《线性代数（第7版）》第一章 行列式

1线性代数2第一章

行列式3

本章主要介绍行列式的定义、性质、计算方法以及利用行列式求解线性方程组的克莱姆法则.我们首先从二阶、三阶行列式入手,以直观的形式帮助大家理解行列式的定义、计算规则及其代表的几何意义;然后探究行列式的诸多性质,并在此基础上学习行列式按行(列)展开的方法;最后介绍如何运用行列式来求解线性方程组,也就是著名的克莱姆法则.4§1.1

二阶、三阶行列式一、二阶行列式5方程组有唯一解6引入记号定义称为二阶行列式.主对角线对角线法则二阶行列式的计算7记对于二元线性方程组称为系数行列式则方程组有唯一解---克莱姆法则8例1

在几何上，二阶行列式可以用于求解由平面上两个向量所张成的平行四边形的面积.比如行列式这个行列式的值等于由三个点(0,0),(5,3),(-1,2)所张成的平行四边形的面积，如图所示：O(0,0)DA(5,3)B(-1,2)9解例210补例解11二、三阶行列式三元线性方程组12引入记号定义称为三阶行列式.13对角线法则说明：

(1)三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.(2)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．14如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组—克莱姆法则记则该方程组的解为15例3

解按对角线法则，有16例4解即为所求充分必要条件.17例5解方程左端18补例解线性方程组解19故方程组的解为小结：20

二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算21一、排列与逆序

由n个不同数码1,2,…,n

组成的有序数组i1i2…in,称为一个n级排列.定义1.1

在一个n级排列i1i2…in中,如果有较大的数it排在较小的数is前面(is<it),则称it与is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为

N(i1i2…in).n级排列共有n!个.

如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇数,则称为奇排列,是偶数或0则称为偶排列.§1.2

n阶行列式22例1

排列326145中，326145N(326145)=6，例如偶排列n元自然序排列，偶排列当n=4k

或

4k+1时，n

(n-1)…2

1是偶排列；当n=4k+2

或

4k+3时，n

(n-1)…21是奇排列.23

在一个排列i1…is…it…in中，如果仅将它的两个数码is与it对调，其它数码不变，得到另一个排列,这样的变换，称为一个对换.定理1.1

任一排列经过一次对换后改变奇偶性.证

(1)

首先讨论对换相邻两个数字的特殊情形，设排列为

比较上面两个排列中的逆序,A,B

中数字的次序没有改变,i和j分别与A,B

中数字的次序也没有改变,仅仅改变了i与j24(2)

下面讨论一般情形，设排列为

的次序,因此,新排列仅比原排列增加了一个逆序(当i<j时),或减少了一个逆序(当

i>j时),所以它们的奇偶性相反.即新排列可以由原排列经过2s+1次相邻对换得到.由(1)的结论可知,它改变了奇数次奇偶性,所以它与原排列的奇偶性相反.25定理1.2

n个数字(n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半.

26排列逆序逆序数奇偶性123无0偶排列132321奇排列213211奇排列23121,312偶排列31231,322偶排列32121,31,323奇排列3级排列共有3

!=6种.其排列情况见下表：27二、

n

阶行列式的定义(1)三阶行列式共有3!

=6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列312是偶排列,列标排列132是奇排列,2829定义1.2用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的记号定义为determinantn阶行列式是n!项的代数和,不同列的n个元素的乘积.每项都是位于不同行、30所表示的代数和中有4

!=24项.例如，四阶行列式例如,a11a22a33a44项取号,a11a24a33a44不是D的项.a14a23a31a42项取号,+-31

D中各项中不为零的项只有a11a22…ann，其他项均为零，由于N(12…n)=0，因此这一项取正号，得例2

计算下三角行列式解32同理可得上三角行列式特殊情况：对角行列式33特殊情况：34例3.用行列式的定义计算行列式解35补例

设含的项有两项，即解36定理1.3的一般项可以记为n

阶行列式D=n阶行列式定义中各项的符号还可由下面的结论来确定.证3738或者，n阶行列式的另一等价定义为：n阶行列式的等价定义有：39解.由行列式的定义,每一项中的元素取自不同行、不同列,故有j=3,且当i

=1时k=5,或当i

=5时k=1.当i=1,j=3,k=5时,N(14325)+N(52314)=9,该项前应冠以负号,所以-a15a42a33a21a54

为|aij|的一项.当i=5,j=3,k=1时,N(54321)+N(52314)=16,该项前应冠以正号,所以a55a42a33a21a14

为|aij|的一项.例4.

若是五阶行列式的一项,则i,j,k

应为何值?此时该项的符号是什么?40§1.3

行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等，即行列式称为行列式D

的转置行列式.记41证

记D的一般项为记它的元素在D中既不同行又不同列，因而在DT中也既不同列又不同行.所以这n个元素的乘积在DT中应为说明

行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立.42性质2交换行列式的两行(列),行列式的值变号.证设交换D的第i行和第s行，得到行列式43记D的一般项中n个元素的乘积为它的元素在D中既不同行又不同列,因而在D1中也既不同行又不同列,所以也是D1的一般项的n个元素的乘积.由于D1是交换D

的第i行与第s

行,而各元素所在的列并没有改变,所以它在D

中的符号为44在D1中的符号则为

推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.证互换相同的两行，有45由性质1可知，该推论对列的情形也成立.同样，行列式的某些性质都只对行的情形加以证明就足够了.性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数

k，等于用数

k

乘此行列式,即46证推论1

行列式的某一行(列)中所有元素若有公因子,则公因子可以提到行列式外面.推论2如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式的值等于零.因为行列式D1的一般项为

47性质4若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则此行列式可以拆成两个行列式的和，

即若48证

因为D的一般项是

推论如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m

为大于2的整数)的和,则此行列式可以写成m个行列式的和.49补例

证明由性质4，

证上式左边

50由性质2的推论，第二、第三个行列式的值为0；

再由性质4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，

上式注意：一次只能拆一行或一列.51性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.证设列column行row52利用行列式的性质计算行列式，可以使计算简化.由性质4以及性质3的推论2可得53例1

计算行列式解

因为第一列与第二列对应元素成比例,所以根据性质3的推论2,得D

=0.例2

证明奇数阶反对称行列式的值为0，其中，反对称行列式为下列形式的行列式：,其特点是54解

设利用行列式的性质1及性质3的推论1,有55因此当n为奇数时有56

解

例3

设

求57

计算行列式时,常利用行列式的性质,把它化为三角形行列式来计算.例如,化为上三角形行列式的步骤是:设第一列第一行的元素不为0,若第一列第一行的元素为0,先将第一行与其他行交换,使第一列第一行的元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其他各行,使第一列除第一行元素外其他行元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式;依此类推,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值.58解

例4计算行列式59例5计算行列式解

60例6计算n阶行列式解将第2,3,…,n

列都加到第1列得“全加法”6162所求行列式是n+1阶行列式，从第二行开始，逐行加它的上一列，例7解63上三角64从第2行开始，每行减去第一行，

例8解6566§1.4行列式按行(列)展开一、行列式按某一行(列)展开以三阶行列式为例67例如定义1.36869行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.70

n

阶行列式

D

=

|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即或按第i行展开按第j列展开证定理1.4

(1)首先讨论D的第一行中的元素除a11不等于零外，其余元素都为零的特殊情形，即71

72

(2)其次讨论D的第i行的元素除aij不等于零外，其余元素都为零的情形，即73(3)最后讨论一般的情形：74由1.3节性质4的推论及上述(2)的结论，可得75

同理可证将D按列占开的情形.例如

设76因为第i行第j行按第j行展开定理1.5行列式某一行(列)的元素乘另一行(列)对应元素的代数余子式之和等于零,即证77同样，行列式对列展开,也有则有78例1分别按第一行与第二列展开行列式解按第一行展开按第二列展开79计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列)化出较多的零，再利用展开定理按该行(列)展开.例8081例2计算行列式解82例3解83例4解从第一行开始，逐行减去下一行，8485再从第一行开始，逐行减去下一行86递推法例5计算行列式解按第一行展开，递推得87证用数学归纳法，例6证明范德蒙(Vandermonde)行列式8889n–

1阶范德蒙行列式9091例7

计算行列式解利用范德蒙行列式的结论92*二、行列式按某k

行(列)展开93

例8用拉普拉斯定理求行列式解按照第一行和第二行展开9495§1.5

克莱姆法则定理1.7(克莱姆法则)如果线性方程组的系数行列式不等于零，即那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表示为96证其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即97(1.13)9899例1解所以方程组的解为101补例

用克莱姆法则解方程组解102所以方程组有唯一解,103104105例2

《九章算术》是中国古代最重要的数学典籍之一,约成书于公元1世纪,全书共收录246个与生产和生活密切相关的数学问题,称得上是中国古代数学的“百科全书”,也对世界数学发展产生了深远影响.《九章算术》卷八名为“方程”,是“方程”一词的最早出处,书中首次系统地提出了线性方程组的解法,解法中也出现了三阶行列式的雏形.《九章算术》卷八的第三个问题:“今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗;上取中,中取下,下取上各一秉而实满斗.问上、中、下禾实一秉各几何?”根据题意列出方程组,并求其解.解问题中的“禾”指禾谷,即粮食作物;“秉”是古代计量单位,1秉即