2025年圆的一般方程练习题及答案

2025年(整理版)圆的一般方程练习题及答案练习题1.已知圆的方程为\(x^{2}+y^{2}2x+4y=0\)，求该圆的圆心坐标和半径。2.判断方程\(x^{2}+y^{2}+2x4y+6=0\)是否表示圆，若表示圆，求出圆心坐标和半径；若不表示圆，请说明理由。3.已知圆过点\(A(1,2)\)，\(B(1,4)\)，求周长最小的圆的方程。4.求经过两点\(A(1,4)\)，\(B(3,2)\)且圆心在\(y\)轴上的圆的方程。5.已知圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+3=0\)，圆心在直线\(x+y1=0\)上，且圆心在第二象限，半径为\(\sqrt{2}\)，求圆\(C\)的方程。答案及详细解答1.首先将圆的方程\(x^{2}+y^{2}2x+4y=0\)转化为圆的标准方程。根据完全平方公式\((ab)^2=a^{2}2ab+b^{2}\)，\((a+b)^2=a^{2}+2ab+b^{2}\)，对给定方程进行配方：\(x^{2}2x=(x1)^{2}1\)，\(y^{2}+4y=(y+2)^{2}4\)。则\(x^{2}+y^{2}2x+4y=(x1)^{2}1+(y+2)^{2}4=0\)，整理可得\((x1)^{2}+(y+2)^{2}=5\)。对于圆的标准方程\((xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}\)，其圆心坐标为\((a,b)\)，半径为\(r\)。所以该圆的圆心坐标为\((1,2)\)，半径\(r=\sqrt{5}\)。2.对于方程\(x^{2}+y^{2}+2x4y+6=0\)，根据圆的一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\)（\(D^{2}+E^{2}4F>0\)时表示圆），这里\(D=2\)，\(E=4\)，\(F=6\)。计算\(D^{2}+E^{2}4F\)的值：\(D^{2}+E^{2}4F=2^{2}+(4)^{2}4\times6=4+1624=4<0\)。所以方程\(x^{2}+y^{2}+2x4y+6=0\)不表示圆。3.当线段\(AB\)为圆的直径时，圆的周长最小。先求圆心坐标，圆心为线段\(AB\)的中点。若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则中点坐标公式为\((\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\)。已知\(A(1,2)\)，\(B(1,4)\)，则圆心坐标\((\frac{11}{2},\frac{2+4}{2})=(0,1)\)。再求半径\(r\)，半径为线段\(AB\)长度的一半。根据两点间距离公式\(d=\sqrt{(x_2x_1)^{2}+(y_2y_1)^{2}}\)，\(\vertAB\vert=\sqrt{(1+1)^{2}+(24)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\)，所以\(r=\frac{\vertAB\vert}{2}=\sqrt{10}\)。则圆的方程为\(x^{2}+(y1)^{2}=10\)。4.设圆的标准方程为\(x^{2}+(yb)^{2}=r^{2}\)（因为圆心在\(y\)轴上，所以圆心坐标为\((0,b)\)）。因为圆经过\(A(1,4)\)，\(B(3,2)\)两点，将这两点代入圆的方程可得：\(\begin{cases}(1)^{2}+(4b)^{2}=r^{2}\\3^{2}+(2b)^{2}=r^{2}\end{cases}\)即\(\begin{cases}1+(4b)^{2}=r^{2}&(1)\\9+(2b)^{2}=r^{2}&(2)\end{cases}\)用\((1)\)式减去\((2)\)式消去\(r^{2}\)：\[\begin{align}1+(4b)^{2}(9+(2b)^{2})&=0\\1+168b+b^{2}9(44b+b^{2})&=0\\1+168b+b^{2}94+4bb^{2}&=0\\(1+1694)+(8b+4b)+(b^{2}b^{2})&=0\\44b&=0\\4b&=4\\b&=1\end{align}\]将\(b=1\)代入\((1)\)式求\(r^{2}\)：\(1+(41)^{2}=r^{2}\)，即\(1+9=r^{2}\)，\(r^{2}=10\)。所以圆的方程为\(x^{2}+(y1)^{2}=10\)。5.已知圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+3=0\)，根据圆的一般方程，其圆心坐标为\((\frac{D}{2},\frac{E}{2})\)。因为圆心在直线\(x+y1=0\)上，所以将圆心坐标代入直线方程可得：\(\frac{D}{2}\frac{E}{2}1=0\)，即\(D+E=2\)，\(E=2D\)。又因为圆的半径\(r=\sqrt{2}\)，根据圆的一般方程中半径公式\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}4F}\)（这里\(F=3\)），可得：\(\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}12}=\sqrt{2}\)，两边同时平方得\(D^{2}+E^{2}12=8\)，即\(D^{2}+E^{2}=20\)。将\(E=2D\)代入\(D^{2}+E^{2}=20\)：\(D^{2}+(2D)^{2}=20\)\(D^{2}+4+4D+D^{2}=20\)\(2D^{2}+4D16=0\)\(D^{2}+2D8=0\)因式分解得\((D+4)(D2)=0\)，解得\(D=4\)或\(D=2\)。当\(D=4\)时，\(E