2026年高考数学复习高效演练：直线、平面垂直的判定与性质

第4讲直线、平面垂直的判定与性质

「自圆知识^®❾回顾

理教材•夯实必备知识.

一、知识梳理

1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

1a,bUa、

判定一条直线与一个平面内的两条相交直线

后aC\b=O

定理都垂直，则该直线与此平面垂直7Ila

ILb,

性质a_La

垂直于同一个平面的两条直线平行,=>a//b

定理47b±a

2.4卜面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个【U饵

定理平面垂直£h/±a]

a邛、

性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线7口

FJ_a

定理的直线与另一个平面垂直fcaCR=a

£lA-a」

3.空间角

(I)直线与平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的皿，叫做这条直线和这个平面所

成的角，如图，N&Q就是斜线AP与平面a所成的角.

②线面角夕的范围：回匹身.

(2)二面角

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角

的棱.两个半平面叫做二面角的面.

如图的二面角，可记作：二面角a-//或二面角P-ABO

②二面角的平面角

如图，过二面角外”?的棱/上一点。在两个半平面内分别作40J_/,A0JJ,则NAO/3

就叫做二面角a-1-fi的平面角.

③二面角的范围

设二面角的平面角为仇则ewro,r.

④当夕当时，二面角叫做直二面角.

乙

常用结论

1.与线面垂直相关的两个常用结论：

(1)两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.

(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直.

2.三种垂直关系的转化：

线线垂直器黑线面垂直器黑面面垂直

二、教材衍化

1.已知互相垂直的平面a,6交于直线/.若直线〃?，〃满足则()

A.ni//1B.m//n

C.nA.ID.inLn

解析：选C.由题意知，aCp=l,所以/u.,因为〃_L.,所以〃_L/.

2.在三棱锥P-ABC中，点P在平面A8c中的射影为点。.

(I)若以=P8=PC,则点。是△ABC的心；

(2)若以_LP8,PB1PC,PCLPA,则点。是△ABC的心.

解析：(1)如图，连接OA,OB,OC,0P,在Rt^POA,Rt2\P0B和RtZkPOC中,

PA=PB=PC,所以。4=OB=OC,即。为XABC的外心.

(2)如图，延长AO,BO,C0分别交BC,AC,A8于点〃，D,G.因为PCJ•以，PBL

FC,PAC\PB=P,

所以PC_L平面P4ZL又A3U平面以6,所以PC_LA4,因为A3_LP0,POC\PC=P,

所以AB_L平面PGC,又CGU平面PGC,所以八8J_CG,即CG为△ABC边人8上的高.同

理可证8力，人”分别为△ABC边4C,8C上的高，即。为△ABC的垂心.

答案：⑴外⑵垂

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)已知直线a,b,c,若a工b,b-Lc,则a〃c.()

(2)直线/与平面a内均无数条直线都垂直，则/_La.()

(3)设〃?，〃是两条不同的直线，a是一个平面，若小〃〃，〃…a,则〃_La.()

(4)若两平面垂宜，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()

(5)若平面a内的一条直线垂直于平面夕内的无数条直线，则a_LR()

答案：⑴X(2)X(3)7(4)X(5)X

二、易错纠偏

常见误区|(1)证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；

⑵面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直.

1.(2020•安徽江南十校联考)已知:"和〃是两条不同的直线，a和夕是两个不重合的平

面，下面给出的条件中一定能推出机_!_/?的是()

A.a_L夕且加UaB.〃且〃〃/

C.机〃“且D.6_1_〃且a〃夕

解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.

2.(2020・辽宁大连第一次(3月)双基测试)已知直线，和平面a,夕，且/<=①则“/_L/T

是“a邛”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若/Ua,/_L£,则aJ_4，充分性成立；

若/_LA，aA.fi,则Ka或/〃出必要性不成立，

所以若/Ua,则“/_L/T是"a邛”的充分不必要条件，故选A.

既承素养▼岱③提升明考向•直击考例考法♦

考点一线面垂直的判定与性质（基础型）

复习指导I以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面

垂直的有关性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论.

核心素养：逻辑推理、直观想象

硒（1）（2018・高考全国卷II节选）如图，在三棱锥P-A8C中，AB=BC=25,PA=PB

=PC=AC=4,。为4C的中点.证明：PO_L平面ABC

（2）（2020•重庆市七校联合考试）如图，直三棱柱ABC-AIBIG的所有棱长都是2,D,E分

别是AC,CG的中点.求证:AE_L平面A8D

【证明】（1）因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点,

所以OP_LAC,且OP=2，1

连接。8.因为A8=BC=^4C,

所以△48C为等腰直角三角形，

JLOBLAC,OB=%C=2.

由+知，porOB.

由OPLOB,OP.LAC^尸。_!_平面ABC.

（2）因为AB=BC=C4,。是AC的中点，

所以BDVAC,

因为直三棱柱人BC-A/3iG中，AA|J_平面ABC,

所以平面AACCJ•平面ABC,

所以8。_1_平面A4CC，

所以I3D1AE.

乂在正方形AAiGC中，D,E分别是AC',C'Ci的中点,

所以4D_LAE又4Z）nBD=D,

所以AE_L平面A18D

陶信明

判定线面垂直的四种方法

方法一7利用线面垂直的判定定理

_____:利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另

方法二一：一条也与这个平面垂直”

；利力;二泰加区洋王亍面才行年亩干加二不

方法三一：则与另一个也垂直”

方法四-►:利用面面垂直的性质定理

考法全练;

1.如图，在直三棱栏ABC-ABiG中，底面/WC是正三角形，M,N分别是48,A4

的中点,且4M_LBiN.

求证：SN_LAC.

证明：连接CM,在直三棱柱ABC-AiBCi中，AA一平面A4C,CMU平面A4C,所以

AA\±CM.

在△ABC中，AC=BC,AM=BM,所以CM_LAB.

又/VhnAB=A,所以CM_L平面ABBIAI.

因为办NU平面A8AA，所以CM_LA|M

叉AQBiN,4M「CM=M,所以B|N_L平面ACM.

因为4CU平面ACM,所以8|N_LAC.

2.如图，在三楂锥43C。中，AB±AD,BC工BD,平面44。_1_平面BC。，点£,F(E

求证：（1）E尸〃平面4BC；

（2）AD±AC.

证明：（1）在平面八2。内，因为力EF±AD,所以EF〃人以

又因为ER：平面ABC,4BU平面ABC,

所以£7"平面A8C.

（2）因为平面A8DJ_平面BCD,

平面A8OA平面BCD=BD,

BCU平面BCD,BCIBD,

所以BC_L平面ABD.

因为AQU平面AB。，

所以BCYAD.

又A8_LAO,BCQAB=B.A4U平面ABC,8CU平面ABC,所以4。_1_平面A4C.

又因为ACU平面43C,所以4Q_L4c.

考点二面面垂直的判定与性质（基础型）

复习指导|以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面

垂直的有关性质与判定定理，并能运用定理证明一些结论.

核心素养：逻辑推理、直观想象

侧㈤（2019・海者北京卷节选）如图，在四棱锥P-ABCD中，办_L平面ABCD,底面4BCQ

为菱形，£为CO的中点.

⑴求证：6。，平面以。；

（2）若N人BC=60。，求证：平面％8_L平面以E.

【证明】（1）因为FJL平面ABCD,

所以PALBD.

因为底面48CO为菱形，所以BQ_LAC.

又以AAC=A,所以BOJ_平面以C.

⑵因为以_L平面4BCQ,4EU平面ABC。，

所以PAVAE.

因为底面A8CQ为菱形，NABC=60。，

且E为CD的中点，所以AE_LCD所以AB_LAE

又所以4£；_1平面以注

因为AEU平面PAE,

所以平面以BJL平面以£

(1)证明面面垂直的方法

①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面

垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.

②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,

进而把问题转化为证明线线垂直加以解决.

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转

化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

考法全练;

1.如图，在四棱锥中，底面A8CO为矩形，平面布。_1_平面46CQ,PA1PD,

PA=PD,E为的中点.

(1)求证:PELBCx

⑵求证：平面用8_L平面PCD

证明：(1)因为%=PD,七为AQ的中点，所以因为底面46co为矩形，所以

所以PE1BC.

(2)因为底面48C。为矩形，所以48J_A。.又因为平面布Q_L平面ABC。，所以48_1_平

面ZMD所以A3_L/»D又因为PAA.PD,所以PD1.平面布8.所以千面PAB1.F面PCD.

2.如图，在三棱锥4-BC。中，△ABC是等边三角形，/A4Q=N8CD=90。，点尸是

AC的中点，连接BP,QP.证明：平面ACO_L平面BOP.

证明：因为8c是等边三角形，NBAD=NBCD=90。,

所以RtZ\AB。注RlZXCB。，可得AD=CD.

因为点P是4C的中点，所以PO_LAC,PBLAC,

因为PDCPB=P,PDU平面PBD,P8U平面PBD,

所以AC_L平面PBD.

因为ACU平面4czz

所以平面ACD_L平面BDP.

考点三空间中的翻折问题(综合型)

复习指导I折叠问题的关键有二：①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体

图：②分析好两个关系——折叠前后哪些位优关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变.

醐3](2019扃考全国卷III)图1是由矩形RtA46C和菱形"GC组成的一个平

面图形，其中人8=1,BE=BF=2,NF8C=60。.将其沿折起使得BE与8户重合，

连接OG,如图2.

(1)证明:图2中的4,C,G,。四点共面，且平面43C_L平面BCGE：

(2)求图2中的四边形ACGO的面积.

I)

图2

【解】(1)证明：由已知得AO〃8E,CG//BE,

所以AQ〃CG,故A。，CG确定一个平面，

从而A,C,G,。四点共面.

由已知得A8_L8E,AB±BC,故A8_L平面BCGE.

又因为A8U平面48C,

所以平面ABCS.平面BCGE.

(2)如图，取CG的中点M,连接石M,DM.

D

因为AB〃DE,_平面3CG£,

所以DE_L平面BCGE,故DELCG.

由已知，四边形8CGE是菱形，

且/£8C=60°得EMLCG,

故CGL平面DEM

因此DMLCG.

在RtZXOEM中，DE=LEM=小,故0M=2.

所以四边形ACG。的面积为4.

陶信明

解决此类问题的关犍就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：

(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.，其步骤为：

第一步_确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量

第二步一在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面

I第三步I—而判定定理或性质定理进行证明I

(2020•疥南市模拟考试)如图1所示，在等腰悌形A6CD中，AB//CD,

/8人。=45。，/1B=2CO=4,点E为人8的中点.将△力OE沿。E折起，使点人到达点P

的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD,点M为棱尸8的中点.

(1)求证：PO〃平面MCE；

(2)若平面平面EBCD,求三楂锥M-BCE的体积.

解：(I)证明：在题图1中，

因为BE=^\B=CD且BE//CD,

所以四边形EBCD是平行四边形.

如图，连接8。，交CE于点。，连接OM,

所以点。是8。的中点，

又点M为楂PB的中点，

所以OM"PD,

因为尸8平面MCE,OMU平面MCE,

所以PD〃平面MCE.

(2)在题图1中,

因为四边形E8C。是平行四边形，所以OE=8C,

因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以AQ=BC,所以AO=OE,

因为N3AD=45。，

所以

所以PDLDE,

又平面PQE_L平面EBCD,且平面POEP平面EBCD=DE,

所以PO_L平面EBCD.

由⑴知0M〃PD,所以OM_L平面EBCD,

在等腰直角三角形ADE中，因为A£=2,所以AD=DE=p,

]I*\/2

所以。M=]PO=gA/)=2»S/.BCE=S.\ADE=I>

I^2

所以V三代馆M-BCE=]SdBCE,0M=6.

》演练▼0）僖突破练好题•突破高分瓶颈♦

I基础题组练I

1.设a为平面，a,5为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A.若a〃a,b//a,则B.若a_La,a//b,贝i]Z>_La

C.若a_La,aA-b,则b//aD.若a〃a,a_L〃，则〃_La

解析：选B.若a〃a,b//a»则〃与力相交、平行或异面，故A错误；易知B正确;

若a_La,a-Lb,则》〃a或.〃Ua,故C错误：若a〃a,a±b,则》〃a或bUa,或力与Q

相交，故D错误.故选B.

2.（2020・广州一模）设〃?，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，下列命题中

正确的是（）

A.若a_L//,in//a»n///i,则〃1_L〃

B.若〃?〃〃，〃〃夕，则a_L£

C.若m工〃,mUa,nup,则a_L£

D.若a〃/，机Ua,nUfi,则〃1〃/?

解析：选B.若a_L£,m"a,B，则/〃与〃相交、平行或异面，故A错误;

因为加_La,〃?〃〃，所以〃_La,

又因为〃〃夕，所以a_L夕，故B正确；

若机J_〃，mUa,nU£,则a与/7的位置关系不确定，故C错误；

若a〃B，mUa,nU§,则〃?〃〃或/〃，〃异面，

故D错误.

3.如图，在斜三棱柱A8C-4历G中，N8AC=90。，BC\LAC,则G在底面48c上的

射影H必在（）

B.

A

A,

A.直线A3上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

解析：选A.由4CJ_A8,AC±I3C\,得ACL平面A4G.

因为4CU平面ABC,

所以平面ABCiJ■平面ABC.

所以G在平面A4C上的射影〃必在两平面的交线AB上.

4.（2020•黑龙江鹤周模拟汝1图，在三棱锥V-ABC41,VO_L平面4AC,OCCD,VA

=VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是（）

A.AC=BCB.AB1VC

C.VCYVDD.S^VCD-AB=S-ABC•VO

解析：选C.因为VO_L平面ABC,ABU平面ABC,所以VOJ_A比因为VA=VB.AD

=BD,所以又因为VOAl〃)=V,所以A8JL平面VCD又因为COU平面VCZ),所

以A8_LCD又因为AO=8。，所以AC=8C,故A正确，

又因为VCU平面VCD,所以A8_LVC,故B正确；

因为5AVCD=|VOCD,S,、ABC=3ABCD,所以5AVCD,AB=S,\ABC,VO,故D正确.由

题中条件无法判断VC_LVD故选C.

5.（多选）如图，AC=2R为圆。的直径，ZPCA=45°,以垂直于圆。所在的平面，B

为圆周上不与点4,C重合的点,AS_LPC于点S,AN_LPB于点N,则下列选项正确的是（）

A.平面ANS_L平面PBC

B.平面ANS_L平面B43

C.平面力B_L平面PBC

D.平面ABUL平面布C

解析：选ACD.因为办_L平面A8C,以U平面以C,所以平面48CJ_平面以C,故D

正确；因为B为圆周上不与4,C重合的点，4C为直径，所以BC1AB,因为E4_L平面ABC,

8CU平面4BC,所以BCL%,又ABA%=A,所以BC_L平面以8,又BCU平面PBC,

所以平面抄W_L平面PBC,故C正确；因为AB_L3C,BC±PAt又必G/W=A,所以8C_L

平面RW,所以5CLAN,又因为ANJ_P8,PBC\BC=B,所以AN_L平面P8C,又ANU平

而ANS,所以平面ANS_L平面P8C,故A正确.故选ACD.

6.如图，在△A8C中，NACB=90。,A8=8,ZABC=60°,PC_L平面ABC,PC=4,

M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________.

解析：作C"_LAB于，，连接。〃.因为PC_L平而八BC,所以尸H_LA8,PH为PM的最

小值，等于2币.

答案：2币

7.（2019・高考•北京卷）已知/，机是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/L〃；②〃？〃a；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题.

命题（1）:若/_L，m用〃a,则/_La,此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体

ABCD-A\B\C\D\中，设平面A8CD为平面«,A\D\和AS分别为I和加，满足条件，但结

论不成立.

命题（2）:若/_!_〃?，/-La»则"i〃a,此命题正确.证明：作直线，〃[〃〃?，且与/相交，

故/与〃?1确定一个平面力，且因为/_La,所以平面a与平面夕相交，设。门用=〃，

则/_!_〃，又机〃U6，所以〃“〃〃，又m\〃tn,所以ni//n,又m在平面a外，“UQ,故m//a.

命题（3）:若"i〃a,/-La,则/_!_，〃，此命题正确.证明：过直线"[作一平面，且与平面

a相交，交线为a,因为m//a,所以〃?〃a因为Z±a,aUa,所以/_!_〃，又in//a,所以！

答案：②③0①或①③=②（答案不唯一）

8.如图，已知NB4C=90。，PC_L平面人8C,则在A/WC,△场C的边所在的直线中，

与PC垂直的直线有；与AP垂直的直线有.

p

B

解析：因为尸C_L平面ABC,

所以尸。垂直于直线,48,BC,AC.

因为A8_LAC,/1B±PC,ACQPC=C,

所以AAJL平面PAC,

又因为APU平面PAC,

所以48_L4P,与AP垂直的直线是A*

答案：AB,BC,ACAB

9.如图，在四棱锥P-ABCO中，PC_L平面4BCQ,AB//DC,DCLAC.

(1)求证：DCJ_平面B4C；

(2)求证：平面出8_L平面以C

证明：(I)因为PCJ■平面/WC。，OCU平面人BCD,

所以PCJ_OC.

又因为AC_LOC,且PCAAC=C,

所以DC_L平面PAC.

(2)因为A8〃CO,DC-LAC,

所以48_LAC

因为PC_L平面A4CO,A3U平面43CQ,

所以PC.LAB.

又因为PCQAC=C,

所以A8_L平面PAC.

义A4U平面例从

所以平面南8_1_平面以C.

10.(2020•内蒙古呼和浩特第一次质量普查)如图，三面四边形A8CO中，ABA.BD,AB

=BC=CD=2,BD=2近沿3。折起，使其。=2吸.

(I)证明：△4CO为直角三角形；

(2)设B在平面ACO内的射影为P,求四面体PBCD的体积.

解：（1）证明：在RtAAE。中，AB±BD,4B=2,BD=2®

所以AD=y/X声丽=/两=2小,

因为AC=26，CD=2,所以ACn十。02：?!。?,

所以AC_LCQ,

所以△AC。是直角三角形.

（2）由（1）知CD_LAC,易知CO_L8C,

因为ACnBC=C,所以CO_L平面ABC,又CDU平面AC。,

所以平面4BC_L平面ACQ,其交线为AC,

故过3点作AC的垂浅，垂足为P,点P即为6在平面ACO内的射影,

易知P为AC的中点,

所以四面体PBCD的体积VP«C«=1X5X2X2X1=|.

［综合题组练］

1.如图，在正四面体以4C中，D,E,“分别是A8,BC,。的中点，下面四个结论

不成立的是（）

A.4C〃平面

B.OF_L平面以E

C.平面PO凡L平面以E

D.平面PO£_L平面ABC

解析：选D.因为BC〃DF,。产U平面PDF,8a平面PDF,所以BC〃平面PDF,

故选项A正确.

在正四面体中，AELBC,PE±BC,DF//BC,

所以8C_L平面PAE,则D以L平面PAE,从而平面P。凡L平面以£因此选项B,C均

正确.

2.（多选）如图，一张A4纸的长、宽分别为2啦〃，勿，A,B,C,。分别是其四条边的

中点.现将其沿图中虚线折起，使得多，尸2,尸3,凡四点重合为一点P，从而得到一个多

面体.下列关于该多面体的命题，正确的是（）

A.该多面体是三楂锥

B.平面840，平面8C。

C.平面BAC_L平面AC。

D.该多面体外接球的表面枳为5冗/

解析：选ABCD.由题意得该多面体是一个三棱锥，故A正确；因为APJ_

CP,BPC\CP=P,所以AP_L平面BCD,又因为A尸u平面BAD,所以平面84O_L平面BCD,

故B正确；同理可证平面8AC_L平面ACD,故C正确；通过构造长方体可得该多面体的外

接球半径/?=与，所以该多面体外接球的表面积为5m2,故D正确.综上，正确的命题为

ABCD.

3.在矩形ABC。中，ABVBC,现将△48。沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,

在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CZ）垂直；

③存在某个位置，使得直线A。与直线8C垂直.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

AE.LBD

解析：①假设AC与8。垂直，过点A作AE_L8。亍点E,连接CE.则0BD

BDLAQ

■L平面AEC=>8D_LCE,用在平面8c。中，EC与BD不垂直,故假设不成立，①错.

②假设A8_LCO,因为A8_LA。，所以A8_L平面AC。，所以A8_LAC,由ABVBC可

知，存在这样的等腰直角三角形，使A8J_CD,故假设成立，②正确.

③假设AD_LBC,

因为DC1.BC,所以BCX.平面ADC,

所以8C_LAC,即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而A8V8C,故矛盾，假设不

成立，③错.综上，填②.

答案：②

4.如图，直三棱柱ABGAIiG中，侧棱长为2,AC=BC=\,NACB=90。，。是A以

的中点，尸是8丛上的动点，AB^,。尸交于点E.要使ABi_L平面G。尸，则线段以尸的长为

解析：设囱尸=x,因为平面GQF,。/u平面GOR所以A'_LQF.

由已知可以得

设RtA^i/ii斜边AB\上的高为h,则。七=夕?,

又2Xg=/?)、22+(也产,

所以/?=¥，DE兴.

在RtZXOBiE中，BiE=[(乎尸(乎尸乎.

由面积相等得乎X7x2+当■)?=^x,得.即线段B\F的长为;.

答案：I

5.(202()•广东七校联考)如图，在四棱锥P-/WCQ中，以，平面ABC。，四边形46co

为正方形，P