一元二次方程中含参数问题-八年级数学下册专项训练【含答案】

专题02一元二次方程中含参数问题

目录A题型建模•专项突破

题型一、利用一元二次方程的定义求参数

题型二、一元二次方程的解求参数的值

题型三、一元二次方程的解求代数式的值

题型四、根据一元二次方程根的情况求参数

题型五、利用一元二次方程根与系数的定义求参数

B综合攻坚二能力跃升

题型建模•专项突破

题型一、利用一元二次方程的定义求参数

（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）

1.当。=时，x»-5x=3是关于x的一元二次方程.

（24-25九年级上•云南昭通・期末）

2.若关于工的方程（〃L2）W-2+2X_3=0是一元二次方程，则小=.

（24-25九年级上•广东广州•阶段练习）

3.若（吁3）/-"-》-5=0是关于x的一元二次方程，则〃7的值为.

（24-25九年级上•江苏扬州•期末）

4.已知仕-2）/+2工-3=0是一元二次方程，则实数k.

（24-25九年级上•云南昆明•期中）

5.关于x的一元二次方程（吁1）/+》+/一1=0的一个根是0,则。的值为.

题型二、一元二次方程的解求参数的值

（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）

6.若x=2是一元二次方程/+依-2=0的一个根，则〃=.

（2025・新疆•模拟预测）

7.已知关于x的一元二次方程尤2-5工+〃=0的一个根为x=l,则P的值为

（2025•湖南•模拟预测）

试卷第1页，共6页

8.已知关于x的方程;/一点+4=0的一个根为x=2,则左=.

（24-25八年级下•山东威海・期中）

9.已知4-石是关于x的一元二次方程V—8%+〃?+1=0的一个根，则加的值是—.

（24-25九年级上•青海西宁•期中）

10.关于x的方程（帆-3）/、7-1=5是一元二次方程，则加的值为的.

题型三、一元二次方程的解求代数式的值

（24-25八年级下•河北石家庄•期中）

11.若关于x的一元二次方程—+加_3=0的一个根是x=l,则代数式2025-。-6

的值为一.

（24-25九年级上•广东广州•期中）

12.若x=-l是关于"的一元一次方程/“2+几_]=0的一个根，则2020+2〃-2》的

值为.

（24-25九年级上•福建漳州•期中）

13.若加是方程万2-3x-1=0的一个实数根,则2024-6/+9”的值为.

（24-25九年级下•全国•假期作业）

14.若x=〃?是方程/+3x—1=0的根，则〃/+3加+2025的值为.

（2025九年级下•四川资阳•学业考试）

15.己知m为方程/+3x—2025=（）的根，那么〃——2--2028/〃+2025的值为.

题型四、根据一元二方程根的情况求参数

（24-25九年级上•湖南衡阳•期末）

16.已知王,吃是关于x的一元二次方程--2/+1就+抬-3=0的两实根.

（1）求左的取值范围；

⑵若x=-l是方程的根，求攵的值.

（24-25九年级上•安徽铜陵•期末）

17.已知口48CQ的两邻边48、4。的长是关于x的方程一一〃★+£—；=（）的两个实

数根.

（1）若43的长为2,求用的值；

（2）当〃?为何值时，oRBCD是菱形?

试卷第2页，共6页

(24-25九年级上•河南新乡,阶段练习)

18.已知关于刀的一元二次方程--(2，"l)x+m-2=0.

(1)〃?取何值时，方程有两个不相等的实数根；

(2)求〃?取值范围内的最小整数时，方程的根.

(24-25八年级上•上海崇明•期末)

19.已知关于x的一元二次方程版-

(1)如果方程的根的判别式的值为3,求〃7的值.

(2)如果方程有实数根，求〃?的取值范围.

(24-25九年级上•重庆沛南•期末)

20.我们规定：对于任意实数小b,c,d,有[a,b]*[c,d]=ac-b于其中等式右

边是常用的乘法和减法运算，如：[3,2]*[5,1]=3X52X1=13.

(1)求[7,3]*2,1的值；

⑵若关于x的方程[2x,l]*[x+l,〃“=0有两个相同的实数根，求，〃的值.

题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数

(24-25九年级上•广东汕头•阶段练习)

21.已知关于人的一元二次方程/-(4+2)X+4=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个根%,占满足;+；=3求攵的值.

X]x2

(24-25九年级上•江西新余•阶段练习)

22.己知关于x的一元二次方程V-(左+3)x+2k+2=0.

(1)求证：无论％取什么实数值，该方程总有两个实数根；

(2)当Rt△力8c的斜边长。=2近，且两条直角边力和。恰好是这个方程的两个根时,

求△/8C的周长.

(24-25九年级上•福建福州・期中)

23.已知一元二次方程』+2mx++加=。有两个根分另ij为，x2.

(1)求〃7的取值范围；

试卷第3页，共6页

(2)若M，■满足(芭+2)(2%+4)=16,求"?的值.

（24-25九年级上•贵州遵义期中）

24.已知关于x的一元二次方程（〃?+2）x+m-1=0.

（1）求证：无论“取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根为3,x2,且父+4一百3=13,求”的值.

（24-25九年级上•福建厦门•期中）

25.已知关于x的方程--4x+%+1=0有两实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为％、x2,且=+；=工吊-4,求实数k的值.

入］X2

综合攻坚•能力跃升」一、单选题

（24-25八年级下•江苏盐城•期中）

26.若方程以2-x+5=0是关于x的一元二次方程，贝心的取值范围为（）

A.4HoB.a>3C.a=0D.a>0

（24-25八年级下•安徽滁州•期末）

27.若x=l是一元二次方程h-丘=8的一个根，则&的值为（）

A.-5B.-7C.9D.7

（2025・新疆•中考真题）

28.若关于x的一元二次方程V—2x+a=0无实数根，则实数。的取值范围是

（）

A.a<\B.a>1C.a<1D.a>\

（24-25九年级上•广东广州•期中）

29.已知关于x的一元二次方程h2_3》-1=0有两个不相等的实数根，则4的取

值范围是（）

9999

A.kN-二B.A>--C."々且D.且女工。

44

（24-25八年级下•安徽淮北•期末）

30.已知关于x的一元二次方程“+2/>x+c=0有一个实数根为-1,且。2<0,

则下列说法错误的是（）

试卷第4页，共6页

A.当a<c时，b>0B.当4>o,c<0时，b<0

C.方程的另一个实数根不可能是-1D.方程的另一个实数根有可能是1

二、填空题

（24-25九年级上•辽宁朝阳期末）

31.若关于x的方程（m-2卜mF+x=O是一元二次方程，则〃?的值是___.

（24-25九年级上•广东阳江•期末）

32.若加是一元二次方程”-2..1=0的一个实数根，则代数式

m'-2m+2024=.

（24-25九年级下•江苏无锡•期中）

33.设不、七是方程》2+必+4=0的两个根，且王+工-%々=2,则，〃=.

（24-25八年级下•江苏泰州•期末）

34.关于x的一元二次方程/+4》+必=0有实数根，则4的取值范围是______.

35.已知关于x的一元二次方程/+2x+2m-4=0有两个实数根.

（1）机的取值范围为.

（2）若〃7为正整数，且该方程的根都是整数，则〃?的值为一.

三、解答题

36.方程（m+lW』+W-3）x-l=0.

（1）当〃?取何值时是一元二次方程？

（2）当〃?取何值时是一元一次方程？

37.己知关于x的一元二次方程〃?F-3（〃L1）X+2〃L3=0.

（1）求证：该方程有两个实数根；

（2）若〃?为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由.

（24-25八年级下•浙江宁波期中）

38.己知关于x的一元二次方程如2+〃%+c=0,如果。，b,c满足3a-2"c=0,

我们就称这个一元二次方程为美妙方程.

（1）判断方程2/-x-8=0是否为美妙方程，并说明理由.

试卷第5页，共6页

(2)已知关于x的美妙方程a/+2x+c=0的一个根是-1,求这个美妙方程.

(24-25八年级下•山东烟台•期中)

39.己知关于x的一元二次方程』-(2加-1口-3〃/-6=0.

(1)当〃=1时,解该一元二次方程;

(2)求证：无论/〃为何实数，方程总有实数根；

⑶若是方程的两个实数根，且++£=求用的值.

AlX2/

40.材料一:定义:若关于X的一元二次方程/+版+。=05工0)有两个实数根小

且满足人+々|=|演Fl,则称此类方程为“和积方程”.

QQ，42

2

例如：x--x+-=0tgp(x-3)x--=0,解得石=3,)=1

1QQQ

v|3+—|=|3x—|,x~-彳x+j=0是“和积方程”.

材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于X的一元二次方程

尔+队+。=0("0)的两个实数根为毛，5，则：再+9=-2,内・马=£,这就是一

aa

元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”.

(1)方程f-5x+6=0_(填是或不是)“和积方程”；

(2)若关于x的方程/-(〃+3)x+3〃=0是“和积方程”，贝心=

⑶若关于x的一元二次方程一+(2加+l)x+〃/+2〃?=0是“和积方程'求〃7的值.

试卷第6页，共6页

1.4

【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次

方程的定义是解题的关键.

【详解】解：•.・x"-2—5x=3是关于x的一元二次方程，

二a-2=2,

•••。=4,

故答案为：4.

2.-2

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出小-2/0且

〃/一2=2,再求出m即可.

【详解】解：•••关于x的方程(〃-2)W-2+2..3=0是一元二次方程，

机-200且m~-2=2»

解得：m=-2.

故答案为：-2.

3.-1

【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知m-3。0且|加-1|=2,由

此即可求得〃?的值.

【详解】解：由题意可知，m-3工0且帆-1|=2,

解|加一1|=2得〃？=3或〃？=-1,

解机一3工0得：加工3,

m=-1,

故答案为：-1.

4.-2

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且

整理后未知数的最高次数都是2,象这样的方程叫做一元二次方程.根据x的最高次数是2,

且系数不等于0列式求解即可.

【详解】解：••・("2)5+2-3=0是一元二次方程,

.平|=2且/2,0,

答案第1页，共19页

解得A=-2.

故答案为：-2.

5.-1

【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.把x=0代入求解即可.

【详解】解：把X=0代入(〃-l)d+Y+/-l=O,得

(a-l)x02+0+«:-l=0

.,.«2-1=0

:.a=±\

4一1二0

:.aw1

二4=一1

故答案为：-1

6.-1

【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键.将x=2代入

方程公+"一2=0中求解即可.

【详解】解：••・x=2是一元二次方程、2+6-2=0的一个根，

・♦・22+24-2=0，解的左=-1,

故答案为：-1.

7.4

【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.把x=l代入一元二次方程得到1-5+〃=(),然后解关于〃?的方程即可.

(分析］解：把》*=1代入，一5丫+〃=0得1-5+〃=0.

解得〃=4,

故答案为：4.

8.3

【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键.把x=2代入

原方程求左.

【详解】解：把x=2代入原方程：

答案第2页，共19页

.\-x4-2Zr+4=0,

2

:.k=3,

故答案为：3.

9.10

［分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一

元二次方程的解.把x=4-6代入方程得到关于，〃的方程，然后解关于，〃的方程即可.

【详解】解：“-6是关于x的一元二次方程/_84+/〃+1=0的一个根，

*'•(4--8x(4—5/5j+阳+1=0

BP16-85/5+5-32+875+w+l=0

解得：/??=10,

故答案为：10.

10.-3

【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到〃…300,

〃产一7=2求解,即可解题.

【详解】解：.••关于x的方程(m-3)川-77=5是一元二次方程，

二小一3才0,"J7=2,

解得m*3,m=±3,

综上，/〃二一3,

故答案为：-3.

11.2022

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相

等的未知数的值，据此把x=l代入原方程得至lja+b=3,再根据2025-Q_0=2025-(G+5)

计算求解即可.

【详解】解；•••关于x的一元二次方程办2+以-3=0的一个根是x=l,

二4+8一3=0,

二a+〃=3,

二2025-"〃=2025-(。+6)=2025-3=2022,

答案第3页，共19页

故答案为：2022.

12.2022

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相

等的未知数的值，据此把x=-l代入原方程中得到。-6=1,再根据

2020+2a-2b=2020+2(1-6)计算求解即可.

【详解】解：=T是关于k的一元二次方程4/+"-]=0的一个根，

qx(—I)?+/)x(-l)-l=a-6-l=0,

：.a-b=\,

2020+2a-2b=2020+2(a-b)=2020+2xi=2022,

故答案为:2022.

13.2021

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相

等的未知数的值，据此把小代入原方程中可得2〃/-3〃?=1，再根据

2024-6w2+9m=2024-3(2/n2-3m)即可求出答案.

【详解】解：加是方程2--3%-1=0的一个实数根，

•••2m2-3w-1=0»

•••2nr-3w=1»

2024-6m2+9m

二2024-3(2〃/-3〃？)

=2024-3x1

=2021,

故答案为:2021.

14.2026

【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是正确理解方程的根.

根据一元二次方程的解，将用代入方程，求出力+3机的值，代入所求代数式，计算即

可.

【详解】解：=是方程x2+3x—1=0的根，

•••nr+3m-1=()>

答案第4页，共19页

•••w2+3w=1,

•••nr+3机+2025=1+2025=2026.

故答案为：2026.

15.0

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方

程两边相等的未知数的值，则〃2025=0,进而可得等+3m=2025,

nr=2025-3m，进一步可得m3+3m2=2025m，再把所求式子变形为

+3〃/)——2028〃?+2025,据此求解即可.

【详解】解：•••，〃为方程/+3》一2025=0的根，

•••nr+-2025=0,

•••nr+36=2025，m2=2025-3w,

**•rn'+3〃J=2025m>

■+2〃/-2028〃?+2025

=(〃/+3〃/)一〃/_2028/H+2025

=2025m-(2025-3m)-2028〃？+2025

=2025〃?-2025+3ni-2028〃?+2025

=0,

故答案为：().

16.(\]k>-2

(2)4=()或左=-2

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是

解题的关键，

<1)根据方程有两实根可得△=〃-4讹N0,代入数值解不等式即可得到答案；

(2)由4=-1是方程的根，代入即可求左的值.

【详解】(1)解：也+l)x+/一3=0有两实根,

4ac>0»

.•.[-2(^+l)]2-4xlx(jt2-3)>0,

解得：k21

答案第5页，共19页

(2)解：(aT是方程一一2(左+l)x+/-3=0的根,

.­.(-l)2-2(jt+l)x(-l)+jt2-3=0,

解得：%=0或%=-2.

5

17.(1)-

⑵1

【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式：熟练根据一元二次方程根的情

况列出对应的等式是解题的关键.

(1)将工=2代入方程即可解出机的值：

(2)先根据菱形的性质得到/出=力。，然后利用一元二次方程根的判别式列等式求解即叽

【详解】(D)解：当/出=2时，

将十二2代入方程小一,心十三一；=0得：

,c1c

4-2m+--=()

24

解得：一；

(2)•••o/BCT)是菱形，

；.AB=AD

・••美于x方程丁-w-v+y-1=0有两个相等的实数根，

解得：〃?1=吗=1，

故当〃?=1时，口力4CQ是菱形.

18.(1)w>--K/H*0

4

c1+，5\-\l5

⑵西二方一二丁~

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方

程等知识，熟练相关知识是解题关键.

(1)根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得

A=[-(2/M-1)]2-4m(/n-2)>0,且/MHO,求解即可;

(2)根据题意可知〃?=1,然后利用公式法求解该一元二次方程即可.

答案第6页，共19页

【详解】⑴解，由题意，nT^A=[-(2w-l)]2-4w(w-2)>0,且加工0,

解得〃?>-:且〃?工0：

4

(2)•••“？>一二且〃？工0

4

.••加取值范围内的最小整数时，可有加=1,

当〃?=1时,得-x-1=0,

解得％=匕*,4=匕*.

19.(l)w=-l

(2)H0且m<g

【分析1本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程队+。=0(。工0)的根与

A=〃—4"有如下关系：①△>(),方程有两个不相等的实数根,②△=(),方程有两个相

等的实数根，③A<0,方程没有实数根.

(1)根据一元二次方程根的判别式结合题意可得-2〃?+1=3,求解即可；

(2)由题意可得加工0且A20,计算即可得解.

【详解】(1)解：由题意可得：

，，91，，

A=(3m-1)--4m—???-1J=9m2-6m+1—9m2+4m=-2m+1,

A=3,

•••-2m+1=3,

m=-l；

(2)解：由题意得：“NO且ANO,

加工0且-2m+l>0

•••/〃H0且〃？<』,

2

.•.〃?的取值范围是：打工0且加

20.(1)-3

(2)/7；=6±4>/2

【分析】本题主要考查J'新定义下的实数运算，一元二次方程的根的判别式，正确理解新定

义列出对应的算式和方程是解题的关键.

答案第7页，共19页

(1)根据新定义可得[T3]*2,-=(-l)x2-3x-,据此计算求解即可；

(2)根据新定义可得方程2x(x+l)-〃?(x-1)=0,整理得2/+(2-〃。x+〃?=0,再由方程

有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可.

【详解】(1)解：[T3]*2,1

=(-l)x2-3xl

=-2-1

=-3;

(2)解：V[2.Y,X-1]*[X-I-1,W]=0,

2X(X+1)-/M(X-1)=0,

:.?.x2+?.x—mx+w=0*

2x2+(2-ni)x+rn=0,

••・关于]的方程[2、/-1]*卜+1,问=0有两个相等的实数根，

•••△=(2—-4x2m=0,

即m~-12w+4=0,

解得：/〃J2士8亚二6±4近.

2

21.(1)见解析;

⑵片的值为2或-1.

【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二

次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程历+。=0(。工0)根的判别式

△=〃-4四，当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实

数根；当△<()时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程ad+/»+c=0(。工0)的两个根为

bc

/，5,则为+居二-一，再居=一是解题的关键.

aa

(1)计算根的判别式的值得到A=r+4,所以△>(),然后根据根的判别式的意义得到结论；

(2)先利用根与系数的关系得』+X2=k+2,中?=3再由已知条件得到演+看=@马,

所以A+2=公，然后解关于A,的方程即可.

答案第8页，共19页

【详解】(1)证明：•・•△=(k+2『-4k=r+4>0

•••方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据根与系数的关系得*+々=%+2,中2="

11,

—+—=k,

七冬

,再+r2=kxxxz,

二〃+2=A?,

整理得公-女-2=0,

解得用=2,-1,

即k的值为2或-1.

22.⑴见解析

（2）ZM4C的周长为4+20.

【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理.

（1）根据A20即可证明无论A取什么实数值，该方程总有两个实数根；

（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于力，。的方程，解出近c即可得出答案.

【详解】（1）证明：/一代+3）工+2攵+2=0,

v«=1,b=-（4+3）,c=2k+2,

二A=/-4℃=+3）1-4（2%+2）

=%2+6左+9—8左一8二12一21+1=（左一1丫20,

••・无论左取什么实数值，该方程总有两个实数根；

（2）解：皿和c是关于x的一元二次方程/一住+3.+2%+2=0的两个根，

:.b+c=k+3,be=2k+21

•••△48C是直角三角形，且斜边长〃=2百，

•，•b2+c2=a2»即（b+c）2-2bc=1,

••.（4+3）2-2（2k+2）=（20）［

整理得*+2"3=0,

解得攵=-3或攵=1,

答案第9页，共19页

•・・〃和C是直角边，

3和c是正数，

当*=-3时，/?+c=-3+3=0,不符合题意，舍去；

当左=1时，8+。=1+3=4,

•••△力8。的周长为4+2&-

23.(l)/n<0

(2)w=-l

【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式.

(1)利用根的判别式即可解决问题；

2

(2)利用一元二次方程根与系数的关系得演+/=-2/〃，Xlx2=m+mf再将

。+2)(2々+4)=16变形得2中2+4(玉+%2)+8=16,即可得关于机的方程，解方程即可.

【详解】(1)解：•••一元二次方程W+2加工+/+加=0有两个根，

:.A=-4(〃/+加”0,

解得〃区0,

的取值范围是/〃K0；

(2)解：••一元二次方程.，+2/内+/+加=0的两个根分别为占，x2,

2

:.x(+x1=-2m,x]x2=m+m,

又•・G+2)(2X2+4)=16,

:.2XIX2+4(X(+X2)+8=16,

则2(〃/+〃?)+4x(-2/〃)+g=16,

解得垃=T或4,

又，m<0,

m=-1.

24.(1)证明见解析：

⑵W1=2或m2=-3.

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌

握•元二次方程根的判别式是解题的关键.

答案第10页，共19页

(1)根据根的判别式证明A>0恒成立即可：

(2)由题意可得，$+马=桃+2,xcx2=m-\,进行变形后代入即可求解.

【详解】(1)证明：A=[-(???+2)]2-4x1x(/7?-l)=//r+8,

•.•无论用取何值，川+8>o,恒成立，

・•・无论机取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)解：•.•再/2是方程J-5?+2)x+，〃-1=0的两个实数根，

x,+x2=/n+2,X)•x2=m-],

22

:.x；+x；-x1x2=(X]+x2)-3X|X2=(m+2)-3(???-1)=13,

解得：皿=2或叫=-3.

25.(1)k<3：(2)k=-3.

【分析】(1)根据方程有两个实数根得出△=(-4)2-4XIX(4+1)K),解之可得.

(2)利用根与系数的关系可用k表示出X|+X2和x凶的值，根据条件可得到关于k的方程,

可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.

【详解】解：(1)•.・关于x的一元二次方程/-4》+4+1=0有两个实数根，

••.△NO,BP(-4)2-4X1X(A:+1)>0,

解得：k<3,

故k的取值范围为：k<3.

(2)由根与系数的关系可得%+々=4,A-,X2=^+I

33.3(演+元)

由一+一=2彳2-4可得一-----=xyx2-4,

%X2工用

12

代入X1+X2和X]X2的值，可得：；-；=%+1-4

4+1

解得：勺=-3,a=5(舍去)，

经检验，A=-3是原方程的根，

故％=-3.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#),a,b,c为常数)根的判别式.当

△>(),方程有两个不相等的实数根：当△=(),方程有两个相等的实数根：当△<(),方程没

答案第11页，共19页

有实数根以及根与系数的关系，也考查了解•元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根.

26.A

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键

是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程,

叫做一元二次方程，熟记一般形式为笈+。=0(。=0).

【详解】解：方程Q/-x+5=O是关于x的一元二次方程，

二a工0,

故选：A.

27.B

【详解】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的

值为解题的关键.

将x=1代入一兀二次方程得到关十k的一兀一次方程求解即可.

【分析】解：•.)=1是一元二次方程履=8的一个根，

二将x=1代入方程——h=8,

得1—%=8,解得：k=-7.

故选：B.

28.B

【分析】本题考查了•元二次方程根的判别式.根据•元二次方程根的判别式，当判别式

△<0时，方程无实数根.代入方程系数计算判别式并解不等式即可.

【详解】解：•.・关于x的一元二次方程/一21+4=0无实数根，

:.A=(-2)2-4a=4-4a<0,

解得：a>\,

故选：B.

29.D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定

义及根的判别式.

根据•元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式

需大于零，解这个不等式即可.

【详解】解：方程履2-3犬-1=0为一元二次方程，故ArO,

答案第12页，共19页

•••方程有两个不相等的实数根，

...△=(-3)2—4h(一1)=9一必需满足4>0,

9

解得：k>一三,

4

9

•••k的取值范围为片〉-丁且左。0,

4

故选：D.

30.D

【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识.根

据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合/-TcO分析各选项的正确性.

【详解】解：・关于x的一元二次方程/+2历+c=O有一个实数根为-1,

a-2Z)+c=0,

即a+c=2b.

•：a~-c2=(a+c)(a-c)vO,

二〃+c与"c符号相反，

当a<c时，a—c<0,a+c>0,即a+c=2b>0,得到〃>0,故选项A正确；

当。>0,c<0时，则。一c>0,则a+c<0,即〃+c=2力<0,得至Ub<0,故选项B正确；

若方程的另一个实数根是-1,则方程有两个相等的实数根-1,则Q(X+1)2=0,即

ax2+lax+a=0，

即方=a=c,则/-。2=0,与已知/一。2<0矛盾，

.•.方程的另一个实数根不可能是-1,

故选项C正确：

2bc

若方程的另一个实数根是1,则即/>=0,C-，

aa

•■.4'-c'=O,与己知/一一<0矛盾，

即方程的另一个实数根不可能是1,

故选项D错误，符合题意.

故选：D

31.-2

【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键.根据定义可知

〃/-2=2且〃?-2。。，从而解得答案.

答案第13页，共19页

【详解】解：•.•(加-2)432+工=0是一元二次方程

2=2.且〃[一2Ho

:.m=-2

故答案为：-2

32.2025

【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键.

根据一元二次方程根的定义得到病一2〃?=1,然后利用整体代入的方法计算即可.

【详解】解：.・.〃?是一元二次方程”-2xT=0的一个实数根，

w2-2m-1=0,

w2-2ni=1,

rn1-2m+2024=1+2024=2025,

故答案为：2025.

33.-6

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.掌握一元二次方程必?+版+c=0(aw())根

bc

与系数的关系：占+%2=-±和不是解题关键.根据一元二次方程根与系数的关系可

aa

知X]+x2=-m,x}x2=4,再求解即可.

【详解】解：:Xi、马是方程X?+m+4=0的两个根，

m4.

x,+x2=--j-=-m,x,x2=—=4.

•••X]+x2-x^x2=2,

:.-m-4=2,

解得：m=-6.

故答案为：-6.

34.kWl

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当从一4四＞0

时，方程有两个不相等的实数根；当从-4牝=0时，方程有两个相等的实数根；当从-4加＜0

时，方程没有实数根.

根据该方程有实数根，得到△之0,再解不等式即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程/+4x+44=0的实数根，

答案第14页，共19页

.••△=42-4x1x4左20,

解得：k<\,

故答案为：k<\.

35.m<-2

2

［分析］（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，当方程有两个实数根时,判别式A>0,

据此列出关于，〃的不等式求解取值范围.

（2）先结合（1）中小的范围确定正整数用的可能值，再根据方程根为整数，利用求根公

式分析根的表达式，结合完全平方数的性质确定〃?的值.

本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用，熟练掌握根的判别式与根的

个数的关系、求根公式，以及完全平方数的性质是解题的关键，涉及知识点有一元二次方程

ax2+bx+c=0（a^0）的判别式△=〃-4ac.

【详解】（1）根据题意，得A=4-4（2机-4）=20-8〃?20,解得加《工

故答案为：

（2）用求根公式表示出方程的根为〃=一2±'20-8〃「_］土石二五1

2

・••方程的根为整数，

•••5-为完全平方数，

小的值为2.

故答案为：2.

36.⑴〃?=1；

⑵〃7=0或〃?=-1.

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌

握其定义是解决此题的关键.

Q）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出〃？

的值即可；

（2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分〃7=0

和〃?工0两种情况讨论求解即可.

【详解】（I）解：:方程（m+1）/z+（m-3）x-l=0是一元二次方程，

答案第15页，共19页

7W2+1=2

机+1工0

/.w=1；

(2)解：当〃?=0时，原方程为x-3x-l=0,是一元一次方程，符合题意：

当加工0时,

m：+,

---方程(m+l)x+(w-3)x-l=0.

加+1=0

一'm-3工O'

m=-\；

综上所述，〃?=0或加=T.

37.⑴见解析

(2)存在整数〃?，使得该方程的两个实数根均为止整数，见解析

【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用

一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键.

(1)根据根的判别式△=〃-4加・之0解答即可；.

(2)首先求出一元二次方程的两根，一根为1,一根为2-3-,只需要求出x,=2-3士是正

mm

整数时〃7的值即可.

【详解】(1)证明：4〃?(2〃?—3)

=m2-6m+9=(m-3)2>0.

•••该方程有两个实数根.

(2)解：存在整数〃?，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下：

由求根公式，得：上=3(二1)±(加—3),

2m

i2m-3_3

即nn％=1,Xy=-----=2——,

mm

・••〃?为整数，且该方程的两个实数根均为正整数，

•••羽=2-3必为正整数，

ni

nt=-1或"?=±3,

即当〃?=-1或m=±3时，该方程的两个实数根均为正整数.

答案第16页，共19页

38.(1)是，理由见解析

⑵+2x+l=0

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一

元二次方程解的定义是解题的关键.

(1)根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可.

(2)根据美妙方程的定义，结合方程如2+2x+c=