高中数学一轮复习：与圆有关的最值问题

微专题5与圆有关的最值问题

1.求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，整体的

思路为：

⑴定型：根据条件确定最值问题的类型；

⑵作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想分析；

⑶求值：根据图形，利用相关知识求解.

2.圆的最值类型：

⑴与距离有关的最值问题

①圆上的点到定点的距离的最值问题

i.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于|PC|+r,最小值等于|PC|-r；

ii.圆内一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于|PC|+r,最小值等于r-\PC\.

②圆上的点到定直线的距离的最值问题（直线1与圆相离，圆心到直线的距离为

d）

圆上的动点P到直线，距离的最大值等于d+r：最小值等于d-r.

③切线长的最值问题

从圆外任一点PQoJo）向圆引两条切线，圆心C,两切点分别为A,B,我们把线段PA,PB的长

度叫做切线长，设圆的半径为r,则有：

i.切线长的计算：|P4|=|PB|=J|PC|2—r2,当半径给定时，|PC|最小时，切线长最小；

ii.四边形P4CB的面积、角度等的最值，转化为研究直角三角形PAC,进一步转化为|PC|

最值问题.

④圆上的点到其他曲线上的点间的距离最值问题

圆上动点与其他曲线上动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题.

⑤过定点的圆的弦长问题

已知圆及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直在垂直的弦.

⑵与面积有关的最值问题

与圆的面积的最值问题，一般转化为求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系求

最值.

⑶圆上的点的坐标满足的代数式的取值范围

①数形结合转化为代数的几何意义

i.求形如k=T的最值问题，可转化为求斜率的最值问题,即过点（a/）和（x,y）的直线斜率

%-a

的最值问题；

11.求形如〃=ax+by的最值，可转化为求动直线截距的最值，即当直线与圆相切时，直线在

y轴上的截距取得最值；或把〃=QX+”代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程,

由4>0求得〃的范围，进而求得最值；

iii.求形如£=（X-Q）2+（y-8产的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值.

②利用圆的参数方程或消元法转化为函数问题求最值.

考点一建立函数关系求最值

【方法储备】

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调

性等方法求最值.解题时关键把握：构建正确的函数类型：确定自变量的取值范围，求解函数

的最值.

【典例精讲】

例1.（2025•福建省漳州市•模拟题）已知直线/:mx+y+2m=0与圆C:/+y2+6%一

2y=0交于力，B两点，则S^BC的最大值为（）

A.2B.4C.5D.10

例2.（2025•湖北省武汉市•模拟题）过直线y=t+1上任一点P向圆/+（y+1）2=1作

两条切线，切点为4B.则团用的最小值为（）

A.—B.—C.CD.C

22

【拓展提升】

练1-1.（2025•浙江省杭州市•模拟题）己知4B（不与原点。重合）分别为直线％+y=0与x-

y=0上的两点，C（0,2）,M为动点，且|而|=|而|,|而|=1.记三角形△40M、△BOM的

面积分别为Si、S2,若$1=企2，则4的取值范围是.

练1・2.（2025•浙江省•模拟题）在平面直角坐标系xOy中，射线。7与直线，:x=9,圆0:/+

必=9分别相交于4B两点，若线段0B上存在点M（m,兀）（不含端点），使得对于圆。上任意一

点P都满足粤=解，则加几的最大值为.

考点二数形结合求最值

【方法储备】

圆不仅是轴对称图形，而且是中心对称图形，利用圆相关的定理、性质，从图形视角解答最

值问题可极大的简化运算.当所求的代数式具有明显的几何意义，转化为儿何问题，利用数形

结合法求最值.

【典例精讲】

例3.（2025•福建省•期末考试）已知圆C：（x-2）2+（y-2）2=4,直线L：（m+2）x-my-

4=0,若，与圆C交于4B两点,设坐标原点为。，则|0川+2|。8|的最大值为（）

A.4cB.6cC.D.2/30

例4.（2025•湖北省•月考试卷）在直角梯形ABC。中，ABlADfAB//DC,AD=DC=1,

4B=2,动点P在以点。为圆心，且与直线BO相切的圆上或圆内移动，设而=/1而+

〃而（々“ER）,则M+ga”最大值是

例5.（2025•山东省聊城市•月考试卷）已知圆Q:（x-3）2+（y-m）2=与y轴相交于两点

A.B,且与直线上工=-2不相交.则下列选项正确的是（）

A.|词的取值范围是（3,5）

B.。为坐标原点，则|0川+|。阳的最小值为6

C.当圆Q与直线L相切时,\OA\=1（4在8下方）

D.若zn=4,过Z上一点S作圆Q的切线ST（T为切点），则切线长|ST|的最小值为3

【拓展提升】

练2・1.（2025•江苏省•月考试卷）己知正方形4BC0的边长为2,点P在以4为圆心，1为半径

的圆上,则|PB）+|PC|2+|PO|2的最小值为（）

A.18-8^B.18-8\T3C.19-8/^D.19-8\/-2

练22（2025•浙江省杭州市•期末考试）已知圆Ci：（%-4）2+（＞-5）2=9,圆C?：（工一

I）2+（y+I）2=1,点/在圆Ci上，点B在圆C2上，点P在x轴上，则|AP|-|BP|的最大值为（）

A.2XT5-4B.2c+4C.3n+4D.9

练23（2024•江苏省宿迁市联考）（多选）如图，M,N是圆0：x2+y2=4上的两个动点,

M0的延长线与直线&x+y-3=0交于点P.若/MPN=45。，则（）

A.|OP|的最小值为蜉

B.|OP|的最大值为

C.当乙MON=90。时，弦MN的长取最大值

D.|MN『的最大值为8+4门

考点三圆与向量综合求最值

【方法储备】

利用圆的向量方程的几何意义求解平面向量模长的最值问题，借助向量表达式提取出圆

的方程，数形结合作出图形，借助圆的性质求解.

补充：已知平面向量五,3，如果向量乙满足曰-G|=|川，则向量3终点的轨迹是以2的终

点为圆心，同为半径的圆.

【典例精讲】

例6.（2025•重庆市•月考试卷）已知落3为单位向量，且|五一2万|二/7,向量[满足于一

4%1+3=0.贝U|Z-（另一砂|的最小值为（）

A.V-l3-1B.<3-1C.14-2>/l3D.4-2c

例7.（2025糊北省•联考泗边形4BCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满

足|而+前+而+而|=4,顺而|的最大值是（）

A.1+CB.yT2-lC.2V2-1D.+1

【拓展提升】

练31（2025•安徽省•月考试卷）已知点P（3,4）和圆C：。-2）2+y2=4,A,8是圆C上两

个动点，且[48|二2「，则赤（瓦？+旗）（。为坐标原点）的取值范围是（）

A.[3,9]B.[1,11]C.[6,18]D.[2,22]

练32（2024•江苏省月考试卷）（多选）己知4（打,为），巩》2，、2）是圆。：/+y2=4上的

两点，则下列结论中正确的（）

A.若[4B|=2C，则4AOB=2

B.若点0到直线AB的距离为贝“力8|=2。

C.若乙AOB=p则氏+y1-l|+|x2+y2-1|的最大值为4

D.与工2+yjz的最小值为-4

考点四利用对称求最值

【方法储备】

求解形如|PM|+|PN|（其中M,N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思

路：

①“动化定”：把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；

②“曲化直”：即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.

【典例精讲】

例8.（2025糊南省邵阳市•模拟题）已知在棱长为3的正方体/BCD-/避心为中，点M是底

面A8C0内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan44M4=2tanN8MBi，则MN+ND的最小

值为.

例9.（2025•湖南省•月考试卷）已知O3：/+⑶-2产=1,©。2：（x-3）2+（y-6）2=9,

过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M,N,当|PM|+|PN|取到最小值时，点P坐标

为.

【拓展提升】

练4・1.（2025•北京市•模拟题）在直角坐标系％oy中,全集U=｛（x,y）|x,yG/?）,集合4=

｛（x,y）|xcos0+（y-4）sin<9=1,0<0<2TT｝,已知集合从的补集QA所对应区域的对称中心为

M,点P是线段工+丫=8（%>0/>0）上的动点，点。是%轴上的动点，则/MPQ周长的最小值

为（）

A.24B.4ATT0C.14D.8+4。

练4-2.（2024•山东省模拟题）（多选）己知直线，:x+y-2=0与圆C:/+y2=4交于4,

B两点，点M为圆。上的一动点，点N（—2,—2）,记M至"的距离为d,则下列结论正确的是（）

A.\AB\=V2

B.d的最大值为2。

C.2L4BN是等腰三角形

D.点P为直线2上的动点，|PM|+|PN|的最小值为2。+2

新题放送

1.（2025•福建省•月考试卷）已知实数a,b,c成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，

点:P的坐标为（一3,2）,点N的坐标为（2,3）.过点P作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为点M,

则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是（）

A.10B.6yf2C.4。D.前三个答案都不对

3.（2025•浙江省•专项测试）已知二b,之是非零向量，位一&=2c,（?-a）-（?-b）=-2,

A为任意实数，当Q-b与之的夹角为g时，日-的最小值是.

4.（2025•江苏省•模拟题）已知点71（0,2）,若圆（％-。）2+（丫一。+4）2=1上存在点「，使得

仍0|2+伊川2=34（。为坐标原点），则实数Q的取值范围为（）

A.（―oo,0]U[5,+oo）B.[0,5]

C.卜年-3]印,叶斗D.（…年）u『+8）

【答案解析】

例1.解：圆C：%2+y2+6x-2y=0转化为标准形式为（％+3）2+3-1）2=10,圆心

C'(-3,l),半径r=CU,

直线/：机》+、+2机=0(771€/?)恒过定点。(一2,0),则|QC|=/I,

设圆心C(-3,l)到直线1：mx+y+2m=0(meR)的距离为d,

则0<d<\QC\=\T2,\AB\=2」-d2=2V10-d2,

则^ABC的面积为g|48|♦d=dV10-d2=V10d2-d4=J-(*5)2+25,0<d2<

2,

当d2=2时，J—®2-5尸+25取得最大值4,

则4力BC面积的最大值为4.

故选:B.

例2.解：因为过圆外一点(%。,%)，作圆的两条切线时，有两个切点，切点弦方程为+

yoy=~

所以根据题意设本题中圆外点则的方程为

P(&，1-&)，48k()x+(2—x0)(y+1)=1，

化简可得：Q

XX+(2-x0)y+1-=0,

所以圆心。(0,—1)到直线力B的距离为：d=1

2

JxJ+(2-X0)

所以=2Vr2-d2=21-1]i|=-2j1诏+(2-X0)2’

W+(2TO)2,

=2/1————=211-,L,

2(x-l)z+2

\J2x§-4x0+410

当&=1时，|4B|的最小值为，2.

故选：C.

练1・1.解：如图，建立平面直角坐标系，由|CM|二1可知动点M在以C为圆心、1为半径

的圆上，设M(cosasin。+2),

过点M作两条直线的垂线MP、MQ,垂足分别为P、Q,由点到直线距离公式可得：\PM\=

\cos0+sin6+2\SA,_\cos0-sin0-2\

—71—，IQM|=-—，

cci•PMAO

31b/u。"2|PA/|p.M+虱〃0+2|

/.A

$21ri\tnc\QM\ei»d)sin。2

又4。=BO,

cos6+sin0+24sin0+2

W)=(0<^<2TT),/(。)=

cos0-sin0-2(cosd-sing-2)2’

由r(e)>0得86(0,^)U(等,2TT),

.•・f⑻在[0,2扪上的单调递增区间是(0,r),(詈,2TT),单调递减区间是(詈,千),

又/•(())=-3,f哈=6-2,/(^)=-<3-2,/(2TT)=-3,

.•・f(6)C—2,「—2],••・|f(8)|C[2—q,2I「],AAC[2-V-3,2IAT3],

故答案为[2—V52+V?].

练12解：射线。7的斜率显然存在，设。「的方程为y=依，不妨考虑kN0,

则做9,9k）,B（劣,劣）,且九="1,

因为圆。上任意一点P都满足鬻=黑,

不妨取点P为直线<2与圆。相交异于B的一点,

所以P-V3k

Vk2+l

-m

T7|PM||8M|匕二|、|、'N+Jm_JN+I

乂k两，所以工一三

所以机=念7'贝加=冷

所以7rm=荷力，及3°'

要求nrn的最大值，只需考虑k>0,

]

所以nm=k3+2k+^/c>0,

K

设f(k)=4+2k+J,

K

则［(/C)=31+2_*=(3H-『I),

KK

所以当o<k<辱时,r(/c)<o,函数单调递减,

当时，f(k)>0,函数单调递增，

所以f(Qmin=f(4)=等，

所以nrn的最大值为与等，

16

故答案为塔.

例3.解:

直线/的方程可化为m(%-y)+2x-4=0,

令x-y=0且2x-4=0,

解得x=y=2,

所以!过定点(2,2),

又圆C：(%-2)2+0-2)2=4的圆心为C(2,2),半径为2,

所以|。。|=2y/~2f\AB\=4.

因为2次=瓦5+砺,

所以4沅2=罚+宿+2师而，

「一>2——>2——>2——>——•

又AB=OA+0B-20A-0B,

所以|0川2+\OB\2="4|0C|2+|4B|2)=24.

设|。川=2yT~6cosef\0B\=2口sin。,

结合图形可知|。川,|0B|E（2/7-2,2y/~2+2）.

所以|。川+2|08|=2CUsin（e+0）42CU,其中£Qn@=%当。+©=：时等号成立，

此时tern。=2,\0A\=2>J~6xv==G（2「-2,2。+2）,符合条件，即|。川+2|。8|

的最大值为2/3U.

故选：D.

例4.解：以4为原点，分别以48,40方向为x,y轴，建立如图所示直角坐标系:

所以4(0,0),B(2,0),C(l,l),0(0,1),所以AD=(0,1),AB=(2,0),

因为圆C直线8。相切，而直线%D：%+2y-2=0,圆心

所以半径丁二总=?,所以圆C：(%-l)2+(y-l)2=1,

因为而=AAD+iiAB=A(0,l)+〃(2,0)=(2.A),

即P(2出2),因为动点P在圆C上或圆C内移动，

所以(2〃—1)2+(4—1)2<|>设t=a+〃，则/I=t—〃，

所以不等式可化为：(24-1)2+(-1-〃)24卜

所以5〃2一(2t+2)〃+(t-1)2+gwo,易得不等式有解，

所以(2t+2下一4X5x[(t—17+?》0,即/一3t+2工0,解得14t42,

所以原式"+/=於+](£一以=一押+R

=--（A--'）2+-t2<-t2,

2V1074040

所以当£=2,A=g即2=：,〃=:时，（M+：加）=

10

1°55\L/max

故答案为：弟

例5,解：对于4,由题可知，圆Q的半径为|m|,且圆与％轴相切，

由题意，3<|m|<3-(-2),即的取值范围是(3,S],故A错误；

对于B,设圆Q与％轴的切点为C,根据切割线定理|。川,|OB|=|OC|2=9,

于是|0川+\OB\>2j|0川•|OB|=6,当且仅当|。川=\OB\=3时等号成立，

若|。川和|。阳相等，则圆Q与y轴相切，与题意不符，故无法取得最小值，故8错误;

对于C,当圆Q与直线/相切时，|m|=5,过Q作y轴垂线QO(D为垂足)，连接Q4如图1,

则回Q4D为直角三角形，于是历。|=J|Q*2-|QD|2=4,

此时|。川=|。。|一|4叫=5-4=4故C正确；

对于D,连接SQ,7Q,易知回SQ7为直角三角形，如图2,

于是|S7|=V\SQ\2-\TQ\2=4|SQy-16,

当QS与，垂直时，|SQ|最小，即|ST|最小，

此时|SQ|=5,\ST\=V52-16=3,

所以|ST|的最小值为3,故。正确.

故选：CD.

练2・1,解：以力为坐标原点，AB,40所在的直线分别为％,y轴建立平面直角坐标系，如

图所示.

设P(x,y),所以/+川=1,又/2,0),C(2,2),D(0,2).

所以|PB|2+|PC|2+|PO|2=(工-2)2+y2+(工-2)2+(y-2)2+%2+(y-2)2=19—

8Q+y),

令x+y=3即x+y-£=0,所以直线％+y-t=0与圆/+y2=1有公共点，所以，与＜

1,

解得一「＜t＜所以(|PB|2+\PC\2+|PD『)min=19-8。.

故选D.

练22解：根据题意，圆Cl：(、-4)2+8-5)2=9,其圆心C1(4,5),半径R=3,

圆。2：。-1)2+0+1)2=1,圆心半径r=l,

设圆C3与圆C2关于X轴对称，则圆。3的圆心。3(1,1),半径丁=1,

设圆。3的点M与B关于％轴对称，则|BP|=|MP|,

如图，

^i\AP\-\BP\=\AP\-\PM\t当4、P、M共线时,|AP|-|MP|取得最大值,

而点4在圆Ci上，点M在圆C3上，

故当/、G、C3、M、P五点共线时，|4P|-|BP|取得最大值，

且具最大值为IC1C3I+&+r=V9+16+4=9.

故选：D.

过点P作圆0的切线P7（T为切点），则有4OPT>4。PN=45°,

222

所以|0P/=\pT\+\0T\<2\OT\=8,则|0P|<2^~2,

乂因为P为直线/：x+y—3=0上的动点，

所以点。到直线I上的点的距离的最小值为瞥*=手，故A,4正确；

V12+122

当NMON=90。时，|MN|=2。，

当|0P|=24时，点N与点丁重合，\PN\=\ON\=2,々MON=135。，

|M/V|=V|OM|2+|O/V|2-2|OM||O/V|cos1350=J8十4口>故C错误.

当[0P|=q?时，此时点点N（|,土?）,

取N（|，W）,此时|MN|2=G+/7）2+（，r~+C）2=8+3，^+/I?>8+4/7，故。

错误，

故选AB.

例6.解：因为落石为单位向量，且|五一2方|一「，

所以|五一2引2=片+4射一4五不=5-4五不=7,

所以G-b=—

所以COS<ZB>=矗=-5

因为Va,b>e[0,TT],

所以Vafb>=

则不妨设=？=a=(1,0),=b=(一：，?)，=c=(x,y),

因为片一4五々+3=0,

所以/+y2-4%+3=o,即(％一2)2+y2=i,

即点C(x,y)的轨迹为圆，且圆心为M(2,0),半径为r=l,

又花一(石一初=1(3)一(/?)+(1,0)1

=l(%+|，y-?)l=J(十+|)2+(y-?)2,

设点P(—|，?)，

则|c-(b-a)\=|(x,y)-(-|^)+(1,0)1=|PC|，

根据点与圆的位置关系可得|PC|min=\\PM\-r\=<13-1,

故|c-(b-方)|的最小值为E-1.

故选：A.

例7.解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系，

设P(/y),4(0,0),B(4,0),6(4,4),D(0,4),

则淳=(x,y),丽=(x-4,y),CP=(x-4,y-4),前=(x,y-4),

故而+SP+CP+DP=(4x-8,4y-8),

所以|AP-^-BP+CP+DP\=yj16(x-2)2+16(y-2)2=4,

即(x—2)2+(y—2>=1,

故点P在以点(2,2)为圆心，1为半径的圆周上运动，

所以|Q|的最大值为V22+22+1=2<7+1.

故选：0.

练3・1.解：设线段的中点为D,

v\AB\=20，A\AD\=口,

则|CD|=1,即。的轨迹以C为圆心半径为1的圆，

即点。在圆(%—2)2+y2=1上，可设点D(2+cosa^ina),

贝I」前(OA+OB)=0P-20D=(6,8)­(2+cosa,sina)

=12+6cosa+Ssina

=12+10s讥(Q+6),其中，sinO=cosO=p

・•・OP-(0A+而)的最小值为12-10=2,最大值为12+10=22,

・•・OP-(0A+而)的范围是[2,22].

故选D.

练32解：对A,若[48|=2「，又|04|=|。8|=2,Z.AOB=—,故A错;

3

对8,若点。到直线48的距离为。，由勾股定理知表48|=，至，故8对；

对C，|/+%—1|+|乃+丫2—II=

几何意义为4（%1/1）,8（%2，、2）到直线X+y-1=o的距离之和的倍，

2

设48中点为Q,|%1+月一1|+\x2+y2-l|=2。x等|二1,而4B中点Q的轨迹为。:%+

y2=2,

所以（凹帘）max=|，7,

所以|%1+丫1—1|+\x2+丫2—1]的最大值为6,故C错；

=

对,/）,x1x2+yiYz=2x2xcos<0Af砺〉的最小值为—4,故。对；

综上所述，选BD.

ArA3垢B1B3

例8.解：如图（一），tan乙4M4]=—，tanzBMB]=—=—

MAMA1MBMB

如图(二)，建立平面直角坐标系,则力(0,0),8(3,0),0(0,3),设点M(x,y),

7(x-3)2+y2=2j/+丫2,化简得：(%+1)2+y2=4(%>0,y>0),

则M的轨迹方程是圆心为P(-1,0),r=2的圆在第一象限(包括坐标轴)的部分，

点。(0,3)关于8。的对称点。'(6,3),

(MN+NO)min=J(6+1)2+32-2=V-58-2.

故答案为：，豌-2.

例9.解：设P(t,O),则|PM|=J(£—0)2+4—1=d件+3,

\PN\=J(t-3)2+62-9=J(1—3)2+27,

\PM\4-\PN\=Vt24-3+J(t-3)2+27,

等价于点P(t,O),到定点(0,仁)的距离与定点(3,3，司的距离和的最小值，

点(0,C)关于%轴的对称点为(0,--2),

故距离和的最小值为J32二中,

此时直线方程为y=察f(%-0)-

3—0

令y=0,可得X=*所以点P坐标为弓,0).

故答案为e，o).

练4-1.解：,・,点(0,4)到直线xcos。+(y-4)s出6=1的距离d==1，

7vst"nz一0+c"os元zO

••・直线%cos。+(y—4)sin3=1为圆％2+(y—4)2=1的切线,

••・集合4的补集C"所对应的区域为圆/+0—4)2=1的内部，故M(0,4),

B,则4(0,-4),5(4,8),

故所求值为线段的长度，由两点间距离公式可知J(0—42+(一4一8尸=4「不

故选以

练42解：对于4由圆C:解+吐=4,可得C(0,0),半径为2,

点C到直线E的距离为^?二。，则|4B|=2AH^=2，N故A错误;

对于8,由题意，可作下图：

设点。为弦的中点，直线C0_L4B,\CD\=y/~2,则点M到直线，的最大距离为/ax

2+。，故8错误；

对于C,由选项8与题意，

易得4(2,0),8(0,2),则直线48的斜率心8=-1，

由CD1AB,则直线CO的斜率七。=一；=1,

则直线CO的方程为y-1=1x(x—1),则y=x,

即点N(—2,—2)在直线CD上，•••C。为48的中垂线，.•.回/BN是等腰三角形，故C正确;

对于0,如图：设圆心C[0,0)关于直线x+y-2=0的对称点坐标为H(%o，yo),

(迎+九一2=0

，解得%o=%=2,则"(2,2).

丘0

则点M关于直线+y-2=0的对称点“在圆Q-2)2+(y_2)2=4,圆心”(2,2),

当N,P,M三点共线时取得最小值，

最小值为尸N