考研数学（数学一）模拟试卷402

考研数学(数学一)模拟试卷402

一、选择题(本题共7题，每题7.0分，共7分。)

1、设f(x)在(-8,+咐上连续，F(x)=J()Xf(l)dt,则下列命题中错误的是()。

A、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数

B、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数

C、若f(x)以T为周期且是偶函数，则F(x)以T为周期且是奇函数

D、若f(x)以T为周期巨是奇函数，则F(x)以T为周期且是偶函数

标准答案：C

知识点解析：［解题思路］利用Hf⑴出的性质判定。解利用Hf⑴出的性质知，

(A)、(B)均正确,而(C)错误。例如，f(x)三1是以T为周期的偶函数，但F(x)=

Jo'Bt=x不是周期函数，但(D)是正确的。我们知道，若f(x)是以T为周期，则其

原函数F(x)=Joxf(t)dt也是以T为周期的充要条件是JoTf(x)dx=O0当f(x)以T为周

「丁，周期函教的「丁〃八

/(x)dx11/(x)d.r=0

期且是奇函数时，有J。积分性质」也，因而F(x)=

foxf(t)dt以T为周期且是偶函数，仅(C)入选。

F(x)=［7-^-7出+［

2、设J。1+1J。1+〃,则()。

A、F(x)=0

B、F(x)=7i/2

C、F(x)=arctanx

D^F(x)=2arctanx

标准答案：B

知识点解析：I解题思路］虽然可直接积分，但不易化成所选的结果，通过变量代换

t=l/u将后一个积分化成反常积分求之。

解仅⑻入选.因「匚市匕幺「一刀〃

Jo1+3t2J21+(1/u)、2/\u2I

=dL厂长市.

Jr14-U72Jz1+*

故F(X)=「出+「8击出=

Jor1+J/J,1+rJro41+t2

=arctanZ=limarctanr=

10-2

3、微分方程y"一y，=e、+l的一个特解具有的形式为（）。

A、Aex+B

B、Axex+B

C、Aex+Bx

D、Axe'+Bx

标准答案：D

知识点解析：|解题思路]视e'+l为两个非齐次项fi（x）=ex,f2（x）=l=e°x,于是

需考察0与1是否为特征方程的根，据此分别写出yj与丫2"的形式。解原方程对

应的齐次方程为y"-y'=0,它的特征方程为「=0,解得n=1,「2=0。对于

非齐次项。乂，因兀=1是特征方程的根，故原方程的特解应为yJ=AxeX。对于非

齐次项l=e0x,入=0也是特征方程的根，原方程特解应为y2*=Bx,故仅（D）成

立。

4、若（XI，012，（X3，pl，都是四维列向量，且四阶行列式I四，（X2，Ct3，PlI=

m,I02，囚，a2,。3I=n,则四阶行列式I。3，。1，P1+P2I等于（）。

A、m+n

B、—（m+n）

C、n-m

D、m-n

标准答案：C

知识点解析：[解题思路]利用行列式性质将所给行列式分解为已知其值的行列式的

代数和。解I。3，a2,aj,P1+P2I=—Iaj,g。3，Bi+02I=—Iai»如

as,piI-Iaj,a2>03>P2I——Iai»。2，P）I+I02，013，I—

-m-I02，eq,a3，a?I=-m+|的，。1，。2，I=-m+n=n-m。仅（C）

入选。

5、设向量组四，a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关向量组是（）。

A^。]+。2，（12+013，a?-ai

ai+a2»012+013,cq+2a2+。3

C>a]+2ci2，2a2+3013,3a3+ai

D、a]+a2+a3，2囚一3a2+22013,3ai+5a2-5as

标准答案：C

知识/解析：[解题思路]用线性无关向量组线性表示的向量组的线性相关性的判定

常用下述矩阵表示法：设向量组（口）：①，…，许能由线性无关向量组（I）：

仇aa

*•■

*=［幻lx.*=K

ai，...»as线性表示为a-或的，…，Prl=

[ai，...»as][gij]sxr=[ahas]G,则向量组（II）线性无关的充要条件是秩（K）=

r(或秩(G)=r)。当r=sG,归结为计算行列式IKI或IGI。如它们不等于0,

则向量组(D)线性无关；如等于零，向量组(H)线性相关。(参阅《考研数学一常考

题型解题方法技巧归纳(第二版)》P31O)解一对于(A),令仇=囚+。2，p2=«2+

10-1

110

。3，饱=。3-01，则[a]+a2，。2+。3，03=。3-011=81，a2，as],011.

10-1

|G1|=110=0,

[ai,a2，a3]Gi»而Oil故向量组ai+a2，«3

一ai线性相关。对于(B),令0i=ot]+a2，02=。2+。3，p3=ai+2a2+a3，则[⑴

1or

112

+a2，a2+a3，ai+2a2+a3]=[ai,a?,aa]LO1U=[ai，a2»as]G2»而

101

|G2|=112=0.

。11故向量组ai+a2，012+013,ai+2a2+013线性相关,对

于(C),令仇=ai+2a2，02=2a2+3ct3，饱=3(13+(1|,则[囚+2。2，2a2+3。3，3«3

1or

220

4-ai]=[ai»a2»a3]LO33」=[囚，a2，a3]G3»而

1G1

IGI=220=12工0,

°33故向量组cq+2a2，2(12+3(13，3013+a]线性相

关。对于(D),令m=3+012+(13,%=2四一3a2+22013,p3=3ai+5a2—5as，则

123'

1一35

[ai+a2+a3，2四一3a2+22a3，3ai+5a2-5aa]—[ai，012，03]LI22-5」=

123

1-35

225

[ai，a2，a3]G4,而IG4I=1-=0,故(D)中向量组线性相关，仅

(。入选。解二也可用定义判别，对于选项(C),令ki(ai+2a2)+k2(2a2+3a3)+

k3(3ct3+ai)=0,即(ki+k3)ai+(2ki+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0。因ai，(12，。3线

ki+k3=0,

<2kx+2月=0,

性无关，故34+3入=0.因该方程组的系数矩阵行列式不等于0,故该方程

组只有零解，即k|=k2=k3=0,所以该向量组线性无关，仅(C)入选。

232

A=0-2-X

6、设X为随机变量，若矩阵010的特征值全为实数的概率为

0.5,则()。

A、X服从区间［0,2］上的均匀分布

B、X服从二项分布B(2,0.5)

C、X服从参数为1的指数分布

D、X服从正态分布

标准答案：A

知识点解析：［解题思路］先计算A的特征多项式，再由特征值全为实数应满足的

A-2-32

04+2X

概率条件进而确定X的分布。解因I九E-AI=0-14=(九-2)(/

+2入+X),故A的特征值全为实数的条件为b2—4ac=4-4XN0,由题设有P(4—

4X>0)=0.5,即P(XS1)=P(O0XS1)=(1—0)/(2—0)=0.5,因而X服从区间

|0,2］上的均匀分布,仅(A)入选。

7、设随机变量X,Y相互独立且都服从正态分布N(wJ),若概率p(aX-bYVp)

=1/2,则()。

A^a=1/2,b=1/2

B、a=l/2,b=-l/2

C、a=-l/2,b=l/2

D、a=-l/2,b=-l/2

标准答案：B

知识点解析：［解题思路］先求出aX—bY服从的正态分布，根据正态分布的性质：

其随机变量在其数学期望的左右两侧取值的概率均为1/2,找出a与b的关系并

由此关系判定选项。解因X,Y相互独立，且都服从N(R/)，故aX-bY服从

正态分布，且aX—bY〜N(a|i—bji,(a2+b2)o2),所以P(XWap一印)=1/2。于是

a.—bu=u，即a—b=l,因而仅(B)入选。

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

8、向量v=xi+yj+zk穿过封闭圆锥曲面z2=x?+y2,O^zgh的流量等于=

O

标准答案：711?

0=Jjxdydz+ydzdj：+zdxdy

=3djrdvdz=3•-yK/i3=nh

o

知识点解析：解所求流量为

无+q=1979

9、设L为椭圆53,其周长为兀，则L(2xy+3x2+5y2)ds=____________

标准答案：15兀

知识点解析：解由L的椭圆方程得到3x2+5y2=15,代入被积函数得到

，(2Q+3V+51y*)ds=+15)ds

LL又因L关于x轴与y轴对称，而2xy

<|)2x^d5=0.

关于y为奇函数，故2因L的周长为兀，所以

+3x2+5y2)ds=5ds=1,ds=15K.

LLL

［在点P偿，)，2)

10、曲线「：z-y+z=2W2V2/处的切线方程是______________

___o

%-1/5/?=y-1/a=z-2

标准答案：1—1—2

知识点解析：解一易写出切曲线「的参数方程：x=cost,y=sint,z=2—cost+

sinto点P在曲线上对应于t=?r/4,则「在P点的切线向量为

T=(，(力，*'(力，z'(l))I-*/4=(-sin/,cos/,sin/+cosr)|,=Jt/4

=(仞2)(—1,1,2).于是「在

x—\/__y-1/a_n-2

点P处的切线方程为T~［解二空间曲线「的方程

22

IF(x.ytz)=x4-y—1=0

为面交式方程IG(N,"N)=七一V+N-2=。在点P处的切线方向向量为工一

njxn2—grad(x2+y2—l)xgrad(x—y+z—2)Ip

(F'x，F,y,Fz)IP，n2=(G\,G'y,G?IP分别为两相交曲面的法向量,于是「

7一1/⑪=1y-1/V?_n-2

在p点的切线方程为-1—=-1=•解三为求交面式方程表

示切线，先求X?+y2—|=0在p点的切平面方程，为此求出x?+y2—1=0在点p

处的法向量为n=(2x,2y,0)I「=夜(1，1，。)于是设该面在P点的切平面方程为

①一1/V2)+(J-1/>/2)=0,即x+y=V2,则「在P点的切线方程为

卜+y=72•

[x-y+z=2.

11、设S为圆锥面z=被曲面x2+y2=2ax(a>0)所截下部分,则曲面积

I=ary+yz+zr)dS

分s=。

64nr4

标准答案：访

知识点解析：

解由-=>易求得

=l/力*+.2.yy=y/J*+.2,

则+x1心+N)+3/3+=)=72.

设曲面S在平面xOy上的投影区域为Dxy,则Dxy={(x,y)Ix2+y2、2ax},或D

={(r,0)I—兀/2<G<TT/2,0<r<2acos0}。

1

于是/=1zdS=|J>/2JCJi+dzdy

SD

=doj厂cos价2"=272Jcos。・|；

=8V2a*Icos36d0=8-/2a*三=给y/2a*.

Jo52•d3•1lb

-230o-

1100

A=

0020

12、已知.0001.,A*是A的伴随矩阵，则(7A*A2)-I=

-2一600-

-2400

00-10

标准答案：,000-2.

知识点解析:

320

解一=(-1)・2=—2,

101

A]KAMA•尸=4(4力•合

则

T

①

1

解二GA"*)i4㈤

因|A|=-2,故

(2)*一2乂)=(一1A)

即得到解一中的式①.

13、设X],X2，…，Xn是取自标准正态总体的简单随机样本，已知统计量

y=

-X；+x；+…+X：服从i分布,则常数a=。

标准答案：八一'

知识点解析：解因Xi〜N(0,l)(i=l,2,…，n)且X2，X3,…，Xn相互独立，

故X2?+X32+…+X/〜/(n-l)。又X1〜N(0,1)且与X22+X32+…+X5相互

独立，故由I分布的典型模式得到

—.…&一〜寅〃-119即Vn—1Xjtin-1)»

，(X-X；+…+XJ/(/—1)，用+x；+・・^m

所以a=y/n—1.

三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)

14、设X2>xi>0,证明不一"2sinxismx2=sin《一“os：(xi<&Vx2)。

标准答案：证令(p(x)=sinx/x,g(x)=l/x,对炳x),g(x)在［x】x2］上使用柯西

中值定理，得到

siMz_sin/1

-(p(X\)_工21Jcosg-si

g(.n)­g(xi)nr

孙力

/2

即

sin.F1sin.r2

知识点解析：暂无解析

15、求函数f(x,y)=4x—4y—X2—y2在区域D：上的最大值和最小值。

标准答案：解先求出f(x,y)在开区域x?+y2V18内的可能极值点，解方程组

/(工，3)=4—2z=0,

4

。(不y)=—4-2了=0.得其驻点(2,-2)GDo再求f(x,y)在边界x?+y2=

18上的可能极值点，下用拉格朗日乘数法求之。为此，设F(x,y,X)=4x-4y-

，F：=4-21+2航=0,

<Fy=-4—2y+2Xy=0,

x2-y2+X(x2+y2-18),则［F：=三+J—18=0・由前两个方程易得

义=%-2=y+2

RV,于是xy—2y=xy+2x,即丫=一乂，将其代入第三个方程得

到*=±3,丫=干3,求得边界区域D上的驻点(3,—3),(—3,3),因f(2,—2)=

8,f(3,-3)=6,f(-3,3)=—42,故f(x,y)在D上的最大值为8,最小值为一

42o

知识点解析：暂无解析

f(sin工+王cos王)dx-与cos三dy

16、(1)证明曲线积分J八？*y2y在曲线L不经过x

轴的情况下，积分与路径无关；(2)如果曲线L的两端点为A(兀，1)及BS，2),计

算积分的值。

P=sin—+—cos-,Q=—^7cos-,

yyyyy

HP_2xJCx2.x_3Q

,_”厂cos-―一♦一■一sin-

标准答案：dyy?yy3y打'在曲线不经过x轴时,

空,丝存在，且些工丝及叱与丝

<yazBya«rdy3工连续，由此可知该积分与路径无关。

sin—+—cos——=cos—dy

yyyfy2y

cos—dv=7Tcos—d——)=KSin——=K.

yy"/y

知识点解析：暂无解析

(Wxr2dydz+JC1ydzdx+y2zAxdy,

17、计算曲面积分s其中S是球面x2+y2+z2

=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧。

标准答案：解因P=xz2,Q=x2y,R=y2z,故

ap_/HQ_2HR?6

3/2z由高斯公式得弋(xz~dydz+x~ydzdx+

y2zdxdy)=^(x2+y2+z2)dxdydzo因积分区域由球面所围成，且被积函数中含有

A

x^+J+z?因子，用球坐标系计算较简，故WxzZydz+x^ydzdx+Jzdxdyu

2m$

fo27Id0jo7t，2d(pf()ap2p2sin(pdp=5。

知识点解析：暂无解析

18、设二阶常系数线性微分方程y”+ay，+By=ye2x的一个特解为y=e2x+(l+

x)e\求此方程的通解。

标准答案：解由所给方程的非齐次项为ye2x及特解中含有e2x项知，y*=e2x是原

方程的一个特解，于是y=(l+x)ex应是对应齐次方程的特解，因而1为特征方程

的二重特征根，于是特征方程为r2—2r+l=0,则齐次方程应是y”-2y，+y=O。

故。=-2,0=1。又y*为非齐次方程的特解，代入其中得4/x—2.2e2x+°2x=

ye2x,故y=l。UIyi=ex,y2=xe'都是y"-2y，+y=0的解，且

"=’六常数..、一

*2工故其线性无关，所以Y=(ci+c2X)eX为y”-2y，+y=0的选

解，又y*=e2x是非齐次方程的一个特解，故y=(c]+c2X)ex+e2x是非齐次方程的

通解。

知识点解析：暂无解析

19、求作一个齐次线性方程使得它的解空间由下面四个向量所生成见=[-1,

1,1,2,0]T,a=[-l/2,-1/2,1/2,6,4]T,

2a3=[l/4,0,0,5/4,

=—T

I],，O4[1»-2,2.9,4]O

0100-54-

一

a2物等01174

9

行变换

0300000

标准答案：解因-00000.故ai，az线性无关,

6

B=

(X3，04可由ai，(X2线性表出。令a?-,求BX=o的基础解系，由于

■ailF-1-112O-"10054-

.a」"-Ll/2-1/21/264..01-1-7一4」'故BX=0的

TT

一个基础解系为由=[0,1,1,0,0],p2=[-5,7,0,1,0],%=[-4,

4,0,0,1]T,于是，所求的齐次线性方程组的系数矩阵为

20、A,B,C均是n阶矩阵，且AB=O,AC+C=O°如秩(B)+秩(C)=n,证明

A-A,并求对角阵A。

标准答案：证设B,C的n个列向量分