴4遇2长为2a；短轴B$2长为2b

轴”与“短半轴”

焦点(±c,0)(0,±c)

焦距

\FIP2\=2c

a,b,c的图形中阴影三角形的三边长分别为

a2=b2+c2

关系Q,b,c

当e越接近1时,C越接近a.椭圆越扁；

离心率e=：£(0,1),其中c=y/a2-b2

当e越接近0时，c越接近0,椭圆越接近圆

4.椭圆的焦点三角形

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭

圆的定义和正弦定理.、余弦定理.

以椭圆盘+\=1(。＞力＞°)上一点P(%。，yo)(yc=O)和焦点F1(—C,O),F2(c,0)为顶

点的△PF1F2中，

若乙F]PF2=e,则

⑴焦点二角形的周长为：|PF1|+\PF2\+IKF2I=2(Q+C).

222

⑵余弦定理:4c=\PFt\+\PF2\-2\PF1\\PF2\­cos0.

\1f)

2

⑶面积公式：SApFlF2=^\PF1\\PF2\-sin0=51"211yoi=c\yQ\=(Q+c)r=btan-,

(r为内切圆半径)

当P为短轴端点时,即|y0|=b,S“F也取最大值，为be.

2

由余弦定理得4c2=|PF1|2+\PF2\-2\PF1\\PF2\-COS8得

222

4c=(\PF1\+|PF2|)-2\PFl\\PF2\­(1+cos0)=4a-2\PF1\\PF2\*(1+cos6)

2匕2

I

\PF\\PF2\=l+cos6'

2b2.炉00

=||PF1||PF2|.sma20

故S△叫尸2•sin6=------77•2sin—cos-=b£tan-,

2cos2-222

⑷当点P在短轴端点时，NFIPF2最大.

5.点与椭圆的位置关系

点P(&，y。)与椭圆成+四=1(。>b>0)的位置关系:

⑴点P在椭圆上,则]+暮=1；

⑵点尸在椭圆内部,则杀+居<1；

⑶点P在椭圆外部，则马+居>1.

a2b2

【重要结论】

1.椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长为牛，通径是最短的焦点弦.

2.已知过焦点a的弦4B,则AABF2的周长为4a.

3.点P为椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|w[a-c,Q+c],b<\OP\<a.

4.椭圆第二定义：平面内与一个定点F(c,0)的距离和它到一条定直线上工=贮的距离之比

C

是常数e=：(0vevl)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的

准线，常数e是椭圆的离心率.

证明：设d是点M（x,y）到直线/的距离，则呼1=：，即冲苦产=?

0|T-X|°

化简可得：g+^=l(a>b>0).

若点P（%o，yo）为椭圆上一点，尸1，尸2为椭圆的左、右焦点：IPF1I=Q+exQf\PF2\=a-ex0.

5.设P,4B是椭圆上不同的三点，其中4B关于原点对称，则直线以与PB的斜率之积为定

值一捺

6.椭圆或双曲线的第三定义：平面内的动点到两定点4（a,0）、42（-。，0）的斜率乘积等于

常数/一1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中，两定点分别为椭圆或双曲线的顶点，这里的

e应该指离心率.

当常数大于・1小于0时为椭圆，当常数大于0时为双曲线.

史教材变编

1.【人教A版选择性必修一习题3.1第5题P115］已知椭圆\=1（Q〉b>0）的

左右焦点分别为FI,F2，点P是椭圆上一点，^F1PF2=120°,且/F］PF2的面积为小?,则椭圆

的短轴长为.

2.1人教A版选择性必修一习题3.1第6题P115］（多选）已知P是圆。：/+丫2=4上

任意一点，定点4在x轴上，线段4P的垂直平分线与直线OP相交于点Q,当P在圆。上运动时，

Q的轨迹可以是（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

考点归纳

考点一椭圆的定义及应用

【典例精讲】

例1.（2025•山西省晋城市•模拟题）己知乙,尸2分别为椭圆C：9+9=1的左、右焦点，点尸

为C上一点，若伊耳|一|P尸zl=2,贝lj（）

A.IPF2I=2IF/2IB.|PF1|=2IF/2IC.\PF2\=IF/2ID.[PF/=尸出|

例2.（2024•江苏省淮安市月考试卷）已知椭圆C：三+==1的左焦点为F,P为C上一动点，

128

定点』（一1,「），则|PF|+|P*的最大值为（）

A.4AT3B.6cC.2+2cD.2+4c

例3.（2024•浙江省杭州市模拟）已知椭圆1的左、右焦点分别是Fi，尸2,左右

顶点分别是41，人2,点P是椭圆上异于41，4的任意一点，则下列说法正确的是（）

A.|PF1|十|PF2|=5

B.直线P4与直线P4的斜率之积为:

C.存在点P满足4F/F2=90°

D.若AFiPF2的面积为4仁，则点P的横坐标为±门

【方法储备】

1.椭圆定义的应用

⑴椭圆定义的应用主要是：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、

最值和离心率等.

⑵通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

2.求最值或范围

已知P为椭圆《+、=1（Q>6>0）上任意一点，转化为：

①|PF/+|PF2l=2a结合其它条件，使用基本不等式求最值，或者将所求量表示为关于

IPFJ或IPF2I的函数，转化为函数的最值问题来处理；

②设尸（%0/0），则苦+苦=1,所求量表示为关于点P坐标的函数，转化为函数的最值问

题来处理；

③设P（Xo，yo），三角换元：当焦点在X轴上时，器既出£［。,2兀））,转为三角函数

iy°=usiriu

的最值问题来处理.

【拓展提升】

练l・L（2025•湖北省荆州市•月考试卷）已知椭圆C：5+《=1的左、右焦点分别为a,F2,

P是C上在第二象限内的一点，且|PF2|—|PF/=2,则直线PF?的斜率为（）

A.-B.--C.-D.--

3344

练12（2024•四川省成都市•月考试卷）（多选）已知椭圆C：3/+4y2=48的两个焦点分别

为片，&，P是C上任意一点，则（）

A.C的离心率为?B.△P&F2的周长为12

B.|PFi|的最小值为3D.|PFi|•|PFz|的最大值为16

练13（2024•吉林省通化市模拟）椭圆C:9+y2=1的左右焦点分别为鼻,尸2，点M为其上

的动点，当NF1MF2为钝角时，点M的纵坐标的取值范围是.

考点二椭圆的标准方程

【典例精讲】

例4.（2025•浙江省衢州市•月考试卷）方程J婷+⑶一2）2+J*+⑶+2）2=10化简的

结果是（）

X2V2/),2无2y2y2/

A・云+6=1B.土+匕=1C.土+匕=1D.匕+土=1

25212542521

例5.（2025•山东省•模拟题）点片,尸2为椭圆C的两个焦点，若椭圆。上存在点P,使得

CUMZFPF»W

t则椭圆。方程可以是（）

X2V2X2V22v22v2

A.二+匕=1B.二+匕=1C.土+匕=1D.土+匕=1

2596416620169

例6.（2024•江苏省南京市•月考试卷）设点M是椭圆C：9+?=1上的动点，点N是圆瓦

（%-l）2+y2=1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是.

【方法储备】

求椭圆标准方程：

⑴定义法：根据椭圆的定义，要注意条件2a>正/2],确定。2,坟的值，结合焦点位置写

出椭圆的方程，

⑵待定系数法：先定形（焦点位置），再定量，也可把椭圆方程设为血/+庄严

=1（巾>0,几>0,mW九）的形式.

补充：待定系数法求椭圆标准方程的不同设法

①焦点在X轴上的椭圆标准方程可设为：W+[=1（Q>b>0）

Q/

②焦点在y轴上的椭圆标准方程可设为：g+g=l（a>b>0）

2222

③与椭圆京=l（a>b>0）共焦点的椭圆标准方程可设为：差+黄力=1。>

4）

2222

④与椭圆尢+6=1（。>b>0）共周心率的椭圆标准方程可设为：a1=A（A>0）或

22

力v+rA30）

【拓展提升】

练2・1.（2025•安徽省•月考试卷）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近

法”得到椭圆的面积除以圆周率7T等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐

标系xOy中，椭圆C：W+《=l（a>b>0）的面积为2*71,两焦点与短轴的一个端点构成

等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）

2V22V22V222

A.tX+匕=1B.土X+匕=1C.—+X^==1D.-X4-V^=1

43342XT332

练22（2024•江西省萍乡市联考）已知圆。：/+y2=1,点P在椭圆C：1+^=1上运

63

动，过点P作圆。的两条切线，切点分别为4B,贝力力+而|的取值范围是（）

A.咛亨B俘9C.降和.降空

练23（2025•广东省•联考）如图，已知椭圆C的中心为原点。，尸（一5,0）为C的左焦点，P为

C上一点，满足|0P|=|0F|且仍川=6,则椭圆C的方程为（）

X2V2X2v2X2v2

A.土+匕=C.土+匕=1D•石+粉，

361640154924

考点三椭圆中的焦点三角形

【典例精讲】

例7.（2025•湖南省•月考试卷）己知椭圆C:，十?=1（。>4），Fi、尸2分别为其左、右焦

点，点M在。上，且NMF]F2=60。，若的面积为等,则Q=（）

A.2>J~2B.3C.20D.4

例8.（2025•江苏省扬州市・联考）根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光

线将汇聚到另一个焦点处.已知椭圆C:营+：=I,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，点P是椭

圆C上的任意一点，根据研究,我们知道直线PF1、直线P「2与在p点处的切线I所成的角相等.过

居作直线垂足为”，则忸HF/?面积的最大值为（）

A.「B.2C.<3D.2y[~2

例9.（2024•江苏省宿迁市联考）已知椭圆C的左、右焦点分别为Fi，F2,上顶点为B,直线

与C相交于另一点4当cosdi4B最小时，C的离心率为.

【方法储备】

利用椭圆的定义、余弦定理和焦点三角形相关结论，解决三角形的面积、周长、三角形

的个数、三角形的顶点坐标、角等问题.

【拓展提升】

练3・1.（2024•江苏省苏州市•月考试卷）（多选）已知椭圆C:1+[=1的左、右两个焦点分别

98

为F1，F2，P为椭圆上一动点，则下列结论正确的有（）

A.△PF/2的周长为8B.APFiF2的最大面积为2口

B.存在点P使得方1・由2=0D.|PM|+IPF1I的最大值为5

练32（2025•湖南省永州市•模拟题）设居、尸2分别是椭圆C』+'=l（a>b>0）的左、

右焦点，过点Fa作文轴的垂线交C于71、B两点,其中点A在第一象限，且INF/=2|AF2l,若P是

C上的动点，则满足团PF1F2是直角三角形的点P的个数为（）

A.0B.2C.4D.6

考点四椭圆的几何性质

【典例精讲】

22

例10.（2024桂林市•月考试卷）（多选）己知椭圆£白+5=1,则（）

A.若E的离心率为j则血=8

B.若?n>9,E的焦点坐标为（0,土7m-9）

C.若0<m<9,则E的长轴长为6

D.不论M取何值，直线x=-4都与E没有公共点

例11.（2025•安徽省合肥市•联考）在平面直角坐标系内，方程产+y2一孙=1对应的曲线

为椭圆，则该椭圆的焦距为（）

A.QB.也C.贮D.江

3333

例12.（2024•山东省临沂市期末）F],尸2分别为椭圆[+[=1的左、右焦点，M为椭圆上

的动点，设点/G，m，则I河川+iMFzi的最小值为（）

A.4-旦B.2-旦C.4+^D.2+工

2222

例13.（2025•江西省•模拟题）如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而

成，该椭圆形玉璧长10.2C77b宽7.1cm,玉璧中心的桶圆形孔长1.6cm,宽1.0cm,设该玉

璧的外轮廓为椭圆M,玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N,则

A.M的离心率等于N的离心率B.M的离心率小于N的离心率

B.M的离心率大于N的离心率D.M与N的离心率无法比较大小

【方法储备】

1.椭圆上点的坐标的范围:

椭圆［+［=1（。〉b>0）上点的坐标：Jv52

a1b£（―DS：ySD

椭圆［+*=1（Q>b>0）上的点的坐标为::可利用椭圆的有界性求范围或

a2b2zi-b<x<b

最值.

2.椭圆的对称性：

（1）形：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

⑵数：若点P（匕y）在椭圆上时，它关于入轴的对称点Pi（x,y）也在椭圆上，关于y轴的对称

点P2（%y）也在椭圆上，关于原点的对称点尸3（%刃也在椭圆上.

3.离心率

⑴求椭圆离心率的值：

①直接求出a,c,利用离心率公式e=£求解；或由a与b的关系求离心率，利用变形公式

a

②构造a,c的齐次式.可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

⑵求离心率的取值范围

①直接法:题干条件中有明显的不等关系，直接将不等关系中的量转化为a、c的不等式；

②间接法：题干条件中没有明显的不等关系，可结合

i.椭圆器+翥=l（a>b>0）中已有的不等关系品|<a,\yQ\<b,\PF\G[a-c,a+c]；

ii.焦点三角形中动点P在短轴端点时，ZF1PF2,SM&F2取最大值，三角形的三边满足的关

iii.几何图形的临界情况、基本不等式建立不等式.

【拓展提升】

22

练4・1.（2024•湖北省黄冈市•月考试卷）已知椭圆器+8=l（a>b>0）上一点A关于原点

的对称点为点8,F为其右焦点，若设41BF=a,且aW碎币，则该椭圆离心率e

的取值范围为（）

A.[?,?]B.[?，DC.[?,「一1]D.[?,?]

练42（2025•福建省泉州市•模拟题）在△48C中，AC=D为边8c上一点，满足80=

2DC,以4。为焦点作一个椭圆G,若G经过B,C两点，则G的离心率为（）

A.gB.lC.?D.?

练4.3.（2。25•山东省济南市•模拟题）设甲：曲线总+藉=1表示焦点在、轴上的椭圆,

乙：28是第一或第四象限角，贝1」（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

练4・4.（2025•四川省成都市•模拟题）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性

质：从椭圆的一个焦点&发出的光线经过椭圆」一的点尸反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦

点尸2，且在点P处的切线垂直于法线（即NF]PF2的平分线）•已知椭圆。：《+'=1（。>8>0）

的焦距为2E,坐标原点。到点P处切线的距离为云且心，则椭圆C的长轴为

（）

A.4B.6C.8D.16

新题放送

1.（2025•新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市・联考）己知。为坐标原点，尸是椭圆氏捻+y2=

1（Q>1）的右焦点，M是E上位于工轴上方的一点，MO,M5的延长线分别交E于点N,7,且

|F/V|=3|F7|,FN1FT,则a=（）

A.8B.4C.2D.。

3.（2025•山西省太原市•模拟题）已知团/8C的三条边长分别为3,4,5,团的两个顶点

是椭圆E的焦点，其另一个顶点在椭圆E.匕则E的离心率的最大值为（）

A,B,C-I*

4.（2025•湖南省•联考）在直角坐标系xOy中，羯，F2分别为椭圆+'=l（a>b>0）的

左、右焦点，过点?2作％轴的垂线交C于4,D两点,连接A&并延长交。于另一点B,B.AD=8,

AB=9,贝IJC的长轴长为（）

A.7或10B.6C.7或9D.10

5.（2025•辽宁省沈阳市•模拟题）已知Fi，F2分别是椭圆C:9+y2=i的左、右焦点，点、B为

短轴的一个端点，点M是C上的任意一点，则下列结论成立的是（）

A.1<\MF1\\MF2\<4B.0<丽•W<3

B.0<\MB\<2D.7-<船<7+4c

【答案解析】

教材改编11人教A版选择性必修一习题3.1第5题P115】

解：由乙&PF2=120。，△P&F2的面积为C，

可得g|PF/•IPF2I•SENF1PF2=?|PF1|•IPF2I=73,

•••IPFJ♦IPF2I=4.

再根据椭圆的定义得|PFil+\PF2\=2a.

2

由余弦定理得4c2=|PFi『+\PF2\-2\PF±\•\PF2\•cosl20°

=（IP"+|PFz|）2-|PF1|・IPF2I=4a2-4,

b2=1,b=1,即椭圆的短轴长为2b=2.

故答案为：2.

教材改编21人教A版选择性必修一习题3.1第6题PU5]

解：当定点4在％轴且在圆上时，此时线段4P的垂直平分线与直线OP相交于点0,

即Q的轨迹是一个点；

当定点4在%轴且在圆内时,此时QO+QA=QO+QP=OP=2t

故Q的轨迹是以点。和点A

为焦点的椭圆；

当定点/在尤轴且在圆外时，此时Q4-Q0=QP-Q0=0P=2,

故Q的轨迹是以点。和点.4为焦点的双曲线.

例1.解：由题意可知，?1(一2,0),局(2,0),所以因Fzl=4,

由椭圆的定义可知，IPFJ+IPF2I=6,

又|PF〔|一|PF2|=2,所以|PF/=4,|PF2|=2,

所以|PF/=|FiF2l.

故选：D.

例2,解：*+9兽=三<1，4在椭圆内部，记椭圆的右焦点为E,E(2,0),椭圆中

12824

a=P在椭圆上，

\PF\+\PE\=2a=\PF\=-\PE\,

\PF\+\PA\=4AA3-\PE\+\PA\<4^+\AE\,当P是AE的延长线椭圆的交点时，取

等号，

所以|PF|+|P川的最大值为4c+J(-1-2)2+(C-0)2=60,

故选：B.

例3.解：椭圆M:1+《=l,焦点在不轴上，Q=5,b=21,

选项4：|PFi|+|PF2|=2a=10,故A错误；

选项3：由已知&(一5,0),雄(5,0)，设P(x,y)，

y

则。公上小一三

所以心勺=7^=学字=一||=一支故8错误；

选项C：当P为椭圆上短轴端点时，乙F1PF2最大,

因为cvb,所以以。为圆心，c为半径的圆和椭圆没有公共点，故C错误；

选项。：因为因尸2|=2u，若△F1PF2的面积为S=：x2Cx|yp|=4N,

所以P的纵坐标为±4,代入椭圆方程得点P的横坐标为土故。正确.

故选D.

练1-1.解:由椭圆的定义，得|PF]|+\PF2\=14,

结合IPF2I-|PF/=2,

解得|PF/=6,|PFz|=8,

所以|PFI|2+|PF2|2=|F/2|2,

从而PF】1PF2,

所以kpF?=—tanz.PF2F1=—：

故选：0.

练1-2.解：由椭圆C：3x2+4y2=48,即土+匕=1,

1612

可知Q=4,b=2C，从而半焦距c=/。2一垓=2,则离心率？=j故A错误;

4

因为|PF/+|PFz|=2Q=8,|后尸2|=2。=4,

所以的周长是12,故8正确；

由椭圆的几何性质可知，当P为椭圆C的左端点时，|PF/的最小值为a-c=2,故C错误;

|PFI|+|PF2|=8>2JIPaIIPF2I，

所以|PFi|-|PF2|<16,

当且仅当|PFil=IPF2I=4时等号成立，故。正确.

故选BD.

练1-3.解：设MQ,y),焦点F](_q,O),F2(<3,0).

因为为钝角，所以cos=丝芸磊度V0,

即MF：+M吗<&修oQ+O+y2+(%-V-3)2+y2V12.

整理得:x2+y2<3.

v22

因为点M(x,y)在椭圆了+丫2=1上，y2=1-yY,

代入得/v"解得一半vxv—,

JJJ

又因为一2WxW2,

所以点M横坐标x的取值范围为(一手，手).

故答案为：(一学,学).

例4.解：•・•[-2+(y-2)2+J-2+(y+2)2=10,

表示平面内到定点F1(O,2)、尸2(0,-2)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹,

.•・它的轨迹是以居、?2为焦点，长轴2a=10,焦距2c=4的椭圆；

J・Q=5,C=2,b=V25-4=V21,

.・椭圆的方程是(+\=1，

/04JL

22

.••化简的结果为1v+菰Y=1.

故选D.

例5..解：如下图：

22

不妨设椭圆《的方程为左=1（。＞/）＞0）,椭圆，的卜顶点为B,

因为椭圆C上存在点P‘使得“""匹’一2,所以需“山外⑶；

由余弦定理得

在团F1BF2中

防『一田「『|F|F：2匹4^a2-2?1

ZF|BFj-

2|。而/7人「绐-砂云-j

22

又Q2=b4-c,化简得。2＞4b2,

同理可得，椭圆焦点在y轴上时，也有MN4b2,经检验可知选项B满足.

故选：B.

设MQo，yo)F+慈=1=%=8(1—曰),一3<Xo<3,

则|MN|=V\ME\2-\NE\2

2

=J|ME/一i=(x0-l)+环-1=xl-2x0+8(1-

J就-18々+72_j(比一9)2-9

=J卷-2、。+8=

3—3

・•・当a=3时，|MN|m加=丁=7~3.

故答案为：

练2・1.解：由于椭圆的面积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,

所以椭圆C的面积为abzr=可得ab=2U①

由于椭圆C的两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，可得Q=2c@

又因为在椭圆中a,b,c满足a2=/)2+c2③

联立①②③可得：a2=4,b2=3,

22

所以椭圆C的标准方程是.r+.v=1.

43

故选:A.

练2-2•解:设PQo,M)),

切线P4上任意一点为Q(x,y),则诃-51=0,

所以Qi-%)%i+(%一y)yi=0,

所以4-yyr=*+*=1,

即切线P4的方程为+y%=1，

同理可得切线PB的方程为%必+y、2=1，

所以％0%+yoyi=1，々)X2+y^2=1，

所以直线4B的方程为%0%+%y=1.

取4B的中点0,连接。0,

则|西+两=2|两=.2=2=2^^

Jxo+yoJ6-2羽+%J6-yl

因为04肝43,所以CwJ6-冗工门,

i^<\OA+OB\<^-.

OO

故选A.

练2・3.解：由题意可得c=5,设右焦点为F',

由|OP|=\OF\=|。〃|知乙PF尸'=Z.FPO,乙OF'P=乙OPF',

:‘乙PFF'+乙OF'P=乙FPO+*)PF',

:•乙FPO+/.OPF'=90°,即PF1PF',

在RtAPFF'中，由勾股定理，得|P"'I=7FF'2-p股=A/102-62=8,

由椭圆定义，得|PF|+|PF'|=2Q=6+8=14,

从而a-7,得a2—49,

于是川=Q2_c2=72_$2=24,

22

则椭圆的方程为三+5=L

4924

故选C.

例7.解：设|MF1|=p,|MF2|=q,

c1.o5v/5

化简得：pc=5,所以p=£,Q=2a—I，

由余弦定理得：可丁.结合以上两个式子，消元得4c2-4Q2+&=IO,

2p-2c2c

又因为〃一°2=炉=5,所以化简可得：£=1，结合匕=C，可得Q=3.

a3

故选：B

例8.解：由题知，椭圆半焦距c=l,延长&H,F2P相交于Q,

由于NHPFI=乙MPF2,又乙MPF2=乙HPQ,

故4HPF]=乙MPF2=乙HPQ,

结合FiHU,垂足为H,故|PQ|=|PF/,

IPF2I+|PFJ=\PQ\+\PF2\=\QF2\=2Q=4,

故|Om=：|QF2l=2,

尸山。小&I//Kg+£H()F2

-an一〃(〃i.sin_2、：n」M)R,

故当sin4HOF]=1时，后HF〔F2的面积最大为2.

故选：B.

例9.解：设椭圆方程为篙《=l(a>b>0),其焦距为2c,

由题意可知|2月11=IB&I=a；设M/l=%，Wi\AF1\=2a-x,\AB\=ax,

|"I|2+MB|2一|BFI|2_(2ar)2+(x+a)2_a2

故COS4F]AB

2\AFX\\AB\~2(2a-x)(x+a)

x2-ax+2a2<4a2<4a2

------------=-]-------------=-]-----------—,

-x2+ax+2a2x2-ax-2a2(x-)2-^a2

X

当》=轲，（一］）2-支2取最小值—3Q2,此时C0SZFp48取最小值

则此时在△AF/2中，|明|=拳|明|=枭

则cos乙FMF2=C0SN&4B=叫呷叫亦=」

1212|4&|伊松19

即受噂==［整理得Q2=3C2,故椭圆离心率。=£=［,

2x—x-9a3

22

故答案为：?

22

练3-1.解：椭圆C:^~+七=1,可得a=3,b=2y/~2,c2=a2—b2=1,

对于4△。尸1尸2的周长为仍见1+12「2|+|尸［尸21-2。+2。-8,故A正确；

对于B：△2尸/2的最大面积为：乂|&尸2|乂8=儿=2/2,故B正确;

对于C：若要存在点P使得两♦配=0,则所，两，即点P在以F#2为直径的圆上，且

\F.F2\=2,所以点P为以F1F2为直径的圆与椭圆的交点，

而椭圆的短轴一半长为2，2>r=手=1,所以不存在点P,故C错误；

对于D：\PM\+|PFJ=\PM+2a-|PF2|=6+|PM|-|PF2|<6+|MF2|=6+1=7,

所以|PM|+|P&|最大值为7,故。错误.

故本题选AB.

练32解：由题|4尸2|=?,又|4FJ+ZF2I=2Q,MFJ=2\AF2\.

2

.2_（a=3t.

：•一=N，即b2=2t（t为参数），

°（c2=t

P取上顶点时N&PF2最大，

此时COS/aPF2=Q"2-3）2=电竺=1>0,

122aa6t3

,NF1PF2不会为直角，

••・只有当NPF1F2或4PF2&是直角才符合题意，

所以由对称性可知满足区P&F2是直角三角形的点P的个数为4.

故选：C.

例10.解：对于4椭圆E的离心率为：，所以Q=3C,

当椭圆的焦点在％轴上，a=3,c=1,则?n=Q2-c?=9-1=8,

当椭圆的焦点在y轴上，a=Vm,b=3fc=贝!b?=M一=詈=9,日J?n=%,

故A错误.

对于B,若m>9,则椭圆的焦点在y轴上，c2=m-9,椭圆E的焦点坐标为(0,土Y'm-9),

故8正确.

对于C,若0VmV9,则焦点在工轴上，所以a=3,长轴长为6,故C正确.

对于D,令y=0,则％=±3,所以x£[—3,3],

所以不论徵取何值，直线％=-4都与E没有公共点，故D正确.

故选：BCD.

例11.解：因为/+y2—%y=i,将点(—%,—y)的坐标代入方程，原方程保持不变，所

以椭圆关于原点对称;将点(y,x)和(-y,-X)的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆

关于直线y=%和、=-%对称，

设直线y=T与椭圆交于A,B两点，

贝储0_盯=L解得｛；=M=-5:

所以|4B|=2>/~2;

设直线y=-x与椭圆交于C,0两点，则

解得或

(y=一亍，卜=丁，

所以|CD|=胃，

由椭圆性质可知，2a=\AB\=2/22b=\CD\=—,

3

所以Q=b=[,则c=7a?—b2=巧三

故焦距为

J

故选c.

22

例12.解,椭圆？+一=1,

43

则月(-1,0),F2(l,0),

且|MFJ+\MF2\=2Q=4,

所以IMF21=4一|MFJ,

所以|M川+\MF2\=4+|M/|-|MFJ34-MFJ,

当且仅当F],4M在一条直线上，且4位于F],M之间时等号成立，

由两点间距离公式得到HF/=?，

所以|M4|+IMF2I的最小值为4-手.

故选：A.

例13.解：依题意，椭圆M长半轴长％=要=5.1cm;短半轴长瓦=0加,

所以椭圆M的半焦距q=Ja/-1/=J5."一(幽)2,

那么椭圆M的离心率G=言=J5：尸=J1-（含2,

已知椭圆N长为1.6cm,则长半轴长的=^=0・8cm;宽为1.0cm,则短半轴长匕2=j=0.5cm,

所以椭圆N的半焦距C2=yjal-bl=70.82-O.52,

所以椭圆N的离心率e2=之=4笋=J1-篇T=J1-*

因为喘〉教所以e】=J」（意粉2=如

即M的离心率小于N的离心率.

故选也

练4-1.解：由已知，点8和点A关于原点对称，则点8也在椭圆上，

设椭圆的左焦点为Fi，

由|0川=|OB|,|O吊|=|0"可得四边形AF/F为平行四边形,

乂4F_LBF,所以平行四边形为矩形，

所以=|BF|,\AB\=\F±F\=2c,

又根据椭圆定义：\AF\+\AF1\=2a,

因此|4F|+\BF\=2a①；

在Rt/kAB尸中，\AF\=2csina（2）y\BF\=2ccosa（3）；

将②、③代入①得，2csEtz4-2ccosa=2a,

则离心率e=-=1_]

asina+cosaV"^sin(a+»

由aE碎为，Q+〈喑,J

■V7.5n.fn,n\>/~6+>!-2

-

Xsin-12=sin\4-+67=----4----

由函数的单调性可知：sin(a+》E]安2,1],

故选C.

练4-2.解：设48=2a，因为所以4。=3m,

设DC="，由于B0=20C,则B0=2mBC=BD+DC=3n,

因为4,0为椭圆G的焦点，且椭圆G经过B,C两点，

根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴2a,

对于点B,|B川+|BD|=2Q,即2m+2TI=2Q①；

对于点C,|&4|+|CD|=2a,B|J3m+n=2a@；

由①②解得巾=如n=

所以AB=BD=a,CD=^a,AC=BC=|Q.

设椭圆G的半焦距为c,则40=2c.

管R(3-叽7

在△4BC44,由余弦定理可得cosC=

2*誓喘一.

在△ACQ中，由余弦定理可得cosC=号)+([[3产=[

2xTxi9

即与%=/化简得。2=：小，

2

所以e=-=

a3

故选：C.

练4-3•.解：由条件可知，若甲正确，则cos?。>sin?。>0,

BPWcos20—sin20>0,即cos28>0,且siM。>0,

得2。是第一或第四象限角，

即甲是乙的充分条件；

反过来，若2。是第一或第四象限角，

则cos2J=cos26—s\n20>0,BPcos20>sin20,

此时sin6中0,即siM。>0

所以cos?。>sin20>0,

则甲也是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.

故选：C.

练44解：如图，设点尸处的切线为LPM为"铲尸2的平分线，交x轴于点M,则PM12,

过点&,尸2分别作儿1」“：心」，垂足分别为48,过点。作。N