高三物理一轮教案（人教版）第十一章 第65课时 带电粒子在立体空间中的运动

第65课时专题强化：带电粒子在立体空间中的运动

【目标要求】1.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。2.掌握解决带电粒子

在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。

考点一带电粒子的旋进运动

空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：

（1）空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就

做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。

（2）空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这

种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。

【例1】（1）如图甲所示，在空间中存在水平向右、沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为在

原点。有一个质量为〃八带电荷量为g的带正电的粒子以速度均垂直x轴射入磁场，不计粒子的重力,

分析粒子的运动情况，求粒子运动轨迹距离x轴的最远距离。

OX

甲

⑵如弱乙所示，若粒子的速度方向与X轴夹角为仇

----------------»B

一

__________X

乙

①试分析粒子的运动情况；

②求粒子运动的轨迹距X轴的最远距离及轨迹与X轴相邻交点之间的距离。

（3）如四内所示，若在空间再加上沿"轴方向电场强度大小为E的匀强电场，粒子速度方向仍与x轴方

向成9角。

--------

丙

①试分析粒子的运动情况；

②求粒子离X轴的最大距离；

③求粒子第三次（起始位置为第零次）与X轴相交时的位置坐标。

答案见解析

解析（1）粒子在垂直X轴的平面内做匀速圆周运动，距工轴最远距离等于粒子轨迹圆的直径，

由如忠=〃¥,Di=2Ri,得Q尸笔；

%qH

（2）①粒子速度沿x轴方向的分量v（tv=v（）cos0,

在垂直于A轴方向的分量voy=vosin3,

在垂直于x轴的平面内受洛伦兹力，粒子在垂直于x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行于x轴方向做匀

速直线运动，即做等距螺旋线运动。

②由#01=，/用，得。2=24=2加曾叫

R?qb

粒子做匀速圆周运动的周期丁=空空=陋

vQyqB

轨迹与A轴相邻交点之间的距离

—,℃。5”=陋3;

qB

（3）①将粒子的初速度分解为沿x轴方向的分速度Uo.1和垂直x轴方向的分速度Voy,VQt=Vocos0,Vov=vosin0

洛伦兹力方向与x轴垂直，粒子在垂直x轴的平面内做匀速圆周运动，在平行x轴方向由静电力作用下做

与加速直线运动，粒子做螺距逐渐增大的“旋进”运动。

②由,泮（）第=〃7警，得粒子做圆周运动的半径

mvoy_mvosin0

粒子离X轴的最大距离£>3=27?3=更铲。

③在上轴方向，qE=ma,第三次与x轴相交时的位置坐标x=«j+3/2,

从射出至第三次到x轴时间，=37=膏=翳，

故x=~^（VoCOS。+等）。

拓展若电、磁场方向均沿x轴正方向，粒子射入磁场的方向与x轴垂直，如图所示，粒子与x轴的

交点坐标为、必、X3…满足什么关系？

B

E

答案见解析

解析粒子做“旋进”运动，且到达X轴的时间间隔相等，在X轴方向做初速度为。的匀加速直线运动，

故XI：M:不…=1:4：9…。

考点二带电粒子在立体空商中的偏转

分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通

过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒

子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的

分运动来求解。

【例2】现代科学研究中，经常用滋场和电场约束带电粒子的运动轨迹，如图所示，有一棱长为L的正

方体电磁区域"cd一我儿其中时、N分别为棱融、棱的的中点，以棱〃'中点0为坐标原点、以ON

为x轴正方向、0M为)，轴正方向、Oe为z轴正方向建立三维坐标系0—“2,正方体区域内可能单独

或同时存在沿z轴负方向的匀强电场E及匀强磁场8,在O点有一粒子源，沿x轴正方向发射不同速

率的带电粒子，粒子质量均为〃?，电荷量均为+4，且粒子入射速度在0.9wWuW3.3i，。范围内均匀分布,

已知磁感应强度大小为8=警，电场强度大小为石=黑驾，不计粒『的重力和粒子间的相互作用，

zqL25n-qL

取值=1.732。

(1)若正方体区域内只存在磁场，求入射速度大小为血的粒子在该区域中运动的时间:

(2)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求入射速度大小为次)的粒子从该区域射出的位置的坐标；

(3)若正方体区域内同时存在电场和磁场，求从正方体上表面如〃射出的粒子数占粒子总数的百分比。

答案⑴誉(2)(手」，一毁(3)25%

解析(I)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得

C/VQB=ni-^-

解得门=个

«5

粒子轨迹如图甲所示

根据几何关系可知cos。=曰=1

2

则夕=60。

设带电粒子做圆周运动的周期为T,

则有r=①

%

解得7=警

3v0

粒子轨迹对应的圆心角为120°,

所以运动时间磬

39v0

（2）若正方体区域内同时存在电场和磁场，粒子在做圆周运动的同时，沿Z轴负方向在静电力作用下加速运

动，

加速度a=—

m

沿着电场方向的位移Z=V=^＜；

2252

故粒子从上表面必〃射出，由图甲可知

•nV3L

x=risin6=——

«5

则入射速度大小为M的粒子从正方体电磁区域射出的位置的坐标为（苧，L,一装）。

（3）由上述分析可知，粒子从正方体上表面abed射出时，粒子速率越大，粒子做匀速圆周运动的半径越大，

图甲中的〃点越靠近d,轨迹圆心角越小，粒子在电磁区域中的运动时间越短，粒子沿z轴负方向的位移

越小。当粒子速率最大为Umax时从〃边射出，对应的圆周运动轨迹为△圆周，其半径等于L.则有

4

LJ

解得vniax=1.5v（）

假设粒子沿z轴负方向的分运动匀加速运动到一点时（其位移大小等于§,粒子能够从松边射出，设粒子在

电场中运动时间为/2,

则有冷、勒2

解得k乎

9v0

设此情况粒子匀速圆周运动轨迹的圆心角为夕，

则有『急『

联立解得夕=150。

此情况粒子的运动轨迹在正方体前表面内的投影如图乙所示

可知假设成立，此时粒子的速率是从正方体上表面出心/射出的粒子速率的最小值Umin,设此时圆周运动半

径为「2,

由几何关系可得ra+ncos30°=A

解得r=-^==2（2-V3）L

22十、，3

同理有4%由出=〃7岁］

解得vmill=3（2-V3）v^o

从正方体上表面必〃射出的粒子速率范围应为

3（2一6）wWvW，

粒子入射速度在0.9%WuW3.3w范围内均匀分布，则从正方体上表面出心/射出的粒子速率范围为

3

0.9Vov-Vo

所以从正方体上表面4垃力射出的粒子数占粒子总数的百分比

〃=等警=25%。

3.3VQ-0.9VQ

课时精练

（分值：60分）

］、2题每小题7分，3、4题每小题15分，5题16分，共60分

1.（2024.山东枣庄市检测）用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻

璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：

在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在X。），平面内以初速度曲沿与x轴正方向成夕角的方向，

射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为。，螺距为Ax,则下列说法中正确的是

（）

A.匀强磁场的方向为沿x轴负方向

B.若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径。减小，而螺距Ar不变

C.若仅增大电子入射的初速度m则直径D增大，而螺距Ax将减小

D.若仅增人Q角（a<90。），则直径。增人，而螺距入丫将减小，且当。=90。时“轨迹”为闭合的整圆

答案D

解析将电子的初速度沿X轴及），轴方向分解，沿X轴方向，速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x=

由COS",沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁

场方向沿x轴正方向，故A错误；

根据小8="呼,且vy=vosina,解得。=2/?=生铲，7=手，所以入『仃=①铲，所

J

RvyeBeBeB

以，若仅增大磁感应强度B,则D、Ax均减小，故B错误；若仅增大vo,则D、—皆按比例增大，故C

错误；若仅增大。，贝IJ。增大而垃减小，且a=90。时盘=0,故D正确。

2.如图所示，空间存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E,磁感应强度大小为瓦/

=0时刻，质子以初速度也从坐标原点。沿y轴正方向射出，已知质子质量为小，电荷量为e,重力不计，

M（）

y

___万~

力J

一

A.t=^时刻，质子的速度沿z轴的负方向

eB

B.t=^时刻，质子的坐标为（鬻,0,翳）

C.质子可多次经过x轴，且依次经过x轴的坐标值之比为1：4：9-

D.质子运动轨迹在），Oz平面内的投影是以。点为圆心的圆

答案C

解析沿工轴方向，在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始时刻

沿z轴负方向，可判断质子在1yoz平面做匀速圆周运动，所以质子运动轨迹在），0z平面内的投影是经过O

点的圆，且做圆周运动的周期7=答,当尸翳=宁时刻，在），Oz平面质子分速度方向沿p轴负方向，

沿x轴方向分速度沿工轴正方向，所以质子的合速度方向不沿二轴的负方向，故A、D错误：当，=翳=

家时刻，沿x轴方向Ee=ma,k评=看.（翳”寝^,在史平面内，正好经过半个周期，则），=0,z

二-2r二一警，所以质子的坐标为（驾，o,一警），故B错误；质子每经过一个周期可经过一次x轴，

eB2eBzeB

沿X轴方向在静电力作用下做初速度为零的匀加速直线运动，根据比例关系可知依次经过X轴的坐标值之

比为I：4：9-,故C正确。

3.（15分）（2024♦山东威海市检测）某质谱仪部分结构的原理图如图甲所示。在空间直角坐标系Oxyz的y>0区

域有沿一Z方向的匀强电场，电场强度大小为E,在），<0区域有沿一z方向的匀强磁场，在x=-2d处有一

足够大的屏，俯视图如图乙。质量为加、电荷量为4的粒子从），轴上P（0,~d,0）点以初速度出沿+y方

向射出，粒子第一次经过x轴时速度方向与一x方向的夹角夕=60。。不计粒子的重力，粒子打到屏上立即

被吸收。求:

（1）（3分）粒子的电性;

（2）（5分）磁感应强度大小以

⑶（7分）粒子打到屏上位置的z轴坐标z.o

答案⑴正电（2叶（3）-篝

解析（1）粒子在磁场中的运动轨迹如图

由左手定则知粒子带正电；

（2）设粒子做圆周运动的半径为r,由几何关系有/cos0=d,根据洛伦兹力提供向心力G，O8=〃母，解得B

_mt，o

~2dq

（3）设粒子经过x轴时的坐标为一为，

则囚+为in6=2"

粒子在区域电场中做类平抛运动，在xO.y平面内沿w方向做匀速直线运动，设粒子碰到屏前做类平抛

运动的时间为t\,

则vbcos。力=2d一%］，

粒子运动的加速度广詈

在Z轴负方向运动的距离2|—|^2

解得”=型,_6Eqd2

2

“mv0

所以打到屏上位置的z轴坐标zi=一竺绊

4.（15分）（2024.湖南卷,14）如图,有一内半径为2八长为L的圆筒,左右端面圆心0，、4处各开有一小孔。

以0为坐标原点，取。'。方向为人轴正方向建立X”坐标系。在筒内xWO区域有一匀强磁场，磁感应强度

大小为8,方向沿x轴正方向；筒外x20区域有一匀强电场，场强大小为E,方向沿y轴正方向。一电子

枪在。处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在X。），平面内，且在x轴正方向的分速度大小均

为物。已知电子的质量为〃7、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重

力。

（1）（7分）若所有电子均能经过。进入电场，求磁感应强度B的最小值；

（2）（4分）取（1）问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最人夹角为〃，求tan

〃的绝对值；

（3）（4分）取（1）问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。

答案（］）山Q）红（3）空曾包

cLLEcL

解析（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在）Oz平面内的匀速圆周运动，

设电子入射时沿）•轴的分速度大小为好，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=vw

在），Oz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R,周期为7,

由牛顿第二定律知

R

可得口=詈

Be

若所有电子均能经过O进入电场，则有

t=nT（n=\,2,3,,•­）

联立得8=变3

eL

当〃=1时，8有最小值，可得

_2nmv0

力imne；L

（2）将电子的速度分解，有ian0=W

%

8最大时，tan。有最大值，即4最大，

此时Rmax=?^=，

e8min

联立可得力„=罕，1an夕=平

LL

（3）当外最大时，电子在电场中运动时沿）轴正方向有最大位移师，

根据匀变速直线运动规律有

V

2a

由牛顿第二定律知。=些

m

联立得y产空沪

5.（16分）如图，有一个正方体空间I（0|0。1门一O3a彷3c3）和•个长方