2026版《金版教程》高考一轮复习数学第三章 考点测试21 复数

高考总复习首选用卷数学考点测试21复数基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★对点复数的模共轭复数；复数的除法运算；复数的加法运算共轭复数；复数的分类；复数的乘法运算复数的几何意义；复数的混合运算复数相等；复数的乘、除运算复数的乘方；复数的模复数的几何意义；复数的除法运算；复数的概念共轭复数；复数的加、减运算；复数相等复数的概念；共轭复数；复数的模；复数的几何意义题号1011121314151617难度★★★★★★★★★★★对点复数的分类；共轭复数；复数的几何意义；复数的模；复数的乘法运算共轭复数；复数的模；复数的分类复数的混合运算共轭复数；复数的乘、除运算复数的模；复数的加、减运算；复数的几何意义复数与复平面内的点复数的几何意义；复数的除法运算在复数范围内解方程题号1819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★对点共轭复数；复数的模；复数的加、减运算；复数的几何意义复数模的几何意义；复数的模复数的分类；共轭复数；复数的混合运算；在复数范围内解方程复数的几何意义复数的概念；计数原理复数三角形式的应用复数的模；复数的混合运算；基本不等式共轭复数；复数相等；复数的模；复数的混合运算高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，低等难度考点研读1.理解复数的基本概念2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义1．(2025·四川达州通川区高三开学摸底联考)若复数z满足z＝eq\f(3＋i,1＋i)，则|z|＝()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)答案：D解析：由题意知z＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，所以|z|＝eq\r(5).故选D.2．(2025·河北保定高三上期末)已知复数z＝eq\f(3＋4i,1－i)，eq\o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－1 B．－iC．7 D．7i答案：A解析：因为z＝eq\f(3＋4i,1－i)＝eq\f(（3＋4i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(－1＋7i,2)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(7,2)i，所以z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(7,2)i))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(7,2)i))＝－1.故选A.3．已知复数z＝a＋2i，若eq\o(z,\s\up6(－))·(3＋i)是实数，则实数a＝()A．3 B．－3C．6 D．－6答案：C解析：由题意，得eq\o(z,\s\up6(－))＝a－2i，则eq\o(z,\s\up6(－))·(3＋i)＝3a＋2＋(a－6)i，所以a－6＝0，解得a＝6.故选C.4．已知eq\f(zi－1,i)＝－2＋2i，则复数z对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：B解析：因为eq\f(zi－1,i)＝－2＋2i，所以zi－1＝i(－2＋2i)＝－2－2i，所以zi＝－1－2i，则z＝eq\f(－1－2i,i)＝eq\f(（－1－2i）i,i2)＝－2＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限．故选B.5．(2024·广东佛山实验学校高三模拟)已知i为虚数单位，若eq\f(4－2i,1＋i)＝a＋bi3(a，b∈R)，则a＋b＝()A．4 B．－2C．0 D．6答案：A解析：因为eq\f(4－2i,1＋i)＝eq\f(2（2－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－3i，又a＋bi3＝a－bi，所以a＝1，b＝3，所以a＋b＝4.故选A.6．(2024·湖北鄂东南省示范高中教改联盟5月模拟)已知复数z满足eq\f(z,1＋3i)＝i2024(i为虚数单位)，则|z|＝()A．3 B.eq\r(10)C．4 D．5答案：B解析：由eq\f(z,1＋3i)＝i2024，得z＝i2024(1＋3i)＝1＋3i，所以|z|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).故选B.7．(2024·北京景山学校高三模拟)如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数eq\f(z,2＋i)的虚部为()A．－i B．1C．i D．－1答案：B解析：由题图，可得P(－1，2)，所以z＝－1＋2i，所以eq\f(z,2＋i)＝eq\f(－1＋2i,2＋i)＝eq\f(（－1＋2i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(5i,5)＝i，虚部为1.故选B.8．设2(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，则z＝()A．1－2i B．1＋2iC．1＋i D．1－i答案：C解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，2(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.9．(多选)(2025·广东部分中学高三开学摸底联考)若z在复平面内对应的点为A，z＋2eq\o(z,\s\up6(－))＝3＋eq\r(3)i，则()A．z的实部为1B．z的虚部为－eq\r(3)C．|z|＝4D．直线OA的倾斜角为eq\f(5π,6)答案：AB解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2eq\o(z,\s\up6(－))＝3＋eq\r(3)i，所以x＋yi＋2(x－yi)＝3x－yi＝3＋eq\r(3)i，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＝3，,－y＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\r(3)，))所以A，B正确；|z|＝eq\r(12＋（－\r(3)）2)＝2，所以C错误；z对应的点A的坐标为(1，－eq\r(3))，所以直线OA的倾斜角为eq\f(2π,3)，所以D错误．故选AB.10．(多选)已知复数z＝(1＋i)(2－ai)(a∈R)，则下列结论正确的是()A．若z为纯虚数，则a＝2B．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则a∈(－2，2)C．若a＝－1，则eq\o(z,\s\up6(－))＝1－3iD．若|z|＝2eq\r(2)，则a＝0答案：BCD解析：由z＝(1＋i)(2－ai)＝2＋a＋(2－a)i，若z为纯虚数，则2＋a＝0且2－a≠0，则a＝－2，故A错误；若z在复平面内对应的点位于第一象限，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋a>0，,2－a>0，))解得－2<a<2，即a∈(－2，2)，故B正确；若a＝－1，则z＝2－1＋(2＋1)i＝1＋3i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝1－3i，故C正确；若|z|＝2eq\r(2)，则|z|＝eq\r(（2＋a）2＋（2－a）2)＝eq\r(8＋2a2)＝2eq\r(2)，解得a＝0，故D正确．故选BCD.11．(多选)(2024·福建厦门一中高三模拟)已知复数z1，z2，下列说法正确的是()A．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2B．|z1z2|＝|z1||z2|C．z1eq\o(z,\s\up6(－))1＝|z1|2D．若zeq\o\al(2,1)＝eq\o(z,\s\up6(－))eq\o\al(2,1)，则z1为实数答案：BC解析：对于A，当z1＝3＋4i，z2＝4＋3i时，|z1|＝eq\r(9＋16)＝5，|z2|＝eq\r(16＋9)＝5，满足|z1|＝|z2|，但z1≠z2，故A错误；对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1z2|＝eq\r(（ac－bd）2＋（ad＋bc）2)＝eq\r(a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2)＝eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)＝|z1||z2|，故B正确；对于C，设z1＝a＋bi，a，b∈R，eq\o(z,\s\up6(－))1＝a－bi，z1eq\o(z,\s\up6(－))1＝a2＋b2，|z1|2＝a2＋b2，故C正确；对于D，设z1＝a＋bi，a，b∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))1＝a－bi，zeq\o\al(2,1)＝a2－b2＋2abi，eq\o(z,\s\up6(－))eq\o\al(2,1)＝a2－b2－2abi，当a＝0或b＝0时，zeq\o\al(2,1)＝eq\o(z,\s\up6(－))eq\o\al(2,1)，故D错误．故选BC.12．计算：eq\f(（1＋i）3（\r(3)－i）,1＋\r(3)i)＝________．答案：2＋2i解析：eq\f(（1＋i）3（\r(3)－i）,1＋\r(3)i)＝eq\f(（－2＋2i）（\r(3)－i）,1＋\r(3)i)＝eq\f(（－2＋2i）（\r(3)－i）（1－\r(3)i）,（1＋\r(3)i）（1－\r(3)i）)＝eq\f(（－1＋i）（－4i）,2)＝2＋2i.13．(2025·湖南岳阳平江县高三模拟)已知复数z满足(2z＋3)i＝3z，则eq\o(z,\s\up6(－))＝________．答案：－eq\f(6,13)－eq\f(9,13)i解析：因为(2z＋3)i＝3z，2zi＋3i＝3z，(3－2i)z＝3i，所以z＝eq\f(3i,3－2i)＝eq\f(3i（3＋2i）,（3－2i）（3＋2i）)＝eq\f(－6＋9i,13)＝－eq\f(6,13)＋eq\f(9,13)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(6,13)－eq\f(9,13)i.14．在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线y＝x对称，若z1＝2＋i，则|z2＋1－3i|＝________．答案：eq\r(5)解析：因为z1＝2＋i，所以其对应的点为(2，1)，点(2，1)关于直线y＝x对称的点为(1，2)，则z2＝1＋2i，所以|z2＋1－3i|＝|1＋2i＋1－3i|＝|2－i|＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).15．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)复平面内A，B，C三点所对应的复数分别为1－i，2－i，3＋i，若四边形ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为()A．2 B．2＋iC．1 D．1＋i答案：B解析：由题意知，A，B，C三点的坐标分别为(1，－1)，(2，－1)，(3，1)，设点D(x，y)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，1－y)，又四边形ABCD是平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＝1，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))则D(2，1)，即点D对应的复数为2＋i.故选B.16．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(z1,z2)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：由复数的几何意义知，z1＝1－2i，z2＝1＋i，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(1－2i,1＋i)＝eq\f(（1－2i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(3,2)))，位于第三象限．故选C.17．(2025·湖北新高考联考协作体高三开学考试)已知b，λ∈R，虚数z＝1＋bi是方程2x2＋λx＋3＝0的根，则λ＝()A．－4 B．－2C．4 D．2答案：A解析：z＝1＋bi是方程的根，则方程的另一根为eq\o(z,\s\up6(－))＝1－bi，故z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(λ,2)＝2，解得λ＝－4.故选A.18．(2024·江苏南京三模)已知复数z满足|z－eq\o(z,\s\up6(－))|2＝z＋eq\o(z,\s\up6(－))，则复数z在复平面内对应点的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案：D解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝x－yi，所以z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝x＋yi＋x－yi＝2x，z－eq\o(z,\s\up6(－))＝(x＋yi)－(x－yi)＝2yi，所以|z－eq\o(z,\s\up6(－))|2＝4y2，又|z－eq\o(z,\s\up6(－))|2＝z＋eq\o(z,\s\up6(－))，所以4y2＝2x，即y2＝eq\f(1,2)x，所以复数z在复平面内对应点的轨迹为抛物线．故选D.19．(2024·黑龙江牡丹江一模)已知i为虚数单位，复数z＝a＋bi，a，b∈R且满足|z－i|＝eq\r(2)，则点Z(a，b)到直线y＝x＋3距离的最大值为()A．0 B．2eq\r(2)－2C.eq\r(2) D．2eq\r(2)答案：D解析：z＝a＋bi，|z－i|＝eq\r(2)，则|a＋(b－1)i|＝eq\r(2)，即a2＋(b－1)2＝2，则点z的轨迹是圆心为(0，1)，半径为r＝eq\r(2)的圆，圆心(0，1)到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|0－1＋3|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，故点Z(a，b)到直线y＝x＋3距离的最大值为d＋r＝eq\r(2)＋eq\r(2)＝2eq\r(2).故选D.20．(多选)(2024·广西桂林模拟)已知a，b∈R，z是纯虚数，eq\o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，且a－3z＝(－3－z)i(i为虚数单位)，则()A．a＝1，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝1B．b＋z＝b－eq\o(z,\s\up6(－))C．|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－z,1＋z)))\s\up12(2)))D．z是方程x2－(b＋i)x＋bi＝0的一个根答案：ACD解析：由题意，设z＝ti(t∈R)，因为a－3z＝(－3－z)i，所以a－3ti＝(－3－ti)i＝t－3i，所以a＝t＝1，所以z＝i，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝i×(－i)＝1，故A正确；b＋i＝b－i，b－eq\o(z,\s\up6(－))＝b＋i，所以b＋z≠b－eq\o(z,\s\up6(－))，故B错误；|z|＝|i|＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－z,1＋z)))\s\up12(2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))\s\up12(2)))＝|(－i)2|＝|－1|＝1，所以|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－z,1＋z)))\s\up12(2)))，故C正确；因为i2－(b＋i)×i＋bi＝－1－bi－(－1)＋bi＝0，所以z是方程x2－(b＋i)x＋bi＝0的一个根，故D正确．故选ACD.21．若复数z－eq\f(4,3)和z＋i在复平面内分别对应点Z1，Z2，则这两点的距离为________．答案：eq\f(5,3)解析：由题意可得，Z1，Z2两点的距离为|z1－z2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z－\f(4,3)))－（z＋i）))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)－i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋（－1）2)＝eq\f(5,3).22．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中依次任取两数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．答案：42解析：依题意，当且仅当b≠0时，复数a＋bi表示虚数，故可用间接法，先考虑从{0，1，2，3，4，5，6}中可放回地任取两个数作为a，b，有7×7＝49个复数，再去掉b＝0时实数的个数7，即得虚数有49－7＝42个．23．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R)都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是()A．当r＝1，θ＝eq\f(π,4)时，z＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)iB．当r＝1，θ＝eq\f(π,4)时，z4＝1C．当r＝1，θ＝eq\f(π,4)且n为偶数时，zn为实数D．|z|4＝|z4|答案：AD解析：由题意知z＝coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)i，A正确；由题意知z4＝coseq\f(4π,4)＋isineq\f(4π,4)＝－1＋0×i＝－1，B错误；由题意知zn＝coseq\f(nπ,4)＋isineq\f(nπ,4)，令n＝2k，k∈Z，则zn＝coseq\f(kπ,2)＋isineq\f(kπ,2)，当k＝1时，z2＝coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2)＝i，C错误；|z|4＝|r(cosθ＋isinθ)|4＝|r·eq\