高考数学复习：数列不等式（典型题型归类训练）原卷版

专题11数列不等式（典型题型归类训练）

目录

一、典型题型.............................................1

题型一：数列不等式恒成立...............................1

题型二：数列不等式能成立（有解）问题...................4

二、专题11数列不等式专项训练............................7

一、典型题型

题型一：数列不等式恒成立

1.（23-24高二下•河南南阳・期中）记数列｛q｝的前〃项和为工，已知4=7,且

/+i+（T）"q=8-2〃.

⑴令2=生”，求数列也｝的通项公式；

⑵若对于任意的〃wN：2""・％-6〃+1+邑田＞。恒成立，求实数2的取值范围.

2.(2024,广东韶关•二模)记R上的可导函数/(x)的导函数为/'(x),满足

%1二七一券4(〃€川)的数列｛玉｝称为函数/(1)的“牛顿数列〃.已知数列｛玉｝为函数

J\Xzr/

/(x)=V—工的牛顿数歹|J,且数列｛/｝满足4=2,%=1。刍,%>1.

X"-1

⑴求出；

⑵证明数列｛〃/是等比数列并求出：

n

⑶设数列｛《,｝的前〃项和为S.,若不等式(-D•0-144S：对任意的〃€N恒成立，求/的

取值范围.

7

3.(23-24高二下・贵州贵阳•期中)已知数列｛q｝满足:且4=-彳.设总｝

的前〃项和为Tn,b„=3"q.

⑴证明：低｝是等差数列；

⑵求「；

3

⑶若不等式7；+4<对nwN'恒成立，求实数，的取值范围.

4

4.（23-24高二下•吉林长春•阶段练习）设正项数列｛可｝的前〃项之和2=%+%+…+为，

数列｛包｝的前〃项之积%=她•也,且bn+cn=\.

⑴求证为等差数列，并分别求｛6｝、｛〃｝的通项公式：

114

⑵设数列｛&也+J的前〃预和为S”，不等式s.对任意正整数〃恒成立，求正实

AO

数4的取值范围.

5.（2024•湖南•二模）已知｛《,｝是各项都为正数的等比数列，数列｛a｝满足：”=21ogM+l,

且4=1,2=7.

⑴求数列也｝，也｝的通项公式；

（2）若对任意的〃€N*都有2枇地-2,求实数2的取值范围.

6.（23-24高二上•山东烟台・期末）设数列｛〃”｝,也｝的前〃项和分别为S〃，T.,q=-2,

,4,2

a=1,且4s什1=3S“一8,bll+l=~bn-----（GN*）.

Jq>+i

⑴求｛q｝的通项公式，并证明：｛（：）"%“｝是等差数列；

4

⑵若不等式（6成-54）（；）”-5+3）（。-9）工。对任意的〃wN.恒成立，求实数义的取值范围.

题型二：数列不等式能成立（有解）问题

1.（2024•云南•一模）已知｛%｝为等比数列，记与7；分别为数列｛q｝、也｝的前〃项和,55=62,

S=2046,2Tn=〃包+〃也=3.

⑴求｛4,｝、｛a｝的通项公式；

b.b、b

⑵是否存在整数C,使‘+=+…+=<c对任意正整数〃都成立？若存在，求C的最小值；

U\a2Un

若不存在，请说明理由.

2.（23-24高二上•江苏盐城・期末）已知正项数列｛4｝的前〃项和为，，且2后=4+1；

数列｛2｝是单调递增的等比数列，公比为小且%,4的等差中项为10;A，4的等比中项

为8.

⑴求的｝，｛2｝的通项公式；

凡,〃为奇数

⑵设%=〃为偶数，1为数列匕｝的前〃项和，若存在〃CN,使得&-2/『+,此也成

立，求实数2的最大值.

3.（2024,云南曲靖•一模）已知数列｛q｝的前〃项和为兄，且S“=2%-

⑴求数列｛q｝的通项公式；

⑵若数列｛包卜满足"="■，其前〃项和为7；,求使得鬻成立的〃的最小值.

2024

4.(23-24高三上•山东•阶段练习)已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，2病=4+1；数

列｛"｝是递增的等比数列，公比为%且打，4的等差中项为10，仄,打的等比中项为8.

⑴求｛4｝，｛〃｝的通项公式;

〃为奇数

⑵设c”=上〃为偶数，。为｛%｝的前〃项和，若4+2〃、〃+32劝”能成立，求实数％的

b；

最大值.

5.(23-24高三上•河北张家口♦阶段练习)已知正项数列｛《,｝的前〃项和为S”，且

%=gs“+l(〃wN)数列出｝的前〃项和为人数列匕｝的前〃项和为儿，数列

hn=2〃/一%(〃eN'),C,+1=—,(weNK).

⑴求数列｛4｝的通项公式及小

⑵若对任意〃eN",存在而《-巾］使得从W2x°-m成立，求实数机的取值范围.

二、专题11数列不等式专项训练

1.(23-24高二下•辽宁大连•阶段练习)设数列｛4｝的前〃项和为S“，已知q=5,叼=25,

S川+5\_,=65”(〃>2),Tn是数歹ij｛21og5%-1｝的前〃项和.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

(2)求满足(号:

1-—I黑的最大正整数〃的值.

2.(2024•四川南充•二模)在数列｛q｝中，5.是其前〃顶和，且35「a“=64.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

(2)若4-IvS〃K42+4恒成立,求义的取值范围.

3.（2024,全国•模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且叼=3,2S”=〃（4+2）.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若存在〃eN‘，使得一+—+…+-----之而用成立，求实数4的取值范围.

的2%/4凡+1

4.（23-24高二下•云南玉溪•阶段练习）已知S,是等差数列,“｝的前〃项和，且％=3,S5=25.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若对任意〃eN”,〃?zg+冬+…+今，求切的最小整数值.

33-3

5.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛q｝的前〃项和为S,，且关于x的方程

心'+2师;十〃十1=0,N”有两个相等的实数根.

⑴求｛q｝的通项公式；

⑵若2=（q+1>2%,数列｛〃｝的前〃项和为小且对任意的〃cN恒成立，求实

数a的最大值.

6.（2024•天津红桥•一模）已知S“为数列乩｝的前〃项和，且满足S,,=2%+「，其中xR,

且rH0.

⑴求数列依｝的通项公式；

⑵设包=（-1严2，若对任意的〃eN「都有三%<，"£>,求实数〃?的取值范围.

f»=i1=1

7.（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）已知｛4｝为等差数列，｛0｝为等比数列，―,

%=5（%-%）,a=4（4-么）.

⑴求｛q｝和｛2｝的通项公式；

,、

（2）求数列］—-——的前，:项和

⑶记4=3"-2.（—1）"她（/IwR）,对任意的〃eN「恒有",小>〃，求4的取值范围.

8.（23-24高三下•湖南湘潭•阶段练习）设各项都不为C的数列｛4｝的前〃项积为1,，

小T）_、

4=22q,4=2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵保持数列｛凡｝中的各项顺序不变，在每两项《与应用之间插入一项2（，川-为）（其中

%=1,2,3,…），组成新的数列｛4｝,记数列也｝的前〃项和为S”，若S.>2023,求〃的最小

值.

tn（in—1）♦••（〃?一〃+1）

9.（2014高一•全国•竞赛）对于给定的,若定义禺=/I।•