二次根式及其性质（第2课时）教案

分课时教学设计

其次课时《19.1二次根式及其性质（第2课时）》教学设计

课型新授课⑦复习课口试卷讲评课口其他课口

教学内容分析本节课是人教版八班级下册第19章第1节二次根式及其性质的第2

课时，承接上节课二次根式的概念与有意义的条件，核心探究二次根式的

双重非负性、（迎）2=〃（介0）、＞/^=4（介0）等关键性质，是二次根式运算

与化简的理论基础.其内容既是对算术平方根学问的延长，也是后续学习

二次根式加减乘除运算、解无理方程的重要铺垫，在实数运算体系中起到

承上启下为作用.同时，二次根式性质的探究过程能培育同学的规律推理

与抽象概括力量，为高中数学中更简单的根式运算和函数定义域求解奠定

基础.

学习者分析同学己把握算术平方根的定义、有理数与实数的基本运算，在上节课

中理解了二次根式的概念和有意义的条件，具备初步的观看、猜想与简洁

推理力量.但同学对“非负性''的双重约束理解易混淆，对（迎产与后的区

分可能存在模糊认知，抽象思维仍需具象实例支撑.此外，同学在运用性

质进行化简时，简洁忽视被开方数的取值范围，计算过程中对公式的机敏

运用力量有待提升，需要通过分层练习强化理解.

教学目标理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和

化简.

教学重点二次根式的性质及其运用.

教学难点二次根式的性质的机敏应用.

学习活动设计

老师活动同学活动

环节一：学习目标

老师活动1：同学活动1：

师出示学习目标：同学齐声读本课的学习目标

理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进

行二次根式的运算和化简.

活动意图说明：

明确本节课的学习目标，使老师的教和同学的学有效结合在一起，激发同学的学习动力，提高同学

课堂参与的爱好与乐观性.

环节二：新知导入

老师活动2：同学活动2：

问题：同学乐观回答老师提出的问题

1.一般地，我们把形如__________的式子叫作二

次根式.

答案：y/a（a>0）

2.推断一个式子是二次根式的条件

（1）含有_________；

（2）被开方数（或式子）是________.

答案：二次根号，非负数

3.算术平方根的定义：假如一个正数x的平方等

于a,即x2=—,那么这个正数x叫作a的算术

平方根.。的算术平方根是________.

答案：a,0

引言：上节课我们了解二次根式的概念、二次根

式有意义的条件，下面争辩二次根式的性质.

活动意图说明：

通过问题巩固二次根式的概念、判定条件及算术平方根定义，挂念同学夯实基础，为后续学习二次

根式性质做好铺垫.

环节三：新知讲解

老师活动3：同学活动3：

思考：我们知道，当a>0时，仿表示a的算术平同学先独立思考，然后小组合作探究并推导二

方根，因此VH__o；当。=0时，表示o的算次根式性质，完成例题班内沟通后认真听老师

术平方根，因此60.的点评与讲解

这就是说：

\00（«>0）.

预设：>,=,>

指出：VS>o(«>o)具有双重非负性

例I：已知(％—2)2+Jy+4=0,求一2xy的平

方根.

解：由于(％-2)2土)，Jy+4沙

且(x-2)2+Jy+4=。

所以无-2=0且y+4=0,

解得x—2,y---4.

所以-2xy=-2x2x(-4)=16.

所以一2。的平方根是±4.

归纳：(1)几个常见的非负数：瓜|。|,标；

(2)若VH+|M+d=0,则a=0,b=0,c=0,

即若几个非负数的和等于0,则这几个非负数均为

0.

探究I：依据算术平方根的意义填空.

(遍)2=---；(V05)2=----；(£)2=-----;

(\@2______

分析：厉是3的算术平方根，依据算术平方根的

意义，国是一个平方等于3的非负数.因此，有

(V3)2=3.

同理，V05,血分别是0.5,0的算术平

方根.因此,有(瓜)2=0.5,(*)2=%(V0)2=0.

答案：3,0.5,0

归纳：二次根式的性质

一般地，(Va)2=d(a>0).

例2：计算.

(1)(7L5)2；(2)(2⑥2.

指出：2后表示2x75,用到了(")2=42这共性质.

解：⑴(危)2=1.5；

(2)(2通>=22x(75)2=4x5=20.

探究2：填空.

0=___；Vo^=_____；=____；Vo7

分析：依据算术平方根的意义，可以得到

4^=2,Jo.12=0.1/J(g)=|,-/o^=0.

答案：2,0.1,p0

归纳：二次根式的性质

一般地，Va2=£7(fl>0).

思考：当。为任意实数时，曲都有意义，假如上

式中的。为负实数，那么上式还成立吗？为什

么？

填空：

"(-3)2=--------:](_)=---------.

分析：

仲=序=3；同局/

答案：3,1

归纳：由此可以看出：Va^=-a(a<0).

即：二次根式的性质

一般地，/=同=｛之一2

指出：化简形如必的式子时，先转化为⑷，再依

据a的符号去掉确定值符号，Jnjm_4)2=|兀-

4|=4一几.

例3：化简.

(1)V16；(2)斤承

解：(1)a^=>/^=4；

(2)y/(-5)2=V5^=5.

活动意图说明：

通过思考与探究，挂念同学理解二次根式双重非负性及相关性质，并通过例题提高同学运用学问的

力量.

环节四：课堂小结

老师活动4：同学活动4：

问题：本节课你都学习到了哪些学问？同学乐观回顾本节课学习到的学问

老师通过同学的回答，进行归纳

__VSo(<7^0)

E8式的1「,d小

1M(«力小叫—

而=间=a.。N0.

-a,a<0.

I

活动意图说明：

通过同学自己1可顾、总结、梳理所学的学问，将所学的学问与以前学过的学问进行紧密联系，完善

认知结构和学问体系.

板书设计

课题：19.1二次根式及其性质(第2课时)

一、二次根式具有双重非

负性，即行"(aX)老师板演区同学呈现区

二、二次根式的性质

(Va)2=a(a>0)

病=同=尸，可，

l-a,a<0.

课堂练习【学问技能类练习】

必做题：

1.当％=5时，二次根式。9一%的值是()

A.1B.2C.3D.4

答案:B

解：当x=5时，

V9—x=V9—5=V4=2.

故选：B.

2.实数a、》在数轴上的位置如图所示，化简府+，(a+匕尸一|b-Q|的结果是

()

―1——1---------1->

a0b

A.2a+bB.—2Q—bC.—bD.b

答案：A

解：由图知avO,b>0,\a\<\b\,

•-a+b>0,b-a>0,

.■.y[b^+y/(a+b)2-\b-a\

=\b\+\a-}•b\—\b-a\

=b+a+b—(b—a)

=b+a+b—b+a

=2a+b.

故选：A.

3.计算:

(l)V0.32

⑵庖

ft?：(1)原式二|0.3|

=0.3.

⑵原式斗：|

7

=;•

选做题：

4.已知一2cxe4,化简：+2尸+—4/=_____.

答案：6

解：—2<x<4,

x+2>0,x-4<0,

yj(x+2)2=|x+2|=x+2,yj(x-4)2=|x-4|=-(x-4)=-x4-4,

原式=(x+2)+(—x+4)=x+2—%4-4=6.

故答案为：6.

【综合拓展类练习】

5.当a=2025时，求a+，l—2CZ+Q2.

解：原式=a+Y(l-a尸解：原式=a+，T=2.T1/

£；1-方1|当0=2025高，点式=4049|

小芳

(1)______的解法是错误的；

(2)错误的缘由在于未能正确运用二次根式的性质：______；

(3)当。=2时，求Va?—6Q+9+11—a的值.

解：(1)=2025,

•'•1-QVO,CL-1>0,

.,•Q+V1-2Q+Q2

=Q+J(1—a)2

=a+a—1

=2a—1,

当a=2025时,

原式二2x2025-1=4049,

••・小亮的解法是错误的；

(2)错误的缘由在于未能正确运用二次根式的性质：4=|a|,

当aVO时，Va2=—a.

(3)va=2,

.,.a-3=2—3=-1<0»

原式二-3)2+11—a=|a-3|4-11—a=|-1|4-11-2=14-11-2=

10.

作业设计【学问技能类作业】

必做题：

1.二次根式〃的值是()

A.±2B.2C.-2D.±4

答案：B

【解析】本题考查了二次根式的定义，二次根式G(a>0)表示的是〃的算术平方

根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此推断即可.

解：a=2

故选：B.

2.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简J(b-a)2的结果为()

b-10a1

A.CL-bB.a+bC.-Q—bD.-a+b

答案:A

【解析】本题考杳二次根式的性质与数轴上实数的大小比较，把握二次根式的性质

和确定值的化简规章是解题关键.

先由数轴推断出匕-av0,再结合疗=|无|及确定值的化简规章进行求解.

解：^b-ay=\b-a\,

由数轴可知，b<0<a,则匕一Q<0,

•­\b-a\=a—b.

故选：A.

3.化简：

(I)4J(I7：

(2)(10VL69)2；

答案：(18

4

(2)169：

(3$

【解析】本题主要考查了二次根式性质，有理数乘法，有理数乘方，积的乘方，娴

熟把握学问点的应用是解题的关键.

(1)先依据二次根式的性质进行化简，然后计算乘法即可；

(2)先进行积的乘方的运算，然后依据二次根式的性质进行化简，最终计算乘法

即可；

(3)依据二次根式的性质进行化简，然后计算乘方即可.

解:⑴4面

3

=4Xi6

3

-4：

2

(2)(10VL69)

2

=102x(VL69)

=100x1.69

=169；

4

9

选做题：

4.计算：J(V5-3)2=.

答案：3-V5/-V5+3

【解析】本题主要考查了二次根式的性质，把握二次根式的性质：后二|a|是解

题的关键.

利用二次根式的性质必=|。|，将原式转化为确定值表达式，再依据内部表达式

的符号进行化简即可.

解：依据二次根式的性质可得：j(V5-3)2=|V5-3|,

♦正<3,

.-.V5