中考数学二轮专项复习（考前训练）-图形规律（原卷版+解析版）

中考数学二轮探究性专题考前训练

图形规律

一、选择题

1.根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024,箭头的方向是图示中的

()

2.用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2023个图形需要围棋子的枚数是

()

A.4047B.6069C.6070D.6071

3.如果一个等腰三角形的顶角为36°,那么其底边与腰之比等于旦，

2

我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形.如图，在4ABC中，AB=AC=1,NA=36°,

△ABC看作第一个黄金三角形；作NABC的平分线BD,交AC于点D,Z\BCD看作第

二个黄金三角形；作NBCD的平分线CE,交BD于点E,4CDE看作第三个黄金三角

形；…以此类推，第2023个黄金三角形的腰长是（）

A

B.（金1）2021C.（3+75）2020D.（3+迷）2019

222

4.用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有2个圆圈，第2个图案

中有5个圆圈，第3个图案中有8个圆圈，第4个图案中有11个圆圈，…，按此

规律排列下去，则第7个图案中圆圈的个数为（）

OOO

OOOOOooo

OOOOooooo…

Oooo

①②

④

A.14B.20C.23D.26

5.将一个正方形剪成n个小正方形，第一次操作按照图1所示，分割出4个正方

形，第二次操作按如图2所示，分割出6个正方形，第三次操作按如图3所示，按

照上述规律，则第n次操作，正方形的个数为（）

D.2n+2

6.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形O/BC绕点。顺时针旋转45°

后得到正方形。必当前，依此方式，绕点。连续旋转2023次得到正方形

%2023B2023c2023，那么点“2023的坐标是（）

B\

o

A・(1,0)B,(0,-1)C.(f,一字)D.(-f,马

7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点0在原点上，。4边在%轴的正半轴上,

/B1%轴，AB=1,4。8=30。，将△048绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,

则第2023次旋转结束时，点；8的坐标为()

A.(1,V3)B.(1,-V3)C.(-V3,1)D.(-1,V3)

8.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点0重台,

AB||xft,交y轴于点P,将△04P绕点0逆时针旋转，每次旋转90。,则第2023

次旋转结束时，点A的坐标为()

A.(V3,-1)B.(-1,-V3)C.(-V3,1)D.(1,V3)

9.如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4

个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……，照此规

律，摆成第6个图案需要的三角形个数是()

AMUAWv......

第1个第2个第3个第4个

A.19个B.22个C.25个D.26个

10.如图，在矩形4?"中，4B=1,BC=2,连接“；以对角线力。为边，按逆时针

力向作矩形力84，使矩形矩形40；再连接力c，以对角线16为边，按

逆时针方向作矩形使矩形〃;GRs矩形…，按照此规律作下去，

则边力6侬的长为（）

A.而x（逝）2。22B.2x（立）2。21C.V5X22022D.遮x（也）2。21

222

二、填空题

11.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑

色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第九（n是

正整数）个图形需要黑色棋子的个数是_____________（用含n的代数式表示）.

12.如图，在正方形ABC31中，AB=1,AB与直线1的夹角为30°,延长031交直线

1于点A”作正方形AECJ3延长（:昆交直线1于点人,作正方形A2B2C2B3；延长Ca

交直线1于点A：;…，依此规律，则八2藕2。23=

13.如图，在中，NC=90。，AC=2,BC=4,点分别在AC、

BC、4B上，且四边形MiCNiPi是正方形，点用2,电，P2分别在Pi%、BN［、BP1

上，且四边形“2N1N2P2是正方形……，点M〃，Nn，P九分别在BNnf

，BPn_］上,且四边形始刈一4/九是正方形，则线段M2022P2022的长度

14.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两

直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状

好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,

按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为.

15.如图，等腰Rtao442，。41=4遇2=1，以0A2为直角边作Rt△。4公，

再以0A3为直角边作Rt△044,以此规律作等腰Rt△。人心，则△。①为的面

积是_________

16.如图，4，A2,4，4,…An,41是直线y="+2上的点，分别过点4，4，4,

4，…4,作x轴的垂线，垂足分别为与，旦，氐，片,…氏，已知出=3旦

=区区=区4=・・・=触尸1,连接48，与4和氏4，…依次相交于点A，

%曷…斗△44片,△/反&XA'BR,…，△/£%的面积依次为S，£，&，…

17.【观察思考】

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

（1）【规律发现】请用含n的式子填空:

第n个图案中的个数为.

（2）第1个图案中的个数可表示为殍，第2个图案中的个数可表

示为竽，第3个图案中的个数可表示为二，第4个图案中的个数可

表示为等，……，第九个图案中“★”的个数可表示为.

（3）【规律应用】

结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n,使得连续的正整数之和

1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.

18.如图，九十1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△%。1的的

(1)【规律探究】:

探究一探究二探究三

*:/^B1B2D1

，

：B2B3：AC2=1：2,VB3B4：4c3=1：3,

・.B[D]：D[C]—•■•B2D2：。2c2=1：2,・・B3D3：D3C3—1：3,

1：1,：・S?=_________,=_________，

••Si=----------52二--------------------

Si=---------•

(2)【结论归纳】

S〃=.(用含的式子表示)

19.【观察思考】

【规律发现】

请用含九的式子填空:

(1)第九个图案中的个数为;

(2)第1个图案中“才”的个数可表示为手，第2个图案中“的个数可表

示为竽，第3个图案中”的个数可表示为竽，第4个图案中“才”的个数可

表示为手，……，第八个图案中“才”的个数可表示为.

（3）【规律应用】

结合图案中“才”的排列方式及上述规律，求正整数九，使得连续的正整数之和1+

2+3+……+九等于第九个图案中“◎”的个数的2倍.

20.阅读材料，解决问题.

相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上

画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用

图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.

第1个第2个第3个第〃个

则第九个三角数可以用1+2+3+…+（九一2）+（八一1）+71=当山（几＞1且

为整数）来表示.

（1）若三角数是55,则n=：

（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…，2几，…，请用含九

的式子表示前几行所有点数的和；

（3）在（2）中的三角点阵中前几行的点数的和能为120吗？如果能，求出几，如

果不能，请说明理由.

21.如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的

形图形，观察图形：

图1图2图3

（1）按此规律，图4中小正方形的数量是个；

（2）我们把图1中小正方形个数记作曲,图2中小正方形图个数记作电，

图几中小正方形个数记作&,若%++…+Q/1=165,求71的值.

22.图形规律

①AA

②//

③/\/

④/\/\/

序号12345

梯形数124699•

如图，按此规律摆放,

（1）第6个图中梯形数为，第7个图中梯形数为，第8个

图中梯形数为，第9个图中梯形数为；

（2）第（2八+2）个图中梯形数与第（2几-1）个图中梯形数的差为；

23.为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大

赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图

案，如图所示.

【观察思考】

第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个

正三角形，…依此类推

第1个第2个・3个第4个

【规律总结】

（1）第5个图案有个正三角形

（2）第n个图案中有个正三角形，（用含n的代数式表示）

（3）【问题解决】

现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则

该图案需要正方形多少个？

24.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）

之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模

型，解答下列问题.

四面体长方体正八面体正十二面体

（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m,n的值，则血=

n=.

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

长方体m612

正八面体n812

正十二面体201230

（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是.

（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的

面数.

25.

（1）观察图1所示的点阵图和相应的等式，并在④后面的横线上写出相应的等

式.

••••••・・・

・•••••

①②③④

①1二1;

②1+2=(1+/2=3；

③1+2+3=(I十;A，=6；

④;

（2）结合⑴观察图2所示的点阵图和相应的等式，并在⑤后面的横线上写出相

应的等式.

@14-3=22；

③3+6=32；

④6+10=42；

⑤_____________

（3）请通过猜想，写出⑵中与第n个点阵图相对应的等式。

26.(问题)用n边形的对角线把n边形分割成(n-2个三角形，共有多少种不同的

分割方案(n>4)?

(探究)为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简

单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论.不妨假设刀边形的分割方案有

f(ri)种.

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少和不同的分割

方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案.所以，/(4)=2.

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割

方案？不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用点4,E与8连接，先把五边形分割转化成1个三角形

和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有/(4)种不同的分

割方案，所以，此类共有/(4)种不同的分割方案.

第2类：如图④，用点4,E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1

种不同的分割方案，可视为g/(4)种分割方案.

第3类：如图⑤，用点4,E与。连接，先把五边形分割转化成1个三角形

和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有F(4)种不同的分

割方案，所以，此类共有f(4)种不同的分割方案.

所以，/(5)=/(4)+1/(4)+/(4)=|x/(4)=x/(4)=5(种)

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割

方案？不妨把分割方案分成四类:

第1类：如图⑥，用4,尸与8连接，先把六边形分割转化成1个三角形和

1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有/(5)种不同的分割

方案，所以，此类共有/(5)种不同的分割方案.

第2类：如图⑦，用4,F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和

1个四边形.再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有/(4)种不同的分割

方案.所以，此类共有/(4)种分割方案.

第3类：如图⑧，用A,F与。连接，先把六边形分割转化成2个三角形和

1个四边形.再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f(4)种不同的分割

方案.所以，此类共有/(4)种分割方案.

第4类：如图，用4,F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1

个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有/(5)种不同的分割方

案.所以，此类共有/(5)种分割方案.

所以，/(6)=f⑸+/(4)+/(4)+f(5)

=”5)+1/⑸+1/(5)+/(5)=yx/(5)=14(种)

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则f(7)与/(6)的关

系为f（7）=?x/（6）,共有_____________________________________________

b

种不同的分割方案.

（结论）用n边形的对角线把n边形分割成（几-2）个三角形，共有多少种

不同的分割方案（n>4）?（直接写出f（n）与f（n-1）之间的关系式，不写解

答过程）

（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割

方案？（应用上述结论中的关系式求解）

27.为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每

条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰.若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜

花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图

所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）.

每条边上摆放的盆数（n）23456♦••

♦••

需要的鲜花总盆数（y）369——

（2）写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：

（3）能否用2023盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆

放的盆数；如果不能，请说明理由.

28.［问题提出］如图1,由几xzix九（长X宽义高）个小立方块组成的正方体中,

到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

［问题探究］我们先从较为简单的情形入手.

如图2,由2x1xl个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=3条线

段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3x1x1=3个长方体.

如图3,由2x1x1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2=券=3

条线段，高有1条线段，所以图中共有3x3XI=9个长方体.

（1）如图4,由2x2x2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2=

竿=3条线段，所以图中共有个长方体.

（2）由2x3x6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=竽=3条线段,

宽共有条线段，高共有条线段，所以图中共有个长

方体.

（3）［问题解决］由71X九X71个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有一

条线段，所以图中共有个长方体.

（4）［结论应用］如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那

么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论.

中考数学二轮探究性专题考前训练

图形规律

一、选择题

1.根据图中箭头的指向规律，从2022到2023再到2024,箭头的方向是图示中的

()

【答案】B

2.用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2023个图形需要围棋子的枚数是

（）

A.4047B.6069C.6070D.6071

【答案】D

3.如果一个等腰三角形的顶角为36°,那么其底边与腰之比等于旦，

2

我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形.如图,在4人8（；中,人8二人01,/人二36°,

△ABC看作第一个黄金三角形；作NABC的平分线BD,交AC于点D,Z\BCD看作第

二个黄金三角形；作NBCD的平分线CE,交BD于点E,ZXCDE看作第三个黄金三角

形；…以此类推，第2023个黄金三角形的腰长是（）

D

A.（存1严2B.（心）20213+花）2020（3+V5）2019

C.2）D.

【答案】A

4.用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有2个圆圈，第2个图案

中有5个圆圈，第3个图案中有8个圆圈，第4个图案中有11个圆圈，…，按此

规律排列下去，则第7个图案中圆圈的个数为（）

OOO

OOOOOOOooo

OOOOooooo…

Oooo

①②

④

A.14B.20C.23D.26

【答案】B

5.将一个正方形剪成n个小正方形，第一次操作按照图1所示，分割出4个正方

形，第二次操作按如图2所示，分割出6个正方形，第三次操作按如图3所示，按

照上述规律，则第n次操作，正方形的个数为（）

D.2n+2

【答案】D

6.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形O/BC绕点。顺时针旋转45。

后得到正方形。4%的，依此方式，绕点。连续旋转2023次得到正方形

%2023B2023c2023，那么点％2023的坐标是（）

A.(1,0)B,(0,-1)C,(f,一？)D.(-f,当

【答案】D

7.如图，在平面直角坐标系中，△。48的顶点0在原点上，。4边在%轴的正半轴上,

轴,AB=lfZAOB=30°,将△。48绕点。顺时针旋转,每次旋转90°,

则第2023次旋转结束时，点B的坐标为()

A.(1,V3)B.(1,-V3)C.(-V3,1)D.(-1,V3)

【答案】D

8.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点0重台,

AB||xft,交y轴于点P.将△OAP绕点0逆时针旋转,每次旋转90。，则第点23

次旋转结束时，点A的坐标为()

A.(V5,—1)B.(—1,—V3)C.(—V3,1)D.(1,V3)

【答案】A

9.如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4

个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……，照此规

律，摆成第6个图案需要的三角形个数是（）

AMvW,vWA---

第1个第2个第3个第4个

A.19个B.22个C.25个D.26个

【答案】A

10.如图，在矩形4时中，AB=\,BC=2,连接AC,以对角线/C为边，按逆时针

方向作矩形出，使矩形力矩形力比凡再连接力加以对角线4G为边，按

逆时针方向作矩形力CG4使矩形矩形力s阳…，按照此规律作下去，

2022

A.遥x（立）2。22B.2X（^）2021C.X2D.而x（虫）2。21

222

【答案】A

二、填空题

11.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑

色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第九（n是

正整数）个图形需要黑色棋子的个数是（用含n的代数式表示）.

茶।个酬彳苇：个用鲁»3个色形»4个890

【答案】n(n+2)

12.如图，在正方形ABC3|中，AB=1,AB与直线1的夹角为30°,延长CB1交直线

1于点AP作正方形ABCB，延长QB?交直线1于点A2,作正方形A2B2C2B3；延长C2B3

交直线1于点A3,…，依此规律，则A?侬B2°23=.

13.如图，在RtAABC中,/C=90。，AC=2,BC=4,点％,N>P】分别在AC、

BC、上，且四边形MiCN/i是正方形，点M2,电,P2分别在PiN］、BN1、BP,

上，且四边形M2N1N2P2是正方形……，点M”Nn，分别在P"_1N_1，BM1T

，B乙T上，且四边形如刈_/田九是正方形，则线段M2022P2022的长度

是.

【答案】蔡

14.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两

直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状

好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,

按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为

弟一代与股浏笫二代勾股树第三代勾股犯

【答案】127

15.如图，等腰Rt40442，0/1=/遇2=1，以OA2为直角边作Rt△0424，

再以OA3为直角边作Rt△。心人，以此规律作等腰Rt△。人小，则△。/8a的面

积是_________

【答案】64

16.如图，4,4,4,4,…加，力用是直线尸%^2上的点,分别过点4,4,4,

4，…4,/L作x轴的垂线，垂足分别为外8,凡品…氏，瓜।已知俗=8£

=区区=&«=・・・=氏源=1,连接4区，切2和4区，区4，…4制依次相交于点A,

%当…吕,△4AA，△426/，/\A383P3，…，△力£匕的面积依次为£”£，&，…

(71+4)2

【答案】4(2什9)

三、实践探究题

17.【观察思考】

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

(1)【规律发现】请用含n的式子填空:

第n个图案中“◎”的个数为.

(2)第1个图案中的个数可表示为拶，第2个图案中的个数可表

示为竽，第3个图案中的个数可表示为竽，第4个图案中的个数可

表示为等，……，第几个图案中的个数可表示为.

(3)【规律应用】

结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n,使得连续的正整数之和

1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.

【答案】(1)3n

(2)^22

(3)n=ll

18.如图，九+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△&。1的的

面积为Si，△%。2c2的面积为$2，21al的面积为九.

(1)【规律探究】:

探究一探究二探究三

C-[ADi»VB2B3：AC2=1：2,VB3B4：AC3=1：3,

・.B]D]：D]C]=••B2D2iD2c2=1：2,・,B3D3：D3c3—1：3,

1：1,^2=_________，^3=_________，

■

••Si=----------s?=----------

Si=----------

(2)【结论归纳】

Sn=.(用含力的式子表示)

【答案】(1)V3;竽；V3；*；竽

(2)空

n+l

19.【观察思考】

【规律发现】

请用含九的式子填空：

(1)第九个图案中的个数为

(2)第1个图案中“才”的个数可表示为岁，第2个图案中“的个数可表

示为竽，第3个图案中“★”的个数可表示为竽，第4个图案中“才”的个数可

表示为蜉，……，第"个图案中“★”的个数可表示为.

(3)【规律应用】

结合图案中“力”的排列方式及上述规律，求正整数m使得连续的正整数之和1+

2+3+……+九等于第九个图案中“。”的个数的2倍.

【答案】（1）3n

71(71+1)

(2)~2~

（3）解：由题意得：丛等=2x3n,

解得：九=11或九=0（不符合题意）.

20.阅读材料.，解决问题.

相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上

画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用

图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.

第1个第2个第3个第〃个

则第九个三角数可以用1+2+3+...+（九一2）+（九一1）+九=的?（九21目

为整数）来表示.

（1）若三角数是55,则n二；

（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,2n,请用含几

的式子表示前几行所有点数的和；

（3）在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗?如果能,求出n,如

果不能，请说明理由.

【答案】（1）10

（2）解：由题意得：前几行所有点数的和为2+4+6+…+2（几—2）+2（九—1）+

2n

=2口+2+3+・•・+(九一2)+(九-1)十九］

n(n+1)

=2X

2

=n(n4-1)；

(3)解：不能，理由如下：

假设能为120,则n(n+1)=120.

即n2+八-120=0,

解得：九二卓更

•・・几为正整数,

・•.前几行的点数和不能为120.

21.如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“

形图形，观察图形：

图1图2图3

(1)按此规律，图4中小正方形的数量是_________个；

(2)我们把图1中小正方形个数记作为,图2中小正方形图个数记作也，

图九中小正方形个数记作册，若的+a2H----han=165,求九的值.

【答案】(1)11

(2)解：的+%+.••+%=5+7+9+…+(2几+3)="2〃：3+5)=/+4几

・,・九2+4九=165,解得几=11

22.图形规律

①AA

序号12345••♦••♦

梯形数124699•

如图，按此规律摆放,

（1）第6个图中梯形数为,第7个图中梯形数为,第8个

图中梯形数为，第9个图中梯形数为；

（2）第（2九+2）个图中梯形数与第（2九-1）个图中梯形数的差为；

【答案】（1）12；16；20；25

（2）3九+2

23.为了提高动手操作能力，安徽某学校九年级学生利用课后服务时间进行拼图大

赛，他们用边长相同的正方形和正三角形进行拼接，赛后整理发现一组有规律的图

案，如图所示.

【观察思考】

第1个图案有4个正三角形，第2个图案有7个正三角形，第3个图案有10个

正三角形，…依此类推

社的蚓画画.

第1个第2个*3个5M个

【规律总结】

（1）第5个图案有个正三角形

（2）第n个图案中有个正三角形，（用含n的代数式表示）

（3）【问题解决】

现有2023个正三角形，若按此规律拼第n个图案，要求正三角形一次用完，则

该图案需要正方形多少个？

【答案】（1）16

（2）（3n+l）

（3）解：令3几+1=2023,

解得n=674,

由图形可以发现第n个图形中有n个正方形，

・,・该图案需要正方形674个.

24.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）

之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模

型，解答下列问题.

四面体助体3面体正十R体

（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m,n的值，则血=

n=.

多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）

四面体446

长方体m612

正八面体n812

正十二面体201230

（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是

(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的

面数.

【答案】(1)8；6

(2)V+F-E=2

(3)解：由题意得：F+F-30=2,

解得F=16,

・・.这个多面体的面数为16.

25.

(1)观察图1所示的点阵图和相应的等式，并在④后面的横线上写出相应的等

式.

••••••・・・

・•••••

①②③④

①1二1：

②1+2=(1+；*2=3；

③1+2+3=("；)*3=6,・

④;

•♦•

(2)结合(1)观察图2所示的点阵图和相应的等式，并在⑤后面的横线上写出相

应的等式.

②1+3=22；

③3+6=32；

④6+10=42；

⑤_________________

(3)请通过猜想，写出⑵中与第n个点阵图相对应的等式。

【答案】(1)1+2+3+4=^^=10

(2)10+15=52

(3)解：与打与11%

26.(问题)用n边形的对角线把n边形分割成(n-2个三角形，共有多少种不同的

分割方案(n>4)?

(探究)为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简

单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论.不妨假设〃边形的分割方案有

/(n)种.

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割

方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案.所以，/(4)=2.

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割

方案？不妨把分割方案分成三类:

第1类：如图③，用点A,E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形

和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f(4)种不同的分

割方案，所以，此类共有/(4)种不同的分割方案.

第2类：如图④，用点4,E与。连接，把五边形分割成3个三角形，有1

种不同的分割方案，可视为1/(4)种分割方案.

第3类：如图⑤，用点4,E与。连接，先把五边形分割转化成1个三角形

和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有F(4)种不同的分

割方案，所以，此类共有F(4)种不同的分割方案.

所以，/⑸=/⑷+“(4)+/(4)=|x/(4)=弓x/(4)=5(种)

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割

方案？不妨把分割方案分成四类:

第1类：如图⑥，用4,F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和

1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有/(5)种不同的分割

方案，所以，此类共有f(5)种不同的分割方案.

第2类：如图⑦，用A,F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和

1个四边形.再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有"4)种不同的分割

方案.所以，此类共有/(4)种分割方案.

第3类：如图⑧，用A,F与。连接，先把六边形分割转化成2个三角形和

1个四边形.再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有/(4)种不同的分割

方案.所以，此类共有/(4)种分割方案.

第4类：如图，用4,F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1

个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有/(5)种不同的分割方

案.所以，此类共有/(5)种分割方案.

所以，/⑹=/⑸+f(4)+/(4)+f(5)

=/(5)+力⑸+)(5)+/(5)=£x/(5)=14(种)

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5