小学数学五年级下册《因数与倍数》单元开启课教案

小学数学五年级下册《因数与倍数》单元开启课教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域审视，本课是“数与运算”主题下整数认识的一次重要深化。其知识图谱的核心在于依托整除关系，建立“因数”与“倍数”这两个相互依存的概念模型，这不仅是理解质数、合数、最大公因数、最小公倍数等后续知识的逻辑基石，更是将整数知识从单一“数”的认知，拓展到“数”与“数”之间内在联系的网络化认知的关键一跃。在过程方法上，课标强调通过具体实例的操作、观察、比较和归纳，发展学生的抽象能力和推理意识。本课正是这一思想的绝佳载体：从除法算式的分类入手，引导学生从大量具体算例中抽象出“整除”这一共同属性，进而凝练出因数与倍数的定义，这一过程本质上是数学建模的初步体验。就素养价值而言，本课超越了单纯的概念记忆。在探究概念相互依存关系的过程中，学生能深刻体会数学概念的严谨性与对立统一性；在寻找一个数全部因数的活动中，需要有序思考，这指向了逻辑推理素养与思维条理性的培养；而将抽象概念应用于解决简单实际问题，则能增强学生的数感与应用意识，实现“知识”向“素养”的悄然转化。

基于“以学定教”原则进行学情诊断：学生在二年级已熟练掌握表内乘除法，四年级理解了整数除法的意义，并积累了大量的除法计算经验，这为从除法算式角度引出概念提供了认知锚点。然而，五年级学生的思维正从具体形象向抽象逻辑过渡，初次接触这种成对出现的、相互定义的数学概念，极易产生理解困难，常见误区是将“因数”等同于乘法算式中的“乘数”，或认为“倍数”就是简单地“扩大几倍”。部分学生可能因概念抽象而产生畏难情绪。为此，教学将通过“前测”环节，利用几组精心设计的除法算式，快速诊断学生对“整除”现象的敏感度与表达水平。在探究过程中，教师将通过巡回观察、小组讨论记录、代表性答案展示等方式，动态评估学生的理解进程。针对不同层次的学生，预设差异化的支持策略：对于概念理解较快的学生，引导其探究一个数因数个数的特点或挑战更大数的因数寻找规律；对于存在困难的学生，则提供更直观的图示（如矩形阵列模型）或退回更简单的数字实例进行再建构，确保每位学生都能在各自的“最近发展区”获得发展。

二、教学目标

在知识层面，学生能够准确陈述因数与倍数的定义，理解二者基于整数除法（整除）的依存关系，并能运用概念正确判断与表述两个非零自然数之间的因数、倍数关系，初步掌握有序寻找一个数的全部因数的方法。

在能力层面，学生经历从具体算例中观察、比较、抽象和归纳出数学概念的全过程，提升数学抽象与概括能力；在小组合作探究与交流中，锻炼有条理、有依据地表达数学思考的语言能力与协作能力。

在情感态度与价值观层面，学生通过参与概念建构过程，体验数学发现的乐趣，感受数学概念的内在严谨与和谐之美；在小组互助学习中，培养乐于分享、尊重他人观点的合作精神。

在科学（数学）思维层面，本节课重点发展学生的模型思维与关系思维。引导学生从纷繁的具体现象（除法算式）中剥离非本质属性，抽取出“整除关系”这一核心模型，并以此为基础构建两个概念的网络，理解概念间的相互定义与转化。

在评价与元认知层面，引导学生初步建立“举例验证”的数学检验意识，能对自己或同伴关于因数、倍数的判断进行举例说明或反驳；在课堂小结环节，鼓励学生反思概念学习的路径——“我们从哪里（旧知）出发，经历了怎样的思考过程，最终到达了哪里（新知）”，提升学习过程的元认知监控能力。

三、教学重点与难点

教学重点在于引导学生基于整数除法中的“整除”关系，理解并掌握因数与倍数的概念，以及两者之间相互依存的关系。其确立依据源自课程标准的“内容要求”与学业评价导向：因数与倍数是整个“数的认识”拓展部分的核心大概念，是后续学习约分、通分、分数运算等知识的逻辑前提。在学业水平考查中，直接运用概念进行判断与表述是基础高频考点，而能否清晰理解这种关系，直接决定了学生后续知识网络建构的稳固性。

教学难点主要有两方面：一是因数与倍数概念的抽象性。学生需要从具体的除法算式中，剥离“商是整数且没有余数”这一共性，并用数学语言概括出两个数的抽象关系，这对学生的抽象概括能力提出了挑战。二是概念之间的相互依存性。学生习惯于单向思维（如A是B的因数），难以立刻适应“A是B的因数，那么B就是A的倍数”这种可逆的、成对的表述方式。难点预设基于对学生认知特点的分析：该年龄段学生的思维对具体实例依赖较强，且辩证思维尚在发展中。突破方向在于提供足量、有结构的实例供学生操作感知，并通过对比分析、语言互译（数学语言与生活化语言）等活动，搭建从具体到抽象的思维阶梯。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（内含动态分类、概念生成动画）；实物投影仪；印有不同除法算式的磁贴或卡片。

1.2学习材料：设计分层学习任务单（含前测、探究记录、分层练习）；为部分学生准备画有方格图的纸张，用于直观理解因数（拼摆矩形）。

2.学生准备

2.1预习任务：回顾整数除法的意义，尝试用除法算式表示“12个苹果平均分”的不同情况。

2.2常规物品：练习本、笔。

3.环境布置

3.1座位安排：采用四人异质小组围坐式，便于合作探究与交流。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激活，聚焦关系：“同学们，我们之前和数字交朋友，常常是一个一个地去认识它们。今天，我们要换一种眼光，来看看两个数字之间，可能会藏着怎样有趣的‘亲属关系’。请大家看这几个算式（课件出示：12÷2=6，12÷3=4，12÷5=2……2，12÷6=2）。如果让你给这些算式分分类，你会怎么分？理由是什么？”

1.1提出问题，明确路径：预计学生能按“除得尽”和“除不尽”或“没有余数”和“有余数”进行分类。教师肯定分类标准，并聚焦到“除得尽”（即整除）的这一类算式。“像12÷2=6这样，被除数、除数和商都是整数，且没有余数的情况，在数学上我们说它们之间存在一种特殊的‘关系’。这节课，我们就一起来揭示这种关系的名字，并学会如何描述它。我们将从这些具体的例子出发，通过观察和发现，给这种关系起名、定义，最后还要学会运用。”

第二、新授环节

###任务一：从“整除”现象中抽象关系

教师活动：首先，引导学生聚焦黑板上或课件上“整除”类的算式（如12÷2=6，12÷3=4，20÷4=5等）。提出引导性问题链：“请仔细观察这些算式，它们最共同的特点是什么？（商是整数无余数）”“如果我用字母a表示被除数，b表示除数，c表示商，这个共同特点可以怎么写？（a÷b=c，且a、b、c都是整数）在数学上，这叫‘整除’。”然后，教师指着12÷2=6说：“因为12能被2整除，我们就说，2和6与12有了一种新的关系。2和6是12的‘因数’，反过来，12是2和6的‘倍数’。”随即板书核心表述。接着，让学生模仿这种表述，说说12÷3=4中谁是谁的因数，谁是谁的倍数。“来，同桌之间互相考一考，根据黑板上的算式，说说因数倍数关系。”

学生活动：观察教师提供的整除算式，口答其共同特征。聆听教师对“整除”的归纳及字母表示。跟随教师的示范，理解第一个算式中因数与倍数的表述。尝试模仿表述第二个算式中的关系。与同桌进行互动练习，互相提问和纠正。

即时评价标准：1.能否准确识别“整除”算式。2.能否在教师示范后，正确模仿说出指定算式中因数与倍数的关系。3.同桌互练时，表达是否清晰，倾听是否认真。

形成知识、思维、方法清单：★1.整除是前提：必须在整数除法中，商是整数且没有余数，才能谈论因数与倍数关系。这是整个概念体系的基石，要反复强调。“就像两个人必须先建立联系，才能论亲戚关系一样。”★2.概念的初次定义：在整数除法中，如果被除数能被除数整除，那么除数（和商）就是被除数的因数，被除数就是除数（和商）的倍数。这是一个成对出现的概念。

###任务二：辨析理解，强化相互依存性

教师活动：提出关键辨析问题：“根据12÷2=6，我们说‘2是12的因数’，那么，能单独说‘2是因数’吗？能单独说‘12是倍数’吗？为什么？”组织小组讨论。巡视倾听，捕捉典型观点。请小组代表发言，引导全班辨析。总结强调：“因数与倍数就像‘父子’关系，必须指明是谁的因数，谁的倍数，不能单独存在。”随后进行针对性练习：判断“因为15÷5=3，所以15是倍数，5是因数”的说法是否正确，并改正。

学生活动：围绕教师提出的问题进行小组讨论，尝试用举例子的方式说明自己的观点。参与全班分享与辩论。通过改错练习，加深对概念相互依存性的理解。

即时评价标准：1.讨论时能否举出例子支撑观点。2.能否清晰表达“不能单独说”的理由。3.改错练习的正确率与表述的完整性。

形成知识、思维、方法清单：★3.相互依存关系：因数和倍数是两个相互依存的概念，必须说清楚“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。这是本课的核心难点，需要通过反复辨析和改错来强化。“记住啦，它们总是‘手拉手’出现的。”▲4.思维误区预警：单独说“因数”或“倍数”是没有意义的，这是初学时最易犯的错误之一。教师需明确指出并反复敲打。

###任务三：拓展表述，建立乘法模型链接

教师活动：引导学生思考：“除了用除法算式12÷2=6能说明2是12的因数，还能用别的算式说明吗？”启发学生想到乘法算式2×6=12。“非常棒！这说明，因数与倍数的关系，既可以从除法角度看，也可以从乘法角度看。”板书：2×6=12，同样可以说2和6是12的因数，12是2和6的倍数。然后出示：根据4×5=20，让学生用两种方式（乘法和除法）表述因数倍数关系。“看，一道乘法算式，其实就‘藏’着一个整除关系呢！大家找找看。”

学生活动：思考并回答用乘法算式表示因数倍数关系的可能性。在教师引导下，建立乘法模型与除法模型的等价联系。完成将乘法算式转化为两种表述的练习。

即时评价标准：1.能否建立乘除法模型之间的联系。2.能否灵活运用两种模型进行正确表述。

形成知识、思维、方法清单：★5.模型的等价性：如果a×b=c（a、b、c均为非零自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。这拓展了寻找和验证因数倍数关系的途径，也为后续学习奠定了基础。“多一个角度看问题，我们的理解就更牢固了。”

###任务四：探究“找一个数的因数”

教师活动：提出探究任务：“我们已经知道了因数的含义，那怎样才能把某个数（比如18）所有的因数一个不漏地找出来呢？请大家以小组为单位，试着找一找18的所有因数，看哪个小组找得又全又有序。”提供探究提示：可以从乘法（哪两个整数相乘得18）或除法（18除以哪些整数商是整数且无余数）两种思路入手。巡视指导，特别关注学生寻找的顺序和完整性。请方法典型的小组上台分享。

学生活动：小组合作探究寻找18的所有因数。尝试不同的寻找方法，并记录过程。参与小组间的方法分享与交流，比较哪种方法更有序、不易遗漏。

即时评价标准：1.小组合作是否有效，人人参与。2.寻找的方法是否清晰（特别是是否有序思考，如从1开始试）。3.结果是否完整无遗漏。

形成知识、思维、方法清单：★6.找一个数的因数的方法：通常用除法或乘法，一对一对地找。从1开始试除，直到出现重复。★7.因数的表示：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。可以用列举法（花括号）或图示法有序表示。“找因数就像‘配对’，从1开始找它的‘伙伴’，找到中间就差不多完成了。”

###任务五：尝试“找一个数的倍数”

教师活动：承接上一个任务：“我们找到了18的因数，那18的倍数呢？你能找出几个？”让学生尝试说几个。学生会发现可以说出很多（18，36，54…）。提问引导：“18的倍数有多少个？最小的倍数是哪个？有没有最大的倍数？”让学生通过观察自己发现的例子进行归纳。对比因数和倍数的特点，完成初步的异同比较表格（借助板书）。

学生活动：尝试说出18的几个倍数。观察这些倍数的特点，思考并回答教师关于个数、最小倍数、最大倍数的提问。与因数特点进行对比，形成结构化认知。

即时评价标准：1.能否正确写出指定数的几个倍数。2.能否通过观察归纳出倍数个数的无限性及最小倍数的特点。

形成知识、思维、方法清单：★8.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘1、2、3……★9.倍数的特点：一个数的倍数有无数个，最小的是它本身，没有最大的倍数。★10.因数与倍数的对比：从意义、寻找方法、个数、最大/最小方面进行对比，形成清晰的认知结构。“因数是‘找来找去就这些’，倍数是‘说也说不完’，多鲜明的对比呀！”

第三、当堂巩固训练

基础层（全员参与）：1.说一说。根据算式，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数。①28÷7=4②8×9=72。2.判断。①因为3.6÷0.9=4，所以3.6是0.9的倍数。()②15既是15的因数，又是15的倍数。()

综合层（多数学生挑战）：3.请写出24的所有因数。4.请写出5的倍数（至少5个）。5.一个数的最大因数是16，这个数是多少？它的最小倍数是多少？

挑战层（学有余力）：6.探究：一个数既是36的因数，又是4的倍数，这个数可能是多少？请写出所有可能。

反馈机制：基础层练习采用全班齐答或手势判断，快速反馈。综合层练习由学生独立完成，教师投影展示不同学生的解题过程（尤其是找因数是否有序），引导互评。挑战层作为思考题，请完成的学生分享思路，突出有序思考与筛选策略。

第四、课堂小结

“同学们，这节课我们携手探索了数字王国里一对有趣的‘亲属’——因数与倍数。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，我们是怎样认识它们的？（从整除算式出发…）它们最特别的地方是什么？（相互依存）找因数和找倍数的方法有什么不同？”引导学生用自己的话进行梳理。鼓励学生尝试画出简单的思维导图（中心词：因数与倍数，延伸出定义、关系、找法、特点等分支）。

作业布置：必做（基础性作业）：1.阅读课本，熟记概念。2.完成练习二中关于概念判断与简单寻找的题目。选做（拓展性作业）：1.仿照课本“你知道吗？”查找关于完全数的趣闻，并验证6和28是不是完全数。2.挑战：找出1-20各数的所有因数，观察因数的个数有什么规律吗？（为下节课质数、合数做铺垫）“下课！”

六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.概念巩固：根据算式（如30÷5=6，7×8=56），规范书写因数与倍数关系的表述5组。

2.判断辨析：完成5道关于因数倍数概念易错点的判断题，并简要说明理由。

3.基本技能：写出指定数（如16，9）的所有因数；写出指定数（如7，10）的5个倍数。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

1.情境应用：王老师要将36本练习本平均分给小朋友，要求每人分到的本数大于1且小于10，可以怎样分？请列出所有可能。（此题综合运用找因数的知识）

2.规律初探：观察你自己在基础性作业第3题中写出的各数的因数，你发现一个数的因数有什么共同特点吗？（最小是？最大是？）

探究性/创造性作业（选做）：

1.数学文化：“完美”的数字。查找资料，了解什么是“完全数”。验证6和28是否是完全数，并尝试找出第三个完全数（提示：在500以内）。

2.挑战编程思维（可与信息技术结合）：如果你会用图形化编程（如Scratch），尝试设计一个小程序，输入一个数字，能输出这个数字的所有因数。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么除数（和商）是被除数的因数，被除数是除数（和商）的倍数。也可由乘法定义：如果a×b=c（a,b,c为非零自然数），则a、b是c的因数，c是a、b的倍数。（考点：根据乘除法算式进行表述）

★2.研究的范围：我们所说的因数与倍数，一般指非零自然数。（小学阶段）（易错点：小数、分数除法不算在内）

★3.概念的相互依存性：因数和倍数不能独立存在，必须说清“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。单独说“某个数是因数或倍数”是错误的。（高频易错判断题考点）

★4.找一个数的因数：

*方法：用除法或乘法，从1开始一对一对地找。

*表示：通常用列举法，按从小到大顺序写在大括号内。

*特点：一个数的因数是有限的；最小因数是1；最大因数是它本身。（考点：找全因数、判断因数的个数与特征）

★5.找一个数的倍数：

*方法：用这个数依次乘1、2、3……

*表示：通常列举几个，或用“……”表示无限。

*特点：一个数的倍数是无限的；最小倍数是它本身；没有最大倍数。（考点：写出指定个数的倍数、判断最小倍数）

★6.因数与倍数的关系对比：这是结构化知识的核心。可从“意义”、“个数”、“最大/最小”几个维度制作对比表格进行记忆。（有助于形成知识网络）

▲7.完全数：一个数所有小于它本身的因数之和等于它本身，这个数就叫完全数。如6（1+2+3=6）。这是一个有趣的拓展点，能激发数学兴趣。

▲8.因数个数与形状：用给定数量的小正方形拼长方形，长方形的种数等于这个数量（作为面积）的因数对数。这是数形结合理解因数的好方法。

▲9.整除符号：为后续学习铺垫，可简单介绍“b|a”表示“b整除a”或“a能被b整除”，即a÷b的商是整数。

八、教学反思

（一）目标达成度评估

从预设的“前测”（算式分类）和“后测”（巩固训练）反馈来看，绝大多数学生能准确识别整除关系，并据此正确表述两个数之间的因数、倍数关系，表明知识目标基本达成。在“找一个数的因数”活动中，超过80%的小组能通过合作，采用有序思考（从1开始试除）的方法找全18的因数，能力目标得到有效落实。学生在小组分享时表现出较高的热情，特别是在辨析“能否单独说因数”时，展开了激烈而有益的争论，情感与思维目标可见一斑。

（二）核心环节有效性分析

1.导入与概念抽象环节（任务一、二）：从算式分类切入，路径清晰，能快速唤醒学生的除法旧知，并聚焦到“整除”这一核心属性。但在抽象出定义时，部分中下水平学生呈现出“跟说”状态，而非真正理解。反思此处，应在教师示范后，增加更多“生活化类比”的支撑，如“就像我们不能只说‘我是儿子’，必须说‘我是妈妈的儿子’一样”，让抽象概念更可感。

2.探究与建构环节（任务四、五）：“找因数”的探究任务设计是成功的，它制造了认知冲突（如何找全？），驱动了合作与有序思考。但小组合作效率差异较大。有的组迅速分工（一个用乘法想，一个用除法算），有的组则无序尝试。下次需在任务单上提供更明确的“方法提示卡”作为脚手架，并加强小组合作方法的课前培训。

3.差异化支持：为理解困难学生准备的“方格纸”（拼长方形找因数）在巡视中被个别使用，效果良好，应鼓励更多学生尝试这一直观方法。对于提前找完因数倍数的学生，引导他们观察“因数的个数有什么不同？”有效衔接了下节课内容，但挑战题（任务六）的参与面可以更广，可在分享环节让这些学生当“小老师”讲解。

（三）学生表现深度剖析

课堂中，学生表现出明显的思维分层：抽象思维型学生能迅速跨越实例，理解相互依存关系，并乐于挑战规律探究；具象思维型学生依赖大量例子，在“相互依存”理解上需要更多时间，但他们在“找因数”的动手操作中表现积极；机械记忆型学生则倾向于背诵定义和步骤，在变式判断（如涉及小数）时容易出错。这启示我，概念教学必须提供从“具体操作”到“符号抽象”的完整阶梯，并设计针对不同思维类型的评价任务。

（四）教学策略的得失与理论归因

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