河北石家庄市平山县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题（试卷+解析）

2025-2026学年第一学期期末教学质量检测八年级数学（K）

一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（）

品“4片小

2.石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导口性最好的材料•，其理论厚度仅

0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（）

A.0.34x10B.3.4x10""C.3.4x10-1°D.34xl0-"

3.如图，在生活中,我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用

了三角形的（）

A.稳定性B.灵活性C.对称性D.全等性

4.如图，"BC/ADC,N4=NO=90。，NB4c=55。,则的度数为（)

B.80°C.70°D.60°

5.多项式g/f—ig。4?各项的公因式是（）

A.9axB.9八2C.a2x2D.9a与3

6.三条公路将4、8、。三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场,

要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

Ah

A.三条高线的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

7.如图，BE=CF,AC=DF,添加下列哪个条件可以推证△NBC名（）

A.BC=EFB.4=C.AC//DFD.NB=ZDEF

8.平面直角坐标系中，若点力*-1,3）与点8（-1,），一1）关于），轴对称，则x+y的值为（）

A.-5B.5C.6D.-6

9.如图，在V48C中，48=5,AC=6,BC=7,E/垂直平分8C,点P为直线E/上的动点，则

力尸+80的最小值是（）

F

A.5B.6C.7D.11

10.“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学伟大的成就之一，被后世广泛运用，用“杨

辉三角”可以解释（a+b）”（〃=L2,3,4,5,6）的展开式的系数规律,例如，在“杨辉三角”中第3行的3

个数1,2,1,恰好对应着（4+冲2展开式/+2az,+〃中各项的系数；第4行的4个数I,3,3,1,恰

好对应着（。+/））3展开式/+3/6+3。/+6,中各项的系数；第5行的5个数1,4,6,4,I,恰好对应

着（a+b）4=/+4/b+6//+4c/〃+Z/,等等.当〃是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么

展开式中d的系数是（）

0®©¥®®0

A.8B.-8C.28D.-28

11.如图，在V/18C中，ZC=90°,N8=30。，以点4为圆心，任意长为半径画弧，分别交48、

N为圆心，大于!MN的长为半径画弧，两弧交于点P,连接力。

4c于点、M、N,再分别以点M,

2

并延长，交BC于点D.给出以下结论:①力。是/A4C的平分线；②乙4。。=60。；③点。在线段

的垂直平分线上.其中正确的有()

上

CDB

A.0个B.1个C.2个D.3个

1—mL的解是非负数，则”的取值范围是()

12.已知关于x的分式方程---2=-

x-11--X

A.m«5且m*-3B.25且mw—3C〃z«5且"zw3D.m25且加工3

二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分.)

13.计算：32+(-2026)°=____.

14.如图，在平面直角坐标系中，已知4(0,5),B(-3,0),若△408g△OCO,那点。的坐标是

r

旨o卜、X

15.若-+(k+1)工+9能写成一个多项式的平方形式,则心________.

16.如图，在平面直角坐标系资8中，已知点力的坐标是(0』)，以O力为边在右侧作等边三角形

过点4作x轴的垂线，垂足为点q,以01A1为边在右侧作等边三角形44/2,再过点4作x轴的垂

线，垂足为点。2,以。2《为边在右侧作等边三角形°244…，按此规律继续作下去，得到等边三角形

00254（）2542026,则点4（）26的纵坐标为.

三,解答题（本大题8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17按要求解答下列各题

（1）计算：（6尸产）2+3工2产

（2）计算：（24+1『-2（〃+3）（〃-3）；

（3）因式分解：3a2-6ab+3b\

11-r

（4）解分式方程：-----+3=-

x—22-x

，+4y2—4

18.先化简，再求值：-----4再在0,1,2,一2中选择一个合适的数作为的值带入求

IxJx~+2x

值.

19.如图，在等腰直角VABC中，AC=BC.

（!）实践与操作：用尺规作图法过点C作力3边上的高。；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下，48=16,求V/18C的面积.

20.如图，点E在V/8C边4C上，AE=BC,BC〃AD,ZCED=ABAD.

D

(1)求证：AABC丝公DEA；

(2)若N4C8=30。，求的度数.

21.下面是小卫学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.

题目：

某商店准备购进甲、乙两种商品，其中甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10

元，当商店用了2000元购进甲种商品，用了160()元购进乙种商品后发现购进的甲、乙

两种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.

方法分析问题列出方程

解法一等量关系：甲商品数量=乙商品数量型"二」”

xx-10

20001600

解法二等量关系：甲商品进价-乙商品进价=10

任务：

(1)解法一：所列方程中的X表示,解法二：所列方程中的X可表示.

A.甲种商品每件进价B.乙种商品每件进价C.甲种商品购进的件数

(2)根据以上任一解法求出甲种商品的进价和乙种商品的进价.

(3)商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品共45件，最多购进甲种商品多少件？

22.综合与实践

【主题】：借助图形直观，感受数与形之间的关系

【素材】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸

片4是边长为。的较小正方形，纸片8是边长为力的较大正方形，纸片C是长为从宽为。的长方形.

【操作发现】（1）如图2,若要拼出一个面积为（。+8）（。+3的正方形，则需要4种卡片1张，8种卡片

张，C种卡片张，

【类比探究】（2）利用4张。种卡片按图3的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于（8+。）2,

S-a）2,Q力的等量关系式：____________________________

【拓展迁移】（3）如图4,正方形48CQ和正方形MG"的边长分别为〃7,〃（〃?>〃），若〃+〃=6,

mn=3,七是48的中点，求阴影部分面积的和.

23.如图，在三角形。中，4B=BC=AC=8,点、M从点、A出发,沿折线4f8fCf4以每秒

4个单位长度的速度向终点力运动.点N从点4出发，沿折线3fCf4以每秒2个单位长度的速度运

动.M,N两点同时出发，点"停止时，点N也随之停止.设点M运动的时间为/秒.

（1）当M，N两点重合时，求/的值.

（2）当△用3V是以为底边的等腰三角形时，求/的值.

（3）直接写出N3MN=90。时/的值.

24.【问题原型】在数学活动课上，徐老师给出如下问题：如图①，在V/8C中、NB4c=90。,

AB=AC,以8c为斜边作直角三角形8c。，点。在边AC上方，BD与AC交于点O,连接4。,

过,4作4E18Q于点£求证：BE=CD+DE（不需证明）:

【解决问题】如图②，小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF=CD,连接

AF,将线段CD、DE之间的数量关系转化为线段OE与叱之间的数量关系.根据小明同学的思

路证明8E=CD+QE；

【应用】

（1）在图①中，/4OC的大小为度；

（2）若。是4C的中点，且。。=2,则四边形/48CQ的面积为

2025-2026学年第一学期期末教学质量检测八年级数学（K）

一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（）

品卡。喷

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.轴对称图形的概

念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相直合，这个图形叫做轴对称图形.根据轴对

称图形的定义逐项分析即可.

【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条宜线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项D的图形能找到这样的•条直线，使图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴

对称图形；

故选：D.

2.石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导习性最好的材料，其理论厚度仅

0.00000000034米，将0.0000000（X）34用科学记数法表示为（）

A.0.34x10-9B.3.4x10"C.3.4x107°D.34x10-"

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为4X10"的形式，其中1＜同＜10,

〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数

相同，当原数绝对值大于等于10时，〃是非负整数，当原数绝对值小于1时，〃是负数，表示时关键是

要正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：将0.00000000034在科学记数法表示为3.4xlOT°，

故选：C.

3.如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用

了三角形的（）

A.稳定性B.灵活性C.对称性D.全等性

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键.根据三角形的稳定性，即得答

案.

【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性.

故选A.

4.如图，"Bg"DC,Zi?=ZD=90°,NBAC=55°,则N3CQ的度数为（）

A.90°B.80°C.70°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，关键是掌握全等三角形的对应

角相等.由直角三角形的性质求出/ZC8=35。，由全等三角形的性质推出N4CQ=/4CB=35。，即

可得到的度数.

【详解】解：,・・/8=90。，ZBAC=55Q,

Z^CB=90°-55°=35°,

•；aABC%ADC,

^ACD=ZACB=35°,

/BCD=2/ACB=70°,

故选：C.

5.多项式各项的公因式是（）

A.9〃丫B.9/，D.9flV

【答案】B

【解析】

【分析】根据公因式定义，观察多项式的各项然后即可选出公因式.

【详解】解:9。2炉一18。、3的各项公因式是9a2炉,

故选B

此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；

（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的.

6.三条公路将力、8、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场,

要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A.三条高线的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用.根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”,

即可获得答案.埋解到角两边的距离相等的点在角的平分线I：是解题的关键.

【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交

点.

故选:C.

7.如图，BE=CF,AC=DF,添加下列哪个条件可以推证△/BCg/\。防（）

A.BC=EFB.4=/。C.AC//DFD.NB=NDEF

【答案】C

【解析】

【分析】利用全等三角形的判定方法进行推理即可.此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟知判定两

个二角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键.

【详解】解：=

/.BE+CE=CF+EC，

即BC=EF,

A、添加8C=Eb不能推证△ABC且△。石尸，不合题意；

B、添加乙4=/。不能推证△ABCg△£>£：/,不合题意；

C、添力口4。〃。尸，得出N/=N4C8,结合BC=EF,AC=DF,可利用SAS能推证

△ABC必DEF,符合题意；

D、添加N8=/O£/不能推证△48C会△£>”，不合题意；

故选：C.

8.平面直角坐标系中，若点力。-1,3）与点8（-1,尸1）关于y轴对称，则x+y的值为（）

A.-5B.5C.6D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了关于N轴对称的点的坐标特征，直接利用关于y轴对称点的性质得出x，y的值，进

而得出答案，熟练掌握关于歹轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解决此题的关犍.

【详解】•・•点彳［-1,3）与点3（-1,藤-1）关于「轴对称,

x-1=1,y-1=3,

x=2,y=4,

x+y=6,

故选：C.

9.如图，在中，AB=5,AC=6,BC=7,石/垂直平分3C,点P为直线政上的动点，则

力尸+8户的最小值是（）

A.5B.6C.7D.II

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个

端点的距离相等，连接C尸，由题意得=推出40+80=4尸+。。之力。，即可求解；

【详解】解：连接CP,

•••EE垂直平分4C,

・•・PB=PC,

AAP+BP=AP+PC>AC,

・・・,4尸+5户的最小值是6,

故选：B

10.“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学伟大的成就之一，被后世广泛运用，用“杨

辉三角”可以解释（。+6）"（〃=1,2,3,4,5,6）的展开式的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3

个数1,2,1,恰好对应着+展开式/+2a/,+/中各项的系数；第4行的4个数I,3,3,1,恰

好对应着（。+/）丫展开式/+3425+3。/+〃中各项的系数；第5行的5个数1,4,6,4,1,恰好对应

着（。+与4=/+4〃3/,+642/+4"3+/,等等.当〃是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么

a-^\展开式中d的系数是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了整式的乘怙运算规律，结合“杨辉二角”得出（a-工］的各项系数，然后考虑符号计

ka）

算即可，理解题意中的“杨辉三角”是解题的关键.

【详解】解：结合“杨辉三角”可得：（。-工）的各项系数（大考虑符号）为1,8,28,56,70,

56,28,8,1,字母因式为：o'd，,

・•・/的系数为-8,

故选：B.

11.如图，在V48c中，ZC=90°,N3=30。，以点力为圆心，任意长为半径画弧，分别交43、

4。于点/、N,再分别以点V,N为圆心，大于1用N的长为半径画弧，两弧交于点尸，连接力尸

2

并延长，交.BC于点、D.给出以下结论：①4。是的平分线；②/力。。=60。；③点。在线段

AB的垂直平分线上.其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查作图-基本作图、角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的判定等知识，由作图过程可知,

是N84。的平分线，即可判断结论①，由题意得N8NC=6O。,结合角平分线的定义可得

/8/。=』/8/。=30。,则/力。。=60。，即可判断结论②，由题意得力。=8。,即可得点。在线段43

2

的垂直平分线.上，即可判断结论③，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【详解】解：由作图过程可知，4。是一。4c的平分线，故①正确；

VZC=90°,4=30。，

:.ABAC=60°.

・・・,4。是/胡。的平分线，

NCAD=/BAD=-NBAC=30°

2

/.AADC=90°-ACAD=60°,故②正确；

,・•乙%。=N8=30。，

AAD=BD，

・•・点。在线段的垂直平分线上，故③正确；

综上所述，.正确的有3个.

故选:D.

12.已知关于X的分式方程V-2=；-的解是非负数，则，〃的取值范围是()

X-11-X

A.加£5旦机工―3B.5且3C.利，5且〃？大3口.〃？〉5且旭工3

【答案】C

【解析】

5-tn5-m

【分析】先求出分式方程的解，由题中已知得到不等式「^对，「^¥1，求解即可.

22

f0

【详解】解：--2=——，

x-11-%

l-m-2(x-l)=-2>

l-m-2x+2=-2,

-2x=-2-2-l+m,

-2x=m-5,

5-m

x=----，

2

由题意得

5-m「5-m

-->0,且二一¥1,

22

解得加45且加w3.

故选C.

本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分.)

13.计算：3?+(-2026)°=.

【答案】10

【解析】

【分析】本题考查有理数的乘方运算与零指数哥的性质，关键是牢记①有理数乘方的定义，"表示〃个。

相乘；②零指数辕的规则：任何不等于0的数的。次耗都等于1.

【详解】解：3?+(-2026)°=9-1=10：

故答案为：1().

14.如图，在平面直角坐标系中，已知40,5),8(-3,0),若△408乌△OCO,那点。的坐标是

【答案】(5,-3)

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质，坐标轴上的点的坐标，根据全等三角形的性质求出。C,CO是解

答关键.

根据2(0,5),8(・3,0)可得到力。=5QB=3,再利用全等三角形的对应边相等，求出CO,OC即可求

解.

【详解】解：Q4(0,5),8(-3,0),

\AO=5,0"3.

CNAOBaOCD，

\CD=OB=3,OC=AO=5,

\“5,・3).

故答案为:。(5,-3).

15.若d+(〃+l)x+9能写成一个多项式的平方形式，则〃=.

【答案】一7或5

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构形式/±2。/?+〃是解题的关键.

利用完全平方公式(a+b)2=/+2帅+b2即可解答.

【详解】解：,•,一+（%+1）工+9=-±6工+9是完全平方式,

•*.k+\=±6,

k=-l或5.

故答案为：-7或5.

16.如图，在平面直角坐标系*方中，已知点力的坐标是（0』），以04为边在右侧作等边三角形

过点4作x轴的垂线，垂足为点4,以01A1为边在右侧作等边三角形。//2,再过点4作x轴的垂

线，垂足为点。2,以。24为边在右侧作等边三角形°244…，按此规律继续作下去，得到等边三角形

^2025^2025^2026，则点J2026的纵坐标为.

【答案】----

示22026

【解析】

【分析】本题考查坐标规律探究，等边三角形的性质，过点4作48_L。/,过点4作4c推出

4的纵坐标为，即可得出结果.

【详解】解：过点4作过点4作4。J.@4,

•・•点/的坐标是（0,1）,

二.OA=\,

•・•等边三角形。44,4B_L。力，

***OB=—OA=—,即：4的纵坐称为y,

x1?,即4的纵坐标为（3）

同理：O1C=16>1J]=1^=

2)

依次类推，可知：4的纵坐标为-,

点42026的纵坐标为2026；

故答案为：萍？•

三,解答题（本大题8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.按要求解答下列各题

(1)计算：（6九2『+3的）；

(2)计算：（2。+1）~-2（白+3）［"3）：

(3)因式分解：3a2—6ab+3b2;

|1-X

(4)解分式方程：—+3=---

x—22—x

【答案】（1）12x4/；

⑵2/+4。+19;

(3)3(a-b)2；

（4）无解

【解析】

【分析】本题考杳整式的乘除运算、整式的混合运算、因式分解以及分式方程的解法，分别涉及哥的运算

法则、乘法公式、提公因式法与公式法的综合运用、分式方程的去分母及验根等知识点.

（1）先利用积的乘方运算法则计算乘方，再根据单项式除以单项式的法则进行计算；

（2）先分别利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再去括号合并同类项；

（3）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，确保分解彻底；

（4）先将分式方程的分母化为相同形式，再去分母转化为整式方程求解，最后进行验根判断是否为增根.

【小问1详解】

解：（6力2）工。

=36X6/-3X2J；

=12X6-2/-1

=12/，：

【小问2详解】

解：（2〃+1）2-2伍+3）（4-3）

=（4°2+4〃+1）-2（〃2一9）

=4/+4。+1-2/+18

=2a2+4。+19;

【小问3详解】

解：3a2-6ab+3b2

=3（a2-2ab+b2）

=3（a-b）2；

【小问4详解】

1Y-1

解：原方程可化为一-+3=--,

x—2,x—2

方程两边同乘（x—2）得：1+3（/-2）二工一1,

去括号得：1+3工一6二%一1,

移顶得：3x-x=-l-l+6,

合并同类项得：2x=4,

系数化为1得：x=2,

检验：当x=2时，x-2=0,

・•・1=2是原分式方程的增根，

，原分式方程无解.

'X?+41v2—4

18.先化简，再求值：-------4+6二一，再在0,1,2,-2中选择一个合适的数作为的值带入求

kxJx+2x

值.

【答案】x-2,当x=l时，原式二—1

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键.

先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可.

(X2+4}2-4

【详解】解：-------4+丁X下一

kxJx+2x

_x2+4-4x(x+2)(x-2)

XA(A+2)

(x-2『X(X+2)

x(x-2)(x+2)

=x-2,

•••分式要有意义，

工wO

,,(x+2)(x-2)00，

x/0且x0±2,

当x=1时，原式=1—2=—1.

19.如图，在等腰直角V44C中，AC=BC.

c

(l)实践与操作：用尺规作图法过点C作边上的高CQ；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)应用与计算：在(1)的条件下，48=16,求V48C的面积.

【答案】(1)见解析(2)64

【解析】

【分析】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质与判定，三角形的面积公式；

(I)根据题意过点C作直线/C的垂线，垂足为。，则线段即为所求；

(2)根据三线合一得出ZACD=/BCD=-NCAB=45°,AD=BD=8,进而根据三角形的面积公式,

2

即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，线段。。即为所求

I

•C

解：•••等腰直角V/8c中，AC=BC,

・・・NC/5=45。,

VCDLAB,4B=16,

・・・/ACD=/BCD==NC4B=45。,4D=BD=8,

2

：.CD=AD=-AB=^>

2

・•・VNBC的面积为』48xCD=』xl6x8=64

22

20.如图，点E在YABC边/C上，AE=BC,BC〃AD,/CED=/BAD.

D

（1）求证：乙ABC公ADEA；

（2）若N4C8=30。，求的度数.

【答案】（1）证明见解析；

（2）105°；

【解析】

【分析】（1）根据平行线的性质及全等三角形的判定即可解答；

（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可解答.

【小问1详解】

解：BC〃AD,

・•・/DAE=NACB,

•・,/CED=/BAD,/BAD=/DAC+NBAC,/CED=NDAC+NADE,

・•・AADE=NBAC,

:.在YABC和△/££>中，

ZACB=ZDAE

,ABAC=/ADE,

AE=BC

；.AABC%AED（AAS）；

【小问2详解】

解：■:△ABg4AEn,

：,AC=AD.NDAC=NACB,

•・•/ACB=30。,

・•・ZZ）JC=30°,

iono_ono

・•・在CO中，NACD=-------=75°,

・•・/BCD=NACB+ZACD=300+75°=105°,

本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

21.下面是小卫学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.

题目：

某商店准备购进甲、乙两种商品，其中甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10

元，当商店用了2000元购进甲种商品，用了1600元购进乙种商品后发现购进的甲、乙

两种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元.

方法分析问题列出方程

2000_1600

解法一等量关系：甲商品数量=乙商品数量

x~x-10

20001600s

解法二等量关系：甲商品进价-乙商品进价=10=1U

XX

任务：

（1）解法一：所列方程中的x表示,解法二：所列方程中的x可表示.

A.甲种商品每件进价B.乙种商品每件进价C.甲种商品购进的件数

（2）根据以上任•解法求出甲种商品的进价和乙种商品的进价.

（3）商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品共45件，最多购进甲种商品多少件？

【答案】（1）A,C（2）甲利商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为40元/件

（3）至多购进甲种商品2（）件

【解析】

【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；

（2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案；

（3）设甲商品购进。件，则乙商品购进（45-。）件，利用商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种

商品，求解。的范围，可得答案.

本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，•元•次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不

等关系是解本题的关键.

【小问I详解】

解：由甲商品数量二乙商品数量，

可得：型”二当乂中的x表示甲种商品每件进价4元，

xx-10

由甲商品进价一乙商品进价二10

可得：理-侬=10中的X表示甲种商品购进X件;

XX

故答案为：A,C；

【小问2详解】

2000_1600

解:

xx-10

去分母得：2000（x-10）=1600x,

整理得：20x-200=16x,

解得：x=50,

经检验：x=50是原方程的解，且符合题意;

.­.A-10=50-10=40,

答：甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为40元/件.

故答案为：50,3()；

【小问3详解】

解：设甲商品购进。件，则乙商品购进(45-“)件，

•••商店计划用不超过2000元的资金购进甲、乙两种商品，

50。+40（45-。）（2000,

，a<20,

答：至多购进甲种商品20件.

22.综合与实践

【主题】：借助图形直观，感受数与形之间的关系

【素材】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸

片4是边长为a的较小正方形，纸片A是边长为〃的较大正方形，纸片C是长为6、宽为。的长方形.

【操作发现】(1)如图2,若要拼出一个面积为伍+b)(a+b)的正方形，则需要月种卡片1张，4种卡片

张，C种卡片张.

【类比探究】(2)利用4张C种卡片按图3的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于3+02,

(力_〃)2,的等量关系式：.

【拓展迁移】(3)如图4,正方形48C。和正方形EFGH的边长分别为6，〃5〃)，若阳+〃=6,

mn=3,E是48的中点,求阴影部分面积的和.

【答案】(1)1,I,2：(2)(b+a)2-4ab=(b-a)2；(3)6

【解析】

【分析】本题考杳多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用,理解题意，看懂图形,

会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键.

(1)计算(a+6)(。+6),再根据三个纸片的面积可求解;

(2)用两种方法表示出大正方形的面积即可；

(3)利用完全平方公式的变形可得(〃L〃『=24,再由阴影部分面积

=^AABC~~S^AEH—S梯形BCHE+WS正方形£FG〃，结合完全平方公式，即可求解•

(详解］解;(1)V(<7Ib)(a\b)=a1I2ab4b~,

・•・需要4种卡片1张，4种卡片1张，。种卡片2张；

故答案为：1,1,2：

(2)①小正方形可以是(6-a)?,也可以是0+〃『一4",

，(6+4)-=e-〃)2：

故答案为：(8十4)2—4。力=(力一of

(3);加+〃=6,mn=3，

(〃?+〃y=ui2+2nm+A??=ni2+«2+2x3=36,

•**nr+n2=30»

/.=m2-2mn+n2=30-2x3=24,

根据题意得：AB-BC=ni,AE-BE=—/??,HE—n,

2

阴影部分面积=S^ABC一一S梯形BCHE+WS正方形

12111z\1I2

2222'724

111

=-m2——mn+—n2

424

1（\2

=7（吁〃）

=-x24

4

=6

23.如图，在三角形为3c中，/B=BC=4C=8,点M从点力出发，沿折线4fBfCf/以每秒

4个单位长度的速度向终点4运动.点N从点8出发，沿折线8fCf/以每秒2个单位长度的速度运

动.M,N两点同时出发，点〃停止时，点N也随之停止.设点”运动的时间为/秒.

（1）当M,N两点重合时，求f的值.

（2）当△8MN是以MN为底边的等腰二角形时，求才的值.

（3）直接写出/5MV=90。时/的值.

【答案】（1）/=4

416

（2）/的值为一,一

33

(3)r5

【蟀析】

【分析】（1）〃比N快2个单位长度，M落后N有8个单位长度，算出追上的时间即可得/的值；

（2）分两种情况①当点〃在边.44上，点N在边8C上时，=②如图，当点A/、W都在边4c

上时，BM=BN,过8作8O14C于。，则4D=CD,MD=ND,则4M=CN,再列出方程求出

/的值即可：

(3)如图，当点M在边48上，点N在边8c上时，4BMN=90。，可得BN=2BM,如图，当点M、

N都在边4c上时，/BMN=90°,可得CM=，4C=4,再建立方程求解即可.

2

【小问1详解】

解：•・•〃比N快2个单位长度，切落后N有8个单位长度，

・•・追上的时间为1=8+(4-2)=4；

【小问2详解】

如图，当点切在边力8上，点N在边8c上时，BM=BN,

3

如图，当点A/、N都在边/C上时，BM=BN,

过B作8£>_L4C于。，则MD=ND,

即24-4r=2r-8,

16

/./=——，

3