2026年高考数学复习高效演练：空间向量及其运算

第5讲空间向量及其运算

昌曲知识▼⑥❾回顾理教材•夯实必备知识.

一、知识梳理

1.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量。，力(6H0),。〃力的充要条件是存在唯一的实

数2,使得。=省.

(2)共面向量定理：如果两个向量”，力不共线，那么向量〃与向量。，力共面的充要条

件是存在唯一的有序实数对(x,y),使〃=va+v〃.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量”，力，c不共面，那么对空间任一向量p,存在有

序实数组Az｝,使得〃=.ra+\力+=c.其中｛。，力，c｝叫做空间的一个基底.

2.两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

⑴两向量的夹角：己知两个非零向量a，占，在空间中任取一点O,作为OB=h,

则N4C8叫做向量a与力的夹角,记作〈。，力.通常规定QWQ,b)〈小若〈a,5〉=

，则称向量a,:互相垂直,记作a_L尻

(2)两向量的数量积

两个非零向量a,8的数量积。力=lalHcos〈a,垃.

(3)向量的数量积的性质

①a・e=|o|cos(a,e)(其中c为单位向量)：

②。_L*>Q/=0；

③|aF=aa=序；

④M6IW⑷叫

(4)向量的数量积满足如下运算律

①(2。)必=2(。〃)：

②〃力="。(交换律)；

③a•(〃+c)=ab-\~uc(分配律).

3.空间向量的坐标运算

(1)设。=(〃[,他，S)，b=(b\,加，历).

a+》=3i+bi，俏+岳，俏+历)，

a—b=(a\—b\f级一妙，的一例)，

za=(Aai,幺，2，2a3)，ab=包加+a2b2+a3b3，

a+。2岳+”力3=。，

a//b^a\=Abi，。2=，仍2，。3=劝3。.仁1<)，

,.ab_______。曲+。2岳+。3》3

cosa⑷wi7山+/+♦•/历+优+员

(2)设A。,y\,zi),8(及,”，喻、

则(阳-04=(但一Xi,中一\'i，Z2-zQ.

4.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：/是空间一直线，A,6是直线；上任意两点，则称前为直线/的力

向向量，与初平行的任意非零向量也是直.线/的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有

无数个.

(2)平面的法向量

①定义：与平面垂直的向量,称做平面的法向量.一个平面的法向量有无数多个，任意

两个都是共线向量.

②确定：设。，力是平面a内两不共线向量，〃为平面a的法向量，则求法向量的方程

〃•4=(),

组为八

〃协L=().

5.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

l\//hn\//n^n\=kn2

直线八，6的方向向量分别为〃1，〃2

1山21l\±〃21・〃2=0

///an_Lm<=>nni=0

直线/的方向向量为〃，平面a的法向量为机

lA-an//m^n=/.m

a//pn//m^n=).m

平面a,外的法向量分别为〃，小

aLpw±m<=>/rm=0

常用结论

1.向量三点共线定理

在平面中A,B,。三点共线的充要条件是：及'(其中x+y=l),。为平面

内任意一点.

2.向量四点共面定理

在空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是：亦=xXl+)5^+z沆(其中工+y+z=

1),。为空间任意一点.

二、教材衍化

1.如图所示，在平行六面体48CO-A181GQ1中，朋为4G与Aid的交点.若筋=a,

AD=b,AA\=c,则BM=(用a,b,c表示).

解析：威+员［=筋।+J应)-a)=—%+5+c.

答案：-；a+3+c

2.正四面体A8CQ的棱长为2,E,F分别为BC,的中点，则石尸的长为

解析：I函2=济2=(曲+而+而2

=EC2+cb2+5F2+2(ECCb+EC-5F4-cbDF)=l24-22+l2+2(IX2Xcos120。+0+

2XlXcos120°)=2,

所以|函=6，所以E尸的长为啦.

答案：V2

3.在正方体A8CQ-A4iGQi中，。是底面正方形44co的中心，M是。］。的中点，N

是AS的中点，则直线OM4M的位置关系是

解析：以。为坐标原点，DA,DC,OQi所在直线分别为工，)，，z轴建立空间直角坐标

系，设。A=2,则A(2,0,0),M(0,0,1),0(1,1,0),NQ,1,2),所以病=(一2,0,

1),冰=(1,0,2),而•苏=-2+0+2=0,所以AM_LON.

答案：垂直

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(I)空间中任意两非零向量。，力共面.()

(2)在向量的数量积运算中(ab>c=aS・c).()

(3)对于非零向量，，由ab=bc,则。=c.()

(4)若(〃，力，c｝是空间的一个基底，则a,b,c中至多有一个零向量.()

(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()

(6)若4,B,C,。是空间任意四点，则有赢+正一诙+函=0.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)X(5)X(6)V

二、易错纠偏

复习指导|(1)忽视向量共线与共面的区别：

(2)使用数量积公式出错.

1.在空间直角坐标系中，己知A(l,2,3),B(—2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,

0),则直线AB与CD的位置关系是()

A.垂直B.平行

C.异面D.相交但不垂直

解析：选B.由题意得，赢=(一3,—3,3),CD=(1,I,-1),

所以赢=一3而，所以嬴与加共线，

又A8与C。没有公共点，所以A8〃CQ.

2.。为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，且无=永次OC,若化A,

B,C四点共面，则实数尸.

31I

解析：因为P,A,B,C四点共面，所以1+g+f=l,所以/=g.

答案：|

目阴素养▼磁③提升明考向•直击考例考法”

考点一空间向量的线性运算(基础型)

复习指导|了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

核心素养：数学运算、数学抽象

1.如图所示，在平行六面体A8C£>-AIIGQI中，M为4G与的交点.若赢=m

AD=b,AA\=c,则下列向量中与8M相等的向量是()

A.-B.呼+m+c

11

呼一5

解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，丽=丽+瓦力=启+9(病一赢)

2.在空间四边形A8CZ)中，若筋=(-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E,尸分

别为线段8C,4。的中点，则际的坐标为()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)

解析：选B.因为点E,产分别为线段8C,AO的中点，0为坐标原点，所以序'=/一

-►-►1-A-►-►1-A-►-A1-►-A1->-►1-►-►

0E,。/=g(OA+。。)，OE=^OB+OC).所以石F=5(04+。。)一,。8+00=](34+。。)

=1[(3,一5,—2)+(—7,-1,-4)1

=；(-4,—6»-6)=(­2»-3,-3).

3.在三棱锥。-A8C中，M,N分别是048c的中点，G是△ABC的重心，用基向量以1,

0B,及'表示(1)流；(2)0G.

解：⑴诜=总十元

=^OA+^AN

=|dA+|(CW-dA)

=；苏+|&加+次)一⑸

=~^0A+；0B+《0C.

(2)OG=OM¥MG

=^0A—70A+Z5B4-1(7C

2o33

用已知向量表示未知向量的解题策略

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等

于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形

法则.

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.

考点二共线、共面句量定理的应用(基础型)

复习指导|了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表

示.

核心素养：数学运算

硒如图所示，已知斜三棱柱4BCA由1G，点M,N分别在AG和8c上，且满足赢/

=MCi，曲=辰(OWkWl).

(1)向量而是否与向量施，/｛益共面？

(2)直线MN是否与平面ABBiAi平行？

【解】(1)因为病BN=kBC,

所以加=总+油+的

=kC^A-\-AB-\-kBC

=k(C^A+BC)+AB

=网。+成1)+赢

=4部+前

=AB-k(AAi+Ah)

=(1—k)AR—kAAi，

所以由共面向量定理知向量而与向量诵，春|共面.

(2)当々=0时，点M,A重合，点、N,8重合，MN在平面ABBiA内，当0VAW1时,

MN不在平面483凶|内，又由(1)知疝与麴，筋।共而，所以MN〃平面A881Al.

三点P,A,B共线空间四点M,P,A,B共面

PA=kPBMP=xMA+yMB

对空间任一点0，=苏+麻对空间任一点。，OP=OM-\-xMA-\-yMB

对空间任一点O,0P=x0A+(\-x)0i3对空间任一点。，OP=xOM-\-yOA-\-{\~x~y)OB

考法全练;

1.若A(—1,2,3),BQ,1,4),C(in,n,1)三点共线，则〃?+〃=

解析：八〃一(3,—1,1),AC—(m+1,n—2»—2).

因为A,B,C三点共线，所以存在实数九

使得嬴.

即(加+1,2,—2)=〃3,—1,l)=(3z,—A,2),

机+1=32

所以＜〃-2=—2,解得/=—2,/»=—7,〃=4.

-2=2

所以加+〃=—3.

答案：一3

2.如图，在四棱柱A8CZXA由iGA中，底面4BCD是平行四边形，E,F,G分别是

Ai。，D、D,。£的中点.

⑴试用向量诵，AD,后।表示元；

(2)用向最方法证明平面EFG〃平面AB,C.

解：(1)设43=0,AD=bfAA\=c.

由题图得历=后I+八7加+万6

=c+力+[八/?=]“+力+c

乙乙

=拗+病+筋I-

⑵证明：由题图，得/=赢+正=4+4

EG=ED\-^D?G=^b^-^a=^AC,

因为EG与AC无公共点，

所以EG〃AC,因为EGQ平面ASC,ACU平面A8C，

所以EG〃平面ABC.

又因为靠1=赢+而i=a+c,

FG=FD\+z5/d=Jc+%=%8],

，JJ

因为FG与A3i无公共点，所以尸G〃A8],

因为6GQ平面ABC，/W|U平面ABC，

所以尸G〃平而ABC，

又因为FGCEG=G,FG,EGU平面EFG,

所以平面E~G〃平面ABC.

考点三空间向量数量积的应用（基础型）

复习指导|掌握空间向量的数量积及其坐标表示.

核心素养：数学运算

厕②如图所示，已知空间四边彩ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G

分别是AB,AD,的中点，计算：

(1座丽;(2)EGBD.

【解】设A8=a,AC=b,AD=c.

则闷=|力|=|c|=1,{a,b)=(b,c)=〈c,a)=60°,

--a=—dC=,

(\)EF=^BD=^c—^atBA=~a,EFBA=)24

⑵密砺=（而+Ab^-DG）（AD-AB）

=（一挑+而+后-而）（俞_函

=（-3茄+；/+；病）（崩一而

=（一5+荻+%）（＜?一°）

=1(-1X1X；+1X1x/+l+l-iXIx|-1X1x1)

1

2,

【迁移探究1】（变问法）在本例条件下，求证EG_L48.

证明：由例题知击=彳（位?+n一44）=不（6+。一〃），

所以EGA8=g(aA+ac—/)

^ixix|+ixix1-1^)=0.

故前_1_欣印EGLAB.

【迁移探究2】（变问法）在本例条件下，求EG的长.

解：由例题知所=—；“+、+%,

|£&|2=；。2+]方2+；。2—J”力+1力。一:，则|前=乎，即EG的长为孚.

【迁移探究3】（变问法）在本例条件下，求异面直线AG与CE所成角的余弦值.

—>।।­>—♦>-A1

解：由例题知AG=50+5C，CE=C4+AE=—分+5%

cos〈届，CE>=组工=―余

IAGHCEI-

由于异面直线所成角的范围是（0,引.

2

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为弓

空间向量数量积的三个应用

求夹角设向量。，方所成的角为仇则8$夕=箭，进而可求两异面直线所成的角

求长度（距离）运用公式|“=。4,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题

利用。山=0（aW0,力W0）,可将垂直问题转化为向量数量积的计算

解决垂直问题

问题

,三棱柱48c.48cl中，M,N分别是44,3G上的点,且

GN=28|N.设寿=a,AC=h,AAi=c.

（1）试用0,从c表示向量MM

⑵若NBAC=90。，/8A4=NC44=60。，AB=AC=AA]=\,求MN的长.

解：（1）由题图知

/而=而|+乖1+布=;或|+第+（抚I

1,1.1,1,L,1

^-3（c。）+。+3（bfl）~i^b\~3c

（2）由题设条件知，

因为（。+力+。）2=〃+炉+。2+涣力+2hc+2ac=1+1+1+0+2XlXlx1+

2X1X1X^=5,所以|a+A+c|=小，|MM=g|a+8+c|=坐.

考点四利用向量证明平行与垂直（应用型）

复习指导|1.理解直线的方向向量与平面的法向量.

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.

3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

核心素养：逻辑推理

角度一证明平行问题

屈⑸（一题多解）如图所示，平面BW_L平面A8CZ）,A8CO为正方形，△出。是直角

三角形，且附=AQ=2,E,F,G分别是线段%,PD.CQ的中点.求证：

（1）PB〃平面EFG；

（2）平面EFG〃平面PBC.

【证明】（1）因为平面以平面A3CO,且A4c。为正方形，所以AB,AP,4；两

两垂直.

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Apz,则40,0,0),5(2,0.0),

C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,I),F(0,I,I),G(l,2,0).

法一：赤=(0,1,0),E&=(L2,-1),

设平面EFG的法向量为〃=(x,y,z),

〃•苏=0,fv=0,

则J即「

L.EG=O,〔x+2y-z=o,

令z=l,则〃=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量,

因为丽=(2,0,-2),

所以而〃=0,所以〃_L协，

因为。明平面EFG,所以P4〃平面EFG.

法二：丽=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),F&=(1,\,-1).设诵=5译：+i花,

即(2,0,-2)=$(0,-1,0)+«L1,-1),

7=2,

所以，t-s=0,解得$=1=2.所以讪=2译：+2的,

-t=-2,

又因为旗与元;不共线，

所以而，祚:与由共函.

因为PBQ平面EFG,所以P8〃平面EFG.

(2)因为济=(0,1,0),BC=(0,2,0),

所以反?=2前

所以BC//EF.

又因为E/R平面P8C,8CU平面P8C,

所以“〃平面PBC,

同理可证GF//PC,

从而得出G"〃平而PBC.

又£尸06尸=凡EFU平面EFG,G尸u平面E尸G,

所以平面EFG〃平面PBC.

角度二证明垂直问题

侧⑷如图，在三棱锥尸-ABC中，AB=AC,。为BC的中点，尸0_1_平面A8C,垂足O

落在线段4。上.已知3c=8,PO=4,AO=3,OQ=2.

p

(1)证明：APLBC,

(2)若点M是线段A。上一点，且AM=3.试证明平面AMC_L平面BMC.

【证明】(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线方向为k轴正方向，射线0。

为)，轴正半轴，射线。八为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.

则。(0,0,0),A(0,-3,0),

8(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).

于是崩=((),3,4),正=(一8,0,0),

所以B抚=(0,3,4)•(—8,0,0)=(),

所以淳_1_正，FpAPLBC.

9

—3f（-又

（2）由（1）知人尸=5,又AW=3,且点M在线段A尸上，所以y

盛=(-4,-5,0),

所以BM=B4+AM=（-4,一号，号），

则崩说=(0,3,4)•(一4,-y,¥)=0

所以崩_L丽，HpAP1BM,

又根据（1）的结论知”_L8C,

所以AP_L平面BMC,于是AMJ•平面BMC.

又AMU平面AMC,故平面AMCA.平面BMC.

磁窗明

⑴利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤

①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系:

②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、

平面的要素；

③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系；

④根据运算结果解释相关问题.

（2）空间线面位置关系的坐标表示

设直线/,"7的方向向量分别为a=（〃i，bl，Cl）,b=（e岳，C2）,平面a,0的法向量

分别为”=（。3，匕3，C3），。=（。4，仇，C4）.

①线线平行

///tn^a//b^>a=kb<^a\=ken,b\=kbi，c\=kci.

②线线垂直

/L〃0。_1_6<=>。功=00。|42+01〃2+。。=0.

③线面平行(/Qa)

/〃a㈡4_1_〃4=>0〃=0台。1。3+6占3+口。3=0.

④线面垂直

/_Lu.^a//ii^(i~ku^d\—kuy>bi=kb3,c\=kcT).

⑤面面平行

a“gu〃U0u=ki)0a3=ka4,b3=kl)4,c，3=ha

⑥面面垂直

a._L_Lv^uv=。㈡4344+b3b&+C3C4=0.

同考法全练;如图所示，四棱柱A8CD-A/Cid中，底面为平行四边形，以顶点A

为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。.

⑴求AG的长;

(2)求证：ACxLBD.

解：(1)记AD=b,AA］=c,

则|a|=|A|=|c|=1,〈a,b〉={b,c>=〈c,a)=60°,所以aA=Zbc=ca=J.

乙

\AC\\1=(a-\-b+c)1=(r-\-b1-\-c1-\-2(a-b-\-b-c-\-c-a)=\+1+1+2><(}+}+))=6,

所以认3|=#,即AG的长为黄.

(2)证明：因为府'i=a+8+c,BD=b—a,

所以/1-应)=(a+B+c)S—a)

=ab-^-\bf-}-bc-\a\2—ab-ac

=bc-ac

=|b||c|cos60。一M||c|cos60°=0.

所以公J应)，所以AG_L8D

》@@演练▼③僖突破练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练］

1.已知4=(2,I,—3),/>=(-1,2,3),c=(7,6,x),若a,b,c三向量共面，则

4=()

A.9B.-9

C.-3D.3

解析：选B.由题意知c=xa+y4即(7,6,2)=x(2,1,-3)+)，(-1,2,3),所以

2x-y=7,

—+2)，=6,解得久=一9.

.—3x+3y=2,

2.(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有()

A.己知A,B,C,D是空间任意四点，则靠+就1+诙+而=0

B.若两个非零向量而与丽满足B+诙=0,则Q〃db

C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是其面向量

D.对于空间的任意一点。和不共线的三点A,B,C,若派=.r百1+ym+z5ta，y,

zGR),则P,4,B,C四点共面

解析：选ACD.对于A,已知人R,C,D是空间任意四点，则赢+或'+而＞+函=

0,错误；对于B,若两个非零向量嬴与⑦满足矗+而=0,则前〃而，正确；对于C,

分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，不正

确：对于D,对于空间的任意一点。和不共线的三点4,B,C,若而=_x&+y协+z女(x,

y,zGR),仅当x+)，+z=l时，P,A,B,。四点共面，故错误.

3.在空间四边形A8CQ中，ABCD+ACDB^-AbRC=()

A.-1D.0

C.1D.不确定

解析：选B.如图，令病=a,AC=b,AD=c,

则油局+启加+病•谎=0(c-m+Ea-c)+c0-a)

=a'C~(rh-\-h'a—b'C-\~C'b—C'a=0.

4.如图，在大小为45。的二面角A・EF-O中，四边形四边形CDEr都是边长为

1的正方形，则B,Z)两点间的距离是()

B

A.小B.y[2

C.ID.一巾

解析：选D.因为丽=游+危+访，所以I丽|2=|丽2+|两2+|而F+2而'.无+2年.而）

+2就•访=1+1+1—g=3—5，所以|丽|=,3一g.

5.已知4（1,0,0）,8（0,-1,1）,。为坐标原点，次+2m与加的夹角为120。，则

2的值为（）

4

A.

_亚

D.土加

C.6

解析：选C.OA+XOB=（\,一九A）,cos120°=-?===~尸=一4，得2=弟.经检

“1+22~•Q2z0

验2=坐不合题意,舍去，所以入=一平.

6.如图所示，在长方体A3CQ-48iGQi中，。为AC的中点.用赢，由），扇】表示元”

则0G=

解析:

所以无尸况+Gi=*赢+病）+筋尸矫+垣+筋i.

答案：TAB+/O+A4I

7.已知以垂直于正方形A8CQ所在的平面，M,N分别是CQ,PC的中点，并且幺=

AO=1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN=.

解析：连接尸。，因为M,N分别为CO,PC的中点,所以MN=g尸。,

又P(0,0,1),0(0,1,0),

所以PQ=d()2+(一1尸+9=也，

所以MN=^.

答案：乎

8.如图所示，已知空间四边形O48C,OB=OC,且NAO8=/AOC=W，则cos(0A,

BC)的值为.

解析：设。4=。，OB=b,OC=c,

由已知条件得〈4,6〉=〈4,C〉=$且血=|°|,

OABC=a(c—b)=ac—ab

=^a\\c\~^a\\b\=0f

所以殖_L正，

所以cos<5A,BCy=0.

答案：0

9.如图所示，在直三棱柱A8C-4BiG中，平面44CC和平面AA山归都是正方形且互

相垂直，M为的中点，N为8G的中点.

求证：(1)MN〃平面AiBiG；

(2)平面MBG_L平面BBQC

证明：由题意知，AA\,AB,AC两两垂直，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间

直角坐标系.

AMAix

设A4=2,则4(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),BQ2,0),C(0,0,2),CQ

0,2),M(l,0,0),Ml，1，1).

(I)因为AA]J_AiS，/Ui±A|Ci，

JLAIBIDACLAI,

所以AA|_L平面Ai81cl.

因为质=(0,1,1),京i=(2,0,0),

所以讪•筋i=0,即MN_L4Ai.

因为MM平面Ai&G，

故MN〃平面4SG.

(2)设平面MBG与平面的法向量分别为〃i=(xi，y\,z\),“2=(x2，”，Z2).

因为讪=(一1,2,0),流i=(l,0,2),

n\•MB=0,(X|—2yi=0,

所以’=?1令汨=2,

7H・MCi=0卜"2zi・O,

则〃i=(2,1,-1).同理可得〃2=(0，1，1).

因为“I・〃2=2XO+lXl+(-l)Xl=O,

所以平面MBGJ•平而BBCC.

10.如图，在底面是矩形的四棱锥P—A8C。中，布_底面A8CQ,E,产分别是PC,PD

的中点，PA=AB=\,3C=2.求证:

⑴EF〃平面PAB；

(2)平面以。平面PDC.

证明：以A为原点，八8所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,2,0),D(0,2,

0),尸(0,0,1),所以1,40,1,寿=(一/0,0),ra=(l,0,-1),PD

=(0,2,-1),崩=(0,0,I),Ab=(o,2,0),5c=(l,0,0),矗=(1,0,0).

(1)因为球=一夕必，所以译〃BpEF//AB.

又48U平面力8,EFU平面附8,

所以政〃平面PAB.

（2）因为崩庆=（0,（）,1）（1,0,0）=0,

所以崩_L诙，ADLDC,APIDC,AQ_LDC.又人PH人。=人，所以QCJ■平面小。.

所以平面外£>_!_平面PDC.

［综合题组练I

1.已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若而=入苏+,，加+zdt（x,y,z

£R）,贝I」“x=2,y=-3，z=2”是“P,A,B,C四点共面”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选B.当x=2,），=-3,z=2时，即舁=251-3劭+2元.则能一段=2濡一

3（A^-Ab）+2（AC-AO）,即亦=-3八+2米?，根据共面向量定理知，P,A,B,C四点共

面：反之，当P,A,13,C四点共面时，根据共面向量定理，设崩=〃府+〃就（/〃，〃七R）,

即成一后=加（协一力）+〃（历一—），即成=（1一〃?一〃）后+/”为+〃历，即A=1一犷一〃，

y=nuz=n,这组数显然不止2,—3,2.故“x=2,），=-3,z=2"是“P,A,B,。四点

共而”的充分不必要条件.

2.如图，正方形A8C。与矩形AC"所在平面互相垂直，AP=1,M在EF上,

且AM〃平面4。，则M点的坐标为（）

••「O'、：、

I砥2，.近2」J

怪乎」）

解析：选C.设例点的坐标为a，y,1）,因为ACnBO=O,所以o（乎，乎，0）

E(0,0,1),A诋也，0),

所以OE=,AM=(x—\[2,厂也，1),

因为AM〃平面BOE,所以OE〃/1M,

也

也

2,-2

所

以

今

应

当

-2

所以Af点的坐标为（坐，坐，1）

3.在正二棱柱由Ci中，侧校长为2,底面边长为1,M为BC的中点，式N=K:,

且A8|J_MN,则2的值为.

解析：如图所示，取B]G的中点H连接MP,以讹，/拓b/瀛的方向为x,y,z轴

正方向建立空间直角坐标系,

,0),0,2),C&0,0),

因为底面边长为1,侧棱长为2,则A0,坐

G&0，2),

设，

WO,0,0),/vQ,0f),

因为成7,所以福。,南，

所以翁1=（一/-噂,2）,

又因为A8|_LMN,所以鼐]•/而=0.

14

所以一公+==0,所以2=15.

■1IA

答案：15

4.如图，四面体A8CD中，E,〃分别为A8,。。上的点，RAE=BE,CF=2DF,设防1

=a，DB=b,DC=c.

D

(1)以｛。，b,c｝为基底表示/巴则生=

(2)若/4。8=/8。0=/4。。=60。，且|殖|=4,|而|=3,15tl=3,则|两=

解析：(1)如图所示，连接。£

—►—►—►