【高考数学】构造函数

构造函数

1.利用同构构造函数

［高考真题］

1.(2020・新课标卷n文数•12)若2'-2y<37-37,则()

A.ln(y-%+l)>0B.In(y-x+l)<0C.In|x-y|>0D.In|x-y|<0.

2(2020.新课标I理数.12)若210g4数则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.

a<b2

其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取右，构造

函数妥当“，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性

求值.

［强化训练］

1.(2020•淮阴中学、姜堰中学12月考・14))已知实数占满足中”=",

5

x2(lnx2-2)=e,贝ljx}x2=.

2.设方程x+2,=4的根为加,设方程x+log?*=4的根为〃，则加+〃=.

2.利用导数的运算法则构造函数

导数的应用，最主要的是利用导数来判断函数的单调性。导数与

不等式问题中的一种，是根据题目中所给出函数/5)与其导函数J\x)

的关系，构造新函数，并根据导数判断其单调性从而达到解决问题的

目的。

一、直接构造

例题1.设函数/6)状状)在(3,7)上均可导,且fr(x)<g'(x),则当3〈尢<7时,

有

A./(x)>g(x)B./(x)+g(3)<g(x)+/(3)

C./(x)<g(x)D./(x)+g(7)<g(x)+/(7)

解惑练习1：定义域为R的函数/(x)满足/⑴=1,且/(工)的导函数

广⑴〉；，则满足2/(x)<x+l的x的集合为()

A.1x|-l<x<1!B.1x|x<1|C|x|x<-l,^tv>1|D.

二、根据题意或选项中的提示构造函数

L当题意中出现WG)士八刈时，"+”对应的原函数是)，=V(x)，“-”对

应的原函数是)，=幺也。

X

例题2.已知定义域为R的奇函数y=/(x)的导函数为)，=/(%)，当工>0

时，若a=3,z?=;(ln2)c=J±^)9则b,c的

eIn2-3

大小关系正确的是()

A.a<c<bB,b<c<aC.a〈b〈cD.c<a<b

解惑练习2：已知定义在R上的奇函数的导函数为广(x),当工工0

时、ru)+^^>o,若4=g/(g),b=-2f(-2),c=lng/(lng),则〃、

b、c的关系为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>ciD.b>a>c

2.当题意中出现ra)±/(x)时，需要构造函数)，=e"(x),需

要构造函数)，二华.

e

例题3.已知函数/⑶的导函数为f(x),若f(x)+f(x)>2J(0)=5,则不

等式/(X)-3"*>2的解集为

2

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C.(-00,0)0(1,-^)D.(l,+oo)

解惑练习3.已知定义在/?上的函数/(X)满足/(力>-r(x),则关于〃，

的不等式/(2〃7+1)--(2-机)产”>0的解集是()

An)R屋nr(ofio

A.-,+ocB.0,-C.-GO,-Dn.——

U)I3jI3)I23)

解惑练习4.设/")是定义在R上的函数/(幻的导函数，且八幻>/(为，

fW=e(e为自然对数的底数)，则不等式/(lnx)<x的解集为()

A.(0,e)B.(0、&)C.D.(&,e)

e2

四、复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结

构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的。

例题4.设函数/(x)满足x2f\x)+2xf(x)=—,”2)=^,则当x>o时，f(X)

x8

()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

解惑练习5,已知定义在(0,+8)的可导函数/(X),满足才(x)v(x-1)/5),

下列结论正确的是()

A.61)>2/⑵B.叭1)<2/(2)C./(1)</(2)

D./(1)>/(2)

3.其他构造函数的方法

“比较法”构造函数证明不等式

当试题中给出简单的基本初等函数，例如兀¥)=r，g(x)=lnx,

3

变式1.(2020•芜湖模拟)已知函数/(x)=上:，其中m为常数,

'm+cosx

且?是函数/(X)的极值点.

(/)求m的值；

(/)若R(由-1)>/(x)在x>0上恒成立，求实数攵的最小值.

拆分法”构造函数证明不等式

当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的

形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔

迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为人工)q(x)

的形式,进而证明;U)maxqa)min即可，此时注意配合使用导数工具.在

拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最

值分析为拆分标准.

【典例2】已知函数火x)=elnx—ov(a£R).

(1)讨论於)的单调性:

⑵当a=e时，证明：xf(x)—ev+2e%<0.

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(2019秋•福州期末)已知函数/(x)=elnx-ax(t/ER).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当a=e时，证明：xf(x)-ev+2ex<0.

“换元法”构造函数证明不等式

若两个变元X|,X2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简,

将所证明的不等式整体转化为关于团(加，X2)的表达式(其中〃?(羽，X2)

为Xl，X2组合成的表达式)，进而使用换元令加3，X2)=t,使所要证

明的不等式转化为关于/的表达式，进而用导数法进行证明，因此,

换元的本质是消元.

【典例3】已知函数凡V)=Q一%有两个不同的零点用，X2,求证：

X

xi%2>e2

6

3.(2020•池州模拟)已知函数/(x)=ax-axlnx+l(QER,〃W0).

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)证明：当-2时，/(x)<x2—3x+-+2lnx.

X

“转化法”构造函数

在关于汨，X2的双变元问题中，若无法将所给不等式整体转化为

关于加（汨，及）的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题

进行处理，进而实现消元的目的.

【典例4】设函数於）=lnx+竺，"ER,若对任意口＞心0,以

xb-a

VI恒成立，求机的取值范围.

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4.(2020•南京二