第26章《二次函数》单元卷-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数单元卷

一、单选题

1.已知二次函数)，=〃2+云+。的图像开口向下，顶点坐标为(3,-7),那么该二次函数有()

A.最小值-7B.最大值-7C.最小值3D.最大值3

2.抛物线产(x-3『+l的顶点坐标是()

A.(3,1)B.(-3J)C.(1,3)D.(1,-3)

3.如图是二次函数尸ad+bx+e和一次函数'=〃■+〃的图象，当如+〃之时，x的取值范围

是()

A.x>0B.-2<j<1C.x«-2或xNlD.x<]

4.某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度〃(单位：m)与水流运动时间”单

位：s)之间的函数解析式为〃=30/-5/，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是()

A.6sB.4sC.3sD.2s

5.已知函数y=gx2—x—4,当函数值了随工的增大而减小时，x的取值范围是()

A.x<1B.x>1C.x>—2D.—2<x<4

6.已知抛物线y=(x-l)2+2上有三点(-2,y),(-I,)”,(2,)，J,则片，乃，外的大小关系为()

A.乂>%>)'3B.C.%>兑>»D.y2>y,>>'3

7.加图，抛物线,二口2与直线)，=h+〃的两个交点坐标分别为4—1.1)1(3,9),贝I」方程以2-息+人的解是

y.

B.x1=-l,x2=3C.X)=l,x2=9D.Xj=3,X2=9

8.某商场购进一批文创商品，进价为每件20元.当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降

低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（）

A.y=（x—20）［160+20（28—x）］B.y=（.r-20）［160-20（28-x）J

C..v=（28-x-20）（160+20x）D.y=（28-x-20）（160-20x）

二、填空题

9.已知二次函数产/+2加"2,当x>2时，y的值随工值的增大而增大，则实数机的取值范围是.

10.如图，过点40,4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线乂二12"之（））与％于以。两

点，那么线段8c的长是________.

11.若抛物线y=/-6x+〃L2（m是常数）与x轴只有一个交点，则，〃的值为.

12,二次函数yjif+kr+c（g0）的图象如图所示，下列结论：①2a+8=0；@a+c>b；③抛物线与x轴的

另一个交点为（3,0）；④必c>0.其中正确的结论是（填写序号）.

试卷第2页，共4页

y.

13.如图，菱形ABC。的一边C。在x轴上，顶点8在y轴上.若抛物线y=/+5x+4经过A,B两点,则

CQSZADC的值为

三、解答题

3

14,已知二次函数y=ax2+bx+c(a/))的图象经过一次函数y=-Qx+3的图象与x轴、y轴的交点，并且

也经过(1,1)点，求这个二次函数的关系式，并求x为何值时，函数有最大(最小)值？这个值是多少？

15,已知二次函数y=八一2mx+in2+3(加是常数)

(I)求证：不论，"为何值，该函数的图像与工轴没有公共点；

(2)把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？

16.如图，抛物线y=+2x+c与x轴交于A,B两点，它优的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作

ME_Ly轴于点E,连接BE交MN于点F.已知点A的坐标为(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)求^EMF与八BNF的面积之比.

17,已矢口乡也物线)，=F-4.丫+6.

(1南丁=x2-4.r+6配方成)，=a{x-h)2+攵的形式;

(2)写出该抛物线的开口方向和对称轴；

⑶当-l<x<4时，求丁的取值范围.

18.如图，ABC。中，AD=S,AB=4,NB=30。，点石是回边上一点(不与仄C重合)，以CE为边

在8。上方构造正方形CEFG,设线段CE的长度为.％线段班:的长度为以，正方形C瓦匕的面积为

ABCQ的面积为$2,必=亍・

0

9

8

7

6

5

4

3

2

引12345678910；

(1)请直接写出,，为分别关于x的函数表达式，并写出自变量大的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中画出y,%的图象，并分别写出为乃的一条性质;

(3)结合函数图象，请直接写出%时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).

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参考答案

I.B

【分析】抛物线开口向下，则顶点的纵坐标为函数的最大值.

【详解】•・•抛物线开口向下，顶点坐标为（3,-7）,

，二次函数的最大值为了=-7.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键是掌握二次函数图像的性质.

2.A

【分析】根据二次函数的顶点式可直接得出答案.

【详解】解：抛物线产（x-3『+1的顶点坐标是（3,1）.

故选：A.

【点睛】此题考查了二次函数的.页点式，二次函数的顶点坐标为（〃，k）,对称轴为八一二联

3.B

【分析】本题考查了二次函数与不等式.根据图象可以直接回答即可.

【详解】解：观察图象得：当-2avl时，二次函数的图象位于••次函数的图象的下方，

工当〃1¥+〃之ad+H+c时，x的取值范围是一2VxK1,

故选：B.

4.A

【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度〃为0,把〃=0代入〃=30/-5〃即可求出f,也就求出了水

流从抛出至回落到地面所需要的时间.

【详解】

解：水流从抛出至回落到地面时高度"为0，

把〃=0代入力=30/—5〃得：5/2-30/=0，

解得：6=。（舍去），G=6.

故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.

故选：A.

【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实

际判断所得出的解.

5.A

答案第1页，共8页

【分析】先根据函数关系式算出抛物线的对称轴，再根据开口方向即可判断.

【详解】函数X—4,

b_-1_

・••对称轴为2a°1，。=彳>0

2X22

・•・当工<1时，函数值随x的增大而减小

故选A.

【点睛】解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质：当30时，在对称轴工二-二左边，函数值），随x

2a

的增大而减小；在对称轴*二-3右边，函数值），随汇的增大而增大.

2a

6.A

【分析】本题考查二次函数），="X-/?）2+4的性质，先确定抛物线的对称轴，再计算各点到对称轴的距离，

根据距离大小判断纵坐标的大小关系.

【详解】解：抛物线丁=（工-1尸+2的开口向上，对称轴为直线x=l.

计算各点到对称轴x=l的距离：

点（一2,x）到对称轴的距离为|-2-1|=3；

点（-1，%）到对称轴的距离为卜1T|=2;

点（2,%）到对称轴的距离为忆-1|=1;

•・•抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，纵坐标越大，且3>2>1,

・•・y>%>x；

故选：A.

7.B

【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关

键,根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解.

【详解】解：抛物线y=与真线）="+〃的两个交点坐标分别为11）,8（3,9）,

二•方程奴？=丘+方的解是玉=-1，*2=3,

故选：B.

8.A

【分析】本题考盒根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润x销售量，列出函数

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关系式即可.

【详解】解：由题意得：），=（公20）口60+20（28-x）］.

故选：A.

9.m>-2

【详解】抛物线的对称轴为直线3-件=-，〃，

2x1

•・•当x>2时，y的值随x值的增大而增大，

/.-rn<2,解得m>-2.

故答案为心-2.

10.2

【分析】根据题意，将），=4分别代入"NO）,%=；d（x20）,求得上的正数解，即求得氏C的

坐标，进而即可求得3C的长.

【详解】解：退0,则,，解得｛/即8（2,4

y=x1）'=4

>=4.

-x=4

1,解得」即C（4,4）

>2=4Xb=4

BC=4-2=2

故答案为：2

【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联、,/.解方程是解题的关键.

11.11

【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键.由

抛物线y=f-6x+〃?-2（机是常数）与X轴只有一个交点可得，方程f—6x+〃2-2=0的判别式为零，

即可求解.

【详解】解：抛物线y=--6i+〃.2。〃是常数）与人轴只有一个交点，

方程/一6x+〃［一2=0的判别式为零，

d=（-6）*-4xlx（//2-2）=0,

解得：m=\\,

故答案为：11.

12.①④/④①

答案第3页，共8页

【详解】解：根据抛物线产成"僚+c（。对）的对称轴直线尸・3=1,可得2〃+力力，所以①正确；

2a

根据x=-1时，yVO,可得a-HcVO,即a+c＜b,所以②错误；

由抛物线与大轴的一个交点为（-2,0）得到抛物线与x轴的另一个交点为（4,0）,所以③借误；

由抛物线开口方向得到。＞0，由对称轴尸-二＞0,可得〃V0,由抛物线与y轴的交点位置可得cVO,

2a

因此〃加＞0,所以④正确.

考点：二次函数图象与系数的关系

3

13.-/0.6

【分析】本题考查二次函数的性质、矩形的判定与性质、余弦的定义、菱形的性质等知识点，灵活运用相

关知识是解题的关键.

由抛物线的性质可得抛物线的对称轴为直线x=-|,点B的坐标为（0,4）,进而得到八8=8C=5,由菱形

的性质可得"〃CDA4=BC=C。，ZADC=ZABC^如图：过C作CE/A8,垂足为E,则OCE8是

矩形，易得BE=3,再根据余弦的定义即可解答.

【详解】解：•・•抛物线的解析式为y=f+5x+4,

・•・他物线的对称轴为直线x=-|,点B的坐标为（0,4）,

•••抛物线y=丁+5x+4经过点八，8两点，

：.013=4,人B=，2=5,

2

;.AB=BC=5,

•・・西边形A3CO是菱形，

:.AB〃CD、AB=BC=CD,ZADC=ZABC.

如图：过C作CE/A8,垂足为E,则OCEB是矩形,

・•・BE7BC'-CE'=3,

答案第4页，共8页

BF3

cosZ.ADC=cosZ.AiiC=--=—.

BC5

3

故答案为：

J

14,二次函数的关系式为y=gx，一|x+3,当x=T时，函数有最小值，最小值为一".

【分析】先求出一次函数y=—；x+3的图象与x轴、y轴的交点，再把这三点代入二次函数y=ax?+bx

+c,求出解析式，再把解析式化成顶点式，即可得当X取何值时有最值.

3

【详解】解：对于y=-]x+3,当x=0时，y=3；当y=0时，x=2,把(0,3),(2,0),(I,1)分别代

c=3

入y=ax2+bx+c,得,4a+2A+c=0,

a+b+c=1

1

a--

2

所以"=—I，

c=3

所以二次函数的关系式为y=；x?—|x+3.

因为y=!x2-£x+3=1(X-£)2-J,所以当x=^•时，函数有最小值，最小值为一).

2222828

【点睛】此题主要考查二次函数的应用.

15.(1)证明见解析;(2)3.

【分析】(1)求出根的判别式，即可得出答案.

(2)先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可.

【详解】解：(1)△=(-2/»)2-4x1x(/n2+3)=4/w2-4/w2-12=-12<0,

方程f-2nix+tn1+3=0没有实数解.

J不论〃?为何值，该函数的图象与X轴没有公共点.

(2)*.*y=x2-Inix+nr+3=(x-w)2+3,

・•・把函数y=f-2iwc+/+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，

得到函数)，=(x-，〃)2的图象，它的顶点坐标是(加，0).

・•・这个函数的图象与x轴只有一个公共点.

・•・把函数y=-2mx卜〃产+3的图象延)，轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与X轴只有一个

答案第5页，共8页

公共点.

【点睛】本题考查了二次函数和X轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换

的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度。

16.(1))，=*+2x+3,(1,4)；(2)7-

4

【分析】(1)直接将(-1,0)代入求出即可，再利用配方法求出顶点坐标，

(2)利用EM〃BN,则△EMFSABNF,进而求出△EMF与ABNE的面积之比.

【详解】解：(I)•・•点A在抛物线)，=-9+2工+c上，

/.-(-l)2+2(-l)+c=0,

解得：c=3,

・•・抛物线的解析式为y=-丁+2A-+3.

22

Vy=_x+2x+3=-(x-1)+4,

・•・抛物线的顶点M(1,4)：

(2)VA(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=l,

・,•点B(3,0).

AEM=1,BN=2.

VEM/7BN,

AAEMF^ABNE

,,s：〔副［2)4,

17.(l)y=(x-2)2+2

(2班口向上，对称轴为直线x=2

(3)当-l<x<4时，》的取值范围为2Wy<ll

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求最值，化为顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图

象与性质.

(1)利用配方法即可化为顶点式；

(2)根据顶点式即可写出对称轴，根据。>0即可判断开口方向；

(3)二次函数的图象与性质求解y的取值范围.

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【详解】(1)W：y=Y-4.1+6=Y-4x+4+2=(x-2『+2

(2)解：由y=(x-2)2+2,得〃=1>(),

・•・抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2

(3)解：•・•抛物线开口向上，顶点坐标为(2,2),

J当x=2时，y取最小值2

将x=—1代入y=x?-4x+6,得y=11

将x=4代入y=/-4x+6,得"6

•・・-l<x<4,且函数在x<2时):随着x的增大而减小，在x>2时/随着x的增大而增大

・・・丁的取值范围为24)，<11.

18.⑴y=8-x(0<x<8)；y=—x2(0<x<8)

216

(2)见解析，函数凹=8x的性质：)，随x的增大而减小；函数％=上/的性质：开口向上，在0vxv8范

16

围内，y随x的增大而增大

(3)5.9<x<8

【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角函数，函数的图象，函数与不等式的关系，数

形结合是解题