考研数学一（线性代数）模拟试卷64

考研数学一(线性代数)模拟试卷64

一、选择题(本题共78题，每题1.0分，共78分。)

1、设有向量组ai=(Lci>0),，a2=(l,0,C2,3),，as=(0,0,C3,5)T,

04=(bo,0,8)T,则下列结论正确的是()

A、ai,a2>。3,04必线性相关.

B、a],(X2，€13，04必线性无关.

C、(12，03，04必线性相关.

D、ai，g,a3必线性无关.

标准答案：D

知识点解析：若C正确，即。2,小，04线性相关，则ai，a2,a3,04线性相关，

即A正确，排除C.若B正确,即ai，a?,03,04线性无关，则ai，a?,(13线性

无关，即D正确，排除B.若A正确，则C、D门：能正确，排除A.故应选D.

2、若方阵A,B,C满足AB=CB,则必有()

A、A=C.

1_1

B、若A,B,C都可逆，则SKT,

C、B=0.

D、IBI=0.

标准答案：B

知识点解析：若A,B,C都可逆，则|AI翔，IBI#),ICI翔，由AB=CB

得IABI=ICBI,即IAIIBI=ICIIBI,故IAI=ICI,即

1_1

TAT'TCT-

3、设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，则下列矩阵中可用正交变换化为

对角矩阵的是()

A、BAB.

B、ABA.

C、(AB)2.

D、AB2.

标准答案：A

知识点解析：因为可以用正交变换化为对角形的矩阵必为对称阵，依题意有

AT=A,BT=-B,故只有选项A中(BAB)T=BTATBT=(-B)A(-B尸BAB,即只有矩阵

BAB为对称矩阵.

4、设ai，。2，的是3维向量空间R'中的一组基，则由基。2,as，。1+。3至U基

(B)001

111

|_22

o1r

(D)1-10.

001.

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析:设(a2+a2,。3，«2-ai)=(a2，ai-a2,ai+a3)C,则(ai,ai»as)

10-r

101

.010」=(a],a2，a3)由于a”。2，②是R'中的一组基，故(a]，(12，013)

可逆，则

TTT

5、设有向量组囚=(1,1,0),a2=(h2,-1,0),a3=(0,1,1,1),

04=(2,2,1,1)T,则以下命题正确的是()

A、ai线性相关.

B、ai，a2线性相关.

C、囚，(12，(13线性相关.

D、ai，s，013,04线性相关.

标准答案：D

知识点解析：因ai#),故排除A,又⑴，(12对应分量不成比例，故排除B,选项

C、D都可能对，但此题是单选，若C成立，则D也成立，故排除C.而事实

上，因为Ia】，(12，。3，04I

314

=—21-1

011

所以ai，。2,

Ct3，04线性相关，所以选择D.

6、设A是3阶矩阵，仇，例，。3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组

AX=0的解,记B=(仇，次，AX且满足R(AB)VR(A),R(AB)<R(B).则R(AB)

等于()

A、0.

B、1.

C、2.

D、3.

标准答案：B

知识点解析：仇不是AX=0的解,即AB#),R(AB)>1.又R(AB)VR(A),则矩阵

B不可逆.因为假设矩阵B可逆,则R(AB尸R(A),这和R(AB)VR(A)矛盾.所以

R(B)<2,从而R(AB)VR(B)S2,即R(AB闫,从而有R(AB)=1.

7、设矩阵A=(cq,。2,…，斯)经过若干次初等行变换后变成了矩阵B=(Bi，

。2，…，仇)，则在A,B中()

A、对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性.

B、对应的任何部分列向量组不一定具有相同的线性相关性.

C、对应的k阶子式或同时为零或同时不为零.

D、对应的齐次线性方程组AX=0,BX=0是同解方程组.

标准答案：D

知识点解析：因A经过若干次初等行变换变成B,所以存在可逆矩阵P,使得

B=PA.若AX=0,则PAX=0,即.BX=0；反之，若BX=0,则PAX=0,式子两

边同时左乘P/，得AX=O.所以由A,B组成的方程组AX=0与BX=0同解.故选

D.

8、设矩阵Amxn经过若干次初等行变换后得到B,以下4个结论中正确的是()

①A的行向量组均可由B的行向量组线性表示；②A的列向量组均可由B的列向

量组线性表示；③B的行向量组均可由A的行向量组线性表不；④B的列向量组

均可由A的列向量组线性表示.

A、①、②.

B、③、©.

C、②、

D、①、(5).

标准答案：D

知识点解析：由题设，A经初等行变换得到B,知有初等矩阵Pi，P2,…，Ps，使

得Ps.….P2P|A=B.记P=PS.….P2P1，则P=(Pij)mxm是可逆矩阵，将A,B均按行向

1

P\2Piea】A

P21Pn…Pima2同

=B=9

PA=*••

*•*••

*•■•*

量分块，有-P»n\P-2…pi4.这表明

Piiai+pi2a2+...+pimam=pi(i=l»2,…，m),故B的行向量组均可由A的行向量组

线性表示；因P=(pij)mxm是可逆矩阵，所以两边同乘F

A的行向量组均可由B的行向量组线性表示.所以选D.

9、设有任意两个n维向量组四，…，am和伙，…，氏]，若存在两组不全为零的

九1，…，九m和k]，k2，…，km，使(入l+k[)ai+…+(入m+km)(Xm+(入l-k])(3]+…+(九nr

km)0m=0,则()

A、⑴，…，am和Bi，…，Pm都线性相关.

B、ai，an]和。|，…，都线性无关.

C、a]+。],…，Ctm+Pm,Cti~Pj»...»CtrrrPm线性无关.

D、a[+Pi，…，Ctm+Bm，(X|-^1>...»Ctm-Bm线性相关.

标准答案：D

知识点解析：本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组y,

丫2，…，丫$线性无美，即若Xiyi+x2y2I…Ix$Ys=O,必有X|=O,X2=O,

XS=O.X|,...»入m与k|,…，km不全为零，由此推不出某向量组线性无关，故应

排除B、C.一般情况下,对于kiai+k2a2+…+ks(is+l的+…+kps=0,不能保证必

有k]ai+k2<X2+…+ks(Xs=0及1甲1+…+卜氏=0,故A不正确.由已知条件，有

入1(囚+。1)+…+Xm(am+Bm)+ki(a[-|3[)+…+km(am-Bm)=O,乂入1，…，入m与k[,…，

km不全为零，故ai+仇，…，am+pm»ai-pi，...»anrpm线性相关.故选D.

10、要使言=(1，0,2)T,42=(0，I，-1)T都是齐次线性方程组AX=0的解，只要系

数矩阵为()

01-r

r20-1-

(AX-2,1,1).(B)(D)4—2—2

L011.

.011.

A、

B、

c、

D、

标准答案：A

知识点解析：E，1对应的分量不成比例，所以E，匕2是AX=O的两个线性无关的

解，故n-R（A巨2.由n=3知R（A）W1.再看A选项，矩阵的秩为1；B和C选项，

矩阵的秩为2；D选项，矩阵的秩为3.故本题选A.

II、设A为mxn矩阵，则与线性方程组AX二b同解的方程组是（）

A、当m=n时，ATX=b.

B、QAX=Qb,Q为初等矩阵.

C、R（A）=R（A,b）=i'时，由AX=b的前r个方程所构成的方程组.

D、R（A）=R（A,b）=i•时，由AX=b的任1•个方程所构成的方程组.

标准答案：B

知识点解析：因Q为初等矩阵，故左乘Q等于对矩阵进行初等行变换，所得方程

组与原方程组同解.若两个非齐次方程组同解，则两个方程组的系数矩阵秩相同，

但反之不成立，所以排除A、C、D.

12、设n元齐次线性方程组的一个基础解系为中，”，中，中，则下列向量组中仍

为该齐次线性方程组的基础解系的是（）

A、T|2-r|3，I13F4，r|4-ni.

m+r|2，碓十巾，巾+鹏，n4+ni-

c、ni+m，川+俨小，川+单+阴+仰

D、1]1+42，碓+可3，m-“4，T14-ni.

标准答篥：c

知识点露析：显然题设中的n元齐次线性方程组的基础解系含4个线性无关的解向

量，只需验证各选项中的4个向量是否线性无关，且是否是已知方程组的解.设

kim+k2（ni+n2）+k3（ni+n2+n3）+k4（ni+mW3+n4）=o,即

（ki+k2+k3+k4）ni+（k2+k3+k4）n2+（k3+k4）r|3+k4n4=0.由中，D3，r|4线性无关知

居+扁+=0♦

1+扁+A=o,

用+M=0,

居=°ki=k2=k3=k4=0,所以C中4个向量线性无关.故C

仍为已知齐次线性方程组的基础解系.

13、设A为mxn矩阵，对于齐次线性方程组.（I）AX=O和（H）ATAX=O,必有（）

A、（I）的解是（II）的解，（II）的解也是（I）的解.

B、（I）的解是（口）的解：但（II）的解不是（I）的解.

c、（口）的解是（I）的解，但（I）的解不是（n）的解.

D、（I）的解不是（II）的解，（口）的解也不是（I）的解.

标准答案：A

知识点解析：设a是AX=O的解，即Aa=O,则ATAa=O,即（I）的解是（H）的

解.设p是ATAX=O的解，则ATAB=O.两边左乘得至ijBTATA0=BTO=O,整

理可得（AP）TA°=O,从而得到Ap=O,即（口）的解是（I）的解.

14、则（）

A、

B、x=0,y=3.

C^x=-3»y=0.

D、x=3,y=0.

标准答案：A

知识点解析：因矩阵A和矩阵b相似，故IAI=IBI,即

200200

001=034

01」

°一2y故_2=2(3y+8),解得y=-3,因矩阵A和矩阵B相似,

故tr(A)-tr(B),即2+0+K-2+3+G3),解得x-0.所以选择A.

15、A是3阶方阵，有特征值1,・2,4,则下列矩阵中满秩的是（）（其中E为3阶

单位矩阵）

A、E-A.

B、A+2E.

C、2E-A.

D、A-4E.

标准答案：C

知识点露析：（排除法）要使方阵满秩，则其行列式必须不等于0,因A的特征值为

1,-2,4,故IE-AI=0,I-2E-AI=（-1）3IA+2EI=0,I4E-AI=-IA-4EI

=0,则E・A,A+2E,A.4E都是不满秩矩阵，故可排除A、B、D.

16、设A是3阶对称矩阵，ai（i=l,2,3）是A的线性无关的特征向量，且满足

Aai=i2ai(i=l,2,3),则A合同于()

■2■

(D)4

.6.

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：本题：考查特征值、特征向量的定义，在表达式Aai=i2ai中，i?是矩

阵A的特征值，3是A的属于i2的特征向量，所以当i=l有人四=r四，所以1是

特征值，以此类推，i=2,有Aa2=22（x2，i=3,有Aa3=3%3，所以4,9也分别是A

的特征值，故选择A.

17、n阶实对称矩阵A正定的充要条件是（）

A、IAI>0.

B、A的所有特征值非负.

C、A”为正定矩阵.

D、R（A）=n.

标准答案：C

知识点解析：A、B、D是必要但非充分条件，只有C为正确选项.事实上，设A

・・・

的特征值为M，后，…，入n，则A」的特征值L为L猫’,'L，因为A」正定，1九

>0,从而左>0（i=l,2,…，n）,即A是正定矩阵.

18、设A是n阶实对称阵，秩为r,A对应的二次型厂的符号差为s,则必有（）

A、r是奇数，s是偶数.

B、r是偶数，s是奇数.

C、r,s均为偶数，不能是奇数.

D、r,s或均是偶数，或均是奇数.

标准答案：D

知识点解析：设p,q分别为f的正负惯性指数,r=p+q,s=p-q,故r+s=2p,从而

r,s或均是偶数，或均是奇数.故选D.

二、填空题（本题共9题，每题L0分，共9分。）

111♦••1

120•••0

103•••0

■*■

**•■*

100•••n

19、计算n阶行列式:Dn=

标准答案：'j-2Jr

1

知识点解析：将第j列元素的(j=2,3,…，n)倍加到第1列，得

111

卜2J

0200=〃!(一£/,

“=

0030

o00n

rl111

121

20、设矩阵A=L113JA*为A的伴随矩阵，则A*(l,1,1)T+A*(1,2,

1)T+A*(1,1,3)T=.

标准答案：(2,2,2)T

知识点解析：因为A*A二|A|IE,IAI=2,将矩阵A进行列分块A=(ai，丝,

T*T***

,I)+A(1,1,3)=Aai+AQ2+A(13=

,且AB=O,则1=

标准答案：-3

知识点解析：因B为3阶非零矩阵，又AB=0,故B的列向量为方程组AX=0的解

且为非零解，故|AI=0,解得1=3.

22>设ai=(L1,1),(12=(1，2,3),03=(1,3,t),当时,ai，Q2»(X3线性

无关.

标准答案：¥5

。3线性无关，故

1

2WO=>/#5.

-5

121-xirr

23a+2x2=3

23、已知方程组U"-2..4」,」无解，则a=

标准答案：-1

421jr■121j1■

A=23。十2：3—►0-ia1.

知识点解析：.1a-2i0_00(Q—3)(a+l)：a—3.当

a=・l时,R(A)=3#R(A)=2,此时方程组无解.

24、已知四元非齐次方程组AX=b,R(A)=3,ai，a2,013是它的三个解向量，且

TT

ai+a2=(l,h0,2),ot2+a3=(l,0,I,3),则AX=b的通解是______.

1

标准答案：X=k(0,1,-1,-l)T+2(i,1,0,2)T

A(矶士a)一.则如+02

知识点解析：因Aa产b,Aa2=b,故'2'2是方程组AX=b的

特解，又R(A)=3,n=4,故齐次方程组AX=0的基础解系只含一个解向量，由

ai，ct3是AX=b的解知ai<3为齐次方程组AX=0的解，而a]g=(ai+a2)-

(a2+a3)=(0,0,-1,-1)T,故AX=b的通解为X=k(0，1,-1,-1)T+2(1,1,0,

2)二

。[/+6]丁+门£=4,

a?-r4-Az>y+czr=J2,

25、设方程组％]+优y+cz=d3每一个方程都表示一个平面，若系数矩快的

秩为3,则三平面的关系是_________.

标准答案：相交于一点

知识点露析：因R(A尸3,根据方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，此时方程

组有唯一解，所以三平面交于一点.

-3-a3r5a-3'

1