寒假作业13 等边三角形（知识预习+达标检测）学生版

等边三角形的性质和判定

题型归纳__________________________________________

【题型1利用等边三角形的性质求边长】

【题型2利用等边三角形的性质求角度】

【题型3等边三角形的判定与性质】

【题型4含30°角的直角三角形的性质】

基础知识知识梳理理清教材

考点1：等边三角形的概念与性质

1.等边三角形概念

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.

注意:

（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

ZA=I8O°-2ZB,NB=NC=侬。-NA

2

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一

定是等边三角形.

2.等边三角形的性质

（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线

或中线）所在的直线就是它的对称轴.

（2）三个角都是60°

\

题型分类深度剖析)

【题型1利用等边三角形的性质求边长】

【典例1】（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，等边三角形的边长为6,则高4。的长为

()

A.V3B.2V3C.3x/3D.3

【变式1-1］（24-25八年级上•浙江宁波•期中）已知等边A4BC的一边长为2,则它的周长是

（）

A.2B.5C.6D.8

【变式1-2］（24-25八年级匕全国•期中）如图，等边△A8C,点0是BC上任意一点，0E、

。尸分别与两边垂直，等边三角形的高为4.则。E+0尸的值为（）.

【变式1-3］（24-25八年级上•海南僧州•阶段练习）如图，已知△力8C是等边三角形，且边长

为3,点、D、E分别在边力C、BC上,将△CDE沿DE所在的直线折叠，若点C落在点C'处，

DC'、EC'分别交边A8于点AH,则阴影部分图形的周长等于（）

【题型2利用等边三角形的性质求角度】

【典例2】（2024八年级上•黑龙江•专题练习）如图，直线a||b,等边三角形/9C的顶点〃在

直线6上.若41=34°,则42等于（）

【变式2-1］（23-24八年线上・甘肃张掖•期末）如图，△4BC是等边三角形，点0在AC边上,

乙DBC=35°,则上4。8的度数为（）

H

A.25°B.60°C.85°D.95°

【变式2-2］（24-25八年级上•吉林・期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等

边△48。上，若z1=24。，则乙2的度数为（）

A.24°B.D.56°

【变式2-3］（24-25八年级上•辽宁大连•期末）如图，A/IBC三△DEC,且点E恰好落在线段

力8上，/-A=40°,ZF=70°,则NO&4的度数为（）

B

A.60°B.50°D.30°

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考点2：等边三角形的判定

（1）三个角相等的三角形是等边三角形.

（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

题型分类深度剖析)

【题型3等边三角形的判定和性质综合】

【典例3］（24-25八年级上•甘肃定西•期末）如图，已知AABC中4C,点P是底边的中

点，PDLAB,PELAC,垂足分别是D、E,

(1)求证:PD=PE；

(2)若NB4C=60。，BP=1,求△/BC的周长.

【变式31](24-25八年级上•山东滨州•期中)如图，在等边△4BC中，41BC与24cB的平

分线相交于点。，且0。IIAB交BC于点。,OE114c交BC于点.

⑴试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

(2)若8c=10,求仆ODE的周长.

【变式3-2](24-25八年级上•浙江杭州•期中)我国的纸伞工艺十分巧妙.如图，伞不论张

开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角4B4C,且力E=AF=DE=

DF.

(1)求证：LDAE=LDAF.

(2)rtl(1)可得伞圈0在伞圈4P上滑动.如图1,伞打开时乙BAC=120°,AE=20cm；

当伞缩拢到图2状态忖，MAC=60。时，伞圈。卜.滑的距离。为长是多少？

【变式3-3](2024七年级下•全国•专题练习)如图,过等边△/!"的边4B上一点P,作PE_L/1C

于E,。为8c延长线上一点，月.P4=CQ,连PQ交AC边于。.

⑴求证：PD=DQ；

(2)若△48C的边长为1,求DE的长.

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考点3：等边三角形的判定

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

题型分类深度剖析

【题型4含30°角的直角三角形的性质】

【典例4］（23-24八年级上•北京海淀•期中）如图，在△ABC中，zB=ZC=30°,4D1.AB交

BC于点、D,BC=12,则80=.

DC

【变式4-1］（24-25九年级上•山东青岛•期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C,

仰角为15。，当笔直向山行4千米到达8处时，小明看气象站C的仰角为30。.请你算

出这个气象站离地面的高度C0是.

【变式4-2］（24-25八年级上•江苏宿迁•期中）如图,已知aABC中,=90。,LA=30°,

8D平分iCBA,且交4c于点D,AC=1,那么40的长是.

【变式4-3］（24-25八年级上•吉林・期末）如图，在RtZkABC中，4c=90。，LB=30°,以

点4为圆心，AC为半径作弧，交力8边于点。，若BD=3,贝必C=.

达标测试,

一、单选题

1.（24-25八年级上•山东荒泽,期中）如图,等边△ABC的边长为4,BD平分4ABC,点E在BC

的延长线上，乙E=30。，则BE的长为（）

A.5B.6D.8

2.（24-25八年级上•山东济宁・期中）如图，△ABC中,AB=AC,乙B=30。，点D,£在BC

上，AD=BD,AE=CE.则△ADE是()

A.等腰三角形B.D.不等边三角形

3.（24-25八年级上•山东I缶沂•期中）如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古

代劳动人民智慈的结晶.图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面

图.已知分别为/C和”的中点，△48D和△4ED都为边长为4的等边三角形，D为

撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，D移动的距离是（）

D.8

4.（24-25八年级上•吉林松原•期末）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合

放置.若N1=10%乙2=20°,则43的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

二、填空题

5.（24-25八年级上•辽宁大连•期中）如图，△48。是等边三角形，点。、£、产分别在48、5。、

AC上，乙1=42,LDFE=70°,^ALEDF=<

6.（24-25八年级上•吉林•期末）如图，△A8C是等边三角形，BD是4c边上的中线，DM1BC,

垂足为M,若4c=4,则CM=

7.（24-25八年级上•全国・期末）如图，在A/WC中，AR=AC,RC=10,是，04。的平

分线，则80=

8.（22-23八年级上•河北承德・期中）如图，过边长为2的等边的边力8上点P作PE1AC

于E,Q为8C延长线上一点，当P4=CQ时，连PQ交力。边于。，则OE长为

三、解答题

9.（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，已知△ABC是等边