北师大版九年级数学下册《锐角三角函数》同步练习题（附答案）

北师大版九年级数学下册《1.1锐角三角函数》同步练习题（附答案）

一、单选题

3

1.在即ZkABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=6,则4B=（）

5

A.4B.6C.8D.10

2.在RlZXABC中，各边都扩大3倍，则/A的正切值（）

A.扩大3倍B.缩小为原来的gC.不变D.不能确定

3.在RMA8C中，ZC=90°,如果AC=4,BC=3,那么cos4的值为（）

4.如图，在Rl"8C中，NAC8=90。，CD1AB,垂足为O.若AC=石，BC=2,则sinNACQ的值为（）

4

5.如图，菱形ABCD的周长为20cm,DE_LAB,垂足为E,cosA=g，则下列结论中:①DE=3cm；②EB=lcm；

③S会小=15。/•正确的个数为（）

C.2个D.3个

6.如图，在RaABC中，ZACB=90°,。。工43于。，若AC=4,BC=6,则tanZAS的值为（）

c

3

2

7.如图，在网格中，小正方形的边长均为I,点A、B、C都在格点上，则/ABC的正弦值是（）

2石

3

8.如图，在矩形4BCD中，DEJ.AC于E,设，旦cosa=g,AB=5,则力。的长为（

二、填空题

9.小红沿坡比为1：右的斜坡上走了130米，则她实际上升了米.

10.在孜aABC中，NA=30。，tanA=—,则N8=___.

AC

II.如下图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点人、B、O都在格点上，则/0A8的正切值是,

12.如图，在RtAABC中，N8CA=90"，C。是A8边上的中线，HC=8,CD=5.则sinNACD=

cosZACD=.

13.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则cosC的值

三、解答题

14.如图.在Rt/\4«C中，NC=900,AB=\3,RC=\2,求tan«的值.

15.如图，有一斜坡A8长40m,坡顶离地面的高度为20m,求该斜坡的坡度.

3

16.如图，在△ABC中，CD_LAB,垂足为点D.若AB=12,CD=6,tanX=-t求si〃B+cosB的值.

c

3

17.如图在RSABC中，NACB=90。，D是边AB的中点，BEJ_CD,垂足为点E.已知AC=15,cosA=-.

A

E

占

CB

(I)求线段CD的长；

(2)求sin/DBE的值.

参考答案

题号12345678

答案DCAADACC

1.D

【详解】解：在R3A/TC中，ZC=90°,=耽=6,

AB5

/.AB=-^=64--=IO,

sinA5

【点睛】本题考查了三角函数解更角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义.

2.C

【分析】本题考查了正切函数的概念，根据锐角三角函数的定义，可得答案.属于简单题.理解正切函数

的定义是解题关键.

【详解】解：由题意，得Rt^ABC,各边都扩大3倍，则角4的正切值不变.

故选：C.

3.A

【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而cosA=*可求.

AB

【详解】•・・NC=90。，AC=4,BC=3

'AB=4AC?+BC，="+3?=5

故选A

【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.

4.A

【分析】在直角△4BC中，根据勾股定理即可求得A8,而N8=/AC£>,即可把求sin/ACQ转化为求sin8.

2222

【详解】在直角△A8C中，根据勾股定理可得：AB=ylAC+BC=7<V5)+2=3.

VZB+ZBCD=90°,NACD+NBCD=90。，

・・・/B=N4CO,

AsinZ/lCD=sinZB=—=^.

AB3

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中.

5.D

【详解】,・•四边形ABCD是菱形.其周长=20cm.

/.AB=AD=5cm,

•・・DE_LAB于点E,

/.ZAED=90°,

・*AE4

..cosA=-----=—,

AD5

/.AE=4cm,

/.BE=AB-AE=1cm,DE=^52-42=3cm,

AS菱形ABCD=ABDE=5x3=15cm2.

综上所述，题中所给三个结论都是正确的.

故选D.

6.A

【分析】根据在RSA8C中，46=90。，CO_LA3于。，可以得到与44CO的关系，由AC=4,

BC=6,可以求得N5的正切值，从而可以得到NAC。的正切值.

【详解】解：■在中，乙4cB=90。，C£)J_AB于。，

ZCDA=90°,Z4+ZB=90°,

/.ZA+ZACD=90°,

:"B=NACD,

•.•在R^A6c中，ZS4C^=9O°,AC'=4,BC=6,tan=—；,

BC

4

..tanA=一,

6

2

/.tanZACD=—,

3

故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出与所求角相等的角，然后根据相等的角的正切值相等,

进行等量代换解答本题.

7.C

【分析】过点8作于点。，过点C作CE1A3于点E,则8O=AO=3,CD=1,利用勾股定理

可求出AB,BC的长，利用面枳法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出NA3C的正弦值.

【详解】解：过点8作BO_LAC于点D,过点。作C石工A8于点E,则BO=AO=3,CD=1,如图所示.

-ACBD=-ABCEt即，x2x3」x3&CE,

2222

.•.CE=&，

_CE_x/2_x/5

sinZ1ABC

-BC-7IO-_r

故选：c.

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE,8。的

长变是解题的关键.

8.C

【分析】根据矩形的性质可知：求人。的长就是求的长，易得NBAC=NADE,于是可利用三角函数的

知识先求出AC,然后在直角△ABC中根据勾股定理即可求需BC,进而可得答案.

【详解】解：•・•四边形ABCO是矩形，・・・N8=NR4C=90。，BC=AD,ZBAC+ZDAE=90°,

DE-LAC,AZADE+ZDAE=90°,ZBAC=ZADE=a,

在直角AABC中，Vcosa=,AB=5,/.AC=,

5cosa3

：・AD=BC=ylAC2-AB2=J传）-y=g.

故选；c.

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质

和解直角三角形的知识是解题关键.

9.65

【分析】本题考杳了坡度坡比问题(解直角三角形的应用)，勾股定理.根据坡比定义，设上升高度为〃，

水平宽度为6力，利用勾股定理列式计算求解，

【详解】解：设垂直距离为〃米，则水平距离为米，

根据勾股定理，得/r+(x/3/02=13()2,

即4川“goo，

解得*=4225,

・・・〃=65(负值舍去)，

故实际上升了65米.

故答案为：65.

10.60°

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角A的对边。与邻边。的比叫做NA的正切.根据正切的定义

得到NC=90。，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可.

【详解】解：在RhABC中，tanA=翌，

AC

则NC=90°,

vZA=30°,

.•.ZB=90°-30°=60°,

故答案为：60。.

11.-/0.5

2

【分析】本题主要考查了求一个角的正切值，熟练掌握正切函数定义，是解题的关键.根据在中，

OC21

4co=90°,OC=2,AC=4,求出tan/O4B=——=一=一即可.

AC42

【详解】解：在RtzMCO中，ZACO=9(r,OC=2,AC=4,

OC21

AtanZOAB=—=-=

AC42

故答案为：~.

【分析】由锐角正弦和余弦的求法即可得出答案

【详解】解：•••△ABC为直角三角形D为斜边AB的中点,

JCD=-AB=AD=BD

2

AZACD=ZA

VCD=5

AAB=10

・•・在RtAABC中AC=y/AB2-BC2=V102-82=6

JsinZACD=sinNA=—

AB105

cosZACD=cosZA=—=—=-

AB105

43

故答案为(1)M(2)-

JD

【点睛】本题考查正弦和余弦的算法，是基础知识，比较简单，做题时注意区分两者的运算方法

1311

【详解】解：连接BD,

・・・E、F分别是AB、AD的中点,

・・・EF〃BD,且BD=2EF=4,

VBD=4,BC=5,CD=3,

AABDC是直角三角形,

.CD3

••tonC=---------

BC5

故答案为|.

Ei

5

14.

12

【分析】本题考查了求角的正切值，根据勾股定理求出4C,由tan8=众即可求解.

【详解】解：在RtZXABC中，NC=90。，A4=13,BC=12,

由勾股定理得AC=JAB2-BC2=>;132-122=5.

则tanB=±=3

BC12

15.—

3

【分析】本题考杳的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

根据勾股定理求出AC,再根据坡度的定义求出tanA即可.

【详解】解：在RtZ\A8C中，AC=\lAB2—BC2=，40?—20?=2()6，

"5=空=3=旦

AC20x/33

答：此斜坡的坡度为也.

3

16.

5

【分析】试题分析：先在RtAACD中，由正切函数的定义得tanA=C3D；=93,求出AD=4,则BD二AB・AD=8,

AD2

再解RSBCD,由勾股定理得BC=JBD?+CD，=10,sinB=C^='|,CosB=-^=^,由此求;HsinB+cosB=

5,

【详解】解：在Rt/kACD中，VZADC=90°,

CD_6_3

.*.ianA=7D-7D-2

・・・AD=4,

BD=AB-AD=12-4=8.

在RizxBCD中，VZBDC=90A,BD=8,CD=6,

/.BC=y]BD2+CD2=10,

.・・$田华c。杵丝，

BC5BC5

347

/.sinB+cosB=—+—=—

555

故答案为；7

c