山东省泰安市某中学2025-2026学年高二年级上册期末模拟数学试题

山东省泰安市新泰中学2025-2026学年高二上学期期末仿真模

拟数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知严（2）=1,Wlim/（2~2Av）-/（2）=（）

Av->0Ar

A.1B.2C.-1D.-2

2.已知双曲线f=1经过点"（T,迷），则。的虚轴长为（）

A.472B.25/2C.V2D.2

3.已知等差数列｛%｝中，%=1，公差d=*,则%与%的等比中项是（）

A.3B.-C.—D.±—

222

4.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于/位置时，拱顶离水面的高度为2.5m,水

面宽度为10m,当水面下降0.7m后，水面的宽度为（）

A.6A/3ITIB.8及mC.4V2mD.4Gm

5.圆G：（x—2『+/=4,圆G：x2+/—4y=o,则圆G与C?（）

A.相离B.有3条公切线

C.关于直线x-y=o对称D.公共弦所在直线方程为x+y+i=o

6.在平面直角坐标系X，中，已知曲线C：（.r2+/）2=2x2-2/,若点P为曲线C上的动

点，则|。目的最大值为（）

A.y-B.41c.2D.2V2

7.已知圆/+（J，+2）2=/&>（））上到直线^=百工+2的距离为1的点有且仅有2个，则〃

的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,3）C.⑶+oo）D.（0,+oo）

试卷第1页，共4页

8.已知椭圆。:0+4=1（空方〉0）的左右焦点分别为耳，尸2，点力在C.上，点8在〉轴.上，

a'b~

______?____

F\A1F\B,F\A=--F\B,则。的离心率为（）

A网R「Ir»2

A.——B.——C.—D.—

6523

二、多选题

9.已知函数/（x）的部分图象如图所示，/'（X）是/（x）的导函数，则下列结论正确的是（）

B.r（-i）＞o

C./（-l）-r（-l）＞0D./（3）-3/*（3）＞0

10.下列给出的命题中正确的有（）

A.已知两个向量3=（1,小,2）,5=（2,1,4）,且£/力，则m=；

B.三棱锥。一力8c中，点?为平面力8。内的一点，且。尸=7。4+工。8+）。。（.％卜丘1<）,

3

则山二

C.已知5=（0』,2）,$=（0,0,1）,则后在石上的投影向量坐标为（0,0,2）

D.若忖石同是空间的一组基底，则忖+瓶+碗+25+叶也是空间的一组基底

11.设等比数列血｝的公比为。，前〃项积为小且满足条件可>1，『229023>1，

（a2022-l）-（a2023-l）<0则下列选项正确的是（）

A.0<^<1

B.42022'。2024一1>°

C.n023的值是［中最大的

D.使7；>1成立的最大自然数〃等于4044

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.如图，已知矩形48C7)中，AB=2,BC=g，现将△5CO沿对角线折成二面角

13.已知双曲线C：=一4=1(。〉0力〉0)的右焦点为立一条渐近线被以点歹为圆心，2a

a~b~

为半径的圆截得的弦长为2*则双曲线C的离心率为.

14.函数/(x)=(xl)e\过点4(。,0),awR,可以作函数/(x)的两条切线，求实数々的

取值范围.

四、解答题

15.已知圆C:/+y2=3,直线/过点力(-2,0).

(1)当直线/与圆。相切时，求直线/的斜率；

(2)线段48的端点8在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.

16.京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速生林

木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增

长率20%,为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年

开始，第〃年年底的速生林木保有量为/万立方米.

(I)求见,请写出一个递推公式表示“e与凡之间的关系：

(2)是否存在实数2,使得数列｛凡+储为等比数列，如果存在求出实数％；

(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的

200万立方米翻两番，则估计至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？

(参考数据：1.2晨4.3,1.2晨5.2，12°乏6.2,1.217.4)

17.如图，在四棱锥产一中，

试卷第3页，共4页

AB1AD,CD1AD,AB=AD=PD=^CD=1,PA=6,PC=&，点Q为棱PC上一点.

(1)证明：PDL平面力BCD；

(2)当点。为棱PC的中点时，求直线PA与平面BDQ所成角的正弦值;

(3)当二面角P-8。-。的余弦值为正时，求笔.

31Q

18.记s”为数列MJ的前〃项和，已知4s,=3/+4.

(1)求｛可｝的通项公式；

(2)设4=(-1严叫,求数列出｝的前〃项和T”.

19.已知椭圆C：1+==](〃>/)>0)的离心率为孚，其四个顶点构成的四边形面积为2&.

D2

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)若尸是C上异于44的一点，不垂直于x轴的直线/交椭圆。于M,N两点,

APHOM,BPHON.

①证明：自MQV为定值；

②AOMN的面枳是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《山东省泰安市新泰中学2025-2026学年高二上学期期末仿真模拟数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DADBCBBBACABC

题号11

答案AD

1.D

【分析】利用导数的定义即可求解.

【详解】由题意有：

1|01/(2-2^)-/(2)^</(2-2^>/(2)^_22><1=2

Ax->oAr°一2&J

故选：D.

2.A

【分析】由点加(-4,袁)在双曲线上代入解得〃?=-8,确定双曲线的方程即可得到虚轴长为

4拒.

【详解】由点间工佝在双曲线一+乙上，得3+3=1,解得〃?=-8,

''m2阳

即双曲线方程为券-(=1,则C的虚轴长为4拉.

故选：A.

3.D

【分析】根据给定条件，利用等差数列求出生与4,进而求出其等比中项.

【详解】等差数列｛q｝中，由。3=1，公差d=*,得出/-1=%=%+%=，

所以外与4的等比中项为土匹；=±手.

故选：D

4.B

【分析】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为炉=-2〃y(p>0),

根据条件求出抛物线方程=-10y,

再求出水面下降0.7m后，水面的宽度.

【详解】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为

A2=-20(〃>0),

答案第1页，共12页

依题意可知抛物线过点(5,-2.5),所以52=-2〃X(-2.5),解得P=5,

所以抛物线方程为F=-10y,

所以当歹=-2.5-0.7=—3.2时，X2=-10X(-3.2)=32,

解得x=±4及，

所以当水面下降0.7m后，水面的宽度为4及x2=8j5m.

故选：B.

5.C

【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD：求出线段GG的中垂线方程

判断C.

【详解】由题意有：圆G：(X-2)2+V=4的圆心C"2,0),半径12,

圆G：/+(y—2)2=4的圆心。2(。，2),半径4二2,|。臼=2收€(0力+々)，

圆G与圆G相交，有2条公切线，故AB错误；

对于D,两圆方程相减得公共弦所在直线方程x-y=(),故D错误：

对于c,线段GG的中垂线的斜率为1,过线段GG的中点(1』)，该中垂线方程为x-y=o,

又圆G与圆G是等圆，它们关于线段GG的中垂线对称，故c正确.

故选：c.

6.B

【分析】对P的位置进行分类讨论，再利用换元法结合余弦函数性质求解最值即可.

【详解】设P(x。/。)，则(4+*『=2工；-2端

当点尸位于坐标原点时，|。"二0；

当点。异于坐标原点时，可得|OP|=W+W=2x率再■方

X6+%.(xG+苏x-+y-)

答案第2页，共12页

而,—{MT备儿

>02

故令2=cos2。,22=sin6>,且cos?。—sin?ON0,

%+No+)'o

则|OP『=x：+y：=2(cos2"sin?夕)=2cos2。,

由余弦函数性质得0引。用工2,故|OP|的最大值为J2,故B正确.

故选：B.

7.B

【分析】先求出圆心仪0,-2）到直线》=Gx+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.

【详解】由题意,

在圆/十（y十2『二/（/’0）中，圆心石（0,2）,半径为，，

到直线歹=百工+2的距离为1的点有且仅有2个,

|0XV3-(-2)X14-2|

•••圆心E(0,-2)到直线y=^x+2的距离为：d=,⑼(1=2,

当，,=1时,

圆一+（尸2）2=/（/•>（））上有且仅有一个点（彳点）到直线广百x+2的距离等于1；

当尸=3时,

圆/+（尸2）2=/&〉0）上有且仅有三个点（B,C,D点、）到直线”百工+2的距离等于1；

当则，•的取值范围为（1,3）时,

圆一।（h2『―］（,.>0）上有且仅有两个点到直线y=^x+2的距离等于1.

答案第3页，共12页

故选：B.

8.B

【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率.

【详解】设耳（一。,0）,玛（c,0）,/（与J。）,8（0,必），.•.用力=（与一心为），一%必），

5

xQ-c=-^(-c)

——2——

又生力=_§"△,.•・，解得•

22

儿二一,必%=一/

J

82______o2

此时引=-c,—V.,FB=(c,y),'：FA1.FB,:.-c2--y^=0解得必2=4。)

33,1il{Xj3t

又点5好等2）在。上•器+某”25c216c2,

:乂2=4c：

339a29b2

25("-//)16(«2-772)

又•.•/=/—〃，即…解畤

9护J

2c2a2-Z>2,62,41

e=—7=——；—=I——=1——=-

a2a2a2r55

即6=虫.

5

故选：B

9.AC

【分析】根据函数/（力的图象确定在力,8处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导

数值的正负，逐项判断即可得结论.

【详解】由/（力的图象在点8处的切线斜率小于0,即/'（3）＜0,故A正确:

表示/（x）的图象在点力处的切线斜率，故/'（T＜0,故B错误；

由图可知/（—1）＞0，/'（-1）＜。，故〃-1）一/'（-1）＞0,故C正确；

直线OR的斜率小于/（x）的图象在点R处的切线斜率.

即/（3）-/（。）＜/,（3）,所以/（3）-3/'（3）＜0,D错误，

3—0

故选：AC

1（）.ABC

【分析】对•于A,利用空间向量共线的充要条件即可判断；对于B,根据空间向量共面的充

要条件判断；对于C,利用投影向量的定义计算判断；对于D,根据空间的基底概念即可判

答案第4页，共12页

断.

【详解】对于A,由）/4可得（=；=解得〃?=g,故A正确：

对于B,点。为平面Z8C内的一点，且而=+x瓦+J灰（x,ywR）,

由共面向量基本定理，可得x+y+，=l，即x+y=1,故B正确；

44

对于C,因斤二（0,1,2）石=（0,0,1）,

则G在B上的投影向量为萨6=］（0,0,1）=（0,0,2）,故C正确；

对于D,{〃/,<?}是空间的一组基底，而。+2B+e=（i+B）+（B+e）,

^a+bji+c,a+2b+c是共面向量,

故,法万ic,5I2b间不足空间的一组基底，即D错误.

故选：ABC.

11.AD

【分析】先由条件分类讨论得到。<9<1，4。22>12。23<1，再利用等比数列的性质即可求

解.

【详解】?％>1,（“2022""I），（"2023—1）<。»“2022，°2023>-,

1千^2022>1

,,。2022，°2023问号，且,1或41

1。2023<1

若q<°，贝I。2022M2023不同号；

若421,则。2M2>若2023>1，不满足要求；

故可得0<9<1，。2022>1«2023<1，故A正确:

“2022,二2024-1=嗑3-，且。2023<］，可得^2022-a2024一1=$023-°，故B错;

,*4)23=4022.02023,乂:出022>1，。2023<4)23<4)22且^2022最大，故C错;

4()44=4142a3,.4042a4043/044，^4045=41a2a3'',^4043<740+404045且｛%｝为等比数列，

由等比数列的性质可得AM=（见022•生023r'2>1，几邓=（生023户“<1，

答案第5页，共12页

.•・使。>1成立的最大自然数〃等于4044,故D正确.

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得（）<，/<1，进而得到。2022>1，『23<1，从而

得解.

12.60°

【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法计算即可.

【详解】取力3中点连接CW.

5AC1.BC,AB=2,BC=AC=y[2=BC,/.CM1AB•

取BD中点H,:.MH"AD,vADA.AB,MH1AB.

分别以M为原点，月月，MC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则4(-1,0,0),8(1,0,0),C(0,0J),£)(-1,^,0),

则方=(2,0,0),CD=(-l,>/2,-l),

故d需WY

又因为两异面直线的夹角范围是0,5

故异面直线AB和CD所成角为60°.

故答案为：60°.

13.2

【分析】由题意得人氐，再结合e=1+⑶即可求解.

Vyd

【详解】渐近线方程为及±”=0,

be

•・•点尸到渐近线的距离为=b.：•〃+/=42.

\la2+b2a

答案第6页，共12页

即b=，所以e='l+—j=2.

故答案为：2.

14.(-8,-3)U(l,+8)

【分析】设切点坐标为(七,(.％-1)七")，表示出切线方程，根据切线过点460)得关于•%的

一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可.

【详解】设切点坐标为值,(/-1""),因为=

所以切线的斜率々=玉£”,

所以切线方程是N—(x。-1)小=/卜(工一方),

因为切线过点4"，0),

x2

所以-(x0-l)e°=x°e"(tf-x0),即x0一(a+l)x0+1=0,

因为过点4。，0)可以作曲线的两条切线，

所以方程婕―(。+1)/+1=0有两个不同的根，

所以△=(a+l)2-4＞0,

解得。＞1或。＜-3.

故答案为：(YO,-3)U(L+R).

15.⑴±G

(2)(X+1)2+/

【分析】(1)设出直线/的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；

(2)建立点M和点力之间的关系式，再利用点力的坐标满足的关系式得到点M的坐标满

足的条件，即可求出.

【详解】(1)已知C的圆心是。(。⑼,半径是

设直线斜率为上

则直线方程是y=%(x+2),即依—y+2R=0,

答案第7页，共12页

则圆心到直线距离为-J==百

收+1

解得直线的斜率％=±百.

(2)设点“。,田,8(彳0，/)则,

丫/-2

2

由点〃是48的中点得，

-2

所以仁二①

因为6在圆C上运动，所以。:片+稣2=3②

①代入②得，(2x+2>+(2)，尸=3,

化简得点例的轨迹方程是(X+I)?+_/==.

4

16.(l)q=223(万立方米)，%N=，“-17.

(2)2=85,理由见解析.

(3)至少到2032年底才能达到公司速生林木保有量的规划要求.

【分析】(1)根据题意可得可及递推关系；

(2)假设存在，则有4+产的T+以，据(1)中的递推关系可求2=85,再证明此时｛%-85｝

为等比数列；

(3)令85+138XCJ'N800,根据题设中给出的数据可得至少到2042年底才能达到公司

速牛.林木保有量的规划要求.

【详解】(1)《=200(1+20%)-17=223(万立方米)，

又％=(1+2()%”“-17〈4-17即1=夕厂17.

(2)若存在实数力,使得数列｛%+4为等比数列，

则存在非零常数9,使得—+丸=夕(%+4，整理得到%=的-2+以，

而见+i二(。”-17，故9=：国/1一/1=17即2=85.

答案第8页，共12页

当2=85,则凡+/85=(备—102=g(q「85),

aa—856

而《―85=223—85=138工0,故q「85=0即向二小

凡一以5

故｛%-85｝为等比数列，政存在常数；1=85,使得｛%+*为等比数列.

(3)由(2)可得85｝是首项为138,公比为［的等比数列，

故%-85=223x(?,即%=85+223x(5),此时｛%｝为递增数列.

令〃“24X200,则85+138乂((>800,

(fi\

当〃=9时，85+138x-=85+138x-«85+138x4.3=678.4<800,

-=85+l38x-«85+138x5.2=802.6>800,

5J⑸

故至少到2032年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.

17.(1)证明见解析；

⑵g

O

【分析】(1)由勾股定理证得再由线面垂直的判定定理即可证得.

(2)由(1)的信息建立空间直角坐标系，求出平面方。。的法向量而，再利用公式

sin0=|COS(/M,PA)|求解.

(3)设迎=2PC=(0,22,-2)(0<A<1),分别求出平面BDP和平面BDQ的法向量％和W,

利用公式|。。《十点)|,求点。的位置.

【详解】(1)在四棱锥产一/4CO中，由PD=AD=1,CD=2,PC=«,PA=C,

^PD2+CD2=PC2,PD2+AD1=PA2，则CQ_LPD/1D_LPO,

又CDC\AD=D,且CQNQu平面N8CQ,所以PO_L平面.

(2)由(1)知PQMRDC两两垂直，以。为原点，直线。4。。,。尸分别为xj，z轴建立空

间直角坐标系，

答案第9页，共12页

则。(0,(),0),/(1。())向1,1,0),0(0,0,1)。0,2,0),由。为棱尸C的中点，得。(0,1[),

PA=(1,0,-1),而=(1,1,0),丽=(0,1,1),设平面BDQ的法向量7=(x0，wz。),

DBm=%+盟=0

则一\,取与=1,得而=（1,-1,2）,设直线尸力与平面8。。所成角为。,

DQm=yo+-zo=0

则sin”|cos诵初|=第二寻耳吟

所以直线与平面3。。所成角的正弦值为坐.

6

(3)由(2)知丽=(0,0,1),痂二(1,1,0),衣=(0,2,-1),

设闻=APC=(0,22,-2)(0<2<1),则丽=丽+闻=(0,2/1,1—4),

DBn.=x.+y.=0

设平面3D。的法向量/=（石,切,马），则，--1''，令弘=4-1，得

DQ-%=24yl+(1-A)zl=0

=(1-2,2-1,22),

•〃，=x,+必=0_

设平面8。尸的法向量为附虫孙必口）,由＜_____：，令必=T，得〃，=。,一1,0)，

DPn2=z2=0

由二面角尸—-。的余弦值为立，得|cos®,&|=/产-2=坐,

3V622-42+2-5/23

即/:一”=整理得22一1=0,解得％=:，

V322-22+l32

所以崇4

18.(1)勺=4,(-3)1

⑵7；=（2〃-1）.3"+1

【分析】（1）利用退位法可求｛4｝的通项公式.

答案第10页，共12页

（2）利用错位相减法可求q.

【详解】（1）当〃=1时，4s|=4q=3q+4,解得q=4.

当〃22时，45._]=31+4,所以4sl，-4s愕=4a“=3%-34T即％=,

而6=4/0,故凡工0,wft-=-3,

an-\

.•・数列｛%｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以勺=4・（—3）I.

（2