258-八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）

八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）八下数学复习专题中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt△ABC斜边上的中线，则：（1）AD=BC=BD=DC2）△ABD，△ACD为等腰三角形3）LADB=2LC，LADC=2LB．拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M为中点，则（1）AM=MD2）LAMD=2LABD．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）例12023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，LBCA=90O，AC=BC，CD为AB边上的中线，AE为CD边上的中线，若BC=4，则AE的长为()【答案】【答案】C【分析】根据勾股定理求出AB，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AD=BDABCD丄AB，求出DE，再根据勾股定理求出AE即可．八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．例22023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在RtABC中，7ACB=90O，点D是AB的中点，过点D作DETBC，垂足为点E，连接CD，若CD=5，BC=8，则DE=．【答案】【答案】3【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到==，即可求出DE．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．例32023·青海海东·统考三模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DHTAB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为()【答案】【答案】B【分析】根据菱形的性质得【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．【详解】解：四边形ABCD是菱形，:OA=OC，OB=OD，AC丄BD，DH丄AB，:LBHD=90O，:BD=2OH，OH=4，:BD=8，OA=6，:AC=12，:菱形ABCD的面积AC.BDx12x8=48．故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD．例42023上·四川成都·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，LABC=LADC=90O，LBAD=45O，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC=10，则BMD的面积为．【答案】【答案】/12.5【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形的面积，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=DM=AMAC=5，由等边对等角可得LBAM=LABM，LDAM=LADM，由三角形外角的定义及性质可得LBMC=LBAM+LABM，LDMC=LDAM+LADM，求出LBMD=90O，再利用三角形面积公式SBMDBM.DM，计算即可得出答案，熟练掌握直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质是解此题的关键．【详解】解：LABC=LADC=90O，M是AC的中点，AC=10，:BM=DM=AMAC=5，:LBAM=LABM，LDAM=LADM，LBMC=LBAM+LABM，LDMC=LDAM+LADM，:LBMD=LBMC+LDMC=2LBAM+2LDAM=2(LBAM+LDAM)=2LBAD=90，:SBMDBM.DMx5x故答案为：．例52023·江苏常州·中考真题）如图，AB是O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合CH丄AB，垂足为H，点M是BC的中点．若O的半径是3，则MH长的最大值是()八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】【答案】A【分析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MHBC，当BC为直径时长度最大，即可求解．【详解】解：∵CHTAB∴∠BHC=90°∵在RtΔBHC中，点M是BC的中点∴MHBC ∵BC为O的弦∴当BC为直径时，MH最大∵O的半径是3∴MH最大为3．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．例62023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，CFTAB于F，BETAC于E，M为BC的中点．(1)若BC=10，EF=4，求MEF的周长；(2)若MEF是等边三角形，求7EBF的度数．【答案】【答案】(1)MEF的周长为14；(2)7EBF=30O．【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平角定义等．（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EM、FM，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解2）根据平角等于180O，求得7FMB+7EMC=120O，根据直角三角形斜边上的中线求得MF=ME=MB=MC，根据等腰三角形两底角相等求出7ABC+7ACB=120O，再求得7A=60O，据此求解即可．【详解】（1）解：∵CFTAB，BETAC，M为BC的中点，∴EMBC=5，FMBC=5，（2）解：∵MEF是等边三角形，∴7FME∴7FBM=7BFM，7MEC=7MCE，∴27ABC+7FMB+27ACB+EMC=360O，模型2：中位线模型三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且DEBC，△ADE∽△ABC。中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。例12023·云南·统考中考真题）如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=()【答案】【答案】B【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解∶∵AC、BC的中点分别为M、N，∴MN是ABC的中位线，【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例22023·广西梧州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是()八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可.【详解】解：点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，:DE//BC,DEBC=3,DFC,DFC=4,:四边形DECF是平行四边形，7C=90O,:四边形DECF是矩形，:S矩形DECF=3X4=12.故选：B.【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键.例32023下·四川广安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，边长为1，7A=60O，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，…,则四边形A2023B2023C2023D2023的面积是．【答案】【答案】【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，依次求出四边形的面积，得出规律，即可解答．【详解】解：菱形ABCD，7A=60O，:ADB，△CDB为等边三角形，顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1，:四边形A1B1C1D1为矩形， 【点睛】本题考查了菱形以及中点四边形的性质，找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解题的关键．例4.（2023·陕西西安·联考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，LABC=90O点E、F分别是AC，AD的中点，且BE=EF，若AB=12，BC=5，则CD的长为．【答案】【答案】13【分析】由勾股定理求得AC=13，再由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求得EF=BE=6.5，从而利用中位线的性质求解即可．∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF是ACD的中位线，【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的斜边中线以及中位线．掌握中位线的性质是解题的关键．例52023·北京海淀·校考模拟预测）如图，AB为O的弦，AB=8，且LACB=45O，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是()【答案】【答案】C【分析】连接AO并延长交O于点C,，连接BC,，根据中位线定理得到当AC取得最大值时，MN就取得最大值，结合圆周角定理及勾股定理即可得到答案；【详解】解：如图，∵点M、N分别是AB、BC的中点，∴MNAC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，连接AO并延长交O于点C,，连接BC,，【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理及圆周角定理，解题关键是根据作出辅助线，找到最大线段．例62023·河南信阳·校考三模）数学兴趣小组的同学在学习中点知识时，遇到如下一个问题：如图①,在边长为4的正方形ABCD中，点E是边AD的中点，BF=1，连接BE，CF，点C，H分别是BE，CF的中点，连接GH，求GH的长．小组成员展开讨论，方法多样、其中小佳同学的做法最具有推广性．小佳同学是这样思考的：题目中有两个中点，我想到用中位线，但是这两个中点所在的线段是交叉状态，所以可以通过轴对称将它变成“共顶点”的图形、这样就可以构造出三角形的中位线．具体如下：如图②.过点F作FP丄CD，垂足为P，易证四边形BCPF是矩形，连接BP、则点H也是BP的中点，连接EP，则GH是△BEP的中位线，计算出EP的长度即可求出GH的长度．根据以上信息，请回答以下问题：(1)点H是BP中点的依据是；(2)请根据小佳同学的思路写出具体的证明过程．(3)如图③,在Rt△ABC中，AB=23，BC=2，将Rt△ABC绕着点B顺时针旋转，D，D¢分别是AC，A,C,的中点，当点G,落在ABC的边上时（不包含顶点求DD,的长度．【答案】(1)【答案】(1)矩形的对角线平分且相等(2)见解析(3)DD,的长度为2或22【分析】（1）根据矩形的性质即可解决问题2）先证明CH是BPE的中位线，再根据矩形的性质和勾八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）股定理即可解决问题股定理即可解决问题3）当点C9落在ABC边上时，分两种情况，情况1，落在边AC上，情况2，落在边AB上，分别进行求解即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知：四边形BCPF是矩形，:FC=BP，点H是对角线FC的中点，:HF=HCFC，:HB=HP=BP，:点H是BP的中点，:点H是BP的中点的依据是：矩形的对角线平分且相等，故答案为：矩形的对角线平分且相等；（2）解：如图①,过点F作FP丄CD，垂足为P，连接BP，EP，四边形ABCD是正方形，:LABC=LDCB=90O，FP丄CD，:LFPC=LABC=LDCB=90O，:四边形BCPF点H是对角线FC的中点，:点H是BP的中点． 正方形ABCD边长为4，点E是AD的中点，:AD=DC=4，ED=2， 四边形BCPF是矩形，:PC=BF=1，:DP=3， （3）解：当点C9落在ABC边上时，分两种情况，情况1，落在边AC上，情况2，落在边AB上，情况1：当点C9落在边AC上时，如图②,则点D和点D¢为BE，BF的中点，:DD9是△BEF的中位线，延长FC9，交EC于点G，:LFGE=90O，八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）:BEF是等腰直角三角形，:BE=AC=4，:EF=42，:DD’=22，:综上所述：当点G’落在ABC的边上时（不包含顶点DD’的长度为2或22．【点睛】本题主要考查中位线的性质、矩形的性质、勾股定理的运用、旋转的性质，考查学生的读取信息的能力，类比思想及平面图形性质的综合分析能力．模型3：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M、N、P、Q是任意四边形ABCD各边中点，则四边形MNPQ为平行四边形。结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形特例：筝形与菱形）如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ为矩形。结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ为菱形。八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ为正方形。推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。例12023上·四川达州·九年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形.()【答案】【答案】A【分析】根据中位线的定义与性质可知四边形EGFH是平行四边形，然后找出邻边相等的条件即可证明该四边为菱形．【详解】解：由题意知EG是△ABD的中位线∴EG∥AB，EGABFH是ABC的中位线∴FH∥AB，FHAB∴EG∥FH，EG=FH∴四边形EGFH是平行四边形∵GF是△BCD的中位线，∴GFCD当AB=CD时，FH=GH∴平行四边形EGFH是菱形故选A．【点睛】本题考查了中位线，菱形的判定．解题的关键在于对知识的灵活运用例22023上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E，F，G，H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成为一个矩形．这个条件【答案】【答案】D【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，HE∥BD，EFAC，FGBD，GH=1AC，HE=1BD，根据平行四边形的判定可证明四边形EFGH为平行四边形，根据矩形的判定即可证明．【详解】解：添加的条件为：AC丄BD；理由如下：∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是CDA的中位线，HE是DAB的中位线，∴EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，HE∥BD，EFAC，FG=BD，GH=AC，HEBD，∴EF∥GH，FG∥HE，EF=GH，FG=HE，∴四边形EFGH为平行四边形；∵AC丄BD，∴EH丄EF，∴四边形EFGH为矩形，故选：D．【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．例32023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加，才能保证四边形EFGH是正方形．【答案】【答案】AC⊥BD，AC=BD/AC=BD，AC⊥BD【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理即可得解．【详解】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）∴∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，∴四边形EFGH为正方形．故答案为：AC⊥BD，AC=BD．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形的判定定理是解题的关键．例42023下·湖南长沙·八年级统考期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则正确的是()A．若AC=BD，则四边形EFGH为矩形B．若ACTBD，则四边形EFGH为菱形C．若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分D．若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等【答案】【答案】D【分析】根据三角形的中位线定理可得HG=EFAC，HG∥EF∥AC，EH=FGBD，EH∥FG∥BD，从而得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质，进行逐一判断即可得到答案．【详解】解：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，:EF是ABC的中位线，HG是ACD的中位线，EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，:HG=EFAC，HG∥EF∥AC，EH=FGBD，EH∥FG∥BD，:四边形EFGH为平行四边形，A、若AC=BD，则HG=EH，四边形EFGH为菱形，故A错误，不符合题意；B、若ACTBD，则EFTEH，则四边形EFGH为矩形，故B错误，不符合题意；C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，AC与BD不一定互相平分，故C错误，不符合题意；D、若EFGH是正方形，则EFTEH，由EF是ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，得EF∥AC，EH∥BD，因此AC与BD互相垂直且相等，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，是解题的关键．例52023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，7A=120O，顺次连接菱形ABCD各八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为()【答案】C【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长．【详解】解：如图，连接AC、BD，相交于点O，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，:EFAC，GHAC，:EF=GH，同理EH=FG，:四边形EFGH是平行四边形，四边形ABCD是菱形，AB=4，7A=120O，:对角线AC、BD互相垂直，:AD∥BC，:7A+7ABC=180O，:7ABC=60O，AB=BC=4，:ABC是等边三角形，:AC=4，在Rt△AOB中，AB=4，OAAC=2，:OB，:BD=43，:EF=AC=2，EH=BD=23，:四边形EFGH的周长为．故选：C．【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及平行四边形的判定与性质进行计算．例62023下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DEBC．八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DEBC．(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出DE∥BC，DF=BC，即可证明结论；（2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出EF∥GH，EH∥GF，即可得证明四边形EFGH为平行四边形；②根据矩形的判定方法，得出结论即可；③根据正方形的判定方法，得出结论即可．∴四边形BCFD为平行四边形，∴DE∥BC，DF=BC，∵DE=DF，∴DE=BC，即DEBC，DEBC．（2）①连接AC、BD，如图所示：∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）∴EF∥GH，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形；根据解析①可知，GH∥AC，EH∥BD，四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直；③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；根据解析②可知，当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，根据解析①可知，GHAC，EHBD，∵AC=BD，∴GH=EH，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法，是解题的关键．12023·湖南·统考中考真题）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，【答案】【答案】B【分析】由图求得AB的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：由图可知AB=7_1=6cm，在△ACB中，7ACB=90O，点D为边AB的中点，:CDAB=3cm,故选：B．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为()八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】B【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，∵A(2,0),B(0,2)，则△ABO为等腰直角三角形，又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，则MNBCOM=ON+MN∴OM的最大值为故答案选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大．AE丄BC于点E，连接DE，则DE的长为()八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）522【答案】【答案】C【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键.42023·广东佛山·校考三模）如图，在Rt△BDF中，7BDF=90O，7F=30O，DC是BF边上的中线，把线段CD沿着CB方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接AD，AC，AC与BD相交与点O，则下列结论：①四边形ABCD为菱形；②OCDF；③BF=4OD；④DCF的面积为四边形ABCD面积的一半．其中正确结论的个数为()【答案】A【分析】在Rt△BDF，DC是BF边上的中线，7F=30O，可得DC=BC=CF=BCD∥AB，可证四边形ABCD为平行四边形，由DC=BC，可证四边形ABCD为菱形，进而可判断①的正误；由菱形的性质可知，O为BD中点，证明OC为VBDF的中位线，则OCDF，进而可判断②的正误；由菱形的性质可得，DOBDBF，则BF=4OD，进而可判断③的正误；由中线的性质可得SDCF=SBCD，由菱形的性质可得SBCDS四边形ABCD，则SDCFS四边形ABCD，进而可判断④的正误．【详解】解：∵在Rt△BDF，DC是BF边上的中线，7F=30O，∴DC=BC=CF=BD，由平移可得，CD=AB，CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）∵∵DC=BC，∴四边形ABCD为菱形，①正确，故符合要求；∵四边形ABCD为菱形，∴O为BD中点，又∵C是BF的中点，∴OC为VBDF的中位线，∴OCDF，②正确，故符合要求；∵四边形ABCD为菱形，∴DOBDBF，∴BF=4OD，③正确，故符合要求；∵CD是VBDF的中线，∴SDCF=SBCD，由菱形的性质可得SBCDS四边形ABCD，DCFS四边形ABCD，④正确，故符合要求；综上，正确的结论个数为4，故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，含30O的直角三角形，菱形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【答案】【答案】C【分析】先根据三角形中位线定理得到DE=5，再由直角三角形斜边上的中线的性质得到DFAB=2.5，则EF=DE_DF=2.5．【详解】解：∵DE为ABC的中位线，BC=10，∴DEBC=5，点D为AB的中点，【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知三角形中位线平行与第三边且等于第三边的一半是解题的关键．62023上·甘肃白银·九年级统考阶段练习）如图，在ABC中，7ACB=90O,7B=30O,AD平分7BAC，E是AD中点，若BD=9，则CE的长为()八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】【答案】D【分析】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据三角形内角和定理求出LBAC=60O，根据角平分线的定义，求出LDABLBAC=30O，根据直角三角形的性质解答即可．∵AD平分LBAC，∴LDABLBACLDAB=LB，∴AD=BD=9，在Rt△ACB中，E是AD中点，∴CEAD=4.5，故选：D72022·辽宁沈阳·统考模拟预测）如图，在RtABC中，LA=30O，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则LCED度数是()【答案】【答案】B【分析】因为点D、E分别是直角边AC、BC的中点，所以DE是RtABC的中位线，三角形的中位线平行于第三边，进而得到LB=LCED，求出LB的度数，即为LCED的度数．【详解】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，∴DE是RtABC的中位线，∴DE∥AB，∴LB=LCED，【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题的关键．82023·山东烟台·统考中考真题）如图，点G为ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】【答案】A【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【详解】解：∵点G为ΔABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝1.7，故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线．92023·山西吕梁·模拟预测）YABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，DOE的周长为15，则BD长()【答案】【答案】D 即可得到BD长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，其周长为36，对角线AC、BD相交于点O，∵点E是CD的中点，∴OE是ACD的中位线，DECD，∴OEAD，【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．102023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是()八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AM=BP，DN=CP，通过证明四边形MNDE是平行四边形，可得ME=DN，则AM+ME=AM+DN=(BP+CP)，作点C关于直线AD的对称点M，则BP+CP=BP+PM，点B，P，M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM．【详解】解：四边形ABCD是矩形LBAP=LCDP=90O，AD∥BC，点M，N分别是PB，PC的中点，：AMBP，DNCP，MNBC，MN∥BC，AD∥BC，MN∥BCMN∥BC，又ME∥DN四边形MNDE是平行四边形，如图，作点C关于直线AD的对称点M，连接PM，BM，当点B，P，M三点共线时，BP+PM的值最小，最小值为BM，在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，BC=AD=42，：AM+ME的最小值BM，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思112023·福建宁德·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，7ACB=90O，D为斜边AB的中点，E，F分别是AB，BC的中点，若AB=8，则EF的长为()【答案】【答案】A【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD，再根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，7ACB=90O，AB=8，D为斜边AB的中点，则CDAB=4，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是ABC的中位线，∴EFCD=2，故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．122023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，下列说法A．只有四边形ABCD为平行四边形，四边形EFGH才可能为平行四边形B．只有四边形ABCD为正方形，四边形EFGH才可能为正方形C．如果四边形ABCD为矩形，则四边形EFGH一定是菱形D．如果四边形ABCD为菱形，则四边形EFGH一定是菱形【答案】【答案】C【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：如图，∵点∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）∴∴EF∥AC，EFAC，GH∥AC，GHAC，EH∥BD，EHBD，∴EF=GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，故A不符合题意；∴平行四边形EFGH为正方形，故B不符合题意；∴平行四边形EFGH为菱形，C选项符合题意；∴平行四边形EFGH为矩形，D选项说法不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．142023下·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AC=12，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，…按此规律进行下去．对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是()结论Ⅱ：当BD=16时，四边形A4B4C4D4的周长是10．【答案】【答案】A【分析】根据中点四边形和AC丄BD可知四边形A1B1C1D1矩形，当BD=12时，可得AB求得A2B2C2D2的各边长，进而求得周长，以此类推即可解答．【详解】解：∵顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，BBB1C1D1是正方形，即结论Ⅰ正确；∴四边形A3B3C3D3的周长为10，即结论Ⅱ正确．故选A．【点睛】本题主要考查了中点四边形、正方形的判定、三角形中位线、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．152022·江苏扬州·统考中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B9处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB9于点P．若BC=12，则MP+MN=．【答案】【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得BD=DB9=1BB9和AD丄BC，由第二次折叠得到AM=DM，MN丄AD，进而得到MN∥BC，易得MN是△ADC的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：∵已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B9处，折痕AD交BC于点D，∴BD=DBBB9，AD丄BC．∵第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB9于点P，∵AM=DM，∴MN是△ADC的中位线，∴MPDB9，MNDC．2 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．162023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD，点E，点F分别是BM,CM中点，若EF=6，则AM的长为．【答案】【答案】8【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据AM=2MD即可得．【详解】点E，点F分别是BM,CM中点:EF是BCM的中位线:四边形ABCD是平行四边形:AD=BC=12又AM=2MD:AMADx12=8故答案为：8．【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题关键是熟记三角形中位线定理．172023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为．【答案】【答案】5【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∵E为AB的中点，∴DEAB=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．182022上·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在ABC中，7A=32O，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CDTAB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD=CE，则7BFC的度数为．【分析】由作图可知，MN是AC的垂直平分线，则E为AC的中点，如图，连接DE，则DE=AE=CE，根据7BFC=7DBE+7CDB，计算求解即可．【详解】解：由作图可知，MN是AC的垂直平分线，∴E为AC的中点，如图，连接DE，【点睛】本题考查了作垂线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．192023·四川成都·一模）在Rt△ABC中，7C=90O，AC=3【答案】【答案】/2.5【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：如图：∵∵7C=90O，D为AB的中点，∴CDAB故答案为：．【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．202023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在Rt△ABC中，7ABC=90O，点D为斜边AC的中点，连接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB=DE=2，则BD的长为． 【答案】5【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=CD=BDAC，证得△ABD是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出点E为AB的中点，从而得到DE是Rt△ABC的中位线，最后根据勾股定理求解即【详解】解：∵7ABC=90O，点D为Rt△ABC斜边AC的中点，∴AD=CD=BDAC，∴△ABD是等腰三角形，∴AE=BE，即点E为AB的中点，∴DE是Rt△ABC的中位线，∴BC=2DE=4，BDAC．故答案为：5．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定和勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．212023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC边的中点．若OC=6，OE=5，则菱形A八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）【答案】【答案】96【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得到AC=2OC=12，BC=2OE=10，再利用勾股定理求得OB=8，则BD=16，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．∵在RtBOC中，E为BC边的中点．OE=5，OC2∴菱形ABCD的面积为，故答案为：96．【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．222023·湖南长沙·校考三模）如图，在△ABD中，LADB=90O，LA=30O，AB=10，点E是边AB的中点.分别以点B，D为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧交于点C；连接CB，CD．(1)根据以上尺规作图的过程，请直接写出四边形BCDE的形状是；(2)在第（1）问的基础上，求四边形BCDE的面积．【答案】【答案】(1)菱形(【分析】（1）证明BC=BE=CD=DE即可2）证明BDE是等边三角形，可得结论．【详解】（1）四边形BCDE是菱形．理由：LADB=90O，BE=AE，:DE=BE=AEAB=5，八下数学复习专题：中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（精解版）:四边形BCDE是菱形．故答案为：菱形；（2）如图，作EF丄BD于点F，则LBFE=90O．EB=ED=5，:BDE是等边三角形，∴BD=5，:菱形BCDE的面积=2S△BDE=2xx5x【点睛】本题考查的是菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．232023下·山东德州·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,LAPB=LCPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】【答案】(1)见解析(2)菱形，证明见解