第十九章 二次根式 全章同步练习-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式

19.1二次根式及其性质

第1课时二次根式的概念

A组•基础达标

知识点1二次根式的概念

1.［2024长沙模拟］下列式子是二次根式的是（）

A.逐8.历

C.D.A/3

2.判断下列各式哪些是二次根式?哪些不是?为什么？

游,Q5,y（«>（））,V-x2-2.

知识点2二次根式有意义的条件

3.（2025福建］若0在实数范围内有意义,则实数x的值可以是（）

A.-2B.-lC.OD.2

4.12024云南］若右在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）

A.x>0B.x<0

C.x>0D.x<0

542025长沙模拟］使式子x/I而有意义的实数x的取值范围是（）

A.x>0瓦。-g

32

6.若式子G+X-2在实数范围内有意义，则X的取值范围是：）

A.x>-1B.x>-1

C.x>-1且x^0D.x<-l且x，0

7.［2025河南|请写出一个使6不在实数范围内有意义的x的值：—.

8.若式子G在实数范围内有意义，则x=—

知识点3二次根式的实际应用

9.用带根号的式子填空：

⑴面积为S的正方形的边长为一；

(2)目冰运动员从跳台跳下，他在空中的时间t(s)与跳台高度h(m)满足关系式h=5t2,如果用含有h的式子

表示t,那么t=

10.若一个长方形的面积为10cm2,它的长与宽的比为5：I,则它的长为cm.宽为_cm.

易错点考虑不周全造成答案不完整

H.[2025长沙模拟]若式子当有意义，则a的取值范围为()

A.a>-1B.a,2

C.aN-1且际2D.a>-l

B组能力提升

12.若岳与”五+1在实数范围内有意义，则x需满足的条件是()

13.已知行沁生在实数范围内有意义,则在平面直角坐标系中,点P(m,n)位于第一象限.

14.当x取何实数时，下列各式在实数范围内有意义？

⑴后；

⑵总

(3)Vl-3xn；

(4)VX-3+V4-A\

15.根据以下素材，探究完成任务.

项目主题探究长方形仓库的设计方案

如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总

面积为1200m2.

素材1

计划在厂房的东边围一个面积为300m2的长方形基地，做仓库存放设备，仓

素材2度一边靠在正方形的边上(计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边

长，不考虑门窗)，另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为5：2.

问题解决

确定每块小正方形的边长(1)请你计算每块正方形基地的边长.

判断能否围成符合要求

(2)若可以围成，请通过计算，求山它的长与宽；若不能围成，请说明理由.

的仓库

C组核心素养拓展

16.【创新意识】【课本再现】

一般地，如果一个正数x的平方等于a,即那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为G；0的算

术平方根是0,即75=0.所以被开方数a为非负数.

【探究新知】

⑴若(4)2=&则a的取值范围是一；

【知识应用】

(2)若口4+6+1□+,々―23+4=0,求3+/力2必的值;

【拓展应用】

(3)若口2025—4口+>/0-2026=4,求a-20252的值.

第2课时二次根式的性质

A组•基础达标

知识点1二次根式的性质[«*(介0)]

1.若式子G是二次根式，则a的值不可以是()

A.OB.-2C.2D.4

知识点2利用(亦)2=〃(e0)进行计算

2.计算(的2的结果是()

A.V4B.4C.±4D.I6

3.计算:

(1)(逐)2=_;

(2)(-V3)2=_;

⑶(-36)2=_；

(4)-(36)?=_.

4.利用a=白刈把下列各数(式)写成非负数的平方的形式

(1)36=—;

(2)6=—;

⑶兀=____；

⑷若a名,bN0,则a-b=___-

知识点3利用后=〃①刈进行计算

5.下列选项正确的是()

A.若，？=一〃,贝！]a<0

B.若贝!]a>0

C.y/a^=a2b4

D.5的平方根是V5

6.计算：

(1)-V256=_;

⑵士疮=_;

⑷小三；

⑸斤=_;

(6)3-V?=_.

7.[2025宁乡模拟1若则x满足的条件是—.

8.12023黄冈]请写出一个正整数m的值使得%;是整数：

9.化简：

(1)J(V3-V2)2;

(2)](3.14-乃)2；

(3)VA-2-6X+9CV>3).

易错点1运用后=。(。20)时，忽略色0

1042023凉山州]计算:5-3.14)。+

易错点2运用(«)2=〃(e0)时,忽略月)

11.阅读下面的解题过程，并解答问题.

化简.(V1—3x)—□1—xD.

解:由l-3xM得烂;，

1-x>0.

，原式=(l-3x)-(l-x)

=l-3x-l+x

=-2x.

按照上面的解法，试化简：疝，-(⑸2

B组能力提升

12J2024长沙模拟］实数。〃在数轴上的对应点的位置如图所示，化简(〃).痴奇-的结果是

()

—i■-6-6

A.2aB.2bC.-2bD.-2a

13.12025湘西模拟］实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简V?诟前-疝亍结果为()

，g.।।1

-3-2-101

A.7B.-7

C.-2a+7D.2a-7

14.已知a,b分别为等腰三角形的两条边长，且a,b满足加4+商行+3乃2求此三角形的周长.

C组核心素养拓展

15.【创新意识】［2025吕梁模拟］阅读与思考.

形如4?±2必的化简,如果我(门找到两个数a,b使a+b=m,ab=n,那么便有(匈~+(〃)=/%々口7^=薪厕

土2y=^(VOIV^)~=XG±V^(67)Z)).

例如：化简J7+4VI

解：首先把力+4逐化为"+241这里m=7,n=12.

由于4+3=7,4x3=12,（可+（西=7,任任也，

□j7+4VJ=j7+2/H=J（a+V5）2=2+VI

仿照上面例题，化简下列各式：

⑴J8+2/B;

(2)Vll-2V30;

(3)77+740.

19.2二次根式的乘法与除法

第1课时二次根式的乘法

A组•基础达标

知识点1VaQ>Jb=y/ab（a>0>/?>0）

M2023衡阳］对于二次根式的乘法运算，一般地，有G口服=旧.该运算法则成立的条件是（）

A.a>0.b>0B.a<0,b<0

C.a<0,b<0D.a>0,b>0

2.12025广东］计算的结果是（）

A.3B.6

C.V60.2侪

3.12025长沙模拟］下列运算正确的是（）

J.v5xy3=v7员9肉/=仍

C.vSxv5=18D.i^4x%=6

4.计算:⑴gx/=_；

⑵（-3①『__；

G）-55吟」

5上檄大小：3n_4底填少y或i）.

6.计算:

(1)73x727；x值;

⑶后ZI帼.

知识点22\[ab=\/a□h>0')

7.化简g的结果是()

A.2V3B.3C.2V2D.2

8.化简斤环的结果为()

4-5/A5/

C.±5v5D.VTS

9.计算:V8><6=_.

10.⑴若丘2T□VF77,则x的取值范围是____

(2)若J(2x+l)(2-x)=，2r+ldVT又则x的取值范围是.

11化简：

(1)749x0.16;

(2)712标如(色(),后0)；

(3)70X14^9x70.64x324.

易错点忽视二次根式的被开方数为非负数

12.化简:J(-4)x(-9).

解：原式=RXQ

=(-2)x(-3)

=6.

以上解笞过程正确吗?若不正确，请改正.

B组能力提升

13把-2后艮号外面的数移到根号里面所得结果为()

4一闲8.而

c.-v5o£).~V5O

14J2025长沙模拟］若6=/%退=〃,则下列表示6正确的是()

A.5mB.5nC.5mnD.S

15.计算：

(1)-73xy(-16)X(-36)；

⑵&X；退X倔

(3)Ji1x2V5x(一gTTij).

16.如图是工人师傅做的一块三角形铁板材料,边BC的长为2后。凡，BC边上的高AD为伍cm.求该

三角形铁板的面积.

A

BDC

C组核心素养拓展

17.【运算能力】（1）已知a<b,则化简二次根式中;的结果是一；

（2）把（a-2）F根号外的因式移到根号内后，其结果是_____.

yj2-a

18.【运算能力】已知m为正整数，若是整数，则根据7189^=73x3x3x7,H=3历加可知m有

最小值3x7=21.设n为正整数，若伸是大于1的整数，则n的最小值为—，最大值为_.

第2课时二次根式的除法

A组•基础达标

知识点1决=’（生0，/»0）

1.计算第）结果是（）

A.±2B.4C.2D.±4

2.下列计算正确的是（）

4V8.v5+v?5=；v5

C.I425-V5=V5+2=侪

342025长沙模拟|计算:瞥=_.

VX

4.计算:

(1)/18-78;

⑶后卡;

⑷*瑞⑷。力加

知识点2&宗生。⑹。）

5.若a>0,b>0,下列各式从左到右的变形正确的有（）

\[ab=y/ay[b\尸号；\[a.y[b=4ab\

b7b

A.l个B.2个C.3个D.4个

6化简：

⑴忌；⑵四;

。疆（旬》0）.

知识点3二次根式的应用

7.如果一个三角形的面积为65,一边长为V3,那么这条边上的高为

8.设长方形的面积为S,相邻两边长分别是a.b.

⑴已知。=通/=而，求S的值：

（2）已知S=4v5,a=而，，求b的值.

易错点忽视二次根式的被开方数应为非负数

9」2024长沙模拟］在学完“二次根式的乘除“后，数学老师给同学们留下这样一道思考题:已知x+y=-6,xy=

4,求&/的值.

小刚是这样解的：曰+5=匹+叵=回±.

W-Jyxyxy

把x+y=-6,xy=4代入，

得再附，)=回(-6)=一3

.v>'4

显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程.

B组能力提升

I。若备小厕x应满足的条件为()

A.x>6B.x>0

C.0<x<6D.x>6

11.计算：

(l)V6xV50-V3；

(2)2V6x3J^V3;

⑶3m+2巡哼

12.[2025衡阳模拟|高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间l(s)和高度

h(m)近似满足公式片，(不考虑风速的影响).

(1)从50m高空抛物到落地所需时间匕是多少秒?从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少秒？

(2)t2是.的多少倍?

(3)经过1.5s,高空抛物下落的高度是多少米？

C组核心素养拓展

13.【创新意识】［2024长沙模拟|先来看一个有趣的现象：折=导层=2这里根号里的2经过适

当地演变,2竟跑到了根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙二具有这一性质的数还有许多，例如：

厝31,舟唇

(I)①请你写一个有,,穿墙”现象的数.

②你能只用一个正整数皿仑2床表示含有上述规律的等式吗?并证明.

(2)按此规律,若辰=a@a,b为正整数),则a+b的值为一.

第3课时最简二次根式

A组•基础达标

知识点1最简二次根式

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是()

4%B.V0.8C.V5D.V4

知识点2化简二次根式

2.把下列二次根式化为最简二次根式：

(DV28；⑵£

⑶E；(4)d9a?b'(«>0»h>0).

3.计算:

⑴后;⑵耳⑶争⑷离.

4.把下列各式化成最简二次根式:

⑴-%⑵需⑷。);

⑶誓；（4）居仁0,以），力0）.

5.化简：

⑴舞⑵值gVJx抵

⑶岛（4）层3之0'»°）；

⑸强(6)/x何.

B组能力提升

6.计算:

⑴/『⑵叵

⑶何X闹.访⑷更

7.计算:

⑴时田证;

(2)/18-

Cv)0,y>0).

8.(2025泰安模拟］已知佰=篝，且x为偶数，求际□，善的值.

9.如图，在RtAABC中CD是斜边AB上的高，力C=4v5,8C=2诿"=2汨.

(1)求4ABC的面积：

⑵求高CD的长.

ADB

C组核心素养拓展

10.【计算能力】12024登封模拟］观察下列算式：

n=ji；

⑴由上述三个算式，可得昌

⑵请直接用含n（n是正整数）的代数式表示上述规律；

⑶请借助探究中获得的经验判断照二9二.层是否正确，并说明理由•

19.3二次根式的加法与减法

第I课时二次根式的加法与减法

A组•基础达标

知识点1可以合并的二次根式

1.［2024常宁模拟］下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（）

4而与述B.6与我

C.V5与6D.6店

2J2025长沙模拟|下列各式化筒后，能与石合并的是（）

4丽B.\^A

c而

3.12025常德模拟］已知最简二次根式衍5与二次根式E能够合并，则a的值为（）

A.5B.3C.4D.7

知识点2二次根式的加减

442024石家庄模拟|下列计算正确的是（）

A.v?=v5B.v5+v5=v5

C4v5-4V5=10.3+2V?=5V?

5」2024重庆A卷］已知"尸历-的,则实数m的取值范围是()

A.2<m<3B.3<m<4

C.4<m<5D.5<m<6

6.计算:⑴［2025吉林］

(2)(2025自贡|小-3四=_;

⑶色g=_.

7.计算E-3'+役=_.

8.计算:

(明花-6田+⑹；

(2)^+CI-V3

(3)J(1-6)2一9+3.

知识点3二次根式的加减的应用

9.若一个三角形的三边长分别是V27c//z,V32cw,,则这个三角形的周长是_cm.

易错点错用运算法则导致错误

10.计算:TT8+V98+V27.

解：原式-30+7近+30................①

=1()V2+3V3...........................②

=(10+3)72+3....................................................................③

=13V5....................................................................................④

⑴以上解答过程中，从步骤—开始出现错误；

⑵请写出本题的正确解答过程.

B组能力提升

11.若百的整数部分为x，小数部分为y,则BX-F的值为（）

43V5-3B.VJ

C.lD.3

12.若等腰三角形的两边长分别为263&,,则这个三角形的周长是（）

44V5+3

«.2历+60

C.4/+3历或2V3+6V2

D4V5+6v?

13.当尸v?时，代数式x2-3x+3V5的值是.

14.计算：

（|V27-42-甸的近似值（结果保留小数点后两位）.

15.已知V5R.732,求

C组核心素养拓展

16.观察等式：逐+合吟2+*峻石+白苧,……

⑴请用含n(n>3,且n为整数j的式子表示上述等式的规律：赤+，=_；

n~I-

⑵按上述规律，若标+产器则a+b=—;

⑶仿照上面内容，当n=l1时，计算出结果，验证你在⑴中得到的规律.

第2课时二次根式的混合运算

A组•基础达标

知识点1二次根式的混合运算

1.计算(V27-V12)x/的结果是()

J.yB.lC.V5D.3

2J2024重庆B卷］估计42(0+6)的值应在()

A.8和9之间B.9和1。之间

C.10和11之间D.11和12之间

3.计算:⑴病x/+何+6=_；⑵(我-日X佟二

4计算:

(1)V48+X/6XV2;

(2)2(1-V2)+V8;

(3)(10V48-6V27+4\/T2)-V6.

知识点2二次根式与乘法公式

5.［2025河北］计算:(g+巫)(旧-&)=()

A.2B.4C.6D.8

6.计算(怨T)x怨的结果为()

A.OB.lC.2。.与•

7.计算:(V27+AA8)(V3->/2)=_.

8J2024长沙模拟］计算:(3+2灼1(4+⑹(4-6).

易错点错用运算法则进行运算

9.嘉淇计算6+G+-时，想起分配律,于是她按分配律完成了下列计算:

解：原式=6£+45G

=VT5xV3+/T5xV5

=3正+56.

她的解法正确吗?若不正确，请给出正确的解答过程.

B组能力提升

10.若a-b=2v5-l,aZ>=V5,则(a+I)(b-1)的值是_.

11.计算：

(l)(V3+^-l)(V3-V2+i);

(2)V24-MUV2-

12.已知片区-24=港+2,求下列代数式的值：

(1)%一/；

(2)a2+ab+b2.

1342024湖南模拟］定义：若两个二次根式a,b满足》b=c.且c是有理数，则称a与b是关于c的“共辗二

次根式

⑴若a与V5是关于6的“共姬二次根式”，求a的值；

⑵若2-VJ与4+6〃堤关于2的洪转二次根式”，求m的值

C组•核心素养拓展

14.【运算能力】［2024岳阳模拟］阅读与思考.下面是博学小组研究性学习报告的部分内容靖认真阅读，

然后完成后面的任务.

关于''分母有理化”的研究报告

博学小组研究对象：利用分母有理化求二次根式的值.

研究思路：利用分母有理化的概念将二次根式进行化简，再求值.

研究方法：利用概念——法则的方式进行研究.研究内容：

【两个概念】

(1)在二次根式中，将两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则称这两个代数

式互为有理化因式，如1的有理化因式为加+1,遍+0的有理化因式是V3-V2.

(2)在解决分母含有二次根式的问题时，我们可以给分子、分母同乘以分母的有理化肉式，这样把分

母中的根号化去，这种方式称为分母有理化，例如：看=语品1=&-1・

【概念理解】

□遍+6的有理化因式是一；

□焉分母有理化的结果为

彳镑：

(I)直接写出研究报告中“—”处空缺的部分;

⑵利用分母有理化比较手、与会的大小;

V776V5-2

⑶计算:焉+忌!+盛+口+V99+I0'

专题训练(一)二次根式的非负性

【方法技巧】々表示非负数2的算术平方根，它具有双重非负性：(I)二次根式的结果是非负数，即G

>0;；(2)二次根式的被开方数是非负数，即a>0.

一、利用二次根式的非负性求取值范围

1.若75^1在实数范围内有意义,则m的取值范围是

二、利用二次根式的非负性化简

2.化简二次根式2的结果为

y-a

342025常德模拟］已知实数ahc在数轴上对应点的位置如图日斤示，完成下列各题.

~b—6~-----L

⑴用或三填空:b—0,a4-c_0,c-a_0,a-b_0;

(2)化简：［力□+J(q+6)2+JS-c)2+J(r)2.

4.已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示.

-'1a6rr>

(I)判断正负:b+a_O,-a+b_O(填"/或

(2)化简:J(。+1)?+2J(A-1)?+□〃-力］.

三、利用二次根式的非负性求值

5.已知产;在二T+MTG+5,贝！]y-X的值为_.

6.已知|a|+a=O,且3a2-lQ+（h-iy+"%=0,求a-b+4c的平方根.

7.已知实数…满足6个红求G的平方根.

教材回归（一）二次根式的化简求值技巧

教材母题（教材P20复习题T6）已知x=2-6,求代数式（（7+4。卜2+（2+75卜+6的值.

一、先化简待求式，再求值

变形1[2025长沙模拟|先化简，再求值：

二、先化简已知条件，再求值

变形2已知尸为，求代数式工2+(2+6卜的值

三、巧用二次根式的定义和性质求值

变形3[2025邵阳模拟]已知y=求(石+即):的值

四、巧用乘法公式求值

变形4[2025长沙模拟|设(。=1+女,41-v5.

⑴求a+b,ab的值；

⑵求42+2"+/的值.

五、巧用整体思想求值

变形5请仔细阅读并完成相应任务：

在解决问题“已知。=看，求3a2-6a-l的值,时，小明是这样分析与解答的：

解：“看=(高篙)=0+L

□a-\=V2,□(a-1)2=(V2)2,

匚a2~2a+1=2,匚。2-2。=1,

□3a2-6a=3,

□3『-6a-1=2.

任务：请你根据小明的分析过程，解决下列问题：若，求2/T24+1的值

第十九章二次根式本章复习课

整合提升

类型之1二次根式有意义的条件

1.12025长沙模拟］若舌在实数范围内有意义，则x的取值范围为一.

2.12025邵阳模拟］已知a.b为实数，且b=g+Q-2,则(好人下必的值是_

类型之2二次根式的性质

3.若实数m,n满足|m-n-5|+\/2〃?+〃-4=0,则3m+n=.

4.若的为整数，x为正整数,则x的值是一

5.12024长沙模拟］已知实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|昨历奇而了-后.

IIII

ca0,b

6.【新定义题】［2024岳阳模拟］规定(a,b)表示一对数对,给出如下定义：机咻片如小⑷与⑴地称为

数对(a.b)的一对“对称数对二例如：数对(4,1)的一对“对称数对为(9))与(11).

(1)数对(9,4)的一对对称数对是二

⑵若数对(x,3)的f“对称数对"是(A1).510x的值是一；

⑶若数对(a,b)的一个“对称数对”是(V2,20),求a,b的值.

类型之3二次根式的运算

7.［2023潍坊］从-0,V3,口中任意选择两个数，分别填在算式(+。)2。0的“□”与“CT中，计算该算式的结

果是一(只需写出一种结果).

8.把下列二次根式化为最简二次根式：

(1)G;(2)-fl];(3)3;

(4)^40;(5)V4t/3Z)+8t/26(t/)0).

9.计算:

(7)(?A/3-A/6)2+(\/S4+\/6)H-X/3;

(3)V27-VX2V2-6A/2.

类型之4二次根式的化简求值

10.12025衡阳模拟]已知广合尸治.

(1)求『+矿炉的值；

⑵若X的小数部分是m/y的小数部分是n,求(m+n)(m-n)的值

类型之5二次根式的创新应用

11.公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式旃力导到无理数的近似值，例如：可将

2a

遮化为37再由近似公式得到夜n+看=3.若利用此公式计算，万的近似值时，r取正整数，且a取尽可

能大的止整数,则Ej.

素养专练

12.【运算能力】若诿则"曲值为()

aa

A.V68.-

。.土侪D.6

13.【推理能力】［2024德阳］将一组数近,2