2026届湖南长沙麓山国际高三4月学情检测数学试题含答案

高中素的个数为()3．抛物线yx2的焦点坐标为()4．若方程sinx在x上有两个不同的实根，则a的取值范围是()_1,1_3D．_1,1_35．已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足===1，则向量+在向量上的投影向量是()A．_EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(r),c)B．2C．或_2D．_EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(r),c)或26、已知点A，B为圆(x_6)2+y2=16上两点，AB=43，点P为线段AB的中点，点Q为直线x_·3y+4=0上的动点，则PQ的最小值为()7．设f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x≤3时，f(x)=log2(x_2)，则f()8．若asina_bsinb=b2_a2_1，则()9．赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，长沙市开展双拥百日宣传活动.我校向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位:分）近似服从正态分布N75,σ2)，且及格率为80%，则下列说法正确的是()A．随机取1篇征文，则评分在[60,90)内的概率为0.6B．已知优秀率为20%，则m=90D．σ越小，评分在(70,80)的概率越大10、如图，正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为1,E是棱CD上的动点（含端点则()A．三棱锥A1_AB1E的体积为定值1C．二面角E_A1B1_A的平面角的大小为π4D．存在某个点E，使直线A1E与平面ABCD所成角为11、已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，coscosBcosC则下列说法正确的是()3312．已知等差数列{an}的公差d≠0，若a2，a5，a9构成等比数列，则13．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，直线PF1的斜14、甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片(舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况共有种.EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn，求数列{bn}的前n项和Tn．16、甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．(1)求证：A1C；(2)求直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值；BDBC1(3)在线段BC1上是否存在点D，使A1B丄平面ACD？若存在，求出BC1请说明理由．18．已知函数fax2_x+lnx(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当a<0时，f(x)≤b__ln(_a)__a恒成立，求实数b的最小值．19．已知椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，点M(x0,y0)(x0≠0)在椭圆E上，直线x0x+2y0y_4=0与直线y=2，y=_2分别交于点A，B．设△OAM与OBM的面积分别为S1,S2，比较的大小．

故选：B.4．【答案】C【详解】在同一坐标系中作出函数y=sinx,x的图象与y的图象，易知，当即_1<a≤1_3时，两图象有两个不同的交点，即方程sinx在x上有两个不同的实根．故选：C5．【答案】D【详解】当三个平面向量两两夹角都为0时，显然+在上的投影向量是2.2=16的圆心坐标为C(6,0)，半径R=4，因为点P为线段AB的中点，AB=43，则CP所以点P的轨迹是以C(6,0)为圆心，半径为r=2的圆，点Q在直线x_3y+4=0上，可得圆心C(6,0)到直线x_3y+4=0的距离d，所以PQ的最小值为d_r=5_2=3.故选：A7．【答案】B【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(_x)=_f(x)，所以f，又f(x)周期为2，故f(x+2)=f(x)，所以f，又2<≤3，所以floglog所以f所以f8．【答案】D【详解】令f(x)=xsinx+x2，f(_x)=_xsin(_x)+(_x)2=xsinx+x2=f(x)，:f(x)是偶函数，令g(x)=sinx+x，则g,(x)=cosx+1≥0，:g当x≥0时，g(x)≥g(0)=0，此时f,(x)≥0，:f(x)在(0,+∞)单调递增，f(x)是偶函数，由asina-bsinb=b2-a2-1可得asina+a2=bsinb+b2-1，即f(a)=f(b)-1，:f(a)<f(b)，f(x)是偶函数，则f(a)<f(b)，:a<b.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.对于C，因为X=75是该正态分布图象的对称轴，所以P(X≥75)=0.5，不会随σ的变化而变化，故C错误；对于D，由σ对正态分布图象的影响可知，σ越小，图象越“瘦高”，因此在区间(70,80)对应图象的面积变大，所以评分在(70,80)的概率越大，故D正确；故选：ABD.10、【答案】ABC【详解】对于选项A：三棱锥A1-AB1E转化为三棱锥E-AA1B1的底面积为定值，因为平面AA1B1B//平面DCC1D1，所以E到平面AA1B1B高不变，体积为定值，故选项A正确；对于选项B：则设直线A1E与平面ABCD所成角则sin4这时直线4这时直线A1E与平面ABCD所成角θ最大值为m.p=m.p=m.p 所以二面角E-A1B1-A的大小为π,故选项C正确.故选：ABC.4所以cosA=cosBcosC，所以cos(π-B-C)=cosBcosC，所以-cos(B+C)=cosBcosC，所以-cosBcosC+sinBsinC=cosBcosC，所以sinBsinC=2cosBcosC，所以tanBtanC=2，故A正确；因为tanBtanC=2，所以tanB,tanC同号，2ππ3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.88EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(2),5)【分析】由题意可知tanLP设PF1=mPF1=2a，消去m得5a2=9c2，可求椭圆离心率.又LF1PF2=90a，消去m得5a2=9c2，即所以椭圆的离心率e故答案为：14、【答案】216【详解】甲出卡片的种数一共有AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(4),4)=24种，同理，乙出卡片的种数也一共有AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(4),4)=24种.不妨设甲出牌的数字依次为1，2，3，4，若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，则乙每轮所出数字有以下三种情况：①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同，不妨设乙第一轮所出数字为1，那么后面三轮所出卡片数字均不能相同，有1，3，4，2和1，4，2，3两种情况，则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),4)x2=8种情况；②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同，不妨设乙第一、二轮所出数字为1，2，那么后面两轮所出卡片数字均不能相同，有1，2，4，3一种情况，则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有CEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),4)x1=6种情况；③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同，则乙每轮所出数字只有1，2，3，4一种情况.故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有8+6+1=15种，所以当甲出牌的数字依次为1，2，3，4，甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24__15=9种.故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24×9=216种.故答案为：216.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．nEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)*，当n≥2时，2Sn-1=aEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),n)-1+an-1，则2Sn-2Sn-1=(aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)+an)-(aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)-1+an-1)，即2an=aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)+an-aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)-1-a所以aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)-aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),n)-1=an+an-1，即(an+an由数列{an}为正项数列，所以an+an-1>0，从而有an-an-1=1，n≥2，所以数列{an}是以a1=1为首项，1为公差的等 从而16、【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C，所以甲学校获得冠军的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)（2）依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，即X的分布列为X02030P0.160.440.340.06连接AC1交A1C于E，∵三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，:AA1丄平面ABC，AB丄AC，AC∩AA1=A，AC，AA1c平面ACC1A1.:AB丄平面ACC1A1，:A1C丄平面ABC1.BC1c平面ABC1，:A1C丄BC1.以A为原点AA1分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系.:cos1,直线BC1与平面A1BC所成角的正弦值为.（3）存在，理由如下：设=λ1=(_λ,2λ,2λ)(0≤λ≤1)，则D(1_λ,f(x)=x2_3x+lnx，求导得f,则f,(1)=0，而f(1)=_2，所以所求切线方程为y=_2.（2）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f,=ax_当a≤0时，由f,(x)>0，得0<x<1；由f,(x)<0，得x>1，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减；当0<a<1时，由f,(x)>0，得0<x<a函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；当a=1时，f,(x)≥0恒成立，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；a函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以当a≤0时，函数f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+∞)；当0<a<1时，函数f(x)的递增区间为上单调递增，递减区间为(1,)；当a=1时，函数f(x)的递增区间为(0,+∞)；当a>1时，函数f(x)的递增区间为(0,1),(1,+∞)，递减区间为(1,1).a（3）由（2）知当a<0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则fmax=f依题意，b__ln_a即b≥ln(_a)__1+恒成立，令函数g=ln求导得g,当a<_2时，g,(a)>0，当_2<a<0时，g,(a)<0，函数g