小学数学五年级下册《因数与倍数》单元概念建构起始课教案

小学数学五年级下册《因数与倍数》单元概念建构起始课教案

  一、设计理念阐述

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，超越传统知识点传授的局限，立足于构建结构性、整体性的知识网络。因数与倍数是“数与代数”领域整数认识的一次关键性深化与飞跃，是连接整数基本性质与后续公因数、公倍数、分数运算等核心内容的枢纽性概念。本课作为单元的起始课，其价值不仅在于定义的理解，更在于为学生打开一扇探索整数内在规律与关系的窗口，奠定基于关系进行数学思考的基石。因此，本设计秉持“概念从操作与思辨中生长，关系在观察与归纳中确立”的理念，创设富有智力挑战的真实问题情境，引导学生在“操作—观察—分类—抽象—命名—应用”的完整认知链中，自主建构因数与倍数的概念，理解两者相互依存的共生关系。教学过程强调数学语言的规范化表达、思维的有序化训练以及探究过程中的合情推理能力培养，旨在将数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的培育渗透于概念形成的全过程。同时，巧妙融入跨学科视角，如在探究整数关系时渗透系统论中的“关联性”思想，在寻找因数时借鉴计算机科学中“枚举与筛选”的算法思维萌芽，使数学学习更具深度与广度。

  二、课标要求与教材深度解析

  （一）课标要求对应分析

  《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段“数与代数”领域明确提出：“探索倍数与因数的意义；在1-100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数；能找出10以内自然数的倍数。”课标强调对意义的探索而非机械记忆，注重在具体活动中发展学生的数感和推理意识。本课的教学，正是将这一要求转化为学生可参与、可思考、可表达的探究性学习历程，引导学生在解决问题的过程中，自然地接触、辨析、概括出因数与倍数的本质属性。

  （二）教材逻辑结构剖析（苏教版五年级下册第三单元）

  本单元教材编排遵循“概念引入—探索方法—拓展应用”的逻辑主线。本课时作为单元第一课，承担着为整个单元奠基的重任。教材通过用12个同样大小的正方形拼长方形的直观操作，引出三种不同的乘法算式，进而从乘法的角度揭示因数与倍数的关系。这种编排的优势在于将抽象概念具象化，建立几何直观与代数表征之间的联系。然而，仅止于此容易让学生将概念固化于“整数乘法算式”这一单一情境。因此，本设计将在充分尊重教材核心情境的基础上进行纵深拓展与横向联接，引导学生思考：在除法算式中是否也存在这样的关系？因数与倍数概念是否只适用于教材中的例子？通过多角度、多情境的辨析，深化学生对概念适用条件（非零自然数范围内）和概念本质（一种整除关系）的理解，为后续学习质数、合数、最大公因数、最小公倍数构建一个清晰、稳固、可扩展的概念框架。

  三、学情诊断与认知起点分析

  五年级的学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。他们的认知具备以下特点：

  1.知识储备：学生已熟练掌握整数乘除法的意义及运算，能够熟练进行表内、表外乘除法计算，具备初步的乘除法互逆关系认知。对于“整除”现象有丰富的感性经验（如平均分物品无剩余），但尚未建立“整除”的规范数学概念。

  2.思维特征：具备一定的观察、比较和分类能力，能够基于具体案例发现规律。但对于从大量实例中抽象概括数学定义，并用严谨语言进行表述仍存在困难。容易关注概念的表面特征（如“大的数是倍数，小的数是因数”的片面认识），而忽视其相互依存的内在关系。

  3.潜在困难与迷思概念：预计学生可能产生的认知冲突包括：（1）混淆因数、倍数与乘数、被乘数的旧有概念；（2）认为因数总是小于倍数；（3）寻找因数时出现遗漏或重复，缺乏有序思考的策略；（4）难以理解“非零自然数”这一范围的限定意义。此外，学生首次接触一对相互依存的概念，理解“谁是谁的因数”、“谁是谁的倍数”这种表述方式的必要性是一个教学难点。

  基于以上分析，本课的教学策略将着重于：创设认知冲突，打破前概念束缚；提供结构化操作材料，引导有序探究；搭建语言表达支架，促进思维精确化；通过多层次辨析，澄清概念内涵与外延。

  四、学习目标设定（素养导向）

  基于上述理念、课标、教材与学情分析，确立本课时三维融合的学习目标如下：

  1.知识与技能：结合具体情境和操作活动，理解因数与倍数的意义，掌握判断一个数是否是另一个数的因数或倍数的方法。能规范、正确地表述两个数之间的因数与倍数关系（例如：12是3的倍数，3是12的因数）。初步了解一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。

  2.过程与方法：经历“动手操作—观察算式—分类比较—抽象概括—命名定义—应用辨析”的概念形成全过程，发展几何直观、归纳概括和抽象思维能力。在探索如何有序、不重复、不遗漏地找出一个数的所有因数的过程中，体会有序思考的重要性，初步形成枚举与筛选的策略意识。

  3.情感态度与价值观：在探究整数内在奥秘的活动中，体验数学知识的关联性和系统性，感受数学思考的条理性和严谨性，增强探索数学规律的兴趣和信心。通过小组合作与交流，养成乐于分享、敢于质疑、言必有据的科学态度。

  五、教学重难点及突破策略

  教学重点：理解因数与倍数的意义，掌握两者相互依存的关系。

  突破策略：以“拼长方形”为核心操作情境，将操作结果（不同形状的长方形）与数学算式（不同的乘法算式）一一对应，引导学生从“形”与“数”两个维度观察，发现每组算式中三个数之间稳定的关系，进而聚焦这种关系进行定义。通过大量正例表述（如说清“谁是谁的”）和反例辨析（如询问“3是因数，12是倍数”的表述是否准确），强化关系的相互性。

  教学难点：抽象概括因数与倍数的概念，并能在非典型情境（如除法算式、纯数字关系）中准确判断与表述。

  突破策略：采用“逐步抽象”的阶梯式教学。第一阶：操作直观，感知存在；第二阶：算式关联，初步描述（如“3乘4等于12，我们可以说12和3、4有关系”）；第三阶：比较分类，寻找共性（引导发现这些算式都表示“整数相乘得到整数积”）；第四阶：揭示定义，规范命名；第五阶：变式应用，深化理解（从乘法算式扩展到除法算式：12÷3=4，引导学生根据乘除互逆关系，推理出其中同样存在因数倍数关系）。设计多层次辨析题组，让学生在“是”与“不是”的判断和“为什么”的说理中，内化概念的本质是“整数除法中，商是整数且无余数”的关系。

  六、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件（包含动态拼图演示、概念生成流程图、分层练习设计）；实物投影仪；用于板书的核心概念卡片（因数、倍数、相互依存）。

  2.学生准备：每人一套面积单位为1平方厘米的正方形学具（至少12个）；学习任务单（包含操作记录表、探究引导问题、课堂练习与反思区）；常规文具。

  七、教学过程实施详案

  （一）情境创设，任务驱动——孕伏关系意识（预计用时：8分钟）

  1.活动导入，提出问题：

  师：（呈现学校艺术节需要布置展板的情境）同学们，学校艺术节准备了12幅同样大小的优秀绘画作品，计划将它们整齐地粘贴在长方形展板上进行展示。如果要求每行贴的作品同样多，并且要贴满整块展板，不能有剩余，可以设计成怎样的长方形展板布局？请用你手中的小正方形（代表一幅画）来“拼一拼”，看看有多少种不同的拼法。

  2.独立操作，初步感知：

  学生利用12个小正方形独立操作，尝试拼出不同的长方形。教师巡视，关注学生是否穷尽了所有拼法，并请将拼法记录在学习任务单的表格中（表格预设：长方形形状草图、每行个数、行数）。

  3.汇报交流，建立表象：

  利用实物投影展示学生的不同拼法。引导学生用数学语言描述拼法：“我拼的长方形，每行摆X个，摆了Y行。”师生共同确认所有可能的拼法：长12宽1、长6宽2、长4宽3。（同时课件动态演示三种长方形）

  4.算式关联，聚焦关系：

  师：每一种拼法，一共用了多少幅画（小正方形）？这个总数12，与每行的个数和行数之间，有怎样的数学关系？

  生：可以用乘法算式表示：1×12=12，2×6=12，3×4=12。

  师：（板书三个算式）是的，不同的拼法，对应着不同的乘法算式，但都得到了相同的总数12。请大家仔细观察这三个算式，每一个算式中的三个数之间，存在着一种非常特定的联系。今天，我们就一起来研究这种藏在整数乘法中的特殊关系。

  【设计意图】从真实、可操作的问题情境入手，将抽象的数的关系转化为直观的图形操作活动。学生在“拼”的过程中，自然地将“总数”、“每份数”、“份数”与乘法意义联系起来，为从乘法的角度理解因数倍数关系积累了坚实的感性经验。任务驱动激发了学生的探究欲望。

  （二）探究建构，抽象概括——生成核心概念（预计用时：22分钟）

  第一阶段：观察描述，引发命名需求

  1.引导观察：

  师：聚焦这些算式，例如3×4=12，这里3、4、12这三个数，在乘法算式中分别叫什么名称？（乘数、乘数、积）但今天，我们要研究它们之间一种新的关系。请看，因为3×4=12，我们就可以说，12是由3和4“相乘得到”的。反过来，12能被3“整除”吗？能被4“整除”吗？（借助操作情境理解：12幅画，每行贴3幅，正好贴4行，没有剩余；每行贴4幅，正好贴3行，也没有剩余。）

  2.尝试描述：

  师：像这样，两个整数相乘得到另一个整数，或者说一个整数能被另一个整数整除（无余数）时，这三个数之间就具有了我们今天要研究的关系。你能试着给这种关系起个名字，或者说说它们之间是怎样的关系吗？（学生可能会说“分成关系”、“相乘关系”、“包含关系”等，教师予以接纳并引导需要更精确的数学语言。）

  第二阶段：揭示定义，规范语言表述

  1.呈现概念：

  师：在数学上，对于这样一组数，比如3、4和12，我们有了专门的名称来描述这种关系。（揭示概念卡片）在3×4=12中，我们就把3和4叫做12的因数，反过来，把12叫做3和4的倍数。

  板书核心表述：3和4是12的因数。12是3和4的倍数。

  2.模仿表述与强化：

  师：请根据这个说法，说一说在2×6=12这个算式中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。（生练习表述）

  师：那么，在1×12=12这个算式中呢？请同桌互相说一说。（强调1和12也是12的因数，12是1和12的倍数）

  3.关系辨析，深化理解：

  师：（抛出关键问题）我们能单独说“3是因数”、“12是倍数”吗？为什么？

  引导学生讨论得出：不能。因为因数和倍数表示的是一种关系，必须说清楚“谁是谁的”因数或倍数。它们是相互依存的，不能单独存在。（板书：相互依存）

  第三阶段：拓展情境，完善概念认知

  1.从乘法到除法：

  师：刚才我们从乘法算式认识了因数和倍数。根据乘除法的关系，从3×4=12，我们还可以得到12÷3=4，12÷4=3。那么，从这两个除法算式中，我们能看出因数和倍数关系吗？

  引导学生推理：在12÷3=4中，因为除得的商4是整数且没有余数，我们就说12能被3整除，所以3仍然是12的因数，12是3的倍数。同理，4也是12的因数，12是4的倍数。

  2.归纳定义：

  师：现在，请大家结合乘法算式和除法算式，用自己的话总结一下，在什么条件下，我们就可以说a是b的因数，b是a的倍数？

  学生尝试归纳，教师引导完善并呈现规范定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。为了方便，我们研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。

  强调范围：“不是0的自然数”。通过提问“0×5=0，能说0是5的倍数吗？”、“5÷0可以吗？”等，引导学生理解0的特殊性，明确研究范围。

  第四阶段：初步应用，巩固表述

  完成学习任务单上的基础表述练习：

  （1）根据算式8×9=72，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

  （2）根据算式45÷9=5，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。

  （3）判断下列说法是否正确，并说明理由：①在13÷4=3……1中，13是4的倍数。（）②因为36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。（）

  学生独立完成，全班交流，聚焦表述的规范性和对概念本质（整除）的把握。

  （三）深度探究，发现特征——培养有序思维（预计用时：15分钟）

  探究活动一：找一个数的所有因数

  1.迁移方法，尝试寻找：

  师：我们知道了3、4、2、6、1、12都是12的因数。那么，12的因数只有这些吗？怎样才能一个不漏地找出一个数的所有因数呢？请以18为例，尝试找出18的所有因数。

  2.暴露思维，展示方法：

  学生独立思考后小组交流。教师收集不同的寻找策略：

  *无序列举法：随意想乘法口诀，如二九十八、三六十八。

  *从1开始试除：18÷1=18，18÷2=9，18÷3=6，18÷4不行……直到除数接近商。

  请学生展示，并引导比较哪种方法更有序、更不易遗漏。

  3.提炼策略，形成模型：

  师生共同总结“配对寻找、有序枚举”的策略：从1开始试除，看能整除的除数和商，它们是一对一对的因数。写的时候可以按顺序（通常从小到大），每找到一对就记录下来，当除数和商相等或接近时，就找全了。

  板书示范找18的因数：1，2，3，6，9，18。并用乘法算式配对呈现：(1,18),(2,9),(3,6)。

  4.观察发现，初窥特征：

  师：观察12、18的因数，你有什么发现？（引导学生初步感知：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；因数的个数是有限的。）

  探究活动二：找一个数的倍数

  1.类比迁移，探索方法：

  师：我们学会了找一个数的因数，那如何找出一个数的倍数呢？比如，找出3的倍数。

  学生很容易想到用乘法：3×1=3，3×2=6，3×3=9……

  2.明确方法，感受无限：

  师：是的，用一个数依次乘1、2、3、4……就可以得到它的倍数。这样能找到多少个？

  生：无数个。

  师：所以，在写一个数的倍数时，我们通常写几个，然后用省略号表示。请写出5个3的倍数。

  3.观察发现，总结特征：

  师：观察一个数（如3）的倍数，你有什么发现？（最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。）

  （四）分层练习，综合内化——实现迁移应用（预计用时：10分钟）

  练习设计遵循“概念辨析—技能巩固—综合应用—思维拓展”的梯度。

  A层：基础辨析（巩固概念）

  1.判断对错，并说明理由。

  （1）因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数。（）

  （2）1是所有非零自然数的因数。（）

  （3）一个数的倍数一定比它的因数大。（）（此题专门针对学生可能产生的“因数小于倍数”迷思，通过反例如5的最小倍数是5本身，与最大因数相等来辨析）

  B层：技能运用（掌握方法）

  2.写出下面各数的所有因数。

  16的因数：（）25的因数：（）1的因数：（）

  （特别关注1的因数只有一个，即它本身，为后续学习质数铺垫）

  3.写出下面各数的5个倍数。

  4的倍数：（）7的倍数：（）11的倍数：（）

  C层：综合应用（解决问题）

  4.解决问题：李阿姨要把24个月饼装进盒子里，要求每盒数量相同且至少装2个，可以怎样装？请写出所有可能的装法。（此题是导入情境的变式应用，本质是找24的因数（除去1），沟通数学与生活的联系。）

  D层：思维拓展（孕伏结构）

  5.探索发现：观察6和28的因数，除了1和它本身，你还有什么发现？（6的因数有1,2,3,6；1+2+3=6。28的因数有1,2,4,7,14,28；1+2+4+7+14=28）这样的数在数学上有一个美妙的名字，课后可以查阅资料了解。这为后续学习“完全数”等数学文化内容埋下伏笔，激发兴趣。

  （五）总结反思，展望延伸——构建知识网络（预计用时：5分钟）

  1.全景回顾：

  师：今天这节课，我们开启了对整数世界新关系的探索之旅。我们一起经历了怎样的学习过程？（引导学生回顾：从拼长方形发现问题—>列出算式观察关系—>抽象概括并命名概念—>学习寻找因数倍数的方法—>应用概念解决问题）

  2.核心提炼：

  通过本节课的学习，你收获了哪些关于“因数与倍数”的核心知识？（学生自由发言，教师用板书或思维导图进行结构化梳理，强调：定义、关系表述、寻找方法、基本特征。）

  3.反思评价：

  师：在“有序寻找因数”或“规范表述关系”方面，你觉得自己做得怎么样？有什么经验或教训可以分享？（引导学生进行元认知反思）

  4.延伸展望：

  师：今天我们对整数关系的研究还只是一个开始。知道了因数的个数有多有少，比如12的因数有6个，11的因数只有2个（1和11）。下一节课，我们将根据一个数因数的个数特点，对所有的自然数进行一次全新的分类，那将会揭示出整数王国更多有趣的秘密。请大家带着今天的收获和思考，期待下一次的探索。

  【设计意图】总结不仅回顾知识，更回顾学习过程与方法，体现“授之以渔”。通过结构化梳理和元认知提问，促进学生对学习本身的反思。设置富有悬念的延伸，建立课时之间的联系，激发持续学习的动力。

  八、板书设计（结构化呈现）

  因数与倍数

  核心情境：12个正方形拼长方形

  乘法算式：3×4=122×6=121×12=12

      （因数）（因数）（倍数）

  概念：在整数除法中，商是整数且无余数时，

     被除数是除数和商的倍数，

     除数和商是被除数的因数。

     （研究范围：非零自然数）

  关系表述：3和4是12的因数。12是3和4的倍数。

     （相互依存，不可单独说）

  探究发现：

     找一个数的因数→配对寻找，有序枚举→最小：1，最大：它本身，个数有限。

     （例：18的因数：1,2,3,6,9,18）

     找一个数的倍数→乘1、2、3……→最小：它本身，没有最大，个数无限。

     （例：3的倍数：3,6,9,12,…）

  九、教学反思与特色说明（预设性反思）

  本教学设