考研数学二（线性方程组）模拟试卷13

考研数学二（线性方程组）模拟试卷13

一、选择题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

1、非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4,A是4x6

矩阵，则（）

A、无法确定方程组是否有解。

B、方程组有无穷多解。

C、方程组有唯一解。

D、方程组无解。

标准答案：B

知识点解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解

的充要条件，月.方程组的未知数个数是6,而系数矩阵的秩为4,因此方程组有无

穷多解，故选B。

2、设A是n阶矩阵，a是n维列向量，若MVi。l°”，⑷则线性方程组（）

A、Ax=a必有无穷多解。

B、Ax=a必有唯一解。

Aa

=0

a0

C、y仅有零解。

Aax

=0

D、0f0y必有非零解。

标准答案：D

知识点解析：齐次线性方程必有解（零解），则选项C、D为互相对立的命题，且其

正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除A、Bo又齐次

匕。（卜。

线性方程组a，°y有n+1个变量，而由题设条件知,

rl\all=r（A）Cn<n+1

0J/o所以该方程组必有非零解，故选D。

3、设A为mxn矩阵，齐次线性方程组Ax=O仅有零解的充要条件是（）

A、A的列向量线性无关。

B、A的列向量线性相关。

C、A的行向量线性无关。

D、A的行向量线性相关。

标准答案：A

知识点解析：Ax=O仅有零解-r(A尸n-A的列向量线性无关。故选A。

4、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则线性方程组(AB)x=O()

A、当n>m时，仅有零解。

B、当n>m时，必有非零解。

C^当m>n时，仅有零解。

D、当m>n时，必有非零解。

标准答案：D

知识点解析：因为AB是m阶矩阵，且r(AB)Smin；r(A),r(B))<min{m,n),所以

当m>n时，必有r(AB)Vm,根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，

选项D正确。

5、设A是mxn矩阵，Ax=O是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程

组，则下列结论正确的是()

A、若Ax=O仅有零解，则Ax=b有唯一解。

B、若Ax=O有非零解，则人乂力有无穷多个解。

C、若人乂力有无穷多个解，则Ax=O仅有零解。

D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O有非零解“

标准答案：D

知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=O的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)<

n,以此均不能推得r(A)=r(A；b),所以选项A、B均不正确。而由人*=1)有无穷多

个解可知，r(A尸r(A；b)<n0根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可

知，此时Ax=O必有非零解。所以应选D。

6、非齐次线性方程组Ax=b中未知量的个数为n,方程个数为m,系数矩阵的秩

为r，则()

A、r=m时，方程组Ax=b有解。

B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解。

C、m=n时,方程组Ax=b有唯一解。

D、r<n时，方程组有无穷多个解。

标准答案：A

知识点解析：对于选项A,r(A)=r=mo由于r(A；b)>m=r,且r(A；b)<min{m,

n+1)=min{r,n+1)=r,因此必有r(A；b)=r,从而r(A)=r(A；b),此时方程组有

解，所以应选A。由B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等。

7、已知⑴用是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，那么

113

6-抽,4%-3%,了(如+。2)彳4+彳°2中，仍是线性方程组Ax=b特解的共有

()

A、4个。

B、3个。

C、2个。

D、1个。

标准答案：C

A(4a,-3a2)=4A«-3Aa2=b,

知识点解析：由于Aa『b,Aa2=b,那么呜"卜了"③'了"机可

知4aL3%氏+—均是人*二b的解。而

—…%(2%…卜也可知.24(见7不是AX才的

解。故应选C。

8、设ai,a2,a3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中

a,-a,a,-2a,+a>_r<a,-m),6+3a-4a

2'f4，323可以作为导出组Ax=O的解向量有

()个。

A、4o

B、3。

C、2o

D、lo

标准答案：A

知识点解析：由于Aai=Aa2=A(X3=b,可知A(a]—a2)=Aa)—Aa2=b—b=0,A(a(—

2a2+a3)=Aai―2Aa2+Aa3=b-2b+b=0

14—/)]1=/4('%_"的)=X4"AA(/ai+C3a2-4Aa3)\=_Aai+4.30AAa2—

4Act3=b+3b—4b=0。这四个向量都是Ax=0的解，故选A。

9、已知ai,a2,a3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么向量

2

%-%必♦况方(%-.),6-3%♦氏中，是对应齐次线性方程组AX=。

解向量的共有()

A、4o

B、3。

C、2。

D、lo

标准答案：A

知识点解析：由Aai=b(i=l,2,3)有A(ai一a2)=Aaj—Aa2=b—b=0»A(ai+a：一

2ct3)=Aai+Aa2-2Aaa=b+b—2b=0,

A[y(a2-ajis我，-9al==0,

13J3333A(aj-3a2+2a3)=Aai一

2

3Aa2+2Aa3=b-3b+2b=0,即ai—ao,ai+012—2a箝^（a2一ai）,a\—3a2+2013均

是齐次方施组Ax=0的解。所以应选A。

4=1a11

10、设L11Q」方程组Ax=0有非零解。a是一个三维非零列向量，若Ax=0

的任一解向量都可由a线性表出，则a=()

A、lo

B、一2。

C>1或一2o

D、一lo

标准答案：B

知识点解析：由于Ax=0的任一解向量都可由a线性表出，所以a是Ax=0的基础

解系，即Ax=O的基础解系只含一个解向量，因此「(A)=2。由方程组Ax=O有非零

解可得，IAI=(a—lK(a+2)=0,即a=l或一2。当a=l时，r(A)=l,舍去；当a二

―2时,r(A)=20所以选B。

二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)

3雹+kx2-Xy=0,

4X-x,=0,

{2

4M+kxx=0有非零解，贝ljk=0

标准答案：一1

知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的

|3k-1.

4-1

04-1=3=\2(k+1)=0

4k

行列式等于零，即04k|因此得仁一］。

X|+2X2-x3+3X4=1,

2x}+x2+4X3+3/=5,

12、已知线性方程组I。%+24-4=-6.无解，则&二

标准答案：一1

知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得

11]ri2-131-

25-*01-21-11

。-6」因为线性方程组无

-0-6」Lo02(1+a)-(1+c)

解,所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以a二一lo

[20+Ax,-X3=，，

AJCJ-X2+X3=b2,

13、已知方程组4x,-5/="总有解，则入应满足的条件是__________o

标准答案「6且MJ

知识点解析：对于任意的b|,b2,b3,方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩为3,即

I=(5A+4)(A-1)#0,

-55A+400

4

所以入，1且入f-To

(xt+盯+2xy=a,

3xt--6xs=a+2,

14、已知方程组。+44+tlx,=。+3有无穷多解，则。

标准答案：3

知识点解析：凡元线性方程组庆*4有解的充分必要条件是r(A)=r(A),而有无穷多

解的充分必要条件县r(A)=r(A)Vn.对增广矩阵作初等行变换，有

1

A=3

-1

1

T0

-0由于r(A尸2,所以6—2a=0,

即a=3o

,(A+4)々+3X2=0,

,4X1+4=0，

15、齐次方程组1-5/♦入町-盯=°有非零解，则九=

标准答案：一3或一1

A+430

|A|401=-(A+3)(A+1)

知识点解析：系数矩阵的行列式一5A所以当

九=一3或一1时，方程组有非零解。

航+2X2+%=0,

X1+ax+2X=0,

)23

ax,+4X2♦3X3=0,

16、已知齐次线性方程组2公++2)勺-5盯=°有非零解，则@=0

标准答案：2

知识点析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量

的个数。由于因此有r(A)<3->a=2o

I!1,1_

A=1a3、B=4

17、Ll9-•16」,方程Ax=p无解，则a=

标准答案：1或3

知识点解析:已知方程组无解，所以r(A)声r(A,p)e又因为r(A,[3)=3,所以

r(A)<2,故有IAI=0-a=l或3。

18、设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若川，口2是齐次线性方程组

Ax=0的两个线性无关的解,则r(A*)=、

标准答案：0

知识点解析：E，碓是齐次线性方程组Ax=o的两个线性无关的解。由方程组的基

础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得n—r(A巨2,即r(A)W3.又因为

A是五阶矩阵，所以IAI的四阶子式一定全部为零，则代数余子式Am恒为零，

即A*=O,所以r(A*)=O。

faixl+a2x2+a3xy=a,

+3X2~2x,=1,

19、设尸(6,—1,1)T与2二(一7,4,2)T是线性方程组‘2孙+5盯+与=8的

两个解，则此方程组的通解是___________o

标准答案：(6,-1,l)T+k(13,一5,-1)T,k为任意常数

知识点解析：一方面因为囚，az是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，所以

一定有r(A)=r(A)V3。另一方面由于在系数矩阵A中存在二阶子式

25I所以一定有r(A巨2,因此必有r(A)=r(A)=2。由n—r(A)=3—2=1可

知，导出组Ax=O的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知R一(12=16,

一1,1)丁一(一7,4,2)T=(13,一5,一是导出组Ax=O的非零解，即基础解

系，则方程组的通解为X=(6,-1,l)T+k(13,-5,一1)T，k为任意常数。

■11r

4=201

20、设L-i10」A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是__________。

TT

标准答案：ki(l,2,—l)+k2(L0,1),ki，k2是任意常数

知识点解析：IAI=0,且r(A)=2,所以r(A*)=l,则由n—r(A*)=2可知，Ax=0

的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为kini+k2n2。又因为

A*A=IAIE=O,所以矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k](l,2,一

TT

l)+k2(h0,l)o

三、解答题(本题共9题，每题分，共9分。)

++…+,

+

(])%内•诙+…+。2抵=h,

21、已知方程组明氏+〜与+…+=be有解，证明：方程组

ax

\\\+。2卢2+…=0,

Oj2^|+a22x2++。2心=0»

(2)..............

+°力％2+…+=0,

3+3+…I"无解。

标准答案：用A],A]和A2,A2分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，

则AI=A2T。已知方程组(1)有解，故r(A])=r(A])。又由于(b],b2，…，M，1)不能

由(ail，321>,ami，0)，(312，a22，…，3m2»0),…，(ain，a2n»…，0)

线性表示，所以

a“an%0-

0“a2t…(U

ai2a22-0a0

a％

l2—…0••••=r(A,),

r•♦••#r••••

••••

<*2.-aZ0

a2.…°」

-bib2…b„1」

故r(A：)#r(A2).再由r(A；)=r(A,)=r(At)=r(A])=r(4),可得r(4)#r(A3)，所以方

程组(2)无解。

知识点解析：暂无解析

--r

=1.

--2-1⑴求满足A42=&，A?&3=。的所有向量

22、设

《2,43；(n)对⑴中任意向量々和43，证明&，42，43线性无关。

标准答案：⑴对增广矩阵(A；白)作初等行变换，见

1；1.

°1°」得Ax=O的基础解系(1,

-1,2)T和Ax=1i的特解(0,0,1)E故及=(0,0,l)T+k(l,-1,2)T,其中k为

任意常数。

220

-2-20,对增广矩阵(从二自)作初等行变换，有

.440-

0

0

00•0

0

00：0-

得lx=0的基础解系(-1」,0)1(0,0.1)1和4、=f,的特解(-/,0,0)二故

£=+/(-l,l,0)T+4(0,0,1),.其中442为任意常数。

(H)因为

1

-1

T1

七-y0

4,61:T-22k+1

-22k+1

所

以言,殳,知线性无关。

知识点解析：暂无解析

A11]Fa'

A=0A-I0,，=1

设LIA」L」已知线性方程组AX二b存在两个不同的解。

23、求大，a；

标准答案：因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r(A尸r(A)Vn。于是

2

(A+1)(A-I)=0o

111人解得入=1或入=一1。当入=1时,

r(A)=l,r(A)=2,此时线性方程组无解。当九=一1时,

1'

A=0-20；1-*0-201

-11-1：dLo00

+2」若a=-2,则r(A)=r(A)=2,方程

组Ax=b有无穷多解。故人=—*1,a=-2o

知识点解析：暂无解析

24、求方程组Ax=l^T通解。

3

0

2

1

0

T

0」所以方程组Ax二b的通

标准答案：当入=-1,@=一2时，L000

(仔，-。"+封】,0,1):其中4是任意常数。

解为'22'

知识点解析：暂无解析

（1+a）xl+x2+•••+/,=0,

2x*+（2+。）叼+・・,+24=0,（22）

25、设有齐次线性方程组5+…+(n.Q况=0试问a取何值

时，该方程组有非零解，并求出其通解。

标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

1+Q11-1'1+Q11…1

22+a2…2-2aa0•••0

A=­►

••••••••=B:

•••••

Lnnnn+a-

L_no,00…a-当a=0时,

r(A)=l<n,方程组有非零解，其同解方程组为XI+X2+…+xn=0,由此得基础解系为

T

中二(一I,1,0,…，0i,T|2=(一1，o,1,…，0)T,…，qn-i=(-1,0,0,

1)T,于是方程组的通解为x=kini+…其中k],…，kn.]为任意常数c当

a/)时，对矩阵B作初等行变换，有

1+011,,,1'°：1)00-0

L-打00••・1」

-n00…1」当

a_+1)

2时，r(A)=n-l<n,方程组也有非零解,其同解方程组为

-2^|+3=0,

-3«|+巧=0,

-2|+4=0,由此得基础解系为n=(l，2,…，n)T,于是方程组的通解为

x=kr),其中k为任意常数。

知识点解析：暂无解析

(a,+b)x[+a2x2+%。+—+=0,

a/i+(/+b)x2+a,*,+・•♦+a“4=0,

a/1+a2x2+(a?+b)x34…+anx,=0,

26、已知齐次线性方程组5+，巧+。丙+…+a+6认=0,其中

试讨论ai，a2，…，an和b满足何种关系时：⑴方程组仅有零解；(口)方程组有

非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

标准答案：方程组的系数矩阵的行列式

5+6/ai

at/+6Oj

|A|=厂(6H)

•VI

⑴当b翔且

.6+2%x0

时，r(A)=0,方程组仅有零解。(口)当40时，原方程组的同解方程

£Q—o

组为aixi+a2X2+…+anXn=0。由'i二*】可知，ai(i=l,2,...»n)不全为零。不妨

设a1六),得原方程组的一个基础解系为ai=(—a2，a1，1,0,…，0)T,(12=(一

TT、，6=-£Qj_

33»0,a1,...,0),...,ctn-1=(-a1],0,0>...»a。。当时，有

屏0,原方程组的系数矩阵可化为

（将第一行的-1倍加到其余各行,再从第二行到第n行同乘以-一倍）

■

m,…4

—1100

-101-0

••♦•

••••

-100I•

（将第i行的・％（i=2,3,…倍加到第一行,再将第一行移到最后一行）

--110…0•

-101-0

T：•：•：•:•V

-100-1

1。00・••。」由此得原方程组的

同解方程组为X3=xi，X3=x）,...»xn=xio原方程组的一个基础解系为a=（l,

］,t］）T。

知识点解析：暂无解析

产+Ax2+y^Xy+x4=0,

,2x）+x2+x3+2X4=0,

27、设线性方程组3与+（2+4）盯+（4+"）巧+仇=1已知（］,一i,i,一i）T

是该方程组的一个解，求方程组所有的解。

标准答案：将(1，-1，1,一17代