高三数学一轮学案：离散型随机变量及其分布列数字特征

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征

【课标要求】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特

征.

1.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点/，都有的实数X(⑼与之对应，我们称X

为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为箝，也，…，/，称X取每一个值方的概率P(X=W=〃j,i=l,

2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量分布列的性质

(1)/力20,1=1»2,…，n.

(2)〃|+〃2+,,,+〃"=.

4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

♦••

XX]X2Xn

•••

PP2

(1)均值(数学期望)

n

称E(X尸=S乂〃,为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.它反映

i=1

了随机变量取值的.

(2)方差

称D(X)=3E(X))2pi+(x2E(X))2p2+…+(x,6X))2p产为随机变量X的方差，并称JD(X)为

随机变量X的,记为6X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的.

5.均值(数学期望)与方差的性质

(1)E(aX+b)=.

⑵£)SX+〃)=(a,。为常数).

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()

(3)随机试验的结果与随机变量是空应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.()

(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.()

2.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用。表示甲的得分，则｛乒3｝表示

()

A.甲赢三局

B.甲嬴■一局输两局

C.甲、乙平局二次

D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

3.已知随机变量X的分布列如表，则£(5X+4)等于()

X124

P0.4a0.3

A.lD.2.2

C.llD.15

4.甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,匕分布列分别为

X0123

P0.40.30.20.1

Y012

P0.30.50.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.

国微点提醒

1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.

⑵随矶变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量

的平均程度越小.

(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.

2.(1)E(XI+X2)=£(XI)+E(X2).

⑵。(X)=E(X2)(E(X))2.

(3)若X，X2相互独立，则E(XX2)=石(X)£(X2).

题型一分布列的性质

例1(1)若随机变量X的分布列为

则当P(X<a)=0.8时，实数a

A.[l,2)B.[l,2]C.(l,2]D.(l,2)

(2)设随机变量X的分布列为P(X斗)=£•(仁1,2,3,4,5),则尸(X24)等于()

4k“一I

3

A—B.

25

二33

=C25D.

35

思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确.

跟踪训练I已知随机变量的分布列如表:

e202

pabc

其中a,b,c成等差数列,则P(同=2)的值是()

B5C.4-

题型二离散型随机变量的分布列及数字特征

命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征

例2(多选)已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列说法正确的是()

X213

P2a0.25a

A.a=0.25

B.E(A>I

C.D(X)=4.5

D.P(0.5<X<3.5)=0.5

■微拓展,

均值、方差的大小比较、最值(范围)问题

关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几

个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)

解均值、方差的不等式求字母的范围.

典例⑴设随机变量X的分布列如下(其中Ovpvl),D(X)表示X的方差，则当〃从0增大到1时()

X012

1-P1

P

22

A.D(X)增大B.DB(X)减小

C.D(X)先减后增D.DD(X)先增后减

(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=0,a,2,根据以往销售经验可得0<〃<2,随机变量X

的分布列为

X0a2

11

Pb

26

下列结论正确的是()

A.b=1

B.若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为会

16

C.D(X)min=1

D.当Q(X)最小时，E(X)=1

命题点2均值与方差的性质应用

例3(多选)已知随机变量X的分布列为

X1012

Pabc0.25

且a,b,c成等差数列，下列结论正确的是()

A.D(Z>X+1)=4/)(X)

16

B.P(|X|=l)=0.5

C.若E(aX)=0.08,贝iJa=0.1

D.ac可能等于0.1

思维升华求离散型随机变量j的均值与方差的步骤

(1)理解4的意义，写出4的所有可能取值.

(2)求取每个值的概率.

(3)写出的分布列.

(4)由勺值、方差的定义求E©,D®.

跟踪训练2(多选)已知随机变量X的分布列如下，则下列说法正确的是()

X2112

12

Pmn-

99

2

A.m+/?="

3

B.P(X<2)=^

C.若Y=3X+2,贝I」E(K)=2

D.D(*)=2

题型三均值与方差中的决策问题

例4数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部

分选对的按比例得分，有选错的得0分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四

个的概率为()，正确选项共有两个的概率为〃(()<pvl).

(1)现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在A,B,C,D四个选项中任选一个选

项，策略二：在A,B,C,D四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的数

学期望；

(2)若有一个多选题，小明发现A正确，B,C,D选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：除

选A外再从B,C,D中任选一个，策略二：除选A外再从B,C,D中任选两个，在〃三的条件卜，

判断小明选择哪个策略更好.

思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理

论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

跟踪训练3(2021・新高考全国I)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,3两类问题.每位参加比赛

的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回

答正询则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.4类问题中

的每个问题问答正确得20分，否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的

概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

⑵为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

答案精析

落实主干知识

1.唯一

3.(2)1

4.(1)X1PI+42〃+•••+为心平均水平

n

⑵E®E(X))2p,标准差

i=1

偏离程度

5.⑴aE(X)+。(2)a2D(X)

自主诊断

1.⑴X(2)<(3)4(4)V

2.D3.D4.乙

探究核心题型

例1(1)C[由随机变量X的分布列知，P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X<G=0.8时，实数。的取值范

围是(1,2].]

(2)A[P(X=k)*4

"(2fc-l)(2fc+l)

杉岛一康)，

5

vEp(x=k)=\,

k=L

.m(111111111X

一万'。一/厂g+l/广q+丁司

与(1」产“

2\11/11

则若，二P(X2)噌x+9)嗓]

跟踪训练1A[因为a",c成等差数列，所以公等，

根据随机变量分布列的性质得。+。+片1,

所以手=1,即a+e=|,

所以P(同=2)=P02)+P(42)4]

例2ACD[由题意2a+0.25+a=\,得a=0.25,

所以E(X)=2X0.5+1X0.25+3X0.25=0,

D(X)=(20)2X0.5+(10)2X0.25+(30)2X0.25=4.5,

P(0.5<X<3.5)=P(X=l)+P(X=3)=0.25+0.25=0.5.]

微拓展

典例(1)D[由分布列可得E(X)=OX?+1X$2X犯+p,

则Z)(X)=*^G+P)弓6+P-1)+今G+P-2)=p2+p《=(p-之)4，因为0<p<l,所以Q(X)先增后减.]

(2)ABC[由题意;+>；=1,•,"三，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概

263

率为尊X(£X(丁磊，故选项B正确；随机变量X的均值E(X)=0X$aX1+2x/3+l),可知方差

D(X)=[o-1(a+l)jx|+|a-：(G+l)]x1+[2-1(a+l)jx*二3乂(2/24+5)=3x[2(Q-J+三，当

4时，D(X)min=1,故选项C正确；当Q(X)最小时，*，此时E(X)txQ+1)=1,故选项D错误」

例3ABD[依题意，a+b+c=3b=0.75,解得b=0.25,a+c=0.5.

岭子+和⑶,A正确；

P(\X\=1)=P(X=1)+P(X=1)=«+c=0.5,B正确；

E(X)=〃+c+0.5=12a,贝ljE(aX)=aE(X)=a(12^)=0.08,解得a=0.1或〃=0.4,C错误；

当a=0.3,c=0.2时,ac=0.1,D正确.]

跟踪训练2ABD[因为/■〃?+〃+9,所以〃7+〃二：,故A正确；

P(X<2)=1P(X22)=1①Z，故B正确；

因为后,所以〃4，所以E(X)=2x9(l)xHx92X衿,所以石⑺田3X+2)=3E(％)+2=4，故C错误；

P(^=1)=P(X=1)+P(X=I)=m+n=l,

P(X2=4)=P(X=2)+P(X=2)=；,

则*的分布列为

X214

21

p

33

所以E(X2)=1x|+4Xj=2,则DCX2)^X(12)2+1X(42)2=2,故D正确.]

例4解(1)设小明分别采用策略一和策略二的得分分别为Xi,Xz,

X的可能取值为0,2,3,

P(X=0)=pX%(lp)X产券，

P(X=2)=(lp)X滑子，

P(X”〃X号，

/.£(X1)-OX11E+2X^3X1-1;

X2的可能取值为0,4,6,

尸(X2=0)=pX/(lp)X：=¥,

OOO

P(X2=4)=(lp)x91,

OZ

P(X)=pXl=^,

2=6oo

・•・E（M）=（）X3+4x工6X巳=2p,

626

・•・小明分别采取策略一和策略二的得分的数学期望分别为|和2〃.

（2）设小明选择策略一和策略二的得分分别为匕，打，

力的可能取值为（），4,6,

八、12,315

P（Y\=O）=-xx-=—,

'7434312'

321

P（K1=4）=-X-,

P（y