2026高考数学二轮复习专项突破：平面向量

第4讲平面向量

—■部究真题明确方向■------------------------------------------------------------------------

1.（2025•全国I卷，T6）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中

称为视风风速.视风风速对应的向量是其风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速

对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.

已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（线段长度代表速度大小,

单位：m/s）,则该时刻的真风为（）

级数名称风速大小（单位：m/s）

2轻风1.6〜3.3

3微风3.4〜5.4

4和风5.5〜7.9

5劲风8.0-10.7

A.轻风B.微风C.和风D.劲风

2.（2024•全国甲卷，T9）设向扇。=（rH,x）,b=（x,2）,则（）

A.“户・3”是“W的必要条件B.“尸・3”是%〃力”的必要条件

C.".10”是的充分条件D.“x=-l+V5”是％〃厂的充分条件

3.（2024•新课标H卷，T3）已知向量mb满足同=1,|〃+2"=2,且Q-2o）_Lb,则冏等于（）

A.1B.yC.yD.l

4.（2025•全国H卷,T12）已知平面向量o=（x,1）,h=（x-1,2x）,若a_L（a・b）,则同=.

5.（2025•天津卷，T14）在△月6c中，。为月6边的中点，CE=^CD,AB=a,AC=b,贝1］元=______（用a,b

表示），若|荏1=5,AEA,CB,则荏而=.

6.（2024•天津卷，T14）在边长为1的正方形力88中，点E为线段的三等分点，CE=^DE,

屁=2瓦5+"无，则%+"=；若尸为线段8E上的动点，G为〃'的中点，则万•丽的最小值

为.

命题热度：

本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值为5分.

考查方向：

一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的

数量根，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；

二是考查平面向量基本定理，利比基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根

据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算，研究最值问题或平面图形的几何性质等.

1.答案A

解析由题意及题图得，视风风速对应的向量为〃=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),

视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，

船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，

设真风风速对应的向量为〃I,船行风风速对应的向量为〃2,

/.w=wi+/i2,〃2=・[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

•二〃I=〃-〃2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),

.•・一2)2+22=2缶2.828,

由表格可得，该时刻的真风为轻风.

2.答案C

解析对A,当。_16时，贝

所以x(x+l)+2t=0,

解得尸0或尸-3,

即必要性不成立，故A错误；

对C,当尸0时，〃=(1,0),6(0,2),

故“6=0,所以“_!_〃，

即充分性成立，故C正确；

对B,当时，2(x+l)=x2,解得-1±百，

即必要性不成立，故B错误；

对D,当--1+百时，不满足2(/1)=/，

所以。〃〃不成立，

即充分性不成立，故D错误.

3.答案B

解析因为S-2a)J_〃，

所以(6-2a)力=0,

即h2=2ah,

又因为|。|=1,|〃+26|=2.

所以1+4〃4+4。2=1+6瓜=4,

从而|6|=5.

4.答案V2

解析a-b=（1,l-2x）,因为a_L（a-。），则G（〃-b）=O,

则x-H-2x=0,解得x=l.

则o=（l,1）则|Q|=V2.

5.答案）令-15

解析如图，因为而q而，所以泰-冠=1（而-芯），所以荏而3尼.

JJJJ

因为D为线段48的中点，所以而三荏•《芯彳号；

2

因为|亚|=5,AELCB,CB=a-b,所以荏2=@Q+|b)啖2彳山印2=25,①

AE-CB=(ya+^b\(a-b)=^a2+^ab^b2=0,所以层+30•力=4"，②

\63/623

由①②得标+4〃山=180,

….…♦,一.1一.,一.1

^CD=AD-AC=^AB-AC=^a-h,

所^AE-CD=^ci+—")='^办"乡2=^(0+2a,b-8b2)

=-^(a:+2ab-2a2-6ab)=-^(-a2-4ab>)=^X(-180)=-15.

6.答案|磊

解析方法一因为CE=^DE,

即在=|通，

贝廊=痔科|BA+BC,

可得;1=1,〃=1,

所以a■"一米

由题意可知，|近|=|瓦可=1,

BABC=0f

因为E为线段BE上的动点，

i^BF=kBE=^kBA+kBCf10,1],

则AF=AB^BF=AB+kBE

=Q/c-1)~BA^kBC.

又因为G为力厂的中点，

贝ijDG^DA+AG=^BC-^AF

=1(*1)前曲-1)近，

可得赤•瓦=[(gk_1)而+k近]1)而+弓1—1)

=K*T加0T)

又由上£[0,1]可知，

当A-1时，而•而取到最小值为之.

1O

方法二以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则力(-1,0),5(0,0),

C(0,1),。(-1,1),

E(/A

可得瓦5=(-1,0),BC=(0,1),

麓代，1),

因为血=1.瓦5+〃灰=(-九〃)，

则3所以4+4.；

〃=1，

因为点尸在线段8E：尸・3x,xw|-g,0上,

设厂(0,-3q)，o],

且G为力歹的中点，则G(等，-|a),

可得AF—(«+1,-3a),

得(等,

则而无-％%(-30(_|。-1)

=5(。+六,

且回-加，

所以当4=4时，

万•瓦取到最小值为4

1O

考点一平面向量的基本运算

例1（1）（多选）向量。，〃满足同=2,网=1,（〃+2用”=6,下列说法正确的是（）

A.abW

B.o与b的夹角夕为60°

C.。在〃上的投影向量的模为I

D.\a-b\=y/3

答案BCD

解析V\a\=2,|力|=1,(a+2h)a=6,

/.(a+2b)a=a2+2a-b=\a\2+2ab=4+2ab=6,.\ab=\,故A错误;

(rb=\a\\b\cos柒2cos0=\,

/.cos0=^.

V00<<9^1800,.••g60。，故B正确;

在〃上的投影向量为券心=〃，

・•“在b上的投影向量的模为1,故C正确;

•••印什=|砰・2a6卜网2=4-2X1+1=3,：.\a-b\=y/3f故D正确.

（2）如或在四边形48CQ中，|版|=4,BABC=\2,E为4c的中点.丽=2而,则而•丽的值为（）

答案A

解析方法一（基底法）

在△HBC中，由余弦定理得

ZC^B^+BC2-2848ccosN力BC,

/.42=BA2±BC2-2BABC=BA2+BC2-2X12,

又VADCD=（BD-BA）-（BD-BC）

二（萍-网•（!而-~BC）

=6廊+玩）―网正画+BC）-BC]

=（一源+词•（海一阿

=噌而2噌前24前说

―(BA2+BC2)-^BABC

168

35

=_2.x404X12=0.

168

方法二(极化恒等式)

・・・|m|=4,E为力。的中点，

・・.丽=|国=2,

根据极化恒等式可得瓦『正|=前臼瓦徉=|诙|2-4=12,

.,质1=4,

：.\DE\=^BE\=2,

：.WDCD=DADC=\DE\2-\EA\2=4-4=().

［规律方法］

1.求非零向量％〃数量积的三种方法

(1)定义法:a-b=\a\\b\cos〈*b).

(2)坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设4=(X1,口),6=(X2,㈤,则

ab=x\X2+y\y2；②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表不出向量的坐标，进而利用坐标运算

求解.

(3)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解.

2.含有线段中点的向量问题，利用句量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化.

极化恒等式：ab=^(a+b)2-(a-b)2］.

跟踪演练1⑴(2025・杭州模拟)已知向量〃=(1,-1),b=(2,1),若3+b)_L(3+®,则实数Z等于

()

A.1或gB.-2或g

C.-1或2D.-2或1

答案D

解析仅+b="+2,-/+1),-2〃+必=(-2+2，，2+Z),

•；(心叫［(-2什必),

/.(ta-lf)(-2a+tb)=0,

即”+2)(-2+2。+(“+1)(2+。=(什2)(")=0,；.片-2或片1.

(2)(2025・合肥质检)己知向量为=(1,0),62=(1»V3)»设〃=4ei+e2，b=3ei-C2则。与6的夹角为()

A-B-C-D—

答案C

解析因为3=(1,0),62=(1,V3),

所以a=4ei+e2=(4,0)+(1,V3)=(5,V3),

b=3ei-e2=(3,0)-(1,V3)=(2,-x/3),

所以ab=5X2+V3X(-V3)=7,

13=」52+（75）2=2夕,

步|=心+（一b）2=夕,

设a与b的夹角为仇

则cos』熹号又软1°,呼

所以片，即〃与b的夹角为木

考点二平面向量基本定理

例2（1）（2025•重庆模拟）如图，在平行四边形48CQ中，已知方=!而，裾4南，直线跖，3交于

点。，若而=〃，AD=b,则同等于（

A.京中管

〃1.2.

C3aVD.|a+%

答案D

解析设筋=2屁，Ae（o,1）,则

而=而廊=荏+痂=荏+入（前十两尸a+A（b-1a）=（l-乃,

又6=3而，a=AC-AD=AC-3AF,

所以方=（1-0（AC-3AF）+3AAF=（1-§前+作一3）而，

因为F,。，。三点共线，所以1■^玲＞3=1,

解得后，

4

所以40=（1—力彳.

（2）如务，在菱形48CO中，E,尸分别为力8,8C上的点，屁=3瓦3,炉工3斤.若线段EV上存在一点用,

使得而=|觉+x病（x七R）,则x等于（）

A.1呜

答案A

解析方法一（基底法）

•・•丽=3丽，丽=3丽，

・・・EF〃AC且EF三AC,

4

：.EF^AC=^DA-^DC,

444

,:E,M,尸三点共线,

设的=/F?(0WrWi),

・・・丽赤+荏+丽母代京屏

^DA-^DC^tDA-^-tDC

444

=。-汨成+6+“癖，

又.•,丽=1沅+痂，

・缶，，沁

・［3,113

方法二(等和线)

由图可知，直线4C是以｛沆，/｝为基底，值为1的等和线,

设DM与4c交于点N,夫尸女,

又・.7C〃族，则罂4，

DN4

二•卜W，解得后，

［规律方法］

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量

的形式，再通过向量的运算来解决.

2.平面向量等和线定理

平面内一个基底｛^，砺｝及任一向量而，且而=而不■"丽(九〃WR),若点p在直线48上或在平行于

力的直线上，且L丘缥,则人+〃=网定值)，反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线

4OF一OB圣OA48

称为平面向量基本定理系数的等和线.

(1)当等和线恰为直线48时，k=\\

(2)当等和线在。点和宜线力B之间时，(£(0,1);

(3)当直线45在。点和等和线之间时,<£(1,+8)：

(4)当等和线过0点时，A=0:

(5)若两条等和线关于。点对称，则定值攵互为相反数；

(6)定值k的绝对值与等和线到。点的距离成正比.

跟踪演练2(1)(2025•大庆模拟)如图所示，在△力台。中，N34C=90。，/5=6,点。是〃。的中点，点

E在40上，且。七=2力£若展•而=-5,则力。等十()

A

A.6B.8D.6V5

答案B

解析由/历1090。，得而•n=0,

由点。是8C的中点，DE=2EA,

^-AE^AD^X^AB+AC^AB+iAC,BE=AE-AB^AC-^AB,

3316666

则而而=1（尼-5而）4（而+隔二（7浮-4而m-5而2）=±（|^C|2.5X62）=-^,解得|前|=8,即AC=S.

oL1Z1Z6

（2）（多选）（2025・长沙模拟）记△4BC的内角力，B,C的对边分别为。，b,c,2b2+2c2=5a2AE=^-AC

f•Jf

AF=^AB,BE交CF于点M,AM交BC于点D,贝i」（）

A.cosZ5JC>|

B.…B—D^2B—C—♦

J

C.AD=a

D.若△力8c的面积为18,BE=3,贝lJCM=8

答案ACD

缶丑/二/…X+/一混/"+c2)

解析cosZBAC=-2-b——c=^—2bc—》工5，

当且仅当b=c时取等号，选项A正确；

设而力福，由族=|丽而=|福得等翳黑，

33MCMBBC3

贝|］丽=万号陷而号(AC^AF)=^AF+^AC=^AB+^AC,

可得而=i而Y荏£尼，

44

由仇D,C三点共线可得衿1,2=2,

44

即而三通弓正，。是边8c的中点，选项B错误；

因为。是边8c的中点，则而2=(；而+g而y中2按+2c2/)=a2,即力£"选项C正确;

因为乐•存=(荏-说)•(而-前尸冠-AB^AB-AC^=^-bccosZBAC-^b2+c2)

=^(/>2-c2-i72)-1(Z>2+c2)=|a2—。2)1"=0,则BE.LCF,

由荏［南AF=^ABt

可知所〃5C,SyE4yBC,

8

则S域形BCE尸手少16,

且Sm形3团今5a。力义3乂矢7%则CM=8,选项D正确.

考点三平面向量的最值与范围问题

例3（1）如图，边长为1的正方形44co内接于圆。，夕是弧8C（包括端点）上一点，则而标的取值

范围是（）

A.［l，竽B.［l,竽

如，阴D净1］

答案c

解析方法一（坐标法）

如图建立平面直角坐标系，则

Xr-0*

又圆。的半径为尸当，

设，（苧cos。，亨sin。），

•・•点P在位（包括端点）上，［一%：］,

.••丽=（当cos8+g,ysin0+1）,而=（1,0）,

.,•加75=*os吗:问-：，.，

・♦・cosOW惇，1］,冬os呜£口，竽］,

,而四的取值范围是［1,竽］

方法二（投影法）

当P在劣瓠8c的中点时，向量所在向量荏上投影向量的模最大，为芋,

由数量积的几何意义知

（而•通）义1上¥，

当夕在4或。处时，向量存在向量施上投影向量的模最小，为1,・•・（而•南）min=lXl=l,

二.而说的取值范围是[1,竽].

（2）（2025・安庆模拟）已知向量”，〃满足同=网=2,ab=2,向量a-c与向量A-c的夹角为士则|a-c|的最大

6

值为（）

A.V3B.2C.^D.4

答案D

解析由a-b=\a\\b\cos〈〃，6〉=4cos〈％b）=2,故cos（a,b]=1,即<％b>=^,

如图，设而=%OB=b.OC=c,则△048是等边三角形，

;向量c满足〃-c与b-c的夹角为I

•・•点C在AB外且/力C8为定值，

・・・C的轨迹是两段圆瓠，/4C8是弦力8所对的圆周角，，当4C是48所在圆的直径时，|〃书取得最大值

2R（R为△/外接圆的半径），

在。中，由正弦定理可得2R*X=4,

故\a-c\的最大值为4.

[规律方法]向量数量积的最值（范围）问题的解题策略

（1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征

直接进行判断.

（2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等

问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.

跟踪演练3（1）在平行四边形48co中，需暮察，xe[V7,3],则cosNA"）的取值范围是（）

\An\\AU\|AC|

Akb-z]B[-bI

c.IVI]D[-r~1]

答案A

解析设与而同方向的单位向量点「约，与而同方向的单位向量森62,与而同方向的单位向量点「63,

由题意，约+3«2=初3,所以

即ej+6ei・e2+9e§=Re；,

所以1+6X1X1XcosZ^^ZH9=A2,

所以cosN84。一'二?

6

因为[夕，3],所以万£[7,9],

所以华MT

即cos/84)的取值范围是卜]-1].

(2)(2025•宜春模拟)若图中正方形48co的边长为4,圆O的半径为4VL正方形力BCO的中心与圆O

的圆心重合，动点，在圆O上，且而=2而+〃而，则7+"的最大值为()

4B

答案C

解析方法一(坐标法)

建立如图所示的平面直角坐标系，则4(0,0),8(4,0),。(0,4),

点P在圆(*2)2+8・2)2=32上，

设点P(2+4A/2COS0,2+4-72sin3),

则彳？=(2149cos〃，214鱼sin〃)，而=(4,0),彳方=(0,4),因为而=2而四前,

所以(2+4&cos。,2+4&sin〃)="4,0)+〃(0,4尸(42,4/7),

所以4X=2+4A/2COS4/z=2+4V2sin仇

所以2+〃=V^sinO+V^cos田■l=2sin(。+已)+1W3,即2+〃的最大值为3.

方法二(等和线法)

因为万而g而，

则直线8。是以｛而，而｝为基底，值为1的等和线，如图，作8。的平行线与圆O相切于点尸，由等和线

定理可知，此时取得最大值，最大值为浮笋=3.

专题强化练

［分值：84分］

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2025•北京延庆区模拟）已知同=75,网=2,ab=3,则储，b）为（）

A.JB.；CgDg

6432

答案A

解析因为cos〈明力备册今

所以（〃，b）=^.

O

2.（2023•全国乙卷）正方形力8c。的边长是2,E是48的中点，则瓦•前等于（）

A.V5B.3C.2V5D.5

答案B

解析方法一以｛施，而｝为基底，

可知|通|=|而|=2,ABAD=0f

则比=丽+正三将同，

ED=EA+AD=-^-AB+AD,

2

所以说•前=弓通+而）（一g而十而）

=二而2+而2=-"4=3.

4

方法二

如图，以4为坐标原点建立平面直角坐标系,

贝0）,C（2,2）,Z）（0,2）,

可得说=（1,2）,ED=（-1,2）,

所以说而=-1+4=3.

方法三由题意可得，ED=EC=®8=2,

在中，由余弦定理可得

DE2+CE2-DC25+5-43

COS/DEC—2DE.CE

所以正•前=|前||前IcosNOEC

-V5xV5x1-3.

方法四设。。的中点为O,由极化恒等式可得瓦•前=|的F-I尻F=3.

3.（2025・滁州质检）已知。为△力8C的重心，。为的中点，则而等于（）

2363

C^AB+^-ACD.^-AB-^AC

3423

答案B

解析由题意得标=1CD=^（而+而）=!（而-而-T碍H而Tm.

4.（2025•郴州模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知4（2,・1）,8（1,1）,OP=WA+（2-X）OB,若

而，则2的值为（）

A.4B.2C.-2D.-3

答案A

解析因为4(2,-1),8(1,1),

所以沅5=(2,-1),OB=(\f1),

又加=/07+(2U)赤=穴2,-l)+(2-2)(l»l)=(2+z,2-2A),

且正而，所以而•丽=(2+7)义1+(2-22)XI=4-2=0,解得7=4.

5.(2025•蚌埠模拟)在四边形4伙刀中，2用=3配，AB=(],V2),由5=(V2,-i),则该四边形的面积为()

A.4B.2V2C.1D.v

24

答案c

解析由而=（1,V2）,而=（企，-1）,

可得屈•而=（1,V2）-（V2,-l）=V2-^=0,

所以而_L而，所以Sc=1|砌祠=|xVmxTT=1,

又2而=3沆，所以反三而，且反〃而，

所以|DC|W/1B|丹，AD1DC,

•JJ

s/7vxI比II而I^x竽XV5=1,

所以S四让形

6.（2025•河南豫东名校模拟）已知平面向量mb,c,满足同=|力|=4次，a与6的夹角为?且5-2c>S-c）=0,

则同的最大值为（)

A.2V5+3B.V21+3

C.2V5+V3D.V21+V3

答案B

解析依题意，ab=4\[3X4>/3cos^=24,

\a+2b\=Ja24-4b2+4a-b=4V21,

由(a-2r>S-e)=O,得ah-(a+2h),c4-2c2=O,

即21d2+24=4怎|c|cos〈a+2b,GW4vHic

当且仅当a+2b与。同向共线时取等号，

于是时・2vHicI+12W0,

解得怎-3<|c|<应1+3,

所以|c|的最大值为怎+3.

7.若川为双曲线痣=1上经过原点的一条动弦，A4为圆C：/+0，-2）2=］上的一个动点，则以•丽的最大

值为（）

A.vB.7C.-7D.-16

4

答案C

解析如图，。为的中点，连接

雨丽=丽|2［丽2,

而膻O|max=|OC|+l=3,/4|min=2a=8,

所以福•丽的最大值为9二义64=工

4

8.（2025•安庆模拟）已知£,。分别为等差数列{。“},{6}的前〃项和，泞空,设点4是直线8c外一点，

点P是直线8c上一点，且而里界丽+2尼，则实数2的值为（）

A.4B.-^C.4D.唱

25252525

答案D

解析段鬻^v°，〃£N）

不妨设Slt=（3n+2）nk,4=（4〃+5）〃%,

因为P,B,C三点共线，所以竿/；1=1,

»3

所以2。4।1又ajZajai+叩_「2x5_$7x5_7k（21+2）乂5_23

货小抬'人的2b3.*为"蚂短77\75k（20+5）725'

所以争曰纽=］,久吟

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.（2025・广州模拟）无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速

度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向悬:称为地速向量，其为空速向量与风速向量

之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过

2m/s或纵向偏移量（沿线路方向的向量分量，其标准值为4m/s）超过标准值lm/s时，需调整飞行姿态.已

知某区域风速稳定，某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时，空速向量为（3,4）（单位：m/s）,风速向

量为（1，-1）（单位：m/s）,则（）

A.地速向量的大小为5m/s

B.地速向量的方向与空速向量的方向相同

C.纵向偏移量与标准值无偏差

D.该无人机需要调整飞行姿态

答案ACD

解析设空速向量为明风速向量为人地速向量为C,则4=(3,4),〃=(1,-1),

所以c=〃+b=(3,4)+(1,-1)=(4,3),所以|c|=j42+32=5,

所以地速向量的大小为5m/s,故A正确；

由。=(3,4),c=(4.3)可知地球向曷的方向与空速向量的方向不相同,故B错误：

由于纵向偏移量为4m/s,与标准值无偏差，故C正确；

由于无人机计划沿x轴正方向为线路巡检，而地速向量片(4,3),

所以需要调整飞行姿态，故D正确.

10.(2025•重庆模拟)已知点尸是A4?。所在平面内一点，且而=2小而+〃而，〃?，〃£R,则下列说法正确的

是()

A.若片〃=1,则点P是边BC的中点

B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则〃?=〃=!

C.若2m+n=^,则SdPB0SyBc

D.若点尸在8c的中线上，且2〃?+〃4则点P是△45C的重心

答案BD

解析对于A,因为赤=2〃荏+〃前，P为边8C的中点等价于2加=〃€，

即/n=2，故A错误；

41

对于B,如图1,点P是边8c上箪近8点的三等分点，

则AP-AB+BP-ABC-AB+^(ACAB)-=-AB+^AC,

即2w=1,zi=|,即m=w=1,故B正确；

对于C,若2m+〃W，则2Ap=2(2〃M8+〃4C)=4〃h48+2〃i4C,且4〃?+2〃=l,

4

如图2,设前=2而，即而?=46而+2〃刀，则点/W在8c上,

点P为4W的中点，所以Sg&WSjsc,故C错误；

2

对于D,若2"+〃=^，

所^AP=^(2mAB+nAC)=3mAB-^nAC,且3〃?号〃=1,

4乙4乙

如图3,设丽=1诅即丽=3加而号左，则点N在BC上，又因为P在8c的中线上，则4V即为中线,

从而点P为的重心，故D正确.

II.如图，在正方形48CQ中，E为48的中点，.”为线段/。上的动点(包括端点)，丽=/触+〃而，则下

列结论正确的是()

A.当M为线段力。的中点时，2+4=|

的最大值为:

C."的取值范围为[0,1]

D/+〃的取值范围为[；,2]

答案AC

解析根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设8。=2,则8(0,0),仇0,1),3(2,2),

设Mf，2),则0W/W2,

由于丽=2而+"而，所以(1,2)=z(0,1)+"(2,2),

整理得2〃=，，升2〃=2,则l=2-/,/4，

对于A,当M为力。的中点时，/=1,故7+〃=2另，故A正确；

对于B,加=(2・f)夕审=?“)%由于0W/W2,当片1时，”取得最大值g,故B错误;

对于C,由于"=1,0«,所以0<"Wl,故〃的取值范围为[0,1],故C正确；

对于D,2+4=2悔，由04W2,得21£[1,2],故升4的取值范围为[1,2],故D错误.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.(2025•辽阳模拟)已知向量4=(21),b=(l,x),若〃〃"则。尸.

答案y

解析由“〃6,可得-2x-l=0,解得x=T，

则6=(1,—g),。-6=(-3,|),

所以a(«-^)=6+|=y.

13.已知△408,点尸在直线川？上，且满足而=2/刀+痂“WR],则簪.

答案I

解析方法一(坐标法)

建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图,

A(0,0)P(〃,0)fl(w.O)x

由前=2/而+/砺,

代入坐标即得(〃-。，-力)=2/(-〃，O)+i(ni-a,-b),

n-a=-2nt+mt-at,ft=1,

则

{-b=-tb,(3n=m,

所以爵

\PB\Im-nl2

方法二(向量转化法)

诃=2/画-研+/而=(1+2t)OP=2tCA+tOB,

由4P,6三点共线，得1+2片2/+/,则片1,

从而3OP=2OA+OB=2OP+2PA+OP^-PBf

即0=2腐+而，所以翳i

14.(2025・天津南开模拟)在梯形48C。中，AB=AD=2,~BC=^AD,AC~BD=-^,记而=a,AD=b,用0和力表

示而=；若点E为8。上一动点(包括端点)，则荏尻的最大值为.

答案，-a3

解析因为说而，所以说争，

44

CD=CB+BA+AD=^-b-a+b=-a-^-b=^-b-a；

444

因为福通+而=4彳，BD=BA+AD=-a+b,又於丽=，，

22

即(a4-1by(-a+b)=-a+^ab^b=-4+\ab+3=-\+^ab=-^t

可得。力=2,设前=2前，Ae[O,1],

贝ijAE=H8+丽=〃+2(-a+8)=(1

AEBC=［（\和=1+|九,

当Fl时，族•近有最大值3.

\a思维创新

（15题6分，16题5分，共11分）

15.（多选）奔驰定理：已知O是a/BC内一点，△8OC,AJOC,△408的面积分别为S1，Sg,Sc,且

&•万?+S"赤+Sc沅=0.设O是锐角△49C内的一点，角4B,C分别是△48C的三个内角，则（）

A.若亦F2而+3近=0,则5：S?：Sul：2：3

B