2025年广东广州中考数学复习《三角形与四边形》综合部分重难点专项练习

2025年广州市中考数学专题复习《三角形与四边形》综合部分重难点

专项练习

一、单选题

1.（2024•广东广州•中考真题）如图，在V48c中，ZJ=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点、，点E,

产分别在边/B,XCI.,AE=CF,则四边形4E1。厂的面积为（)

972C.9D.6&

2.（2024・广东广州•中考真题）下列图案中，点。为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等，则阴影

NX8E的

平分线交力。于点R点M,N分别是8b的中点，则MN的长为（）

B.—

2

D.

2

4.（2025•广东广州•模拟预测）如图，将菱形纸片148折叠，使点8落在4）边的点尸处，折痕为CE,

若48=10,£为48的中点，N4=60。，则四边形5。庄的面积是（）

初中

A

C.40A/3D.50G

5.（2025•广东广州一模）如图，菱形力8c。的对角线力C与台。相交于点为边6c的中点，连接OE.若

力。=3,4。=4,则OE的氏为（）

6.（2024•广东广州三模）如图，在矩形48。力中，对角线力。与4。相交于点O,N54O的平分线交对角

线BD于点、E,且"=；/。=2,则线段4E的长为（）

A.1B.百C.-D，；

7.（2024・广东广州•模拟预测）动点P在等边V48c的边力。上，AB=2,连接P8,4D工PB于D,以力。

为一边作等边V/OE,的延长线交8c于尸，当E/取最大值时，"8的长为（）

*7]

A.2B.-C.垂＞D.v24--

42

8.（2024•广东广州•二模）如图，在止方形力4c。中，M为。。上一点，连接4W与8。交于点N,点尸在

初中

4C上，点？在4。上，连接小交"。于点G,且4W_LEF,垂足为〃，若〃为的中点，则下列结

论：①4W=E"；②"■="；③GH=FG+HE；®^AHE^GHN.其中结论正确的人数有（）

GDCM

A.①③B.①④C.②③D.①@

9.（2024•广东广州•模拟预测）如图，正方形48CD的边长为2,£为与点。不重合的动点，以。E为边向

下作正方形QEFG.则。E+CG+6的最小值为（）

C.4D.2及

10.（2025•广东广州•一模）如图，在V/BC中,AC>BC,乙4=45。，。是48边上一点，且C8=CO,

过点B作BFLCD交CD于点E,交力C于点尸，过点产作于点〃，分别以点8,。为圆心，大于

】劭长为半径画弧，两弧交于点。，连接。。并延长交8。于点M,交BF于点、N.记V8OE的面积为5,

乙

四边形。上尸〃的面积为邑，A8CE的面枳为$3,请判断下列结论中正确个数为（）

①CM〃FH,、②是等腰三角形；*泮翳④*号9.

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题

11.（2024•广东广州•模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点彳（2/），若三角形OAB为等

边三角形，则点4的坐标是______.

w

12.（2024・广东广州•中考真题）如图，=/BCD中,“C=2,点石在“1的延长线上，BE=3,若ZM平

分乙EBC,则。E=.

13.（2023•广东广州•中考真题）如图，已知，。是V/16c的角平分线，DE,。厂分别是△力6。和△/££＞的

高，AE=\2,DF=5,则点E到直线4。的距离为.

14.（2023•广东广州•中考真题）如图，正方形力8CQ的边长为4,点£在边8c上，且BE=l,尸为对角

线BO上一动点，连接CE,EF,则b+E/的最小值为.

15.（2023・广东•中考真题）边长分别为1（）,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如

图），则图中阴影部分的面积为.

16.（2025•广东广州•模拟预测）如图，四边形48CQ是平行四边形，AB=AC,N8=50。，则NC4D的度

数为.

BC

初中

17.（2022・广东广州•中考真题）如图，在矩形Z8CO中，80=245,点〃为边为。上的一个动点，线段

8P绕点8顺时针旋转60。得到线段8P,连接PP,CP；当点P落在边8。上时，NPPC的度数为

当线段CP的长度最小时，NPPC的度数为

18.（2024・广东广州,模拟预测）如图，已知正方形48C力的边长为2,E为44的中点，尸是力。边上的

•个动点，连接£7丁将△力石尸沿砂折叠得△HE/L若延KFH交边BC于点M,则。〃的取值范围

19.（2024・广东广州•二模）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大

正方形48CQ,小正方形EFG”的对角线切向两边延长，分别交边/出于点交边C。于点N.若E是

力，的中点，则岖的值为

AB

A__________D

aBC

20.（2023・广东广州•中考真题）如图，在RtA48C中，/力CB=90。,AB=10,AC=6,点M是边4C上

一动点，点。，E分别是48,朋8的中点，当=2.4时，QE的长是.若点N在边BC上,

且CN=4W,点凡G分别是MN,4V的中点，当出必＞2.4时，四边形0E尸G面积S的取值范围

是.

H

初中

三、解答题

21.（2024•广东广州•中考真题）如图，点尸分别在正方形N8CZ）的边8C,CD上，BE=3,EC=6,

4

22.（2024•广东广州•二模）如图，已知△48。中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZJ5C=-,BE为AD

J

边上.的中线.

（1）求力。的长；

（2）求的面积.

23.（2024•广东广州•中考真题）如图,Rt-BC中,D8=90°.

（1）尺规作图：作/C边上的中线8。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线4。绕点。逆时针旋转180。得到。O,连接力。，CO.求证：四边形48CO

是更形.

24.（2022•广东广州•中考真题）如图,在菱形/8C。中,ZBAD=120°,28=6,连接30.

⑴求的长；

（2）点E为线段上一动点（不与点8,。重合），点尸在边4力上,且BEfDF,

初中

①当CE」一43时，求四边形43E下的面积；

②当四边形48环的面积取得最小值时，CE+百3的值是否也最小？如果是，求CE+GCE的最小值;

如果不是，请说明理由.

25.（2025•广东广州•模拟预测）问题情境：

如织1,四边形48CD是菱形，过点A作4E_L8C于点E,过点C作_L/1。于点尸.

H

图2

猜想证明:

（I）判断四边形4ECT的形状，并说明理由;

深入探究：

（2）将图1中的A/IBE绕点A逆时针旋转，得到“"G,点、E,8的对应点分别为点G,H.如图2,当

线段力”经过点C时，G〃所在直线分别与线段4。，CD交于点M,N.猜想线段。〃与MQ的数量关系,

并说明理由.

26.（2024・广东广州•模拟预测）我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一

个三角形与原三角形相似，且相似比为1:2,则原三角形叫做“友好三角形''；

图1图2图3

（1）如图1,已知在V48c中，48=2,BD=-BC=\,求证：V是“友好三角形”；

4

（2）如图2,在5x5的网格图中，点力、4在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”V48C,

要求点C在格点上；

（3）如图3,在（1）的条件中，作△力CO的外接圆。。，点E是。。上的一点，CE=CA,连接OE；

①设4）=x,AE=y,求V关于x的函数关系式；

②当CE〃48时，求。。的半径.

27.（2024•广东广州•二模）如图，正方形48co中，45=10,。是8c边的中点，点£是正方形内一动

点,0E=2框,连接力万，将线段力E绕点。逆时针旋转9。。得。尸，连接/F,C卜

(1)求1正：VADE^CDF；

(2)若A,E,。三点共线，连接0/，求线段。尸的氏.

(3)当线段0厂取最小值时，求lan/尸0C.

28.(2025•广东广州•一模)综合与实践

［项目式学习］探索凸透镜成像的奥秘

［项目背景］某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律.

［项目素材］

素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变：平行于主光轴的光线经过折

射后光线经过焦点.

素材二：设物距为〃，像距为v和焦距为/，小明在研究的过程中发现了物距〃，像距丫和焦距/之间在成

实像时存在着一定的数量关系.

图①图②图③

【项目任务】根据项目素材解决问题：

(1)小明取物距"=1.57,然后画出光路图(如图①，其中彳8为物体，。为凸透镜MN的光心，入射光线〃

主光轴(即图中的点斜线)，折射光线CH经过焦点RHS'为所成的像.根据光路图①可知，当

时，物体经凸透镜折射后成(填“放大”或"缩小”或“等大'')的倒立实像；

(2)小明取物距〃=2/.当"=2/时，v=2/,物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三

角形全等的知识解释；

(3)小明取物距〃>/,探究一般情况下物距〃，像距-和焦距/之间在成实像时存在的数量关系.如图③，

为物体,。为凸透镜MN的光心，入射光线力。〃主光轴，折射光线C4经过焦点为力8所成的

______________________________________________________________________________________w

像，力B_L主光轴，49_1主光轴.焦距。尸=。尸'=/,物距。4像距。"=v.求证：-+-=4：；

29.(2023•广东广州•模拟预测)在丫力8c和△OEC中，/ACB=NDCE=9。°,BC=kAC,EC=kDC(k

是常数)，点E在V/16C内部运动(不包含边界)，直线力。与班■交于点立

图1图2图3

⑴如图(1),若左=1,并且点。、尸重合时，求证：BF=AF+6CF;

(2)如图(2),一般情形下，探究4凡BF,3之间的数量关系，并给出证明；

⑶如图(3),BF与AC交于点G,若k=6,求线的最大值.

30.(2023•广东广州•中考真题)如图，在正方形48CO中，E是边力。上一动点(不与点儿。重合).边

8C关于配对称的线段为8F,连接

(1)若N/18E=15。，求证：△力•是等边三角形;

(2)延长,交射线BE于点G；

①aAG/能否为等腰三角形？如果能，求此时N46E的度数；如果不能，请说明理由;

②若48=0+“，求厂面积的最大值，并求此时力E的长.

初中

参考答案

题号12345678910

答案CCDBCBCADC

1.C

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解邈关键.连接力。，根据等腰直角三角形的性质以及4E=b得出V/OE丝将四边形力月。尸的

面积转化为三角形4。。的面积再进行求解.

【详解】解：连接力。，如图:

VZ5JC=90°,4B=/C=6,点D是BC中点,AE=CF

・•・/BAD=NB=NC=45°,AD=BD=DC

VADE^CDF,

,,S四边形AEDF=S^AED+ADF=S4CFD+£ADF=秋ADC方&ABC

又二S“8c=6X6X；=18

•q--<?=9

,,U四边形1EDF_20A.4BC7

故选：c

2.C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点

O判断即可.

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点O对称的是C,

故选：C.

3.D

【分析】如图，连接上巴先证明/8=8。=。。=力。=石P48C=90°=fU=D。，再求解

tanDEZ?C=—=^==—,PTWD^BC=30°,DABF=44BE=30。,再求解4":X8gtan30'=1,可得

BC△32

为等腰直角三角形，求解EF二五DE=G0再利用三角形的中位线的性质可得答案.

【详解】解：如图，连接欧,

初中

•・•正方形力BCO的面积为3,

\AB=BC=CD=AD=四ABC=9(T=f)4=D。，

VCF=1,

・•・DE=43~\y

：.tanDEi?C=—，=—,

BC△3

.・.E)E8C=30°,

\DJZ?E=90o-30o=60°,

•・•BF平分乙4BE,

\^ABF'=-DABE=30°,

2

・•・AF=JZ?gtan300=6'与二1,

:・DF二号1,

・・・/)跖为等腰史角三角形，

\EF=6DE=亚身1)二斤屈

•・・M，N分别为8E,8b的中点，

\I”71V6-V2

\MN=-EF=-----------.

22

故选D

【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的

定义，三角形的中位线的性质，求解DEBC=D/18尸=30°是解本题的关键.

4.B

【分析】本题考食了菱形的性质，折叠的性质，勾股定埋，等边三角形的性质与判定；连接/C,根据菱

w

形的性质得出=贝IJV/AC是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得CE的长，进而

求得S生叵，根据折叠的性质可得SA8CE=，EFC，即可求解.

aDLc2

【详解】解：如图所示，连接力C，

•・•西边形/8CQ是菱形，/8=60。，

:,AB=BC,则V/18C是等边三角形，

•••48=10,£为力B的中点,

BE=-AB=5,CE1AB,

2

,CE=\IBC2-BE2"5

:・sBCF=，BEXEC=LX5乂56=身旦，

&ovc222

•・•折叠，

,,S^BCE=S^EFC»

J西边形BCFE的面积是2S-=25白，

故选:B.

5.C

【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和三角形的中位线

性质是解答的关键.先根据菱形性质得到OB=OD=；BD=2,0c=04=gg,再利用勾

股定理求得CQ=g,然后根据三角形的中位线定理求解即可.

【详解】解：•・•四边形力8。。是菱形，AC=3,BD=4,

：.AC1BD,OB=OD=、BD=2,OC=OA=-AC=-,

222

在RtAOCD中，CD=yJoC2+OD2=^|J+22=1,

•・•点七为边8c的中点，OB=OD,

••・。£是△ACO的中位线，

初中

OE=-CL>=~,

24

故选：C.

6.B

【分析［本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质推出/=（）B=；BD，

AC=BD,得到力0=08,4B=4O,判定V水用是等边三角形，由等边三角形的性质得到

AE==5/3>关键是得到A.4O8是等边三角形.

2

【详解】解：.••四边形45CQ是矩形，

：.AO=-AC,OB=-BD,AC=BD,

22

;.A0=0B,

'：AB=-AC,

2

AB=AO,

.•.△/OB是等边三角形，

•••,4后平分/840,

:.AE上OB,

^BAE=-ZBAO=30°,BE=LBO=1,

22

/.AE=ylAB2-AB2=V3•

故选：B.

7.C

【分析】分别连接加LEC,作CG〃以工交所的延长线于G,利用等边三角形的性质和全等三角形的

判定与性质得到4EC=乙钮％=90。，CE=BD；证明⑶CG”,则跖=/。，利用等腰三角形的三

线合一性质得到乙4/。=90。，从而得到A,F,C,£四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当政取

最大值时，则EF等于直径力C,利用勾股定理即可求得结论.

【详解】解：如图，分别连接EC，作CG〃8。，交E厂的延长线于G,

/；\\/!•.・△45C和V/OE是等边三角形，

D

B

G

初中

:.AB=AC,AD=AE.=60°,^AED-60°,

/BAD=^EAC.

在△48。和△力"中，

AB=AC

,ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:."BDg"CE(SAS),

:4DB=ZAEC,BD=CE,

vAD1PB，

乙4DB=9QP,

ZJEC=90°.

Z4ED=NADE=600,

Z.CED=Z.PDE=Z.FDB=30°,

CG//BD,

NG=NFDB=30°,

/.ZG=ZCEG=30°,

?.CG=CE,

：.BD=CG.

在和△CG/?中，

ZBDF=ZG

NBFD=NCFG,

BD=CG

工BF=FC,

•••AB=AC,

•••点/为3c中点,

AF1BC,

.-.ZJFC=90°,

/.ZJFC+ZJEC=180°,

A,F,C,£四点共圆，

・•・当以取最大侑时，则E/等于直径4C,

初中

•••E尸为直径,

£FAE=4FCE=90。,

Z.FAE=Z.FCE=ZJEC=90°,

••・四边形/ECE为矩形，

vZE4C=3O°,

:"CAE=60°,

而/D4£=60°,

•••点。在4C上，

.4。_L于。，

；.P，。两点重合，

如孙

此时P为4C中点，BP上AC,

：.AP=PC=\.

vAB=2,

PB=dAB'-AP2=百•

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，

四点共圆等，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键.

8.A

【分析】过点尸作FK_L4。于点K,证明VK£-4W(AAS)即可判断①；采用特殊值法判断②，若点M

是CO的中点，则器=1,又ABFGSADEG,得到段=能=］从而黑。券，故②错误；过点M作

CMGDDE3DGCM

MP//AD,交FE于点P,交8Z)于点。，证得△MP"且“E〃(AAS),得到=£77,MP=/E,根据正

初中

方形的性质与得至I」=MD=KE,进而有PQ=AK,从而可证得.BFG^QPG(ASA),

有FG=PG,因此尸G+£〃=PG+PH=〃G,故③正确：利用反证法证明④，慑设AAHEs4GHN成立,

则N4EH=NGNH,根据同角的余角相等推出/84V=/8M4,即8N=，而是定值，BN随着点、M

的变化而变化，故8N=8/1不成立，从而△BEGs^OEG不成立，故④错误.

【详解】解：如图，过点E作产K1/。于点K,

.../FKA=/FKE=90P

在正方形ABCDNABC=ZBAD=ZADC=90°,

二•四边形/出FK是矩形，

EK=BA,

••.在正方形48CO中，AB=AD,

FK=AD,

'：AM1EF,

ZJ/7F=90°,

.♦.//£1〃+"4〃=90°,

•//AMD+ZMAD=180°-/ADM=90°,

LFEK=乙4MD,

•••ZFKE=NADM=90°,

；aFKE知4DM(AAS),

FE=4M；故①正确；

如U,若点M是。的中点，则器=1，

CM

设正方形46。。的边长为2〃，即4O=CQ=2a,

DM=—CD=a,

2

在RtZ\4DA/中，AM=LD?+DM?=瓜，

•••点〃是4V/的中点,

/.AH=-AM=^-a,

22

•;—DM—FKE,

:.KE=DM=a,

vNAHE=NADM=90P,Z.EAH=/MAD,

:."HES“DM,

AE在

AH

府,即上a_AE,

~AD二而

/.DE=AD-AE=2a—,

AK=AE-DM=^-a=^

/.在矩形ABFK中，BF=AK=-at

4

;在正方形48co中，BC\\AD,

:ABFGS^DEG，

I

.BGBF_¥]

一还=而="=

-a5,

4

”公•、口

而BG工M彳D故②错误;

过点M作MP〃4D,交FE于点、P,交8。于点。,

B

:."PH=ZAEH,ZPMH=Z.EAH,

,••点〃是4W的中点,

:.MH=AH,

：AMPHAAEH(A网,

/.PH=EH,MP=AE,

...在正方形/18C。中，BD平分/4DC,

.5DC=；4DC=；x90』5。,

•••PM//AD,

Z.QMD=18(F-ZADC=18(F-9(T=9(F,

£MQD=900-ZMDQ=90°-45°=45c,

ZMQD=4MDQ,

:,MQ=MD,

由①知，△/KE2/UDW(AAS),

/.KE=DM,

:.MQ=KE,

:.PM-QM=AE-KE,BpPQ=AK,

由①得，四边形力股K是矩形，

:.BF=AK,

：.BF=PQ,

v5C||AD,MP//AD,

BC\\PXf,

ZGBF=Z.GQP,/BFG=AQPG,

..△RFGmQPG(ASA),

FG=PG,

FG+EH=PG+PH=HG,故③正确；

对于④，假设△4/ES^G〃N成立，则ZAEH=NGNH,

AAHE=90°,

:.2AEH+/EAH=99,

'：2BAH+Z.EAH=/BAD=9(T,

二.乙BAN=ZBNA,

：.BN=BA,

•・•/也是定值，8N随着点"的变化而变化，

:.3N=BA不成立,

MBFGSADEG不成立.故④错误.

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练

运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键.

9.D

初中

【分析】本题上要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接3、CG、证

“OE之△COG(SAS)可得4E=CG,进而得到。E+b+CG=M+G+4E24C,勾股定理求出XC的

长，即得最小值；

【详解】解：如图，连接力C、CF、CG、AE,

•・•正方形ABCD和正方形DEFG,

・•.AD=CD=2、DG=DE=EF,ZADC=/EDG=90。,

，ZADE=4CDG,

在和ACOG中，

AD=CD

ZADE=4CDG

DE=DG

・•・“OEgACQG(SAS)

・•・AE=CG

：.DE+CF+CG=EF+CF+AE>AC,

•・•AC=y/AD2+CD2=y/22+22=2>/2，

・•・DE+CG+b的最小值为2五

故答案为：2&.

10.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性

质,由作图知，CM是线段的垂直平分线，从而判断结论①：利用等角的余角相等求得/q/1=NMC8,

再利用三角形的外角性质，证明=利用等角对等边判断结论②；证明△Z)CA/S^N8M,

利用相似三角形的性质，结合等量代换，从而判断结论③；证明△8CM注△。。〃^△心〃，利用全等三

角形的性质判断结论④.

【详解】解：由作图知，CM是线段4。的垂直平分线，

・•・CM1AB,CD=CB、NMCD=NMCB,

・：FHLAB,

:.CM〃FH,结论①正确；

•••N4=45°,

・•・是等腰直角三角形,

JZACM=ZA=45°,

VBF±CD,CM1AB,

・•・ZCEN=4BMN=9y，

•・•NCNE=NBNM,

乙NCE=4NBM,

•・•NMCD=NMCB,

JZ.FBA=NMCB,

•・•Z.BFC=//+Z.FBA=45°+^FBA,NBCF=ZACM+ZMCB=45。+ZFBA,

・•・4BFC=NBCF,

・•・BC=BF,

・・・V4W是等腰三角形，结论②正确；

,:ZDCM=/NBM,/DMC=NNMB=90°,

△DCMs4NBM,

.DMCD

•・加一赢’

•・•BC=CD=BF,

,DMFN+BNDMFN.

..---=--------,即an----=——+1,

MNBNMNBN

,DM,FN

••1=,

MNBN

DM-MNFN

一嬴‘显然FN，HM,

MN

DM-MNHM

工加，结论③错误;

MN

•・•BC=CD=BF，4BCM=/DCM=4FBH,々BMC=4DMC=AFHB=90°,

・•・4BCM94DCMW4FBU,

,*S&BCY~*^ADC.W=SMBH，

由题意得S.Nc”=$△0cM=S&」8〃=S]+Sz,S3=S&BCE=2S.BCM—S&BDE=2（S+S2）-Sl=51+2S：,

:.S、+,结论④错误;

故选：c.

初中

11.4+-百]或-g+lg+b

【分析】本题考查坐标与图形，设8（4/）,根据等边三角形的三边相等，结合两点间的距离公式，列式求

解即可.

【详解】解：设以乂歹）,

・.•4(2,1)0(0,0),

：.AB2=(x-2)2+(y-\)2,OB2=x2+y2,OJ2=22+12=5，

•・•0/18为等边三角形,

%、

x2+y2=5x=—+1x=------+1

・•・Iz/「，解得:2或，2

[(x-2)-+(f=5

y=l+x/3

乙

:.B点坐标为（日+L；一道或（一^^+,+6）；

22

12.5

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键.由

平行四边形的性质可知，,4O=BC=2,BC//AD,进而得出N84E=NEA4,再由等角对等边的性质,

得到BE=4E=3,即可求出。£的长.

【详解】解：在口49C。中，BC=2,

...4D=BC=2,BC//AD,

:.NCBA=々BAE,

•.•54平分/E8C,

ZCBA=4EBA,

，NBAE二NEBA,

BE=AE=3,

DE=AD+AE=2+3=5,

故答案为：5.

0帘哈

w

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到AC的距离等于点D到AB的距离

QE的长度，然后根据勾股定理求出力。，最后根据等面积法求解即可.

【详解】解：：力力是V48C的角平分线，DE,。厂分别是△48。和1CO的高，DF=5,

：.DE=DF=5,

又4E=12,

•*-AD=>IAE2+DE2=I3»

设点f到直线/I。的距离为x,

*：-ADx=-AEDE,

22

.AEDE60

..x=-------=一•

AD13

故答案为：YJ.

【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的

关键.

14.V17

【分析】连接立交8。于一点“连接根据正方形的对称性得到此时b+E/l/lE最小，利用勾股

定理求出力上即可.

【详解】解：如图，连接力E交5。于一点凡连接C/，

•・•西边形/8CQ是正方形，

・••点/与点。关于6。对称,

JAF=CF,

：.CF+EF=AF+EF=AE,此忖C尸+£尸最小，

•・•正方形48CQ的边长为4,

.・.AD=4^ABC=900,

•・•点E在力3上，且4E=1,

***AE=VABrBE】=\/42+12=历，即C/7+EF的最小值为后

故答案为：V17.

初中

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键.

15.15

【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，

由题意可知力。=。。=10,。6=。£=6/=6,/。坊=/£/6=90。，G/7=4,

：.CH=10=AD,

•：NQ=ADCH=90°,NAJD=4HJC,

.,."D/%HC"（AAS）,

・•・CJ=DJ=5,

・•・£7=1,

GI//CJ,

・•・AHGISAHCJ,

.GIGH2

..—=-----=—,

CJCH5

・•・G/=2,

；.F/=4,

，Sw=；（Q+R）・M=15；

故答案为15.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的

性质与判定是解题的关键.

16.50。/50度

初中

【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质.

由等腰三角形的“等边对等角“得到乙4。5=/8=50。，再由。4BCO中，力。〃8。即可解答.

【详解】解：VAB=AC,N8=50°,

・•・N4CB=NB=50°,

•・•在中，AD//BC,

・•・NCAD=NACB=500.

故答案为：50。

17.120°/120®750n5度

【分析】如图，以48为边向右作等边△48E,连接£P.利用全等三角形的性质证明N8EP=90。，推出

点P在射线£产上运动，如图1中，设EP交BC于点、O,再证明是等腰直角三角形，可得结论.

【详解】

解：如图，以44为边向右作等边△/4凡连接EP：

:・/ABE=NPBP'=600,BP=BP',BA=BE,

4ABP=NEBP',

BA=BE

在入4BP和△E3P'中,NABP=NEBP',

BP=BP'

工dABPq4EBP'（SAS）,

:・/BAP=NBEP'=90

・•・点尸'在射线EP'_L运动，

如里1中，设EP交BC于点、O,

初中

图1

当点尸落在6C上时，点尸与O重合，此时/尸产。=180。-60。=120。,

当CP_LEP时，CP的长最小，此时NE8O=NOCP=30。，

:.EO=；OB,OP=；OC,

:・EP=EO+OP=y0B+y0C=yBC,

,:BC=2AB,

：.EP'=AR=ER,

:・/EBP=/EPB=45。,

・•・/BPC=45。+90°=135°,

4PP'C=ZBP'C-/80'0=135。-6()。=75。.

故答案为：120。,75°.

【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三

角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造仝等三角形解决问题，属于中考填空

题中的压轴题.

18.4S-\<DH<2

【分析】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助

线是解题的关键.当点厂与点力重合，点必在8c边上，此时。，的值最大：连接。利用/），+，入QE

即可最小值.

【详解】解：如图I,点尸与点O重合，此时点M在8C边上,

图1

DA-AB-2,

由折叠得。〃=FH=FA=DA=2,

.••DH的最大值为2；

如匆2,连接OE,

vZJ=90°,

DE=\lDA2+AE2=\l22+I2=y/5，

DH+HE2DE,

：.DH+\>4S，

:.DH之逐7,

.•・。，的最小值为石-1,

/.DH的最值范围是6-14。月42，

故答案为：4S-\<DH<2.

19.叵

3

【分析】本题主要考查了正方形的性质、正切的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵

活运用相关知识成为解题的关键.

根据正方形的性质得到4Q=48=BC=CO=V5Q，NEFH=NMFK=45。,再利用锐角三角形函数得到

MK=FK=?最后根据勾股定理及全等三角形判定与性质即可解答.

【详解】解：过点M作MK_L8£干点K,设4E=a,

初中

•・•£是4〃的中点,

・•・AH=2a,

***AD=亚a，

•・•在正方形ABC。中，

AAD=AB=BC=CD=45a>

•・•NEFH=NMFK=45。,

:•设MK=FK=x,

・•・BK=BF-FK=a-x,

API

VtanZA/5A：=—=-,

BE2

・•・tan^MBK=-=-

BK2t

•.•X-_£,

:.MK=FK=~,

・•・在处zWK产中，MF=ylMK2+FK2=-a,

•・•正方形力8c。是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,

，ADGCWAABE,

・•・4FBM=Z.HDN,

•:在ABMF和&DNH中,

ZEFH=ZMFK=4竽

<4FBM=NHDN

BF=DH

：.ABMF为DNH8网,

NII--——a»

3

初中

•・•在RtZXE"中，FH={EF?+EH2=国，

.2\[1pr55/2

•・MN=-----a+x/2a=------a，

33

5x/2

:・MN3"M.

AB~41a~3

故答案为：叵.

3

20.1.23<5<4

【分析】根据三角形中位线定理可得。七=，4%=1.2,设=从而DE=g4M=gx,由此得到四

222

边形OEFG是平行四边形，结合。石边上的高为即可得到函数解析式，进而得到答案.

【详解】解：•・•点。，E分别是N8,同8的中点，

DE是"BM的中位线,

・•・DE=-AM=\.2；

2

如空，设/M=x,

由题意得，DE"AM,且。E=

DE=-AM=-x,

22

又尸、G分别是MM4N的中点，

:,FG〃AM,FG=-AM,

2

:・DE〃FG,DE=FG,

・•・西边形DEFG是平行四边形，

由题意得，G厂与/C的距离是gx,

・•・BC=>JAB2-AC2=8»

边上的高为4-

J)

初中

・•・西边形DEb(S面矛只5=i.r-^4-ljrl=2x-1x3=-1(x-4)?+4,

,/2.4<x<6,

A3<5<4,

故答案为：1.2,3<5<4.

【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，二次函数的性质，求函数解析式，解题时要熟练掌握并灵

活运用是关犍.

21.见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握桶