2021-2025年中考数学试题分类汇编（山西专用）平行线与特殊三角形（学生版）

专题08平行线与特殊三角形（原卷版）

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考点1利用平行线的性质求解

1.（2024.山西.中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力

K的方向与斜面垂直，摩擦力人的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25。，则摩擦力尸2与重力G方向的夹

角产的度数为（）

A.155°B.125°C.115°D.65°

2.（2（）23•山西・中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。

的光线相交于点夕，点尸为焦点.若/1=155。,/2=30。，则N3的度数为（）

C.55°D.60°

3.（2022•山西・中考真题）如图，r△A8C是一块直角三角板，其中/。=90。,/胡。=30。.直尺的一边。E

经过顶点A,若。以'6,则N7M3的度数为（）

A.100°B.120°C.135°D.150°

考点2等腰三角形的性质与判定

1.（2023•山西・中考真题）如图，在四边形4AC。中，ZBC£>=90°,对角线AC,8£>相交于点。.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2/CBD,则AO的长为.

A

2.（2022.山西•中考真题）如图，在正方形44co中，点E是边8c上的一点，点尸在边CO的延长线上,

且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作ANJ.E/，垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,

则线段AN的长为

3.：2025•山西•中考真题）如图，在四边形A4CO中，AD〃BC,?B90?,A8=8,4c=4,点E在边A8

上，AE=3,连接CE,且NDCE=NBCE.点〃在4c的延长线上，连接若。尸=DC,则线段C尸的

长为.

4.（2025•山西•中考真题）综合与探究

问题情境：如图，在VA3C纸片中，AB>8C,点。在边4B上，AD>BD.沿过点。的直线折叠该纸片,

使08的对应线段。9与8c平行，且折痕与边8c交于点E,得到AOB'E,然后展平.

猜想证明：（1）判断四边3。8£的形状，并说明理由

A

拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点4落在射线09上，且折痕与边AC

交于点尸，然后展平.连接AE交边AC于点G,连接AF.

①若AD=2BD,判断OE与WEH勺位置关系，并说明理由；

②若NC=90。，A5=15,BC=9,当△4FG是以AN为腰的等腰三角形时，请直接写出A7的长

考点3等边三角形的性质与判定

1.（202（）•山西・中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,

其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC=BD=12<",C,D

两点之间的距离为4a〃，圆心角为60。，则图中摆盘的面积是（）

212

A.80乃55B.4()^cmC.247rcniD.2兀ent

2.（2023•山西•中考真题）如图，在，A8CQ中，ZD=60°,以点4为圆心，以8A的长为半径作弧交边4c

于点七，连接4E.分别以点AE为圆心，以大于;AE的长为半径作弧，两弧交于点/）,作射线社交AE于

OF

点。，交边A。于点尸，则h的值为.

p

B

3.（2025•山西•中考真题）阅读与思考

下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.

双关联线段

【概念理解】

如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60。，旦这两条线段相等，则称其中一条

线段是另条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.

例如，下列各图中的线段A4与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60。，若AB=CO,

则下列各图中的线段C。都是相应线段人B的双关联线段.

ZACB=________

问题2：如图，在等边VA8C中，点。，E分别在边BC,C4的延长

线上，且AE=C£>,连接ADBE.

图3

任务：

(1)问题1中的NAC8=。，问题2中的依据是；

(2)补全问题2的证明过程；

(3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段八B的双关联线段CO.

(要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：②作出一条即可).

考点4直角三角形的性质与判定

1.(2024•山西•中考真题)如图，已知VA6C,以为直径的。交于点。，与AC相切于点A,连接QD.若

48=80°,则NC的度数为()

A.30°B.40°C.45°D.50°

2.（2020.山西.中考真题）阅读与思考

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

x年x月x日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一木书上看到下面材料：木工师何有一块如图①所示的四边形木板，他三经在木板

上画出一条裁割线现根据木板的情况，要过人8上的一点C,作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然

而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在A8上量出。。=30°〃，然后分别以。，C为圆心，以

505?与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E,作直线CE,则/力CE必为90。.

图①

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M,N两点，然后把木棒斜放在木

板上，使点"与点。重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动，将木棒绕点N

旋转，使点”落在A3上，在木板上将点〃对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线

段。S=MN,得到点S,作直线SC,则NRCS=9O。.

图②

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线

呢？

任务：

（1）填空；"办法依据的一个数学定理是_______________________________________;

（2）根据“办法二”的操作过程，证明NRCS=90。；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出的垂线〔在木板上.保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

考点5勾股定理的证明

1.（2021•山西•中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：

这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明''.实际上它也可用「验证数与代数,

图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）

A.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想

考点6利用勾股定理解三角形

1.（2025•山西•中考真题）如图，在VA4c中，ZBAC=90°,AB=AC,分别以点8、C为圆心、的长为

半径画弧，与84、C4的延长线分别交于点。、E.若8c=4,则图中阴影部分的面积为（）

A.2兀一4B.47t-4C.8元一8D.4兀-8

2.12023•山西・中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，

图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P.Q.M均为正六边形的顶点.若

点P，。的坐标分别为（-26,3）,（0,-3）,则点M的坐标为（）

A.(3V3,-2],(2,-35/3)D.(-2-3V3)

3.（2021.山西.中考真题）如图，正六边形A3CQM的边长为2,以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，

连接AC,AE,则图中阴影部分的面积为（）

C.储D,电

A.2乃B.4万

33

4.（2022.山西.中考真题）如图，扇形纸片AO8的半径为3,沿A8折登扇形纸片，点O恰好落在AG上的

点C处，图中阴影部分的面积为（）

9、行D.6.运

2

5.（2021•山西・中考真题）如图，在VA8C中，点。是AB边上的一点，且AO=38。，连接CD并取。。的

中点E,连接应:，若NAC0=N6瓜）=45。，且CD=6五,则AB的长为

C

B

B

D

6.（2021.山西•中考真题）如图，在菱形人BC。中，对角线人C,3。相交于点。，80=8,AC=6,0E//AB,

交BC于点£,则的长为

7.（2020•山西•中考真题）如图，在用AA8C'中，ZACB=90°,AC'=3,BC=4,CD^AB,垂足为。,

E为BC的中点，AE与CO交于点尸，则的长为

、OOOO）

一、单选题

1.（2025・山西吕梁•模拟预测）如图，这是正方体的表面展开图，每一个面标有一个汉字，则与“成”相对的

面上的字是（）

坚|持|

|成就|

|卓|越|

A.坚B.持C.卓D.越

2.（2025•山西•三模）如图是某几何体的表面展开图，则该几何为是（）

A.B.C.D.

3.：2025•山西长治•三模）已知OC是NAO8的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与08重

合，有刻度的一边分别与Q4,OC交于点P,Q,若点产，。恰好与直尺1cm、女m的刻度线一端点重合,

C.2cmD.1cm

4.（2025•山西长治•三模）共享单车是一种低碳环保的出行方式，图1是某品牌共享单车，图2是其示意图.经

测量，AC平分AM//BC,AB//CD,NBCQ=68。，则N4C8的度数为（）

A.52°B.54°C.56°D.58°

5.（2025•山西朔州•三模）传承千年智慧,守护非遗瑰宝,是我们每个人的责任.将“守”“护”“非”“遗”“瑰”“宝”

六个汉字分别写在一个正方体的各个面上.如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“守”字所在面相对

面上的汉字是（）

守护非

遗|瑰|宝|

A.非B.遗C.瑰D.宝

6.（2025•山西忻州•模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是（）

俯视图

7.（2025•山西•模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动

作抽象出如图②的示意图，己知他〃CO,ABLAE,Z4EF=13O°,ZD=120°,则NQD的度数为（）

图①图②

A.100°B.110°C.1200D.125°

8.（2025•山西吕梁•模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为（）

C.85°D.105°

9.（2025・山西吕梁•二模）如图，A8为平面镜，CO为水面，ABCD.一束光线从点。射入，经过平面镜

A5反射后，从光线变成光线E/*再经过水面8折射，从光线"变成光线尸G.若Nl=45。，N2=15。,

则NObG的度数为（）

C.65°D.70°

10.（2025・山西太原•二模）如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃.太阳光线A8射

向光伏玻璃，在玻璃表面点8处发生反射和折射现象，反射光线为8C,折射光线8。在太阳能电池板表面

的点。处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线EF.已知BC〃EF,MN//PQ,

若/FEN=61。,N8DP=72。，则NC8。的度数为（）

D.133°

11.（2025•山西朔州•三模）有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，PQ为直径，一单色光

线AP从点。射入，折射光线产"从点"射出，出射光线8C〃PQ.若4。与QP延长线的夹角乙4尸。=74。，

则入射光线”所在直线与出射光线AC所在直线相交形成的N/如P的度数为（）

A.74°B.96°C.1()6°D.116°

12.（2025•山西晋中•二模）在凸五边形4底刀£中，点/，在8C边上，点。在A。的延长线上，AQ与8c平

行且相等，不能推出幺与C。一定平行的是（）

A.PB=QDB.PA=CD

C./BAP=/DCQD.ZAPB=ZCDQ

13.（2025♦山西运城•二模）如图，两根细绳将一物体F挂在两面互相垂直的墙面AO与AB上，若乙48c=68。,

D.120°

14.（2025♦山西•一模）如图是一个物理实验的截面示意图，其中A3与C。表示互相平行的墙面，绳子EN的

一端与木杆NG的一端相连，另一端点£固定在墙面A8上.若乙4硒=119。,/以右=150。，则NCGN的度

数为（）

C.31°D.30°

15.（2025•山西・模拟预测）如图，将一副三角板按如图方式摆放，NBAC=NEDF=90°,ZACB=60°,

ZDFE=45°.若。E〃AC,过点尸作Mb〃8C,则NMFZ）的度数是（）

A.20°B.30°C.40°D.45°

16.（2025・山西••模）如图，一条光线A8经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线C。的反

向延长线过凹透镜的一个焦点匕.已知光线48的入射角为45。，反射光线8c与折射光线CO的夹角

NBCQ=155。，则光线C。与光线48所夹的锐角为（）

A.65°B.60°C.35°D.25°

17.（2025.山西•模拟预测）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中NC=N£>%：=90。,

4=45。，ZE=30°.若AB〃DE,则NC3O的度数为（）

D.25°

18.（2025•山西大同•模拟预测）如图，在四边形/WC。中，AB=atCD=b,a<b,E,尸分别是AR8C的

中点，则EF的取值范围是（）

B.%<EF<g

C.a<EF<hD.

19.（2025・山西吕梁•一模）如图，点P是V/WC的重心，人4=6,连接AP,3P并延长，分别交8C,AC

于点。，E,连接OE,则OE的长为（）

A.2B.3C.4D.5

2（）.（2025•山西大同•三模）如图，线段A5,BC,CO是一个正多边形的三条边，延长AB,DC交于点、M,

A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形

21.（2025・山西•模拟预测）平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名.如图①是平遥推

光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图（阴影部分为花朵图案）.已知正六边形A3CD砂的边长为2,

分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面枳为（）

D.4乃-6G

22.（2025•山西大同•三模）如图,分别以点a,。2为圆心,的长为半径作圆，设两圆的一个交点为点

)

C.6兀-9GD.3兀-6G

23.（2025・山西长治•三模）如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（。）的直径

为4cm,通光直径（正六边形最长的对角线长）为2cm,则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（）

24.（2025•山西晋中•三模）如图，V/1AC为等边三角形，8D平分ZABC.AB=2,点E为BD上一动点、,连

接AE,当+取最小值时，。石的长为（）

A

A.1B.yf2C.2D.—

32

25.（2025•山西吕梁•二模）如图，A6c是边长为2的等边三角形，以.A5C的边3c为直径面（）。，则图

中阴影部分的面积为（）

26.（2025・山西吕梁•二模）如图1所示是“梦想起航社团恫学设计的社团公。部分图案.图案由分别以等

边三角形ABC的顶点A,。为圆心，氏为半径的两条弧和以AC的中点。为圆心，；AC长为半径的第三

条弧组成（如图2）.若人B=6,则阴影部分的面积为（）

图1图2

A.——90B.——+9\/3C.12n-9\/3D.12TC-18\/3

27.（2025.山西吕梁•一模）如图.菱形ABCO的顶点A在反比例函数），二七（r<0,4#0）的图象上，顶

点A在x釉上，OA=2,ZABC=120°,则"勺值为（）

A.VJB.-x/3C.-3D.-3>/3

28.（2025.山西晋中•三模）如图，在V/WC中，8。是4C边上的高，CE是NAC4的平分线，BD,CE交

于点尸.若乙4七。=8（）。,/。/。=52。，则//^。的度数是（

38。C.42°D.62°

29.（2025•山西太原•二模）如图，RtABC中，ZBAC=90°,将.沿8c的方向平移得到QEF,其中

A,B,C的对应点分别是点。，E,F.若点E是8C的中点，AB=4,AC=8,则点A与点。之间的

距离为（）

A.2GB.2岳C.46D.4

二、填空题

30.（2025•山西吕梁•二模）七巧板，又称智慧板，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四

边形共七块板组成.如图是由七巧板拼成的小船，若点A的坐标为（-1,2）,点〃的坐标为（1,0）,则点C的

坐标为.

31.（2025•山西运城•模拟预测）哪吒在陈塘关玩耍时，突然发现东海海面上出现了一群海妖正朝着陈塘关

袭来.假设陈塘关的城墙是一条直线/,哪吒此时在点尸处，他要尽快赶到城墙/上的某一点去查看海妖下

一步的动向.如图所示，则哪吒最先到达城墙的路线是线段PC,理由是—.

32.（2025・山西运城・一模）如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，〃为竖直

向下的拉力.若N1=1O7。，则N2的度数是°

33.（2025・山西・模拟预测）如图，在四边形ABC。中，BA=BC，对角线4c平分加），与也）相交于点0,

且D4=OB.若48=10,47=16,则4。的长为.

34.（2025•山西口梁•二模）如图，在VA8C中，AB=8C,点。在45上，/BCD=QBC,BEtCD,AFYCD,

垂足分别为£,F,AB=\0,BE=6,则4厂的长为.

35.（2025・山西吕梁•二模）如图，直线y=#x+l与两坐标轴分别交于A,8两点.过点A的直线/交x轴

36.（2025・山西・模拟预测）如图，在四边形人BC。中，AB=BC=6,=60。，4力_1.6,对角线4C,

8。交于点E.若BD=4DE,则8E的长为.

A

37.（2025•山西太原•一模）如图，VA8C是边长为5的等边三角形，点D是VA8C外的一点，/BAD>/BAC,

AD=AC,若CD=6,连接8。，则线段8。的长为.

38.（2025•山西晋中•二模）如图，VA8C中，BC=6,ZABC=120°,。为AC的中点，点尸是边8C上一

点，且尸=2:1,连接。尸并延长，交A8延长线于点E,若所=3,则A8的长为.

39.（2025•山西长治•三模）如图，在VA8C中，D为AB上一点,BD=2AD,连接CO,E为C。的中点,

连接8E.若44。£>=30°,ZBED=60°,8=4,则A8的长为.

40.（2025•山西临汾・二模）如图，在VA8C中，ZAC5=90°MC=6.BC=8,。是A3的中点，连接CO,

将，人CO沿CO折叠，使点A落在点£,连接应:，则庞二.

B

41.（2025.山西忻州•二模）如图，在平面直角坐标系中放置一块直角三角尺OW,且NO4A=60。，顶点A

的坐标为（2,0）,现将三角尺。48向左平移，使点A与点。重合，得到工CO8',则点8的对应点B'的坐标

42.（2025•山西•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形A8CO为菱形，A8=13,若点B的坐标为

（8,12）,点。的坐标为（8,2）,见点A的坐标为.

43.（2025•山西吕梁•二模）如图，在四边形A4CO中，ZABC=ZADC=9（）°,AO=8,连接8Q.若加，

BC=6,则8。的长为.

44.（2025•山西朔州•三模）如图，在RtZXABC中，NACB=90。，。，E分别为/W,AC边上的点，且

3

ZB=2ZADE,AE=BD,若BC=6,tanA=：,则3。的长为.

B

D

45.（2025•山西运城•模拟预测）如图，V/WC是等腰直角三角形，AB=AC=5,NR4C=90。，在AC的右

侧作Rt.ADC,ZA/X?=90°,连接BD,交AC于点E.若BD=BC,则BE的长为.

46.（2025•山西太原•二模）如图，在VA8C中，A8=AC=10,BC=12,点、D为BC边上一点、且CD=2BD,

连接人八，作A力的垂直平分线，分别交线段AR,AD,AC于点£F,G.则线段AG的长为

47.（2025•山西晋城•三模）如图，在VA4C中，Z4BC=90°,黑=1，8。平分2A4C,连接40,满足

AB2

/DAB=NC,若BD=4&，则PC的长为.

48.（2025•山西•模拟预测）如图，在RtZXABC中，AC=BC=3tN8CA=90。，。为AC上一点，且AO=1,

连接4。，过点C作CE_LB£＞于点E,连接AE并延长交8c于点尸，则CF的长为.

三、解答题

49.（2025•山西吕梁•一模）阅读与思考:

阅读下列材料，并完成相应的学习任务.

倍角三角形在三角形中，如果一个角是另一个角的二倍，那么这洋的三角形叫做倍角三角

形.如图1,在V4BC中，NA,NB,NC的对边分别为。，b,c.ZC=2ZA,VABC

是倍角三角形.

图1

进行探究.

角：根据三角形的内角和定理，在图1所示的VA3C中，/A的取值范围是.

边：二倍角的对边与单倍角的对边的平方差，等于单倍角的对边与第三边的乘积.即

c2-a2=ah.

如图2,延长4c到点使CH=CB=a.连接4〃.则==BH=AB=c.

特殊线段：过点8作AC边上的高3,

若点尸为AC的中点，则E尸二（6C.理由如下:

如图3,取48的中点P,连接尸尸，PE.

学习任务：

（1）材料中NA的取值范围是_____.

（2）如图4,在V/WC中，AB=AC=2,N3=2NA,则BC的长是

图4

（3）请根据材料提供的方法，利用图3证明“痔=g8C”.

50.（2025•山西吕梁•二模）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务.

关于黄金分割

如图I,C是线段A3上的一点，且空=会，即AC?=A8•8C，我们把点C叫作线段AB

ABAC

的黄金分割点.利用一元二次方程的知识，可得生=正二1。0,618,我们把正二1叫作

AB22

黄金比.另外，除了线段上的黄金分割外，还有另一个重要的黄金分割——黄金三角形.如

图2,在VA8C中，AB=AC,Z4=36°,CD平分/AC8交AB于点。，我们把这样的

结论:

证明：VAB=AC,ZA=36°,AZABC=ZACB=72°.

任务：

⑴补全材料中的证明过程.

（2）如图3,。是正十边形的外接圆，48是正十边形的一条边，请用尺规在图3中作乙480的平分线8M,

交0A于点M.若。4=逐+1,求A8的长.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

51.（2025•山西•三模）如图,在VABC中,Z4BC=90°.

A

Bu------------------

（1）实践与操作：在边8c上求作一点。，连接AO,使得NCAO=/C.（要求：尺规作图，保留作图痕迹,

不写作法，标明字母）

（2）计算：若AB=6,BC=8,求线段A。的长.

52.（2025・山西大同•二模）阅读与思考

下面是勤学小组探究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务.

关干“倍角二角形''的探究报告

探究对象：倍角三角形.

探究思路：从特殊图形到一般图形进行探究.

定义：在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍

角三角形显然，等腰直角一:角形和含30°角的直角三角形都是特殊的“倍角三角形”

性质探究：

如图1,在中，若/BAC=2ZA3C,则V"C是“倍角三角形”，其中a,b,。分别

表示—84C,Z