广东省东莞五校2025-2026学年高二年级上册联考数学试题

广东省东莞高级中学等五校2025-2026学年高二上学期联考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.数列……的一个通项公式为（）

11（一1尸（一I）”

nnnn

2.若等差数列｛q｝满足q+9=4,则%=（）

A.1B.2C.3D.4

3.如图，已知平行六面体48co-力TTC'D',则9+元+无=（）

已D'C

A.7cB.BDC.ACD.WD

4.设x/eR,向量"=(1//),d=（2,-4,2）,GI/B，则2x-y=（）

A.-7B.—5C.-3D.1

5.中心在原点，顶点在x轴上,且一个焦点在直线3X-U+12=O上的等轴双曲线的方程是

()

A.y2-x2=4B.x2-y2=4C./-x:=8D.x2-y2=8

6.若两定点力(-1,0),8(1,0),动点P满足后|P4|=|M|.则动点P的轨迹围成区域的面积

为()

A.2JiB.4兀C.4及兀D.87r

7.已知椭圆=+二=1>0）的左、右焦点分别为月，鸟，焦距为4,若直线

CTb2

y=-立(x-2)与椭圆交于点儿

「，满足乙明尼=2/"尼.耳，则离心率是（）

试卷第1页，共4页

A.73-1B.x/3+1C.—D.—

23

8.如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C:/=2x绕其顶点分别逆时针旋

转90:180°,270°后所得的三条曲线及抛物线C围成的，则下列说法错误的是（）

A.开口向上的抛物线的方程为y=

B.四叶图上的点到点O的距离的最大值为2夜

C.四叶图的面积小于6

D.动直线》+），=，被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为逑

二、多选题

9.下列说法中，正确的有（）

A.已知直线4：X+的—4=0,4始终过定点（0,1）

B.直线y=履-2在y轴上的截距是2

C.直线p=+l的倾斜角为30°

D.过点（5,4）并且倾斜角为90。的直线方程工-5=0

10.已知平面。与平面力的法向量分别是彳忌，直线/的方向向量为£,则下列命题正确的

是（）

■■—

A.若〃]•“2=0，则夕B.若勺//〃，则，

C.若〃「。=。，则/laD.若%，。=。，贝口〃夕

11.已知曲线C：加一+犯2=1,则下列命题中，正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.若〃?=〃>0,则曲线C表示圆，且半径为

B.若则曲线C表示双曲线，且渐近线为y=±J。

C.若〃?=0,〃>0,则曲线。表示两条直线

D.若0<机V”，则由线C表示焦点在x轴上的椭圆

三、填空题

12.两平行直线3x+4y—l=0和6x+8y—U=()的距离为.

13.已知点力(L2)在抛物线C：『二2外上，则点力到抛物线C的准线的距离为.

14.下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每一行和每一列都分别是等差数列.记第，・行

第，列的数为％(其中),则-=，数字2026在表中总计出现次.

234567A

35791113A

4710131619A

5913172125A

61116212631A

71319253137A

AAAAAAA

四、解答题

15.已知数列｛〃“｝前〃项即为S.=/+l.

(1)试写出数列｛4｝的前3项，并判断数列乩｝是否等差数列;

⑵求数列｛%｝的通项公式勺.

16.已知圆。的圆心在不轴上，且经过和8(1,3)两点.

(I)求圆C的方程；

试卷第3页，共4页

(2)过点P(3,2)的直线/被圆C截得的弦长为6,求直线/的方程.

17.记,是公差不为0的等差数列｛为｝的前〃项和，若生=55，%%=5.

(1)求数列｛"”｝的通项公式％；

(2)求使S.>q,成立的”的最小值.

18.在正四棱柱力中，"=2力夕=2,E为「弓的中点.

(1)求证：4CJ/平面BDE；

(2)求证：4E1平面BDE；

(3)若尸为上的动点，使直线吊尸与平面8。£所成角的正弦值是渔，求。尸的长.

3

0)的离心率为日

(1)求椭圆。的方程;

(2)过点(2,0)的直线/交椭圆C于4，B两点,且|48|=2及，求直线/的方程;

(3)如图，直线G〃为椭圆C与抛物线C1：.y2=2px(〃>0)的公切线，其中点G,“分别在椭圆

C与抛物线G上，线段。口交C于点N,求△NG”的面枳的最小值.

试卷第4页，共4页

《广东省东莞高级中学等五校2025-2026学年高二上学期联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBCBDDADADAB

题号11

答案ACD

1.D

【分析】根据数列的规律性进行判断即可.

【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第〃项的数字是上，结合正负性,

n

所以该数列的一个通项公式为以

n

故选：D.

2.B

【分析】利用等差中项的性质进行计算.

【详解】因为｛牝｝是等差数列，所以%=%要=2.

故选：B

3.C

【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可.

【详解】因为平行六面体力8co—HB'C'Q',

所以羽+就=衣，祝+*=而，

所以方+沅+*=/.

故选：C.

4.B

【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可.

【详解】因为G=(1,XJ),3=(2,-4,2),G〃S

所以解得i2,y=l.

所以2x-y=-5.

故选：B.

5.D

答案第1页，共14页

【分析】由题意可求出直线3x-4y+12=。与X轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双

曲线为等轴双曲线即可得出结论.

【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在％轴上，所以双曲线的焦点在X轴上，

又因为双曲线的一个焦点在直线标-外+12=0上，令y=0,得x=-4,

所以c=4,又/=/=*2=8,所以等轴双曲线的方程为=8.

故选：D.

6.D

【分析】设P点的坐标为（X,），），利用两点间的距离公式代入等式及|E4|=|P8],化简整理

得（工+3）2+_/=8,所以点尸的轨迹是一个圆，求出圆的半径利用圆面积公式，即可算出所

求图形的面积.

【详解】设尸点的坐标为（x,y）,•・•/（i，o）,8（1,0）,动点P满足4|R4|=|m|,

・•・上展+]而2=而7）52，两边平方化简得（x+3『+y2=8,

・•・点P的轨迹是以（-3,0）为圆心、2枝为半径的圆，

因此，点P的轨迹所包围的图形的面积S=jr（2&y=8几.

故选：D

7.A

【分析】先根据直线过定点与求出乙06月，进而可判定△加百工为直角三角形，根据椭圆的

定义即可求出。，进而可求出椭圆的高心率.

【详解】因为焦距为4,所以c=2,所以6（-2,0）,玛（2,0）.

因为直线夕=-日（1-2）过点玛（2,0）,斜率为一等，所以乙牧耳二30"

那么NMCK=60"，所以乃为直角三角形，

所以防号忻勾=2"=当£月=2后

根据椭圆的定义得+M用=2%所以0=1+6・

c2i—

所以椭圆的离心率为e=1=1^二方=<3-1.

故选:A.

答案第2页，共14页

8.D

【分析】对于A,利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B,

联立抛物线方程，求出点力的坐标，即得四叶图上的点到点。的距离的最大值I。川；对于

CD,由图像对称性，当与。力平行的直线分别与抛物线相切时的弦取得最大，利用导数几何

意义可求切点"(1,；)，根据对称性再得到即可求弦长最大值，又第一象限花瓣

一半的面积小于S皿。与必3的差，所以求出豆碇与邑叱的差，即可判断阴影区域面积小

于6.

【详解】由题知〃=1,开口向右的抛物线方程为/=2;,焦点

所以开口向上的抛物线方程为/=2y,即y=故A正确；

又卜所以4(2,2),

x=2y(y=2

所以四叶图上的点到点。的距离的最大值|W|=2&,故B正确;

•••J：y=x,且在第一象限的区域关口对称，直线x+y=E与直线04垂直，

所以在第一象限花瓣的弦长最大时，即作与04平行的直线分别与抛物线相切时,

设切点为开口向上的抛物线方程为y=

又j，'=x=l,所以切点/口,；)，由对称可得切点

答案第3页，共14页

此时弦长最大值|MV|=¥故D错误;

切线MR的方程为…-；，与X轴交点哈,0),

过点4(2,2)的切线方程为y=2x-2,与比轴交点。(1,0),与切线MR的交点《?」),

由图知第一象限花瓣一半的面积小于S,0g与S-g的差，

S^OAQ-S_0R=gx1X2-gx(1—1=’,

所以阴影区域面积小于8(s如Q-'外次)=8x：=6,故C正确;

故答案为：D.

9.AD

【分析】代入验证可判定A；根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系

可以判定C：根据倾斜角为90。的直线斜率不存在，方程为x的形式，讲而可以判定D.

【详解】对于A,・・・0+"l-"0,可知A正确；

对于B,由直线的斜截式方程可知，直线在V轴上的截距是-2,B不正确；

对于C,由方程y=6x+l可得直线的斜率为百，可知倾斜角为60。，故C错误；

对于D,根据倾斜角为90。的直线斜率不存在，方程为工=。的形式，

再根据经过点(5,4),.•.直线的方程为x=5,故D正确.

故选：AD

10.AB

【分析】时于A,由己知可得)_L元，从而得aJ•夕，即可判断；对于B,由已知可得

即可判断；对于C,由已知可得〃或/ua,即可判断；对于D,由已知可得/〃/或/u4,

即可判断.

【详解】对于A,因为雇元=0,所以区1元，所以故A正确；

对于B,因为0//£，元，夕，所以-■L/，即以£，故B正确;

对于C,因为〃1•,=(),所以〃]_LG,

又因为所以或/ua,故C错误；

对于D,〃24=0，所以“2,5，又因为〃2工£，

答案第4页，共14页

所以/〃/或/U尸，故D错误.

故选：AB.

11.ACD

【分析】结合已知条件及圆锥曲线方程逐项进行分析判断即可.

【详解】选项A：若机=〃>0,方程可化为犬+/=_1,符合圆的标准方程，其中圆心坐

m

标为(0,0),半径为，故选项A正确.

选项B：若〃?则〃?、〃-一正一负，此时曲线为双曲线.

1

X2y2

=1

若〃>0,〃<o,方程可化为^r,渐近线为)，=土廿=±

m

y2x2

若小<0,〃>0,方程可化为丁一二一二渐近线为y-土

nm

故选项B错误.

选项C：若加=0,〃>0,方程可化为〃y2=l,即^=,表示两条平行于x轴的直线,

故选项C正确.

选项D：若方程可化为T+丁一，由0</〃<〃得一>一>0,所以曲线C表示

——mn

mn

焦点在x轴上的椭圆，故选项D正确.

故选：ACD.

9

12.-Z0.9

【分析】直线3x+4y-l=0与直线6x+8y-ll=0为平行线，根据两平行线间的距离公式

4=」小5|即可求得答案

【详解】将直线3x+4y_l=0,化简为6x+8y—2=0,

6x+8y-ll=0与6x+8y-2=0是平行线,

根据两平行线间的距离公式〃=-T==得，

dA2+B2

两平行线间的距离为(黑=2

答案第5页，共14页

9

故答案为：—.

13.2

【分析】将点月代入抛物线方程，求出P及准线方程，进而可得出答案.

【详解】因为4（1,2）在抛物线Cj/=2px上，

所以4=2p,解得p=2,

故抛物线。的准线为x=-l,

所以点力到抛物线C的准线的距离为1-（-1）=2.

故答案为：2.

14.5015

【分析】根据“森德拉姆数筛''的特点可写出通项公式，进而可得的,7及2026出现的次数.

［详解］由已知=q,i+/（7-1）=«11=2+z-1+//-/=//+1,

所以的j=7x7+1=50,

令%==+1=2026,

则ij=2025,

又

设，•与/所表示的数对为亿力，

则其可能的取值有（1,2025）,（3,675）,（5,405）,（9,225）,（15,135）,（25,81）,（27,75）,（45,45）,

（75,27）,（81,25）,（135,15）,（225,9）,（405,5）,（675,3）,（2025,1）,共有15个,

即数字2026共出现15次，

故答案为：50,15.

15.（1）2；3；5,数列｛%｝不是等差数列.

【分析】（1）利用S”求出数列前3项，根据等差数列定义判断是否满足即可.

⑵令〃=1,求出q,利用q,二S"—S“T求出（，并验证〃=1是否满足即可.

答案第6页，共14页

【详解】（1）由s.=/+l得q=E=2,

a2=S2—S]=5—2=3,

%=S3-S?=10-5=5,

a2-ai=1,a3-a2=2,

因为《一q。的一%，

所以数列｛%｝不是等差数列.

(2)当〃=1时，q=百=2；

22

当〃22时，an=Sn-Sn_}=/7+l-|^(/?-l)+1=2n-1；

验证〃=1时，2〃-1=1工2,不满足上式,

2,//=I

所以可=,

2n-\ji>2

16.(l)(x-2)2+/=10

⑵x=3或3x-4y-l=()

【分析】（1）设圆C的方程为寸+必+6+切+”=0,艰据已知条件列出方程组求解即得;

（2）分斜率存在与否，利用直线与圆相切的条件求解.

【详解】（1）设圆。的方程为V+y2+°x+£>+〃=0,

=()，

4。=-4,

则—O+E+产+2=0,解得，E=0,

D+3E+F+10=0,F=-6.

所以圆。的方程为一+/一4工_6=0,即（x—2『+/=10.

（2）因为直线/被圆C截得的弦长为6,

所以圆心到直线/的距离「=户手=1.

当/的斜率不存在时，直线/方程为x=3,符合题意.

当/的斜率存在时，设直线/方程为y-2=A（x-3）,即依-y-3八2二0

答案第7页，共14页

12A--3A，+2|=L解得人i

则4=

>Jk2+\

此时直线/方程为F-2=]1一3),即3x-4y-l=0.

综上所述，直线/的方程为x=3或3x-4j，-1=0.

17.⑴%=2〃-6；(2)7.

【分析】(1)由题意首先求得火的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公

式：

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：工=5%,则：%=5%,，/=0，

设等差数列的公差为d,从而有：廿4=(%-")(%+")=-":

S4=《+%+%+4=-2d)+(%+%+(%+4)=-2d，

从而：-d?=-2d，由于公差不为零，故：d=2,

数列的通项公式为：/=%+(〃-3”=2〃-6.

(2)由数列的通项公式可得：at=2-6=-4,则：S"=〃x(—4)+“(,兀2=〃2一5〃,

则不等式S“>。”即：〃2一5〃>2〃-6,整理可得：(〃-1)(-6)>0,

解得：〃<1或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟

练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

18.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)百

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，(1)求出平面8OE的法向量，利用力工二=0证明

即可；

⑵利用々:〃；即可证明；(3)设点尸的坐标为(1，1,2)，由线面角公式可求出力，即

可利用向量的模求。尸的长.

【详解】如图建立空间直角坐标系。-即，z,

D(0,0,0),力(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),4(1,0,2),四(1,1,2),C,(0,

答案第8页，共14页

1,2),A(0,0,2),E(0,1,1)

(1)证明：设平面6。后的法向量；=(》，y，z),

-K3ICHKB|OK

&=(1，1，0),Z)£=(O,1,1)

\n-DB=0刖卜+)'=0

由—，即〈人，

n-DE=0y+z=0

取x=l,得；=(1,-1,1),

乂AC】=(-1,1'2)’

=-1x1+1x(-1)+2x1=0,所以力卷_L>

所以4CJ/平面8OE.

(2)证明：由(1)可知；=(1,-1,1),

A}E=(•!"1,"),AiE=—/?»所以4七〃八'

所以《E_L平面80f.

(3)设点尸的坐标为(1,1,A),

J1F=(^»”-2),

设直线力/与平面ZQE所成角为。，则

解得义=1,

答案第9页，共14页

所以点尸的坐标为（1，1，1），引7=（1，1，1），|。＞|=后，

所以。尸的长为石.

【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查

了运算能力，属于中档题.

19.（J）y+/=1

⑵…

4

（3）T.

J

【分析】（1）由题意列式求解力,。的值，代入可解；

（2）解法一：设直线/的方程为），="（》-2）,由弦长公式列式计算可解；解法二：由椭圆

的长轴长2〃=2/，先证得椭圆/+/=】在圆/+产=2内，再证明长轴是最长的弦，且

唯一即可求解；

（3）直线GH的方程为y=〃x+。'，直线与椭圆联立方程由题意可得当二方，直线与抛物

线方程联立方程由题意可得Z二2，进而可得直线0"：歹=2内，直线。，与椭圆联立方程

n

12n

可得4=卜〃2+1,%=/.+］，由点到直线距离公式及三角形面积公式列式结合基本

不等式计算可解.

【详解】（1）由题意可得24=2&，即4=拒.

因为椭圆。的离心率为9,所以e=£=①，所以。=1,

2a2

所以/=a~—c2=1»

所以椭圆。的方程为三+产=1;

2'

（2）解法：显然直线/的斜率存在，

设过点（2,0）的直线/的方程为y=4（x-2）,

x,,

了+广=1，

联立方程

…（戈-2）,

消去y整理得（1+2炉）/-8二X+8炉-2=0,

答案第10页，共14页

则AuG以4—4（1+2-）.（8--2）>0,即左2cL

2

设“a，必）,8（马,必）,

则…=高

2

由弦长公式可得148|=Jl+*2|x,-,r2|=dl+k•J（X[+.丫2）2—4.丫/2

I64k44（SA^2）

+左

=J]2.V（1+2Z]-1+2公

_5.」2A4-A」+I

?2q4k'+4k2+l

解得公=o或公=一?（舍），

6

所以2=0,即直线/的方程为N=。.

解法二：椭圆的长轴长2a=2及，

又椭圆中，长轴为最长的弦，且唯一，而|/卸=2&=20,

所以线段48为