河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试数学试题

河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线X-2），-l=0与圆/+寸=］的位置关系是（）

A.相切B.相交且直线过圆心

C.相交但直线不过圆心D.相离

2.若椭圆蓑+），2=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7,则尸到另一个焦点的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

3.双曲线£-5一1（0°）的离心率e=g，那么"的值是（）

A.9B.4C.3D.2

4.已知数列1,-a，瓶…，则该数列的第36项为（）

A.-36B.36C.-6D.6

5.已知“是抛物线产=的焦点，48是该抛物线上的两点，|AF|+|M|=6则线段44

的中点到N轴的距离为（）

35

A.—B.1C.2D.一

22

6.将边长为2的正方形（及其内部）绕。。|旋转一周形成圆柱，如图，ZAOC=120。,

/4。m=60。，其中用与。在平面的同侧，则异面直线BC与4A所成角的大小是

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.已知公比不为1的等比数列伍”｝的前〃项和为S“，4%/&牝=］，且生，4,4成等差数

列.则§6=（）

A15c31「11C21

A.—B.—C.—D・—

16161616

8.双曲线c：E—f=1,已知0是坐标原点，A是双曲线。的斜率为正的渐近线与直线

48

回的交点，F是双曲线C的右焦点，。是线段。尸的中点，若4是圆F+y2=l上的一

3

点，则△A6Q的面积的最小值为（）

A2五-6R2\/6-3r9n-75-1

233

二、多选题

9.美于X,y的方程二—十上二一1（其中,〃2工4）表示的曲线可能是（）

m~-24-m'

A.焦点在丁轴上的双曲线B.圆心为坐标原点的圆

C.焦点在x轴上的双曲线D.长轴长为2G的椭圆

10.已知直线y=x+8与圆八./=16交于4B两点，且"+词二网-词（其中o为

坐标原点），则实数〃的值可以是（）

A.-4B.-2石C.疝D.4

11.己知数列｛%｝的前〃项和为工，且满足4=1,4=4,am=44-3a,i（〃？2,〃eN"），

则下列说法正确的有（）

A.数列｛。向-4｝为等比数列B.数列｛〃向-2qJ为等差数列

「_3”-1D.―—2〃一3

C。“一---

三、填空题

12.已知直线/的一方向向量为（1,6）,且过点（。，2）,则直线/的方程为.

13.在公比为"的正项等比数列｛叫中，4=4,则当2%+4取得最小值时，

22

14.已知椭圆C=+1=1（9》0）的左、右焦点分别为不匕且椭圆C与双曲线C：

a'b~

试卷第2页，共4页

冬―),2=1共焦点，若椭圆C与双曲线C的一个交点M满足|M£|.|M/q=2,则△MRK的

a'

面积是.

四、解答题

15.已知点尸是曲线上的一点，到两点爪-4,0),鸟(4,0)的距离之差是归周一|尸耳|=4.

(I)点P的轨迹是什么曲线？写出它的标准方程;

(2)写出该曲线的实半轴长和虚半轴长、离心率、渐近线方程.

16.已知抛物线丁=2〃*〃>0)的焦点为产，点人(1,在抛物线上，且4。人厂的面积为工

8

(。为坐标原点).

(1)求抛物线的标准方程;

(2)过点(0,1)斜率为K&#。)的直线/与抛物线交于N两点，若以为直径的圆经过O

点，求直线/的方程.

17.如图，四棱锥P-ABCD中，_L面ABCD,底面ABCD为直角梯形，NBA。=ZADC=],

AB=AD=2DC=2叵,E,尸分别为P。，P8的中点.

(1)求证〃平面PAD；

(2)若为=4,求横面CEF与底面48C。所成的锐二面角的余弦值.

18.已知数列｛〃“｝为等差数列，｛2｝是公比为2的等比数列，且满足4=4=1也+%=5

⑴求数列｛%｝和低｝的通项公式；

⑵令3=a„+b„求数列｛cj的前〃项和5„；

22

19.已知椭圆E:〉±l(a>〃>0)的焦距为2,r为E的右焦点，。为坐标原点，过厂

且垂直于x轴的直线与E交于A、/T两点(A在8的上方)，且|AB|=3.

(I)求石的标准方程;

⑵过点r且斜率为k的直线/与E交于不同的两点V、N在N的左侧）.证明直线AA7

与BN的斜率之差的绝对值为定值.

试卷第4页，共4页

《河北省2025-2026学年高二第一学期高中新课程模块期末考试数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案CACCCCDABCAD

题号11

答案ACD

1.C

【解析】求出圆心到直线狗距离,与半径比较大小,即可得到结论.

【详解】圆f+1=1的圆心。(0,0),半径用=1.

因为圆心。(0,0)到直线x-2y-\=0的距离

d=尸-"二旦|

所以直线与圆相交但直线不过圆心.

故选：C

2.A

【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.

2

【详解】椭圆宗+丁=1的长轴长2〃=10,而点尸到椭圆一个焦点的距离为7,

所以P到另一个焦点的距离为2a-7=3.

故选：A

3.C

【解析】由6=彳4=c£，结合不=/+/=42+7可得解.

3a

【详解】双曲线「一：=1(0>())中，/=/+〃=/+7,

Az»1A

又e=；=£,所以与/=/+7,解得〃=3.

3a9

故选：C.

4.C

【分析】归纳可得该数列的通项公式为勺=(-1)向6,再代入计算可得.

【详解】因为数列♦->^，厅,々\/5■，…，即>/i,-近，6,

所以归纳可得该数列的通项公式为为=(-1)向6，

答案第1页，共11页

所以气=(一1)"田\/36=-6.

故选：C

5.C

【分析】根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出A8

的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到了轴的距离.

【详解】因为尸是抛物线寸=4%的焦点，

所以尸(1,0),准线方程x=—1,

设人(小，)，8(孙力)，

所以|A周+忸曰=内+1+赴+1=6,

所以％+,马=4,

所以线段AB的中点横坐标为2,

所以线段A8的中点到轴的距离为2.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为

到准线的距离.

6.C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线与C与4A所成角的大

小.

如图所示，建”.空间直角坐标系.

0(0,0,0),4(020),4(022),C(x/3,-L0),旦(6,1,2),

答案第2页，共11页

=(0,0,2),函=(0,2,2)

设异面直线BC与AA,所成角为0e[0,90。],

・8包阳丽一4一夜

“os夕-网瓯「2X2VT2'

..・。=45。，

••・异面直线8c与A4所成角的大小是45。.

故选：C.

7.D

【分析】先设等比数列的公比为4,根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和公

式，即可得出结果.

【详解】设等比数列(/)的公比为夕，且4XI,

1f,121f%=2

由题意可得卜―正即『:记a.q=­1

即2,解得1,

2[⑶+i)("i)=o,=-5

\2a4=a2+a32q=\+q

(J)21.⑶

因此s_q(ig)_i63

332-2-1

-16

>qi+i2

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列前〃项和基本量的运算，熟记公式即可，属于常考题型.

8.A

【分析】根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据。是

线段。6的中点，得到。点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点8是圆上的点，

点B到直线AO距离的最小值也就是圆心O到直线力及的距离d减去半径，即得解.

【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为)，=&x,F(250)

因此点4的坐标是余专

点。是线段。尸的中点

则力(G,()),.•」八。|=瓜

直线AD的方程为)，=-2&(A->/3),

答案第3页，共11页

点B是圆x2+y2=\上的一点,

点B到直线AO距离的最小值4g也就是圆心0到直线AD的距离d减去半径，即d-1,

-2762瓜,2瓜-3

d=d—1=___-1=-----1=------,

-717833

则s,,」|初4"."五=2夜

A人，J)ry||min232

故选：A

9.BC

【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.

【详解】解：对•于A：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，

则〃，+2<0,无解，选项A错误;

对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，

则"「+2=4-〃落解得刑=±1,选项B正确;

对于C：若曲线表示焦点在工轴上的双曲线，

则4一〃「<0,所以〃?>2或〃?<一2,选项C正确；

对于D：若曲线表示长轴长为2#的椭圆，

则2a=2遥，a=瓜»

4-m2>04-in1>0

则nr+2>4-〃/或，m24-2<4-tn2,

2a=2ylM+2=2a

无解，选项。错误.

故选：BC.

10.AD

【分析】根据M+石卜忸-6|。九6可得CU诙，分析圆心O到直线y=的距离

d=2&.

【详解】圆V+V=16的圆心0(0,())泮径r=4

•••娜+丽卜河一词则方,砺

••・O到直线y=x+b的距离d=Jp；(_[j=2,2,则8=±4

答案第4页，共11页

故选：AD.

11.ACD

【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB,再利用累加

法，判断C,最后根据通顷公式求和，判断D.

【详解】A.由条件《用=也-可知，--q=3（。”一%）,

且%-6=3,则J^=3,所以数列｛。向-。“｝为等比数列，故A正确；

an~an-\

B.由条件可知，4=4%—3q=13,4=4%—3%=40，%-2q=2,4一2%=5,a4-2ay=14,

数列｛〃，向-2q｝的前3项2,5,14不能构成等差数列，

所以数列｛。向-%“｝不是等差数列，故B错误；

C.由A可知，4向-勺=3”,所以〃22时，。“=4+（%-4）+（。3一生）+…+（4,一%），

«=l+3+32+...+3d-1=-J—^-=--%=1也适合，故C正确；

1-32

D.由C可知，s=（3T）+F-l）+（T-l）+...+（3T）=3+32+...+3"-〃,

“22

3（1-3M）

所以c_卞5一―”_3向—2〃—3,故D正确•

”24

故选：ACD

12.3-)，+2=()

【分析】根据题意，得到直线的斜率及=6，结合直线的点斜式，即可求解.

【详解】由直线/的一方向向量为（1,6）,可得直线/的斜率为％=6，

又因为直线/过点（。，2）,臼直线的点斜式方程得丁-2=3*-0）,即后♦），+2=0.

故答案为：＞/3x-y+2=0.

13.-/0.25

4

【分析】先将小、%用小与公比4表示，利用基本不等式求解即可.

【详解】2①+&=空+%/=4（马+/］之4x2，^7=8人，

答案第5页，共II页

当且仅当/=x/2即夕=2,取得最小值时，所以log2'=1咤22'=；.

故答案为：

4

【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的性质，以及基本不等式求最值，属于中档题.利用

基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先

要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；

三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，

二是多次用2或W时等号能否同时成立）.

14.I

2+V2

]/叫+|“勾=2〃-----a

R|=2

【分析】由椭圆和双曲线的定义可得＜，解得＜,再代入

\MF'i\-\MF1\=y/2a2-V2

阿眉=-----a

2

\MF}\-\MF2\=2,解得。的值，从而得|MB|、|M@|和尸生|的长，由勾股定理可知，鸟是

直角三角形，结合面积公式，即可求解.

J,

【详解】由题意，将双曲线c：C'：丝-9=1化成标准形式为萨一9二1

不妨设点M在双曲线的右支上，

\MFt\+\MF7\=2a

则由椭圆和双曲线的定义，可得（,Jo「，解得＜

\MFx\-}MF^=2-a=42a

因为%|二2,代入可得昔巨a.秒&〃=2,解得。=2或。=一2（舍负）,

所以,胃=2+应,|“川=2-&,双曲线的焦距忻用=2/[+1=26,

显然有|M£/+|ME|2=|£工|2.所以AMR鸟是直角三角形，

所以\MF.5的面积为：£岬=3•|M同=白（2+拉卜（2-&）=I.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义、标准方程的应用，以及焦点三角形的面积的

求解，其中解答中熟练应用椭圆的定义列出方程，求得。的值，得出三角形为直角三角形是

解答的关键，着重考查推理与运算能力.

答案第6页，共11页

15.⑴以£(-4,0),6(4,0)为焦点的双曲线的左支，Ug-2)

(2)实半轴长为2,虚半轴长为2石、离心率为2、渐近线方程为)，=±6x.

【分析】(1)根据已知可得点尸的轨迹是双曲线的左支，由题意求外仇。，进而可得结果；

(2)根据(1)中结果，结合双曲线的性质求解即可.

【详解】(1)因为P是曲线上的一点，且到两点打(-4,0)，6(40)的距离之差为

归玛卜伊周=4<忸闾,

所以〜的轨迹是以爪~4,0),6(4,0)为焦点的双曲线的左支，

由题意可得：c=4,a=2,则b=Jd-t?=26，

且焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为E-f=1(14-2).

412v7

(2)由双曲线的标准方程为工-£=1(X«-2),可知：〃=2,〃=26,。=4,

412'/

所以双曲线的实半轴长为2,虚半轴长为26、离心率为C=£=2、渐近线方程为y=±6x.

a

16.(l)/=2x

(2)y=-1x+l

【分析1(1)由已知可得加|=3,进而将•4代入抛物线的方程即可求出P的值，进而得到

抛物线的方程；

(2)经判断可知直线斜率存在，设直线方程为y=匕+L联立直线与抛物线的方程，由韦达

221

定理得出X+K=7，y)a=7，推出百巧=7T.根据已知可得QM_LQV,即

kkk~

OM-ON=+y%=°，代入即可得到k的值.

【详解】⑴由已知可得邑。“=卜四、同=幽=幺，所以加|=与.

2482

又点在抛物线上，所以，〃2=与和〃/=4.，所以£.，又p>0,所以，=1,

18)4444

所以抛物线的标准方程为)3=2x.

(2)当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为工=0,此时直线与抛物线相切，不满足题意，

所以直线/的斜率存在.

设/的斜率为A(RwO),则/的方程为y一任+1,设N(2,y?)，

答案第7页，共11页

y=kx+\、

联立直线/的方程与抛物线的方程2c，可得"―2），+2=0,

y=2x

1?2

△=4-8攵＞0,解得％eg且ZHO,,+%=%，

又乂=处+1,y2=kx2+\t所以％=!乂一：，七二：必一:，

kkKK

所以中2=（*0（卜-s$0%-（『％）+1]=±.

因为以MN为直径的圆经过。点，所以OM_LQV,所以丽・丽=%%+）[%=（），

I?I1

即尸+工=0,解得左=一弓，满足左＜3且女工0,

KKL乙

所以直线/的方程y=-?+l.

【分析】（1）若G为24中点，连接FG,DG,易得FG//AB且A3=2bG,再结合已知证FGDC

为平行四边形，进而有C///QG，根据线面平行的判定证结论；

（2）构建空间宜.角坐标系，求截面CE尸与底面人BCO的法向量，应用空间向量夹角的坐标

公式求二面角余弦值.

【详解】（1）若G为尸A口点，连接"GOG,而尸为PB的中点，

所以/G//A8且48=2/G,

底面ABCD为直角梯形，434。。嘎即成

答案第8页，共11页

由A3=2QC,故/G//QC且户G=OC,即尸GZX;为平行四边形，

所以C///DG,CFa面PA。，QGu面PAO,故C/〃平面以D

（2）由24_]_面48。。，AQ.ABu面ABC。，故PA_L4D,PA_LA8,

jr

由NBAOM/AOCMK，可构建如下图示的空间直角坐标系A-孙Z,

则C（2四，血,0）,P（0,0,4）,B（0,2x/2,0）,0（2及,0,0）,故E（四,0,2）,F（0,夜,2）,

所以'五一（一近'-近、2）,CF-（-2>/2,0,2）,若晶—（MYZ）为面CE/*去向量,

m•CE=-叵x->/2y+2z=0

则故m=（1,1,0）满足,

ifiCF--2\f2x+2z=0

又面ABC7）的一个法向量为7=（001）,截面CM与底面ABC。所成的锐二面角为6,

所以8se=*l!==，即截面。:尸与底面A4CO所成的锐二面角的余弦值为9.

网〃I22

x

18.（1）。”=2〃-1,bn=r~

⑵S“=〃2+