2026年高考数学二轮复习：等差等比数列函数性质（题型）（天津）原卷版

专题n等差等比数列函数性质

i目录

i

।第一部分题型破译微观解剖，精细教学

\佟］典例引领他］方法透视名变式演练

【选填题破译】

।

j题型01求等差等比基本量的解题技巧

i题型02等差数列前n项和的解题技巧

I题型03等比数列前n项和的解题技巧

I题型04数列中最值问题的解题技巧

I题型05数列周期性的应用及解题技巧

题型06等差数列中明与5“的关系

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01求等差等比基本量的解题技巧

典例引

【例1・1】（2026•天津河北•月考）等差数列｛4｝中，若q=12,a7=36,则公差d的值为（）

A.-B.2C.3D.4

2

2"-1

【例1・2】（2026・天津红桥•月考）已知数列｛4｝是等差数列，牲=9,4-6=8,则

i=2"'*

方做遗规

解决等差数列运算问题的思想方法

（1）方程思想：等差数列的基本量为首项m和公差"，通常利用已知条件及通项公式或前〃项和公式列方程

（组）求解，等差数列中包含0,d,n,飙，S”五个量，可“知三求二”.

（2）整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用小，"表示，寻求两者间的联系，整体代换即

可求解.

（3）利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.

变式演依

【变式1-1］（2026•天津红桥•月考）记等差数列｛4｝的前〃项和为S”，出+%=11，%=13,则与二（）

A.130B.135C.145D.150

【变式1-2］（2026•天津东丽•月考）已知数列｛q,｝满足q=2,…讨-（〃+1）/=〃2+〃，求

%=•

【变式1-3］（2026•天津滨海新•月考）若直线”-4旷+〃=0（〃61<）与圆0（x-2『+V=《;（%>（））相切,

则①％②数列｛4｝为等差数列；③圆。可能经过坐标原点；④数列｛%｝的前10项和为22.以上结

论正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

题型02等差数列前N项和的解题技巧

典例引颔

【例2-1］（2026•天津•月考）等差数列｛q｝共2〃+1项，且奇数工员和为165,偶数项和为150,则〃=.

【例2-2］（2026•天津•月考）已矢J数列｛叫的通项公式为%=2〃-1,在4和一之间插入攵个2（丘N）形

成一个新数列出｝,则｛2｝的前2025项的和为.

方汝透视

1.等差数列前n项和与函数关系

drr-dn_d2（

2.Sn=na］+—^--=>Stl=na｛+--------=>S“=万〃~~^y

3.令力二4，B=a.--,=>S„=An2+Bn

212〃

4.二>等差数列｛%｝前"项和公式是无常数项的二次函数

5.等差数列前n项和的性质

6.Sk,S2k—Sk,Sik—S2,:..仍成等差数列

s

7.为等差数列

n

8.推导过程：2=空上网+3（一次函数）为等差数列

nnn

9Sm+n=Sm+Sn+rnnd

10.^2n-l=（2«-1k

【变式2・1】（2026•天津•月考）等差数列血｝中，4>0,出必+426>0，大202厂出026<0,则使前〃项和，>0

成立的最大自然数〃为（）

A.4052B.4051C.4050D.4049

【变式2-2]（2026•天津武清•月考）高阶等差数列是数列逐项差之差或高次差相等的数列，中国古代许多

著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才

智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中记载的三角蜂、方垛、刍薨垛等的求和都与高阶等差数

列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第10

层小球的个数为（）.

A.45B.55C.65D.75

【变式2・3】（2026•天津滨海新•月考）已知数列｛〃“｝是等差数列，｛4｝是等比数列，且

b2=3也=9吗=配％4=4.

⑴求｛%｝，｛，｝的通项公式；

｛｝｛｝

⑵设%,0的前〃项和分别为5,如求公Tn.

⑶设此为数列亿｝的前〃项和，求％.

题型03等比数列前N项和的解题技巧

【例3-1]（2025・天津•模拟预测）已知｛%｝是首项和公差均为加的等差数列，也｝是首项和公比均为〃，的

等比数列，/〃wK.若｛%｝的前5项和与｛"｝的前4项和都等于S,则5=（）

A.30B.32C.42D.46

【例3・2］（2026•天津•联考）已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,1,2..........若

该数列的前〃项和为S.,贝IJ满足30Vs.4600的整数〃的个数为（）

A.29B.30C.31D.32

方/电视

等比数列前n项和的性质

（1）S，S2k-Sk,S3k-S2k……仍成等比数列

⑵S-S"*

变式演族

【变式3-1］（2025•天津红桥•一模）等比数列｛4｝的前〃项和为S.，且％+4=4,出+牝=8,则$6=（）

A.24B.28C.36D.48

【变式3・2】（2025・天津•联考）在数列｛/｝中，已知。用+勺=52,则｛《｝的前10项和为（）

A.310B.682C.3410D.10230

【变式3-3］（2025♦天津河西•联考）设数列1,（1+2）,…,（1+2+24…+2，...的前〃项和为%则S.等于

（）

A.2"B.T-nC.2向—〃D.2"“一〃—2

题型04数列中最值问题的解题技巧

我例引救

【例4-1］（2025•天津静海•三模）已知S”为数列｛%｝的前〃项和，是公差为1的等差数列,

则下列选项中不正确的是（）

A.S2=-1SB.当且仅当〃=6时，S”取得最小值

C.%=2〃-12D.数列［丁%］中第5项的值最大

2/?-11

【例4-2］（2025•天津武清•模拟预测）设七为一等差数列的第，;项.若小十2=92及.9。+300=〜0,则

下列何者正确？（）

I.该数列的首项是100.

II.芭+x2+£+*•,+工，018<一，9x10’

III.0是该数列最小的正数项.

A.只有I及IIB.只有I及川

C.只有II及IIID.KII及III

方依透视

解决数列的单调性问题可用以下三种方法：

①用作差比较法，根据m一%的符号判断数列｛%｝是递增数列、递减数列还是常数列.

②用作商比较法根据乎（%>0或。“<0）与1的大小关系进行判断

③结合相应函数的图象£观判断.

a>a..〈凡+］,

"n向ny，则最大，若「""，则为最小

｛an—an-\^［以”—an-\?

2.求等差数列前〃项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性求出其正负转折项，或者利用性质

求其正负转折项，便可求得和的最值

3.利用等差数列的前〃项和S”=4/+8〃（4,8为常数）为二次函数，通过二次函数的性质求最值另外，对

于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前〃项和的最值，

4.己知等差数列｛〃“｝的公差为d,前〃项和为S.，

①若O,S“有最小值，若4>0,4*>0,则5;最小，若4=0,则最小；

②若有最大值，若则最大，若则其最大

d>0,S“4>0,4*>0,A4=0Sj,

变式使珠

q

【变式4-1］（2025・天津北辰•三模1设等差数列｛%｝的前〃项和为5，满足儿>062<0,数歹网"｝。。》。

Gn

中最大的项为第（）项.

A.4B.5C.6D.7

【变式4・2】（2025•天津滨海新•三模）设S“为等差数列｛5｝的前〃项和，且满足S2018>0,S刈9<0,对任

意正整数〃,都有同性㈤，则我的值为（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

【变式4-3］（2025・天津•一模）等差数列的前〃项和为S”，若，3<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的

项所在的项数为（）.

A.第5项B.第6项C.第7项D.无法确定

题型05数列周期性的应用及解题技巧

翼例不■

【例5・1】（2026•天津滨海新•月考）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将

该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4f2T1,这就是数学史上著

a为偶数

名的"冰雹猜想"（又称"角谷猜想”等）.已知数列｛%｝满足：％=1，。，用二2'",贝巴025=（）

3%+1,。”为奇数

A.5B.4C.3D.2

【例5・2】（2026•天津・月考）已知数列｛%｝满足q=2,%=l-'（〃wN・），则嗫5=.

方武通观

对于无穷数列｛%｝,如果存在一个正整数7,对于任意正整数〃恒有《,=4+7•成立，则称｛%｝是周期为7

的周期数列。T的最小值称为最小正周期，简称周期

，变火演依

【变式5-1］（2026・天津•月考•）已知数列｛凡｝中，田=1,。川=（-1）”（%+1），记S〃为｛“〃｝的前〃项和，则

【变式5-2］（2025•天津南开•二模）若数列｛%｝满足％=2,%=1,且%+2=则｛为｝的前

2025项的和为（）.

A.1350B.1352C.2025D.2026

a——）

【变式5・3】（2025•天津滨海新•月考）若数列｛%｝满足，则q=2,&+|=；1,则%。25=（,）

A.-3B.C.-D.2

题型06等差数列中。”与s〃的关系

典例引颔

【例6・1】（2026•天津和平・月考）已知数列｛凡｝的前〃项和为S，满足x=1+3〃+2,则｛凡｝的通项公式

是.

【例6-2］（2025・天津•模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S,,数列也｝是公比为3的等比数列，且

S"="，a=q.

⑴求数列｛凡｝、｛4｝的通项公式；

（2）令1=（q,+1）",求数列匕,｝的前〃项和•

方在透视

等差数列中。〃与S”的关系

E(〃=1)

数列｛%｝的前〃项和S”和通项勺的关系：则&=<

Sn-Sn_^>2)

【变式6・1】（2024・天津•二模）已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且满足S“=2a“-2,若S"+”-”加“对于

任意的正整数〃恒成立，则实数:的取值范围为.

【变式6-2］（2026•天津滨海新•月考）已知数列也｝的前〃项和为S”，且q=2,/“=2S”+2,则%=（）

A.2x3"-'B.3x2""C.3"D.2"

【变式6・3】（2025・天津•模拟预测）（2026•天津•月考）（1）已知数列｛4｝前〃项和为S“="+方，求数列

｛%｝的通项公式;

（2）已知应｝是公差为正的等差数列，且=55,%+。7=16,求数列｛q｝的通项公式.

1.（2025•天津南开•模拟预测）”......《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为

你们未来的可能是无穷尽.〃这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与〃无穷尽”命题

如下：设集合4=｛21,8,4,0｝,a.wA,S.为数列｛%｝的前〃项和，若%（左=1,2,…取■中每个数字的概

率相同.记凡为事件等于奇数〃的概率，当〃趋近于无穷大时，P”的近似值为〃，则（）.

2721272

A.p,=-----,p=一

46252

1441114411

C.p.=-------,P--D.p,=-------,p=—

3125231255

2.（2025•天津河西•模拟预测）已知正项数列也｝满足/丁+/〉+…+三一+《—=，，且6=%，则%0=

A.27B.30C.33D.36

3.（2025•天津北辰•三模）已知等比数列｛4｝的首项为1,公比为e,则数列eN）的前10项和为

（）

A.15B.35C.45D.55

4.：2025•天津和平•三模）定义新运算："已知数列｛%｝（〃eN）满足q=-14,:用*=10//,

ca、，2an2

则^10=（）

A.239B.225C.211D.261

5.（2025・天津•一模）已知数列｛%｝和也｝的通项公式分别为4=3"也=〃，在久与黑।之间插入数列｛%｝

的前机项，构成新数列｛。/，即也,〃1,42,4，%，。2，小，4，6，/，。3，。4也….记数列｛"｝的前〃项和为2,

则（）

1=1

A.30B.4944C.9876D.14748

6.（2025•天津河北,二模）设X数列｛仆｝的前〃项和，若邑+3=24+〃，则九=（）

A.3059B.2056C.1033D.520

7.（2025•天津•二模）已知｛%｝是一个无穷数列，"牝＞%〃是“｛%｝为递增数歹旷的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2025•天津武清•模拟预测）已知数列｛q｝的通项公式为勺=2〃-1,其前〃项和为m，则数列｛（-

的前2025项和为（）

2024x2025.2024x2025八2025x2026-2025x2026

A.----------B.-----------C.----------------D.------------

2222

9.（2024•天津北辰•三模）已知在等比数列｛q｝中,%%=12。6,等差数列｛4｝的前〃项和为九且24=4,

则57=（）

A.60B.54C.42D.36

10.（2025•天津•一模）已知｛4｝是各项均为正数的等比数列，且4q,