2025-2026学年人教版八年级数学下册第十九章《二次根式》单元测试卷（含两套题）

人教版2025—2026学年下册第十九章《二次根式》测试卷8.若*7,屈-6,则而而的值用“，〃可以表示为（）

A*「及n—

八年级数学、105RI0UJ10100

（滴分：120分时间,60分钟）9.己知矩形的长为a而，面积为第而,要在这个矩形上剪下一个正方

*—二三总分形，则所剪下的正方形的城大面积是（）

分数

A.30B.40C.50D.60

10.2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕.本

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

次峰会讨论了多种数据加密方■式，若以下运算为数据加密方式：

1.若G在实数范围内彳1意义，则，的取值范围是（）

aab-后华-（&+㈣-㈣,那么4④3的值为（）

A.工＞2B.ac.D.”2

A.1B.4C.-2D.9

2.卜列二次根式，不能与您合并的是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

A.VSsB.C.,/isD.JiII.计算：&历.

3.下列运算正确的是（）12.比较大小：W5诲（填

A.0+/MB.Tis-iVJC.S-'D.8+g=213.若23与最简二次根式G是同类二次根式，贝心的值为.

4.估计b而的值应在（）14.已知三角形三边长分别为-、5小—，则化简代数式卜-小河可

的结果是.

A.I到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间

15.实数X、＞满足片足温^^+行，则）“=.

5.下列根式：2而、&、栏、杵、g、/中，最简二次根式的个

16.观察下列各式：①②唱-R;③4后•用：……请

数是（）

你将发现的规律用含自然数〃（*2）的等式表示出来.

A.2B.3C.4D.5

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23®,

6.若疝丁="力,则”的取值范围为（）

每题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分）

A.B.C.°弓D."弓

17.计算:

7.当工=2-6时，代数式的值为（）

⑴我烂；⑵（2-何曲2卜（后-南.

A.2B.2-J2C.3-2戊D.3Ca

20.已知K2+6,H2-6,分别求下列代数式的值:

18.定义两种新运算，规定：&力/1-4•♦力，其中°,人为实数

⑴―：

且。20.

(2)o'.

⑴求(5★并加的值：

⑵化简C★小(2灿).

21.若两个含二次根式的代数式叫“满足：E.…,且g是有理数，则

称皿与"是关于。的“和谐二次根式"，如2点”壶=4,则称2/与百是关于4

19.海伦一秦九韶公式：海伦(约公元50年)，古希腊几何学家，在

的“和谐二次根式”.

数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明

(1)若E与"是关于10的“和谐二次根式”，求m的值.

了•个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面枳的公式.即如果

⑵若与信T是关于6的“和谐二次根式“，求”的值.

一个三角形的三边长分别为a,b,c,记〃=手，那么这个三角形的

面积S=^p(p-a}{p-b)[p-c).

如图，在9c中，。=8,6=4,”6.求V,WC的血枳.

教学K&61女(共”荻)

⑵若"7^3,求aj+3的值；

（3）若"而%/-走，比较a和〃的大小.

22.【阅读理册】闹读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回

答下面的问题.（木题10分）

化简：（417）：-”乩

解：隐含条件>舞》。，解得，弓.

所以lT>0.

所以原式3*T.*-2J.

【启发应用】（I）按照上面的解法，试化简：

【类比迁移】（2）实数，仆在数轴上的位置如图所示，化简24.【观察思考】

+，<<1-〃）'-他-«|.第I个等式：房"/；第2个等式：屉不：第3个等式：口・磊:

第4个等式：；

【规律发现】

（1）①直接写出第4个等式：；

②如果"为正整数，用含"的式子表示上述的运算规

律：.

【规律证明】

（2）证明②中的运算规律.

23.课本再现：我们已经知道,后F后7，-，，因此将舟的分子、分母【规律应用】

同时乘“后,3”，分母就变成了4.这就是分母有理化.<3）根据上述规律，化简：,募“砌・

方法应用：

⑴化简：小,-------------,

参考答案

一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，共30分）

题号12345678910

答案BCDBACCCDB

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.212.>13.214.615.316.“居/+=（心2）

三、解答题（第17,18,19,20S,每题6分；第21,22.23题,

每题8分；第24.25题，每题12分；共9小题，共72分）

17.【详解】（1）解：叵*

25.阅读材料：

2氐36

小颖在学习二次根式后，发现一些含恨号的式子可以写成另一个式子

的平方，如4+26-0+6。善于思考的小颖进行了以下探索：

设*+，6=（*"+"£）’（其中X,.V,,Hl,〃均为正整数），则有"vV5=W+3n1*2mw75,

=5;.........3分

加'，y-j这样小颖就找到了一种把部分“小，的式子化为平

（2）解：（2-硼6+2）-（私有）’

方式的方法.

=卜-（向｝［（同-2«&氐（可］

请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：

-4_3-（6_郎.3）

（D当x,.V，孙〃均为正整数且x+y而=（吁"后『时，诘用含加，〃的式子

-4-3-6-*6s/2-3

分别表示x，y：

-6j2-«...........6分

，=

*-______，>______：18.【详解】（1）解：（5*1）（5则

（2）若“7。-1"*，"6）',.且人，〃“〃均为1E整数，求▲的值：

=（7s-l）（^5-l）

（3）①填空：口有=：=5-1

②化简：山-由-2点.3分

教学曲角6，交（共”荻）欧芬流跳页（共W页》

(2)解：26.2所・，•（加/五）0・7./,

=：贞-"卜(衣4刀).7・丁（7+列〉再迎痴

•,<,-7u73-{ji4^）{7M-V2）__iF-~,

=72-n+Vz4-w

.,…当...........8分

=272............................6分

22.【详解】（1）V3-xio,

19.【详解】解：A-4,…，

AX-4<1>,

.・・£*=加0.。）（…）Sp

二原式））

-^9x（9-8）x（9-4）x（9-6）=J"T~3-x,

--（x-4）-3>.v,

二际............................6分

-7*4・3♦月,

20.【详解】（1〉解：•••吁2.石，力-2-6,

-«............................4分

:・a+b=2+亚，2-5=4,°-匕-2。75・（2-/）-2。，

（）•实数办在数轴上的位置如图所示,

Aa'-b3-（a-»-b）（<T-^）-4x275-H>/3：......................3分21

/♦b<0,a-b>096-tf<0

12）解：•：Q・”6,J59

（（

:.。-6=2-4-（2-石）=25,3=（2+石）（2-6）=4-3=1,.•.原式…♦0-»[-狂叨，

■-bAQ-hb-a,

-yub^hr

■.必…..................8分

23.【详解】（1）解：小

=：2厨-I

4-715

-12-1

~|4>Vl5|（4-Vi5）

=11............................6分

4-7l5

*16-15

21.【详解】（I）解：由题意可得：mS-H）,

=4-7155.......................2分

•10I。括fr-j/y

⑵格S62,

1：2）解：由题可得：（"-1）（岳-1）=6,•\a:

:.2fi5dJl♦41（1I-6,=（a-2）：-l

■（#+2-2|-I•••〃，，”均为正整数，

-5:...................5分.,.当"》-1时，«-2,

1

（X）解.a--y-‘-y=/L理/对7=T=瓜飞五b=-J-=L在:1：=6*■2此时,x->w-iA>r-U?v4-I3(

，力吟RY（卡-倒A75），75-2（、父・2）仲臼，

当m-2时，“I：

•:瓜>2,

此时,*-iw,*3nl-4»-3x1-7；

••几十的）2千J9

1.x=7或313：..................8分

：・4八..........1…•8分

(3)解：①44♦2#-Jl♦2)3-J(l+&)-I，6：

24.【详解】解：⑴①亚•/

②也-乐2、麻

故答案为：5彳=，4...................”“2分

②眄g"川后

故答案为：氏巳=（〃，|）恁...........4分

・Js-(1+2J)

（2）证明：等式左功.产薛二唇总

=<4-1-2^

又“”>0,一。3-26

恁・右边，=J-2&.2

=研

二等式成立…........8分

=72-1.......................12分

⑶原式=20"层踞

-2024^5...................12分

25.【详解】（1）解:**.vVs-（M»aj5），-in,45B,«2nw^,

.,.*■*—+5"：,y-2mw•..................4分

（2）解：<+4j3T加小）-"十城.IziinJ?,

sj

/..v=fw-f-5n94-2/wt,

•*.mf»=29

欲分试0办”买《共26页）歙冬依12®<^t26®)

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人教版2025—2026学年下册第十九章《二次根式》测试卷A.加B.2a-*C.-bD./>

八年级数学8.如果。满足|X>K-“|+J"-：W6=“,那么的值为（）

（满分：120分时他：60分钟）A.2024B.2025C.2026D.2027

—二

魁号三总分9.对于任意的正数，〃、〃定义运算®-"•恬喂曹计算—®8>

分数

的结果是《）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）A.、巧+石B.3石C.用+近D.75-72

1.下列各式«二球，Q，5,E中是二次根式的个数有（）10.已知代数式M=a4+b.N=，4-d,其中小b,c,〃，工均为正整数，

A.1个B.2个C.3个D.4个且X不是完全平方数.若"b=2「’.八7’且小，〃为正整数.则下列说

2.下列各式中，与石是同类二次根式的是（）法正确的个数（）

A.而B.南C.任D.56①若M=，v,则》<=#,

3.下列计算正确的是()1②若5・0,且x=2,则不存在任何的利，”满足条件：

A.273+475=6^6B.A&-戊-3③若M,V-44+8,则M,N共有4种结果.

C.20x34・S卡D.应.4"zA.0B.IC.2D.3

4,估算:a*（而+9的结果在（）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

II.函数k阡中的自变量的取值范围是_________.

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间X-I

5.把“后根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（）12.如果最简二次根式G与后石是同类二次根式，则”.

A.'/aB.-4C.-GD.G13.比较大小:石+布石，加（填或.

6,若"的整数部分是小小数部分是从求（行♦小的值为（）14.若1vx<2,化简J『-2r.”J.i-4x.4-.

A.7-2"B.3C.5D.2。-315.已知.v・Hi74-2x-R,则a+y广*•>广的值为.

7.实数。、人在数轴上的位置如图所示，化简扬+J西邛-H的结果是16.古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形

的三边求面积的公式，称为海伦一秦九貂公式,如果一个三角形的三

边长分别是小b,c,记”空手，那么这个三角形的面积为

S=yjp(p-a)(p-b)(p-c).若“-3,，，-5,r-6,其面积S的小数部分为〃J,则19.求当*=6+石，y・6-6时,下列代数式的值.

/»的值为.⑴八叫

三、解答题(第17,18,19,200,每题6分；第21,22,23题，

每题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分)

17.计算：

⑴(3+倒3-今曰+6；

Q)叵*《*而.

20.对丁任意不桂等的两个数a,b,定义一种运算※如下：^b■空.如

舔4=2^11=3.

5-4

⑴求核5的值.

(2)求(2-6怦(像5)的值.

18.某校布"一块形状为正方形的绿地(如图)，其边长为(底+2)米.现

在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花

在的长为由7米、宽为47米，除去修建花坛的地方，其它地方全部21.像Q耳，府石，这样的根式叫做豆合二次根式.有一些更合

修建成通道，求通道的总面积.二次根式可以借助构造完全平方式进行化简.

?

如:>/4-2^3-73-271♦!-7(^>:-2V5XUI:-7(75-l>-^5-1：

Js+2、石=6+2石+2=J(石尸+2XJ5XJ5+(J5)，=+无广=百,&

□□

请用I:述方法探索并解决下列问题：

(1)化简："10,2而;

(2)化简：小4-8&.O

&芬流《iftisfi<«26«)«1系沸虺叫16页<«M®>

22.若“+户3,则称K和），是关于3的平衡数.24.问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数今后，某班同学们以“已

（1）3与一是关于3的平衡数；5+上与_是关于3的平衡数：知三角形三边的长度，求三角形面枳”为主题开展了数学活动，同学们

⑵已知所为整数，若,+闾（人为）=-7+玷,请说明”褥与5-石是关于3想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：

的平衡数：材料L古赤腊的几何学家海伦（〃“""•约公元5D年,，在他的著作£度

⑶已知“-您+«"3=e+7、@n»."为整数，a和〃是关于3的平衡数,则量》一书中，给出了求其面积的海伦公式"的SF（。叫（”d（其中如

b、c为三角形的三边长，「=牛，S为三角形的面积）

材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积

的秦九韶公式：（号矶，其中三角形边长分别为“、b、C,

三角形的面枳为S.

（1）利用材料I解决卜面的问题：当&=石毋=入=2"时，求这个三角形的

面枳？

23.观察下面算式：

（2）利用材料2解决下面的问题：已知办改三条边的长度分别是

第一个算式：小-2冈+渭6

!

«-JK+I.b-7（5-x）.<-4-（-jA-x,记VABC的周长为

第二个算式：M31+3沔

①当一2时，请直接写出VA"中最长边的长度：

第三个算式：板丽有

②若X是满足。<x7的整数，当C*取得最大值时，请用秦九韶公式求

第〃个算式：............

出VAW的面积.

⑴根据上述特征，请再写出第五个算式.

⑵你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律:

⑶请你用含〃式子表示上述规律，并证明这个规律.

25.阅读下面问题：出一茂乐i区参考答案

一、选择题（木大题共10小题，每小题3分，共30分）

1_正-g__5f

~~i-5-7-

瓜后曲面&-&「.'18号23468910

答案BDDDcBACBC

丁丁=广电-尸=-4+2…,

6+75（643）（石3-4）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

【问题探究】

11.且e12.513.<14.1T-315.-2-75

（!）根据以上信息，化简：

I16.病-7/2痴-7

G▼&7-----------------------------------------------------

【应用结论】

三、解答题（第17,18,19,20®,每题6分；第21,22.23题,

⑵利用以上规律，计算：（ErWx舟r—-两

每题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分）

【拓展应用】

（3）如果有理数“，6满足帅-2=g+g,试求：【详解】（1）解：（3+6）0-无卜日.春

■'■+_'___________'_____i.______1______,=9-2-2

a4b十bja（aUx/dTl（<i+ZNbC♦（b♦2h/a+21a♦2024*^*2024/（b/2024）、"，2024

的值.-5：..............3分

⑵解：叵蜉-8位

第书-炉

=4-3-2

=-|..................6分

18.

【详解】解：由题意得，通道的总面积为：

（底+2尸-4x<6+lx/-D.............2分

-J5*4»4T55-4X（7-O

&冬X&iftiofi<»M«)

■的一而-24=4囱+2岳《+（⑺’

=l735^l5（m:）司

故通道的电.面积为3斤…足........6分-54--------------4分

19.（2）解：原式-JM-2、源

【详解】（1）解：:一6・《，产6-0

.*.*7-（64—卜（6-网-275,K.y-（6>75卜（6-』）-12,=/可-2限通+（时

♦1/・y，・（x・F）（人♦y）・2&xl2・24.：......3分

（2）解：，：,y-6-枢、=1品-&：................8分

:..r+y=12,町，=（6♦石）（6-小）=36-3=33,22.

YG岩端二噜畤......................6分【详解】（1）解：由题意得，3+0=3,

••.3与。是关于3的平衡数：

20.

-拒）-3,

【详解】（1）解：由题意，得:

.••"优与竭是关于的平衡数,

”萼=孚=挛=同23

故答案为：0,-2-右：......2分

故?貂的值为6.......2分

（2）解：由题意得，加+司（"甸

（2）解：由（1）可知，像5・々,

-m-mjs+J5-5

.[(2-石怦(7%)=(2-/)*行.

=（m-5）+（l-m）75

由题意，得:

-7+34

乜-安£&&(2+2石)2企+2&_五＞瓜

(2-75忤6=

2-75-73-2-175-(2+2^3)(2-275)-4-12-4:.nr-5=-7和”m=3,

（

以2-石怦百的值为-丐四........6分解得M--2,

21..••（而+4）平-6）

【详解】（1）解：原式=时访访=（-24•石卜（S-4）

故答案为：47-2卜1+:沙:.......2分

，二者是关于3的平衡数：.......5分(2)解：通过观嶷可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式

(3)薪，与,是关于3的平衡数，的序号大，的数减去？的弟再乘以।加上比这个算式的序号大，的数的倒

/.6=3-d数，等号右边是这个算式的序号大2的数分之这个算式的字号大I的数

=3-(而.在)乘以比这个算式的序号大2的数的算术平方根；......5分

=3-J5-m,(3)解：第"个等式：M+2-2)小士.吗而3,

由题意得，处=(<"+括)(3---同证明:Q"是正整数,

=Ani-fn'+3衣-5-石rrr