2026年高考数学第一轮复习：第2课时 利用导数研究不等式的恒成立问题

第2课时利用导数研究不等式的恒成立问题

;素养▼解卵提升

明考向•直击考例考法.

考点一分离参数法［综合型)

回0(2020•湖d匕武汉质检)已知/U)=.Hnx,(.r)=A3+or—x+2.

⑴求函数J(x)的单调区间;

(2)若对任意x£(0,+8),4x)W/(x)+2恒成立，求实数a的取值范围.

【解】(1)因为函数_/U)=Mnx的定义域为(0,+-),所以/(x)=lnx+1.令/(x)<0,

得lnx+l<0,解得所以人幻的单调递减区间是(0,令/(幻>(),得h［x+l>0,解

得所以7U)的单调递增区间是Q，+8)综上，人口的单调递减区间是(0,单调递

增区间是(3+8).

⑵因为/(犬)=3«+2仃-I,由题意得2xlnxW3f+2奴+1恒成立.因为x>0,所以“2ln

3I

x一力一不；在x£(0,+8)上恒成立.设/?(x)=lnx—

(X—I)(3x+1)人，,，，廿1.

-------k-------.令h(x)=0,得制=1,X2=一,舍)•

当x变化时，〃(x),人。)的变化情况如下表：

X(0，1)1(1,+°0)

h\x}+0—

h{x}极大值

所以当X=1时，力(X)取得极大值，也是最大值，且力(X)max=，?(l)=-2,所以若。》/心)

在x£(0,+8)上恒成立，则。2力(x)max=-2,即。2—2,故实数a的取值范围是［-2,+

°°).

陶信明

(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路

用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可

以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.

(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”

通过分离参数法，先转化为/(a)2g(x)(或Jia)〈g(K))对VxEQ恒成立，再转化

转化关

为.旗)2g(X)M(或加)Wg(X)min)

求最值关求函数8伏)在区间。上的最大值(或最小值)问题

考法全练;(2020•石家庄质量检测)已知函数40=axe'—(〃+I)(2工一1).

⑴若。=1,求函数/W的图象在点(0,贝0))处的切线方程:

(2)当.v>0时，函数儿:)20恒成立，求实数a的取值范围.

解：⑴若〃=1,则危)=xe'-2(2x-l).

即/(x)=xe'+e*-4,

则/(0)=—3,.*0)=2,

所以所求切线方程为3工+)，­2=0.

(2)由/(I)三0,得。亍=*>0,

01

C_1

则yu)2o对任意的A->0恒成立可转化为一±2—k对任意的入>。恒成立.

CI1-1xc

2x—1

设函数F(x)=人1/.(A>0),

⑵+1)(X—1)

则尸(大)=

A-e

当0*1时，当(x)>0:

当x>l时,F'(x)<0,

所以函数尸(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上直调递减,

所以

F(x)max=Hl)=7-V

于是一上解得。力厂1.

。十1ee-1

故实数。的取值范围是占，+8).

考点二分类讨论法〔综合型)

例2已知函数以)=In%—or,〃£R.

(1)求函数次外的单调区间；

(2)若不等式凡0+。<0在］£(1,+8)上恒成立，求。的取值范围.

【解】(1)函数/U)的定义域为(0,+8),，(幻=；一口

①当aWO时，f(x)>0恒成立，

则人到只有单调递增区间是(0,+~).

②当a>0时，由/(加>0,

得ovV；

由/(©VO,得x>:；

所以寅幻的单调递增区间是(0,：),单调递减区间是七，+8)

(2VU)+“V0在x£(l,+8)上恒成立，即]11工一。(%—1)〈0在工£(1,+8)上恒成立.

设g(x)=lnx—a(x—1),x>0,则g<x)=J—a,注意到g(1)=0,

人

①当时，g'(x)V0在x£(l,+8)上恒成立，

则g(.r)在x£(l,+8)上单调递减，

所以g(x)Vg(l)=0,即时满足题意.

②当OVaVl时，令g(t)>0,

得ovV；

令gXr)VO,得

则g。)在(|，5)上单调递增，

所以当x£(1,5)时，g(x)>g(l)=O,

即OVqVl时不满足题意(舍去).

③当aWO时，g'。)=；一。>0,

则g(x)在(1,+8)上单调递增,

所以当xW(l,+8)时，g(x)>g(D=O,

即oWO时不满足题意(舍去).

综上所述，实数”的取值范围是[1,+8).

伍窗明

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法,

利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.

考法全练】(2020・合腮六校联考)已知函数府)=(x+a—l)e',^(x)=^r4-6z.t,其中

〃为常数.

(1)当”=2时，求函数/U)在点(0,人0))处的切线方程；

(2)若对任意的工£[0,+°°),不等式九1)2g(x)恒成立，求实数。的取值范围.

解：(1)因为a=2,所以<x)=(x+l)e,所以人0)=1,

f(x)=a+2)e',所以『(0)=2,

所以所求切线方程2A—y+1=0.

(2)令h(x)=J[x]-g(x),

由题意得力(x)min20在x£[0,+8)上恒成立，

因为h(x)=(x+«-1)ev-pr-,

所以“a)=a+a)eT).

①若。20,则当x£1o,+8)时，/(x)20,所以函数力(X)在［0,+8)上单调递噌，

所以/2(X)min=a(0)=，L1,

则a—120,得I.

②若aV。，则当x£［0,一。)时，〃(x)WO;

当x£［-a,+8)时，hf(x)20,

所以函数力(%)在［o,—〃)上单调递减，在［一小+8)上单调递增，

所以h(x)mn=h(—a)t

又因为力(一a)V/?(0)=a-lV0,所以不合题意.

综上，实数〃的取值范围为［1,4-oo).

考点三等价转化法［综合型)

侧13］设/(x)="+xlnx,g(%)=F—x2—3.

人

(1)如果存在xi，、2£［0，2］使得g(xi)—g(X2)2M成立，求满足上述条件的最大整数M；

⑵如果对于任意的s,，七，21，都有麻)及⑺成立，求实数”的取值范围.

【解】(1)存在即，比2£［0,2］使得g(Xi)—g(X2)2M成立,等价于k(的)一g(X2)］max2M.

2

令((x)>0得xVO或

令g<x)VO得OVxVQ,

又x£[O,2],

所以双冷在区间[o,号上单调递减，在区间6，21上单调递增,

所以g(*)min=g(|)=一符，

又g(0)=-3,g⑵=1,

所以g(x)max=g(2)=1.

112

故[鼠即)一g(X2)]max=gCDmax—gQjmin=万2M，

则满足条件的最大整数M=4.

「1［「1］

(2)对于任意的s,/£2，2,都有人s)2g")成立，等价于在区间2上，函数JU)min

2g(X)max，

由(1)可知在区间惨2］上，g(x)的最大值为g(2)=l.

-1-1

在区间5，2上，/(xi=-+xlnI恒成立等价于.Finx恒成立.

设h(x)=x-xi\nx,

h'(x)=1—2vlnx—x.

令m(x)=x\nx,由m'(x)=\nx+1>0得x>~.

V

即///(A)=.rlnx在(：，+8)上是增函数，

可知好v)在区间已21上是减函数，

又"(1)=0,

所以当1V.xW2时，，(x)<0;

当时，te(x)>o.

即函数以x)=x一『lnx在区间I1)上单调递增，在区间(1,2]上单调递减,

所以/l(X)max=A(l)=l,

所以421,

即实数。的取值范围是[1,+8).

陶信明

(1)“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价

转化.

(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法,

转化为求函数的最值问题.

考法全练;已知函数火工尸炉+^2—xln。3>0,1).

(1)求函数7U)的极小值；

(2)若存在力，X2^[—1,1],使得/U2)lee—l(e是自然对数的底数)，求实数〃的

取值范围.

解：(iy(x)=avln6；+2A—Ina=2x+(a。-l)lna.

因为当时，Ina>0,函数y=(av—l)ln〃在R上是增函数，

当0<4<1时，In«<0,函数y=("一l)ln〃在R上也是增函数，

所以当a>\或0<6/<1时，/(x)在R上是增函数，

又因为/(0)=0,所以/(x)〉0的解集为(0,+8),/(x)<0的解集为(一8,0),故函数

儿0的单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(一8,0),

所以函数凡I)在x=0处取得极小值I.

(2)因为存在汨，不£[-1，1]，使得|/(即)一«X2)|2e-l成立，

所以只需J(X)max—J(X)min为一I即1T.

由(1)可知，当工£［一1，1］时，危)在［一1，0］上是减函数，在(0，1］上是增函数,

所以当工£［一1，1］时，yU)min=40)=l，

©max为。-1)和川)中的校大者.

1)=3+1-Ina)-Q+I+lna^=a--2\na,

令g3)=a-21n〃m>0),

因为g\a)=\+*_(=(1.!)>0，

所以g(a)=a—~—2\na在(0,+8)上是增函数.

而g(l)=0,故当a>\时，g(a)>0,

即川)MT)；

当031时，g(a)〈O,即41)守(-1).

所以当a>\时,Xl)-/(O)>e-l,

即Ina2e—1.

由函数y=。-In。在(I,+8)上是增函数，解得a'e;

当0<«<1时，fi—\1,即5+lnq2e—1,

由函数y='+lna在［0,1)上是减函数，解得O〈aw1.

ae

综上可知，所求实数。的取值范围为(0,1U［e,+8).

,演练▼③僖突破练好题•突破高分瓶颈.

I基础题组练］

41

1.已知函数./U)=x+:,ga)=2'+a,若5，1,3x2[2,3],使得人乃)2虱工2)，

•儿乙

则实数。的取值范围是()

A.B.心1

C.aW2D.心2

解析：选A.由题意知於)min(x£J，lj2ga)minQW［2,3］),因为凡V)min=5,/)min

=4+«,所以524+小印aWl,故选A.

2.(2020・吉林白山联考)设函数yU)=e{x+(-3)—:若不等式K6W0有正实数解，则

实数。的最小值为.

解析：原问题等价于存在x£(0,+°°)>使得3x+3),令其1)=4/-3戈+3),

xe(o,+“)，则a》g(x)min，而g'(x)=e"(炉一x).由g'Q)>0可得人七(1,十“)，由g'(x)<0

可得x£(0,1).据此可知，函数g(x)在区间(0,+8)上的最小值为g(i)=e.综上可得，实数

。的最小值为e.

答案：e

3.(2020・西安质检)已知函数/(x)=lnx,g(x)=x-l.

(1)求函数)，=/5)的图象在x=l处的切线方程；

(2)若不等式«K)Wag(x)对任意的x£(l,+8)均成立，求实数a的取值范围.

解：⑴因为/(©=：,

人

所以/(1)=1.

又yu)=o,所以切线的方程为

y—/U)=/(i)(D，

即所求切线的方程为y=x-1.

(2)易知对任意的工£(1,+8),危)>0,g(x)>0.

①当时，y(x)Wg(x)Wag(x)；

②当“wo时，/u)>o,给。)<0,所以不满足不等式,/(x)w〃ga)；

③当OVaVl时，设e(x)=/U)-ag(x)=lnx-4a-l),则”(幻=：一小

令d(x)=O,得x=5,

当x变化时，o'(x),9(x)的变化情况下表：

1

XM）a6+8）

9’（%）+0—

9（x）极大值

所以0a)max=9(O>W(l)=O，不满足不等式.

综上，实数。的取值范围为［1,+8).

Inr

4.已知函数人幻=01-83£1<),g(x)=—；.

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)3xo£(O,+8),使不等式y(x)Wg(x)一三成立,求。的取值范围.

解：(1)因为/(幻=。一厘，x£R.

当aWO时，f(x)V0,府)在R上单调递减；

当。>0时，令/(x)=0得x=lna.

由/(x)>0得7U)的单调递增区间为(一8,ina);

由/*)V0得/U)的单调递减区间为(In04-oo).

(2)因为三沏£(0,+9),使不等式_/U)Wga)-e',

设力(x)="，则问题转化为件°，

厂、“/max

,1—21nx.r-

由，(x)=­F—，令”(力=0，则X=#.

当x在区间(0,+8)内变化时，//(X),/心)的变化情况如下表:

X(0,Ve)正(加,4-0°)

hf(X)十0—

h(x)单调递增极大值/单调递减

由上表可知，当x=#时，函数力㈤有极大值，即最大值为白所以

Ie

5.(2020•重庆市七校联合考试)设函数危)=：—蓝，g(x)=a(『一1)—Inx(q£R,e为自

人L

然对数的底数).

⑴证明：当Q1时，fix)>0；

(2)讨论双力的单调性；

(3)若不等式./(x)vg(x)对x《(l，+8)恒成立，求实数。的取值范围.

，-I_

解：⑴证明：j(x)=.-|，

AV

令.y(x)=।—x,则s'(.r)=er-1—I,

当x>l时，s'Cv)>0,所以s(x)在(1,+8)上单调递增，又s(l)=0,所以s(x)>0,

从而当x>\时，

12or-1

(2)g'(x)=2ax--=——(x>0),

当aWO时，g'(x)<0,g(x)在(0，+8)上单调递减,

当a>0时，由g'(x)=0得x=^=.

(()，言)时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

当

当xe，+8时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

(3)由⑴知,当心>1时，儿。>0.

当。这0,x>l时，^(J)=«(.r—1)—1nx<0,

故当yu