2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章《特殊平行四边形》全章同步练习

第六章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第I课时菱形的性质

基础夯实

知识点一菱形的定义与对称性

1.如图，以。为圆心，OA长为半径画弧分别交OMQN于A,B两点，再分别以A,B为圆心，以OA长为半

径画弧，两弧交于点C,分别连接AC,BC,则四边形OACB一定是()

A.梯形B.菱形

A.是轴对称图形

B.对称轴有两条

C.对称轴是两条对角线

D.是中心对称图形

3.如图,菱形ABCD的对角线交点与坐标原点0重合点A(-2,5),则点C的坐标是()

A.(5,-2)B.(2,-5)

C.(2,5)D.(-2,-5)

知识点二菱形的性质

4.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()

A.对角相等B.对边相等

C.时角线互相垂直D.对角线相等

5.(2024.济宁)如图.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点.连接OE.若OE=3,则菱形的边长

为)

A.6B.8

6.如图，菱形ABCD中.对角线相交于点O,AB=AC,则NADB的度数是()

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.(2024.上海)在菱形ABCD中,NABC=66。则NBAC=.

8.(2024.济南)如图,在菱形ABCD中,AE_LCD,垂足为E,CF_LAD.垂足为F.求证:AF=CE.

能力提升

9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，顶点B,C的坐标分别为((60),(4,0)厕点D

的坐标是)

A.(6,8)B.(10,8)

10如图在菱形ABCD中,AB=l,/DAB=60。,则AC的长为

11如图，菱形ABCD中,NB=6(T,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为

D

第11题图第12题图

12如图，菱形ABCD的周长为40.P是对角线BD上一点，分册乍点P到直线AB,AD的垂线段PE,PF,若PE+

PF=8.则菱形ABCD的面积为

13如图，已知菱形ABCD,NADC=120。点F在DB的延长线上点E在DA的延长线上,且满足DE=BF.求

证:△EFC是等边三角形.

素养培优

14在菱形ABCD中，UABC=60,P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位

置随点P位置的变化而变化，连接CE.

B

图3

(1)如图I,当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD=CE+PD;

(2)如图2、图3.请分别写出线段BD,CE,PD之间的数量关系，不需证明.

6.1.2菱形的判定

基础夯实

知识点一利用对角线的位置关系判定菱形

1.如图尸ABCD的对角线AC和BD相交于点0,下列说法正确的是()

A.若OB=OD则口ABCD是菱形

B若AOBD,则oABCD是菱形

C若OA=OD.贝aABCD是菱形

D.若AC_LBD,则口ABCD是菱形

第1题图

2.如图，在△ABC中点D是BC的中点点E,F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.下列条件使四边

形BECF为菱形的是（）

A.BE±CEB.BF/7CE

C.BE=CFD.AB=AC

知识点二利用边的关系判定菱形

3」教材P29复习题T16变式］如凰在△ABC中,AB=AC,将^ABC沿边BC翻折得到的△DBC与原△ABC

拼成四边形ABDC则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形

B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

第4题图

4.如图，添加下列一个条件，能使DABCD成为菱形的是（）

A.AB=CDB.AC=BD

C.ZBAD=90°D.AB二BC

5.（深圳中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6、将线段AB水平向右平移a个单位得到线段EF,若

四边形ECDF为菱形，则a的值为）

A.IB.2C.3D.4

B__E

DBDC

第5题图第6题图

6.如图,在△ABC中点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点，要使四边形AFDE为菱形厕△ABC应满足的条

件是.（添加一个条件即可）

7.（2024.聊城东昌府区期中）如图,△ABC中,D,E分别是AC,AB的中点、DE=«E,过点B作BF〃CE,交DE

的延长线于点F.求证:四边形BCEF是菱形.

易错点悟臆造菱形的判定方法导致出错

8.在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的

是（）

A.测量两条对角线是否分别平分两组内角

B.测量四个内角是否相等

C.测量两条对角线是否互相垂直且平分

D.测量四条边是否相等

能力提升

9.（2024.通过）如图,oABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明MBCD是菱形的是（）

A.ZBAC=ZBCA

B.ZABD=ZCBD

C.OA2+OD2=AD4

D.AD2+OA2=ODy

AD

第9题图第10题图

10如图，平行四边形ABCD中.对角线AC,BD交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点.下列结

论正确的是（）

@EG=EF;@AEFG^AGBE;@FB平分NEFG;④EA平分NGEF;⑤四边形BEFG是菱形.

A.③⑤B.①②®

C.①②®®D.①②®©©

11（2024♦青岛市南区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA.BC.使得AE二CF连接BE.DF.

⑴求证溶ABE丝ZXCDF;

⑵连接BD,若/1=32。,/人口8=22。请直接写出当/人8£=。时，四边形BFDE是菱形.

12如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点QM是BD上任意一点.连接AM并延长至点

N,使AM=MN,交BC于点H,连接CN,BN.

(1球证:OM〃CN;

（2）连接CM,若AD_LAN,且AC=AB,求证：四边形BNCM是菱形.

素养培优

13如图所示.四边形ABCD中.4。口8好点O,AO=CO=4,BO=DO=3,,点P为线段AC上的T动点.过点

P分别作PM4。于点M,作于点N.连接PB在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值为

B

6.1.3菱形的性质与判定的综合运用

基础夯实

1.如图，分别以点A,B为圆心，以大于卜片的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点，连接AB,CD,AC,BC,

AD,BD,则下列说法中正确的是（）

A.CD_LAB,但CD不一定平分AB

B.CD垂直平分AB,但AB不一定垂直平分CD

C.AC1BC且AC=BC

D.CD与AB互相垂直平分

2.如图.在△ABC中,AD是角平分线,DE〃AC交AB于E,DF〃AB交AC于F,若AE=4cm,那么四边形AE

DF的周长为（）

A.I2cmB.16cmC.20cmD.22cm

3.［教材P8做一做变式］如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边

形ABCD,其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形ABCD周长不变

B.AD=CD

C四边形ABCD面积不变

D.AC=BD

4.如图，四边形ABCD和AECF都是菱形点E,F在对角线BD上,NABC=60o,NAEC=12()o,AE=2WAB=(

)

A.2V2B.1+V2C.2>/5D.1+V3

5.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm和6cm,那么这个平行四边形的面积为.

6.如图，在口ABCD中,对角线AC与BDO,AC^P^ZBAD,AC=8,BD=6,3<AABC的周长.

能力提升

7.如图，在口48。中.D,E,F分别是边AB3CAC的中点.连接AE.DF,要使AE.DF互相垂直平分，还需要添加

一个条件，这个条件不可能是()

A.AE\BC

B.AB=AC

C.AE=BC

D.AE是□XBC的角平分线

8.如图.在菱形ABCD中.对角线AC,BD相交于点0,延长CB至E使BE=CD,连接AE,下列结论:①AE:

20D;②NEAC=90。;③四边形ADBE为菱形;④S时边形.加科人蛇。其中正确的结论有()

A.I个B.2个C.3个D.4个X

B

f0

D

9.(2024.荷泽邺城县模拟)如图,在菱形ABCD中,NBAD=12(T,CEJ_AD.且CE=BC.连接BE,则NABE=()

A.45°B.50°C.35°D.i5°

10如图,四边形ABCD中.AD〃BC,NC=90。,AB=AD.连接BD,作NBAD的平分线AE交BD,BC于点F,E.若

EC=3,CD=4,那么AE的长为.

11(聊城中考)如图，在四边形ABCD中.AC与BD相交于点O.且AO=CO点E在BD上，满足NEAONDCO.

⑴求证：四边形AECD是平行四边形；

(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.

A-----------------B

12如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD,CB于点E,F,

连接AF,CE.求证:四边形AFCE是菱形.

素养培优

13［推理能力］［教材PH习题6.3T4变式］如图，在四边形ABCD中，AB:CZM%CD,BD=AC.

⑴求证:.AD=BC;

⑵若E,F,G,H分别是AB.CD,AC,BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分.

微专题一将菱形问题转化成三角形问题

1.如图，已知AC,BD是菱形ABCD的对角线，则下列结论正确的是（）

A.AABD与^ABC的周长相等

B.AABD与4ABC的面积相等

C.菱形ABCD的周长等于两条对角线长之和的两倍

D.菱形ABCD的面积等于两条对角线长之积的两倍

D

第1题图第2题图

2.如图点E,F是菱形ABCD的边AB.BC的中点.AB=2,EF=V5则菱形ABCD的面积为)

A.3V2B.2V6

C.26D.4V3

3.如图.在菱形ABCD中.对角线AC,BD相交于点O,AB=5，AC=6,过D作AC的平行线交BC的延长线于点

E,则^CDE的面积为()

A.llB.12C.24D.22

第3题图第4题图

4.如图，由两个长为8,宽为4的全等矩形叠合（不完全重合）而得到四边形ABCD,则四边形ABCD面积的最

大值是)

A.I5B.16C.19D.20

5」教材PH习题6.3T3变式］在菱形ABCD中,AC与BD相交于点0,E为AB的中点，且DE±AB,AB=2,

则NABC的度数是

6.如图在oABCD中,ACJ_BD,E为AB的中点若0E=3,则四边形ABCD的周长是________

7.菱形的周长为40,两条对角线长度之比为3：4,则菱形的面积为.

8.已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD.AC相交于点O,点E,F分别在BD,DB的延长线上.且

DE=BF,连接AE.AF.CF,CE.

⑴求证：四边形AFCE为平行四边形；

(2)若AC平分NEAF,/AEC=60°,OA=4,求四边形AFCE的周长.

9.如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，点E是BC边延长线上一点，且BDXDE.

⑴若NABC=60。,求证：四边形ACED是菱形；

(2)若AC=3,BD=4,^<ADCE的周长.

10菱形ABCD中，NB=60。点E在边BC上，点F在边CD上.

(1)如图1,若E在边BC上，且E为BC的中点，NAEF=60。,求证：BE二DF;

(2)如图2,若NEAF=60。.求证：△AEF是等边三角形.

DAD

/“…

BECBEC

图1图2

2矩形的性质与判定

第1课时矩形的性质

基础夯实

知识点一矩形的定义和边角性质

1」生活应用］如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面

BC与水平面的夹角为27。时,NAED的度数为()

A.27°B.53°

C.57°D.63°

2.(2024.吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(40),点C的坐标为(0,2).以OAQC为边作矩形O

ABC.若将矩形OABC绕点O顺时钎旋转90。狷到矩形OABC,,则点B的坐标为()

A.(-4,-2)B.(-4,2)

C.(2,4)D.(4,2)

3.在四边形ABCD中，若AB〃CD,AD〃BC且/A=90。,则四边形ABCD的形状为

知识点二矩形的对角线性质

4.矩形具有而菱形不具有的性质是()

A.两组对边分别相等

B.两组对边分别平行

C.两条对角线相等

D.两条对角线互相垂直

5.如图.0是矩形ABCD对角线的交点AE平分NBAD,NAOD=120。,则NAE0的度数为（）

6.（2024.威海期末）如图.在矩形ABCD中.对角线AC,BD交于点O,NAOD=120:AB=5,则BC的值为

知识点三直角三角形斜边上中线的性质

7.一个直角三角形斜边上的中线为5,斜边上的高为4,则此三角形的面积为（）

A.40B.30

C.20D.10

8.（2024德州陵城区期中）如图，公路AC.BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开若测得AB的长

为6.4km,则M,C两点间的距离为km.

9.如图,在RSABC中、NC=9（）O,AC=3,BC=4JSN是BC边上一点点M为AB边的中点，点D.E分别为C

N,MN的中点.则DE的长是______.

能力提升

10（2024.成都）如图,在矩形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是（）

A.AB=AD

B.AC1BD

C.AC=BD

D.ZACB=ZACD

区A。

BCB

第10即图第12题图

11矩形一个角的平分线分矩形一边为2cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（）

A.1QcnrB.\5cnr

C.\2cni2D.IO”/或15cm2

12.如图，在矩形ABCD中.AD=4AB=2.在BC上取一点E,使AD二AE.过D作DF_LAE于F,连接DE.下列结

论不正确的是（）

A.AADF^AEABB.DE平分NFDC

C.ZAEC=150°D.DF=\AF

2

13.（2024.济南槐荫区期末）如图，在矩形ABCD中点E为BA延长线上一点,F为CE的中点，以B为圆心，

BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG二.

第13题图第14题图

14如图,将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC的点F处.已知AB=6cm,BC=10cm,则EC的长

为cm.

15（2024云南）如图，在四边形ABCD中.点E.F.G,H分别是各边的中点，且AB〃CD.AD〃BC,四边形EFGH是

矩形AHD

⑴求证:四边形ABCD是菱形；R/V

⑵若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.

F

16.（2024・淄博周村区期末）如图，在矩形ABCD中.AD=4,AB=6对角线AC,BD交于点O.点E,F分别是CD,D

A延长线上的点，且.DE=3,AF=2,连接EF,点G为EF的中点.连接OE,交AD于点H.连接GH.

⑴猜想：H是OE的中点吗?并加以证明；

⑵求GH的长.

第2课时矩形的判定

基础夯实

知识点一利用对角线的关系判定矩形

1.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分.要使它成为矩形，可添加条件（）

A.AB=CDB.AC=BD

C.AB/7CDD.AC1BD

2.如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线

AC,BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理_____________

3.如图.平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.AE_LBD于点E,DF1AC于点F.且AE二DF.求证:四

边形ABCD是矩形.

B

知识点二利用直角的个数判定矩形

4.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正

确的方案是（）

A.测量其中三个角是否为直角

B.测量两组对边是否相等

C.测量对角线是否相互平分

D.测量对角线是否相等

5」教材P15做一做变式I如图,一个平行四辿形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则Na

也随之变化,两条对角线长度也在发生改变.当Na为______度时，两条对角线长度相等.

6.（2024•长春）如图.在四边形ABCD中,NA=NB=90。,。是边AB的中点NAOD二NBOC.求正四边形ABCD

是矩形.

易措点悟对矩形的判定方法理解错误导致出错

7.在一组对边平行的四边形中，下列条件中，可判定这个四边形是矩形的是（）

A.另一组对边相等，对角线相等

B.另一组对边相等，对角线互相垂直

C.另一组对边平行，对角线相等

D.另一组对边平行，对角线互相垂直

能力提升

8.如图，直角三角形ABC的面积为4,点D是斜边AB的中点.过点D作DE1AC于点E.DF_LBC于点

F.则四边形DECF的面积为（）

A.IB.2C.2.5D.3

9.四边形的两条对角线______时,连接四条边的中点，得到的新四边形是矩形.（）

A.垂直B相等

C.垂直平分D.相等平分

10在平面直角坐标系中.已知点A（-2、-1）.点B（2.3）.点在平面直角坐标系中找一点D,使以点A,B,

C,D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为、点D的坐标为

11.（2024.北京西城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中过对角线AC的中点O作直线分别交BC,AD

于点E,F,只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是.

出一个即可）

D

12如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,DEJ_AB于点E,交AC于点P,BF±DC于点F.

⑴判断四边形DEBF的形状，并写出证明过程；

（2）若BE=4,BF=8.求DP的长.

13如图，线段DE与AF分别为AABC的中位线与中线.

⑴求证:AF与DE互相平分；

(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形?请说明理由.

14如图，在四边形ABCD中,AD=26cm.DC=10cm,CB=5cm,D,C两点到AB的距离分别为10cm和4cm、求

四边形ABCD的面积.

第3课时矩形的性质与判定的综合运用

基础夯实

1.如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,然后向左扭动框架,观察所得四边形的变化，下面判断

错误的是()

A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形

B.对角线BD的长度减小

C.四边形ABCD的面积不变

D.四边形ABCD的周长不变

第1题图第2题图

2.如图.已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若AO=BO,AD=3,AB=2厕

四边形ABCD的面积为（）

A.4B.5C.6D.7

3.如图，0为菱形ABCD的对角线的交点，口£〃人（2。£〃13口若人06.1m二8厕线段OE的长为（）

4.如图,在平面直角坐标系中，.口4C加=90,ZAOB内一个动点P到这个角两边的距离之和为5,则图中四

边形AOBP的周长是________

5.如图，在平行四边形ABCD中,CE_LAD于点E,点F在BC上，且BF二DE.

（1）求证:四边形AHCE是矩形：

（2旌接EF.若EF〃DCDE=2,CE=4.求平行四边形ABCD的面积。

能力提升

6.如图，在38C中，AB=8,BC=6.AC=10,D为边AC上一动点，OEU/8于点E,OF匚归。于点F,则EF的

最小值为（）

A.5B.4.8

C.3D.2.4

第6题图第7题图

7.（宁波中考）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向夕M乍矩形BCDE.连接AE,AD;igaAEDqABE,

△ACD的面积分别为S,Si,S2，若要求出（S-S「S2的值，只需知道（

A.AABE的面积B.AACD的面积

C.AABC的面积D.矩形BCDE的面积

8.如图,四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点0、E是边AD的中点，过点E作EF_LBD,EG_LAC点F,

G为垂足，若AC=10,BD=24,则FG的长为()

A.5B.6.5C.iOD.12

9.如图，在四边形ABCD中,N'A=60°,ZABC=ZADC=90°,BC=1,CD=1D作DH±AB于点H,贝UD

H的长是_________________

10如图，在□ABCD中,AE_LBC于点E,延长BC至点F.使CF=BE.连接DF,AF与DE交于点O.

⑴求证:四边形AEFD为矩形；

(2)若AB=3,OE=2,BF=5.求DF的长.

素养培优

II如图，在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在AB上(不与点A,B重合)，过点P作PEJAC,PF^BC,,垂足

分别是E,F,连接EF,M为EF的中点.

(1请判断四边形PECF的形状，并说明理由；

(2)随着点P在边AB上位置的改变,CM的长度是否也会改变?若不变，求CM的长度；若有变化，求CM

微专题二勾股定理与方程思想在矩形中的应用

应用一矩形+折叠

1.如图，在矩形ABCD中,AB=4,BC=5点E是AB上一点，沿DE折叠矩形,BC边恰好经过点A,则BE的长是

A.V2B.1

2.（2024.淄博模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO,OA分别在x轴,y轴上.点E在边BC

上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处.若OA=8,CF=4厕点E的坐标是（）

A.（-IO,3）B.（-9,3）

CGI0,2.5）D.（-9,2.5）

3」教材P29复习题T14变式］如图矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠点D落在点D处,则重叠

部分△AFC的面积为（）

A.6B.8

4.如图,将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成Y无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=3cm,E

F=4cm,则矩形ABCD的周长为（）

A.18cmB.18.4cm

C.19.6cmD.20cm

5.四边形ABCD为矩形,AD=12,AB>AD,线段AB上有一动点E,连接DE,^ADEA沿DE折叠得到aDEA1.

D、

图1图2

（1）如图1.若AB=16,当点A落在BD上时，求AE的长；

（2）如图2,G,H,K分别是线段AD,AD.AE的中点.当点E在AB边上运动时2GHK的度数是否会发生变化?

若不变，求出这个度数；若变化，请说明理由.

应用二矩形+垂直平分线

6.（2024.济南长清区期中）如图,AC是矩形ABCD的对角线、分别以点A,C为圆心，以大于＞C的长为半

径画弧，两弧交于点E,F,直线EF交AD于点M,交BC于点N若AM=8,DM=2,则边AB的长为（）

A.6B.10C.V20D.V60

第6题图

7.［教材P20习题6.6T1变式］如图,在矩形ABCD中,AE_LBD,垂足为点E,若BE=OE=1cm,则NAOB二

°,S矢巨开?ABCD=cm2.

8.（2024.东莞校级模拟）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF.分别交AD,BC于

点E,F,连接BE,DF.

⑴求证:△BOF^ADOE;

（2诺AB=4,AD=8,求四边形EBFD的周长.

应用三矩形+角平分线

9.如图，在矩形ABCD中点E在AD上，且EC平分NBED,AB=1,/ABE=45。厕BC的长为（）

A.V2B.1.5C.V5D.2

第9题图第10题图

10如图矩形ABCD中.AB=6.BC=8,连接AC,以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC.CD于点

E,F;分别以点E,F为圆心，以大于；EF长为半径作弧，两弧相交于点P:作射线CP,交AD于点比则仆ACH的面

积为________

11如图，矩形ABCD中,NABD,/CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.

⑴求证：四边形BEDF是平行四边形；

⑵当四边形BEDF是菱形时,NABD=6（）o,ED=2*BD的长.

6.1-6.2滚动练习一

1.如图1,在菱形ABCD中.对角线AC\BD相交于要在对角线BD上找两点M,N.使得四边形AMCN是

菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）

1为紊市7-一1:方案乙：图1

；分别作△48。和△ADO

\J^BM=DN:

J的角平分线4M，AN

图2

A.只有甲B.只有乙

C.甲和乙D.甲、乙都不是

2.如图.在矩形ABCO中，点B的坐标为(3,4),AC与y轴相交于点D.若AC〃x轴则OD;()

A.I.5

B.2.5

C.3.5

D.2

3.如图，在RtAABC中,NACB=901AB=8,CD±AB于点D,NACD=3NBCD,E是斜边AB的中点，则DE的

长是()

A.6B.5

C.4D.2V2

第3题图第4题图

4.如图，在菱形ABCD中,E是BC的中点AE_LBC,交BD于点F,则/AFD等于

5.如图1.在矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=12,要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案：

甲：如图2,取两组对边中点的方法折出四边形EFGH;

乙如图3,沿矩形的对角线AC折tBZCAE=ZCAD,ZACF=ZACB的方法得到四边形AECF.

下列说法正确的是______(填序号).

①甲折出的四边形是菱形；②乙折出的四边形不是菱形；③甲、乙折出的四边形面积一样大；④乙折出的四边

形面积大.

6」分类讨论］(哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上、连接OF.若

ZADB=38O,NBOF=3()OJMNAOF=.

7.如图,四边形ABCD是矩形,/ECD=ZDBA,ZCED=90°,AF±BD于点F.试判断四边形BCEF的形状，

并证明你的结论.

8.(2024.潍坊)如图.在矩形ABCD中,AB>2AD,点E、F分别在边AB.CD上、将^ADF沿AF折叠点D的

对应点G恰好落在对角线AC上;将ACBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE.FH.

求证:

(1)△AEH^ACFG;

(2)四边形EGFH为平行四边形.

9.如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8.点O是直线BD上的动点QE_LAB于E,OF_LAD于

F.

⑴对角线AC的长是______,菱形ABCD的面积是________；

(2)如图1.当点O在对角线BD上运动时QE+OF的值是否发生变化?请说明理由；

(3)如图2,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?若不变,请说明理由；若变化，

请直接写出OE,OF之间的数量关系，不用说明理由.

EAR

B

DBD

图1图2

3正方形的性质与判定

第1课时正方形的性质

基础夯实

知识点一正方形的定义与对称性

1.在四边形ABCD中，若AD〃BC,AD=BC,ZB=90°,AB=BC,则四边形ABCD的形状是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

2.（绵阳中考）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）

A.2条B.4条kAZyl

C.6条D.8条

知识点二正方形的性质

3.（2024.淄博高青县期中）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.四条边都相等

B.对角线互相垂直且平分

C.对角线相等

D.对角线平分一组对角

4.如图，在正方形ABCD中，F是边CD上的一点，AF交对角线BD于点E,连接CE.若NEAB=58。，则NC

EF的度数为（）

A.26°B.32°C.52°D.58°

5.如图,把正方形ABCD放在平面直角坐标系中，直角顶点A落在第二象限，顶点B,D分别落在y轴、x

轴上，已知点A（-2,2）,B（O,・3）,则点D的坐标为（）

A.（-4,0）B.（-7,0）

C.(-5,0)D.(-8,0)

ABCD的边CD,BC上的点，且CE=BF,AF,BE相交于点G,下列结论中正确的是（）

①AF=BE；®AF±BE；

③AG=GE；®SAABG=S四边形CEGFo

A.①②③B.①②④

C.@@@D.②®©

7.［教材P23随堂练习T2变式|如图,在正方形ABCD中，P为对角线AC上一点,ZABP=I5°,则NDPC的

度数为

8.小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形,再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的周

9.如图,在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连

接DE,DF,BE,BF。

求证：四边形DEBF是菱形.

10如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点.AF=2,P为AC上的一个动

点，则PF+PE的最小值为

能力提升

11如图,P为正方形ABCD的对角线BD上的任一点,过点P作PE1BC于点E作PF_LCD于点F,连接

EF,给出以下4个结论：©AFDP是等腰直角三角形，②AP=EF,③NPFENBAP,④AD=PD.其中正确

的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

12.（2024・吉林）如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0点E是OA的中点点F是OD上一点

连接EF若NFEO=45。.则梆值为.

13.（2024.济南莱芜区期中）如图，直线I经过正方形ABCD的顶点C点B,D到直线I的距离分别是2,1,则

正方形的边长为

14（2024.威海荣成市期中）如图.正方形ABCD中点E,F分别在边CD.AD上,BE与CF交于点G.若BO8,DE

=AF=2贝」GF的长为.

15如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,G分别是OBQC上的点,CE与DG的延长线相交于

点F.若。尸口。£求证:OG=OE.

素养培优

16如图1,四边形ABCD是正方形点E是BC上一点，连接AE,以AE为一边作正方形AEFG.连接DG.

⑴求证:DG=BE.

（2）如图2,连接AF交CD于点H,连接EH.请探究EH,BE,DH三条线段之间的数量关系，并说明理由.

第2课时正方形的判定

基础夯实

知识点一正方形的判定

1.（2024.淄博高青县期中）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点。，设有下列条件:①AC=BD;②AC_LB

D;③AC与BD互相平分:④矩形ABCD;⑤菱形ABCD;⑥正方形ABCD,则下列推理成立的是（）

A.①④B.②④

C.①②D.①③

2把一张长方形纸片如图力堆折一下，就可以裁出正方形纸片，其理由是_____________.

3.（2024.荷泽成武县期中）在四边形ABCD中,AC=BD,AC_LBD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，则四边

形EFGH的形状是_______________.

4.如图.在矩形ABCD中点E,F分别在边AB,BC上,DE=AF,DE_LAF于点G.

⑴求证:△ABF^ADAE;

⑵求证:四边形ABCD是正方形.

5.［教材P28复习题T10变式］如图,ciABCD的对角线AC,BD交于点0,分别以点BC为圆心'AC」BD长为

半径画弧，两弧交于点P,连接BPCP.

（1）试判断四边形BPC0的形状,并说明理由；

（2请说明当。ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形？

识点二正方形的性质与判定的综合运用

6.若四边形ABCD是___，则四边形AI3CD一定是_______.这两个空依次可以填（）

A,平行四边形，矩形B.矩形，菱形

C.菱形，正方形D.正方形，平行四边形

7」教材P28复习题T12变式］如图,在等腰RtAABC中,NACB=9（T,AC=4点D为AB的中点,DE1BC,DF

J_AC,则四边形DECF的周长为（）

A.6B.8C.10D.12

8.七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的个平行四边形是正方形）组成.用七巧板可以拼出丰

富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形AB

CD的面积的比值为.

9.如图.四边开乡ABCD是菱形,DE〃AC,CE〃BD.

⑴求证:四边形OCED是矩形;

(2)若NABC=6(r,AB=2.求®0CED的周长；

⑶当NABC=时.四边形OCED是正方形.

能力提升

10如图,AD是的角平分线,DE,DF分别是匚和匚4C。的高，得到下列四个结论：（

。/1=0。;口4