沪科版九年级数学第24章 圆 【整合提升密码】

专训1圆中常见的计算题型

名师点金：与圆有关的计算主要涉及圆与其他几何图形结合，利用圆周角定

理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、

半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算

弧长、扇形面积等.

魄要工有关角度的计算

1.如图，是4ABC的内切圆，D,E,F为三个切点.若NDEF=52。，

则NA的度数为（）

A.76°B.68°C.52°D.38°

（第2题）

2.如图，有一圆经过aABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与R相交于D

点.若NB=74。，ZC=46°,则⑪所对圆心角的度数为（）

A.23°B.28°C.30°D.37°

3.（中考•娄底）如图，在。O中，AB,CD是直径，BE是切线，B为切点,

连接AD,BC,BD.

（1）求证：AABD^ACDB；

（2）若NDBE=37。，求NADC的度数.

灌密Z半径、弦长的计算

4.（中考•南京）如图，在。。中，CD是直径，弦ABLCD,垂足为E,连接

BC,若AB=2啦cm，ZBCD=22°30\则。。的半径为

c

5.如图，AB为。0的直径，延长AB至点D,使BD=OB,DC切。0于

点C,点B是饼的中点，弦CF交AB于点E.若。0的半径为2,则CF=.

6.如图，在。。中，直径AB与弦AC的夹角为30。，过点C作。O的切线

交AB的延长线于点D,OD=30cm.求直径AB的长.

（第6题）

建筌受面积的计算

7.（中考•丽水）如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。O分别与

BC,AC交于点D,E,过点D作。O的切线DF,交AC于点F.

⑴求证：DF_LAC；

⑵若00的半径为4,ZCDF=22.5°,求阴影部分的面积.

（第7题）

专训2圆中常用的作辅助线的方法

名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题

目特点选择恰当的辅助线至关重要.圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同

圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径

所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等.

方选1：作半径，巧用同圆的半径相等

1.如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆0上,

顶点B,C在半圆0的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆。上，E点在

半圆0的直径上，点G在大正方形的边AB上.若小正方形的边长为4cm,求

该半圆的半径.

为法2连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等

2.如图，圆内接三角形ABC的外角NACM的平分线与圆交于D点,

DP±AC,垂足是P,DH±BM,垂足为H,求证：AP=BH.

(第2题)

多谈3作直径，巧用直径所对的圆周角是直角

3.如图，。。的半径为R,弦AB,CD互相垂直，连接AD,BC.

(1)求证：AD2+BC2=4R2；

(2)若弦AD,BC的长是方程x2—6x+5=0的两个根(AD>BC),求。。的半

径及点0到AD的距离.

(第3题)

:方法4证切线时辅助线作法的应用

4.如图，Z\ABC内接于。O,CA=CB,CD〃AB且与0A的延长线交于

点D.判断CD与的位置关系，并说明理由.【导学号：317821051

（第4题）

堡法5.遇弦加弦心距或半径

5.如图，在半径为5的。。中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,

且AB=CD=8,则OP的长为（）

A.3B.4C.372D.4&

（第5题）

（第6题）

6.（中考•贵港）如图，AB是。O的弦，OHLAB于点H,点P是优弧上一

点，若AB=24，OH=1,则NAPB=.

至碳直遇直径巧作直径所对的圆周角

7.如图，在AABC中，AB=BC=2,以AB为直径的。0分别交BC,AC

于点D,E,且点D是BC的中点.

（1）求证：aABC为等边三角形.

（2）求DE的长.

（第7题）

咬磷乙遇切线巧作过切点的半径

8.如图，。。是RfaABC的外接圆，ZABC=90°,点P是圆外一点，PA

切。。于点A,且PA=PB.

（1）求证：PB是。。的切线；

（2）已知PA=S，ZACB=60°,求。。的半径.【导学号：31782106]

（第8题）

宣法目巧添辅助线计算阴影部分的面积

9.（中考咱贡）如图，点B,C,D都在。。上，过点C作AC〃BD交OB

的延长线于点A,连接CD,且NCDB=NOBD=30。，DB=6小cm.

（1）求证：AC是。O的切线；

（2）求由弦CD,BD与所围成的阴影部分的面积（结果保留兀）.【导学号:

31782107]

（第9题）

专训3圆的实际应用

名师点金：与圆有关的知识在实际生活中有着广泛的应用，从实际生活中抽

象出数学问题，并运用圆的相关知识解决这些问题，可以达到学以致用的目的.

调他...J利用垂径定理解决台风问题

1.如图，台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度

为30km/h,受影响区域的半径为200km,B市位于点P北偏东75。的方向上，

距离P点320km处.

（1）试说明台风是否会影响B市；

（2）若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间.

（第1题）

邈券鱼度方利用圆周角知识解决足球射门问题（转化思想）

2.如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当

他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是

由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门.

从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？

（第2题）

酒姆嗑，熨3：利用直线与圆的位置关系解决范围问题

3.已知A,B两地相距16.要在A,B两地之间修建一条笔直的水渠（即图

中的线段AB）,经测量在A地的北偏东60。方向，B地的北偏西45。方向的C处

有一个以C为圆心，350〃z为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公

园？为什么？

（第3题）

避舔通度4利用圆锥侧面展开图解决材料最省问题

4.如图，某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20cm,高为406

c机的圆锥形漏斗，要求只能有一条接缝(接缝忽略不计)，请问：选长、宽分别为

多少厘米的矩形铁皮，才能使所用材料最省？

(第4题)

专训4与圆有关的动态问题

名师点金：对于与圆有关的运动情形下的几何问题，在探究求值问题时，通

常应对运动过程中所有可能出现的不同情形进行分析，如果符合某些条件的点、

线等几何图形不唯一，要注意分类讨论，在探究确定结论成立情况下的已知条件

时，可以把确定结论当作已知用.

避标逸度；利用圆探究运动中形成的特殊几何图形问题

1.如图，AB是半圆。的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B

以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm,点O到BC的距离为4cm.

(1)求弦BC的长；

(2)经过几秒aBPC是等腰三角形？(PB不能为底边)

C

AOB

(第1题)

2.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画。O,P

是。O上一动点，且P在第一象限内，过点P作。。的切线与x轴相交于点A,

与y轴相交于点B.

(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最

小值，并说明理由；

(2)在。O上是否存在一点Q,使得以Q,O,A,P为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

-10

、-1

（第2题）

12座逾魂击利用圆探究运动中的特殊位置关系问题

3.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=12cm,AD

=8cm,BC=22C7",AB为。0的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以

Icm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P,

Q分别从点A,C同时出发.当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止

运动.设运动时间为ts.当t为何值时，PQ与。0相切？

（第3题）

创飨嚼度士利用圆探究运动中的面积问题

4.如图，在。0中，AB为。0的直径，AC是弦，0C=4,ZOAC=60°.

（1）求NAOC的度数；

（2）如图，一动点M从A点出发，在上按逆时针方向运动，当SAMAO=

SMAO时，求动点M所经过的弧长.【导学号：31782108）

A

M

（第4题）

专训5圆与学科内的综合应用

名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点，在

中考中常常与三角函数、相似、二次函数等结合，作为压轴题出现.

遨用上圆与三角函数的综合

1.(中考•遂宁)如图，AB为。。的直径，直线CD切。0于点D,AM1CD

于点M,BN_LCD于点N.

(1)求证：ZADC=ZABD；

(2)求证：AD2=AMAB；

1Q3

(3)若AM=5，sinZABD=^,求线段BN的长.【导学号：31782109]

(第1题)

:及更2.圆与相似的综合

2.如图，R〃\ABC内接于。0,NACB=90。，点P在弧AB上移动，P,C

分别位于AB的异侧(P不与A,B重合)，APCD也为直角三角形，ZPCD=90°,

且用4PCD的斜边PD经过点B,BA,PC相交于点E.

(1)当BA平分NPBC时，求B器E的值；

(2)已知AC=1,BC=2,求aPCD面积的最大值.【导学号：31782110]

(第2题)

一用3圆与二次函数的综合

3.如图，在平面直角坐标系中，OA与x轴相交于C(—2,0),D(-8,0)

两点，与y轴相切于点B(0,4).

(1)求经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式.

(2)设抛物线的顶点为E,证明：直线CE与OA相切.

(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F,使4BDF面积最大，最大值

是多少？并求出点F的坐标.【导学号：31782111】

（第3题）

专训6：全章热门考点整合应用

名师点金：圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点.本

章题型广泛，主要考查旋转、圆的概念和基本性质、圆周角定理及其推论、直线

与圆的位置关系、切线的性质和判定、正多边形与圆的计算和证明等，通常以这

些知识为载体，与函数、方程等知识综合考查.全章热门考点可概括为：三个概

念、三个定理、三个关系、两个圆与三角形、三个公式、三个技巧、两种思想.

老义工三个概念

概念1：旋转

1.如图，将一个钝角三角形ABC（其中NABC=120。）绕点B按顺时针方向

旋转得△AIBCI，使得点C落在AB的延长线上的点Ci处，连接AA|.

（1）求出旋转角的度数；

（2）求证：ZA|AC=ZC|.

（第1题）

概念2：中心对称和中心对称图形

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

概念3：圆的相关概念

3.下列说法正确的是（）

A.直径是弦，弦也是直径

B.半圆是弧，弧是半圆

C.无论过圆内哪一点，只能作一条直径

D.在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍

澧M三个定理

定理1：垂径定理

4.(中考•北京)如图，AB是。0的直径，过点B作。0的切线BM,弦

CD〃BM,交AB于点E且l5A=比，连接AC,AD,延长AD交BM于点E.

(1)求证：△ACD是等边三角形；

(2)连接0E,若DE=2,求0E的长.

(第4题)

定理2：圆心角、弦、弧间的关系定理

5.如图，AB是。0的直径，点C在。0上，ZAOC=40°,D是配的中点,

求/ACD的度数.

(第5题)

定理3：圆周角定理

6.如图，已知AB是。0的弦，0B=2,ZB=30°,C是弦AB上任意一

点(不与点A,B重合)，连接CO并延长CO交。0于点D,连接AD.

(1)弦长AB等于(结果保留根号).

(2)当ND=20。时，求NBOD的度数.

(3)当AC的长度为多少时，以点A,C,D为顶点的三角形与以点B,C,0

为顶点的三角形相似？

(第6题)

考点3三个关系

关系1：点与圆的位置关系

7.如图，有两条公路OM,ON相交成30。角，沿公路OM方向离两条公路

的交叉处O点80机的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖

拉机50m范围内会受到噪音影响，已知有两台相距30m的拖拉机正沿ON方向

行驶，它们的速度均为5〃心，则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪

音影响的时间是多少？

关系2：直线与圆的位置关系

8.如图，已知O为原点，点A的坐标为(4,3),OA的半径为2.过A作直

线1平行于x轴，交y轴于点B,点P在直线1上运动.

(1)当点P在。A上时，请你直接写出它的坐标；

(2)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与。A的位置关系，并说明理由.

(第8题)

关系3：正多边形和圆的位置关系

9.如图，已知。O的内接正十边形ABCD…，AD分别交OB,OC于M,

N.求证：

(1)MN〃BC；

(2)MN+BC=OB.

（第9题）

<4-1两个圆与三角形

圆与三角形1：三角形的外接圆

10.（中考•哈尔滨）如图，。。是aABC的外接圆，弦BD交AC于点E,连

接CD,且AE=DE,BC=CE.

（1）求NACB的度数；

（2）过点O作OFLAC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求

AB的长.

（第10题）

圆与三角形2：三角形的内切圆

11.如图，若AABC的三边长分别为AB=9,BC=5,CA=6,AABC的

内切圆。。切AB,

BC,AC于点D,E,F,则AF的长为（）

A.5B.3

C.4.5D.4

澧:总之三个公式

公式1：弧长公式

12.如图，已知正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长

线上的点，在A,P之间拉一条长为12的无伸缩性细线，一端固定在点A,

握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点

P运动的路径长为（）

A.13兀cmB.147rcm

C.15TTcmD.16冗cm

E/

YD

（第12题）

（第13题）

公式2：扇形面积公式

13.设计一个商标图案，如图，在矩形ABCD中，若AB=2BC,且AB=8

a”,以点A为圆心,AD长为半径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（）

A.（4^+8）cirTB.（4^+16）cm2

C.（3^+8）cnrD.（3^+16）cm2

公式3：圆锥的侧面积和全面积公式

14.在手工课上，王红制成了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为

10cm,母线长为50cm,则制作一顶这样的纸帽所需纸板的面积至少为（）

A.25Cbrc〃JB.500^cnT

C.750兀cn?口.1000万。〃，

15.已知圆锥底面圆的半径为2,母线长是4,则它的全面积为（）

A.4兀B.8兀C.127rD.16兀

蔻整三个技巧

技巧1：作中心对称图形探究线段之间的关系

16.（探究题）如图，在四边形ABCD中，AB〃DC,E为BC边的中点，ZBAE

=ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F.

（1）作出4ABE关于点E成中心对称的图形；

（2）探究线段AB与AF,CF之间的数量关系，并证明你的结论.

（第16题）

技巧2：作同弧所对的圆周角（特别的：直径所对的圆周角）

17.如图，直线PQ与。0相交于点A,B,BC是。0的直径，BD平分NCBQ

交。0于点D,过点D作DE_LPQ,垂足为E.连接AD,已知BC=10,BE=2,

求s山ZBAD的值.

（第17题）

技巧3：作半径（特别的：垂直于弦的半径、过切点的半径）

18.如图，。。的半径为4,B是。0外一点，连接0B,且0B=6.过点B

作。0的切线BD,切点为D,延长B0交。0于点A,过点A作切线BD的垂

线，垂足为C.

（1）求证：AD平分NBAC.

（2）求AC的长.

（第18题）

叁我7一两种思想

思想1：分类讨论思想

19.已知在半径为1的。0中，弦AC=巾,弦AB=小，则NCAB=

思想2：方程思想

20.如图，在放AABC中，ZABC=90°,。。切BC于点B,切AC于点

D,交AB于点E.若BC=BE,AE=2,求AD的长.

（第20题）

答案

专训1

1.A

2.B点拨：•.•有一圆经过aABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与R相

交于D点，.•.前所对的圆心角的度数=2NC=2X46o=92。，AEC所对的圆心

角的度数=2/8=2义74。=148。=&）所对的圆心角的度数+比所对的圆心角

的度数=后所对的圆心角的度数+BAD所对的圆心角的度数=®）所对的圆心

角的度数+@所对的圆心角的度数+云$所对的圆心角的度数，...&）所对的圆

心角的度数=/148。-92。）=28。.故选B.

3.（1）证明：'.'AB,CD是直径，AZADB=ZCBD=90°.

AB=CD,

在/?/AABD和7?/ACDB中，\

[BD=DB,

（2）解：•..BE是切线，,•.AB±BE./.ZABE=90°.

VZDBE=37°,，NABD=53°.

VOD=OA,AZODA=ZBAD=90°-53°=37°,

即NADC的度数为37。.

4.2cm点拨：连接OB,VZBCD=22°30,,/.ZBOD=2ZBCD=

45°.VAB±CD,，BE=AE=；AB=；X2^=&(cm),ABOE为等腰直角三角

形，，OB=&BE=2cm,故答案为2cm.

5.2小

6.解：连接OC.；NA=30°,ZCOD=60°.

二•DC切。。于C,AZOCD=90°.AZD=30°.

VOD=30cm,OC=|oD=15cm.

.*.AB=2OC=30cw,

A

7.⑴证明:如图，连接OD,

VOB=OD,.*.ZABC=ZODB.

VAB=AC,/.ZABC=ZACB.

:.ZODB=ZACB.OD〃AC.

•.•DF是。O的切线，ADF1OD.

.,.DF±AC.

(2)解:如图，连接OE,

VDF1AC,ZCDF=22.5°,

ZABC=ZACB=67.5°,

AZBAC=45°.

VOA=OE,/.ZAOE=90o.

VOO的半径为4,••S扇形AOE=4TT，SAAOE=8.

••S阴影=S扇形AOE-S^AOE=4兀-8.

专训2

D.-------

COBE

(第1题)

1.解：连接OA,OF,如图.设OA=OF=rcm,AB=acm.

在一△OAB中,r2=Q'+a2,

22

在RtAOEF中，r=4+(^4+1J,

22

.*.-^+a2=16+16+4aH-^,解得a1=8,a2=—4(舍去).

.•.”=(1)-+82=80,.•.ri=4小，n=—4小(舍去)，即该半圆的半径为4小

cm.

点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形

或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题.

2.证明：连接AD,BD.VZDAC,NDBC是余所对的圆周角.

-,.ZDAC=ZDBC.

〈CD平分NACM,DP±AC,DH±CM,,，.DP=DH.

fNDAP=NDBH,

在AADP和△BDH中，<ZDPA=ZDHB=90°,

[DP=DH,

/.△ADP^ABDH,AAP=BH.

点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”

得到NDAC=NDBC,为证两三角形全等创造了条件.

3.⑴证明：过点D作。。的直径DE,连接AE,EC,AC.

•.'DE是。O的直径，.*.ZECD=ZEAD=90o.

又•.'CDLAB,，EC〃AB,

AZBAC=ZACE.

,，.BC=AE..，.BC=AE.

在RtAAED中，AD2+AE2=DE2,

.,.AD2+BC2=4R2,

(2)解：过点O作OF,AD于点F.

•.•弦AD,BC的长是方程X2-6X+5=0的两个根(AD>BC),

；.AD=5,BC=1.

222222

由(1)知，AD+BC=4R,.•.5+l=4R＞，R=亭.

VZEAD=90°,OF，AD,，OF〃EA.

又丁。为DE的中点，.•.OF=gAE=；BC=；,即点O到AD的距离为;.

点拨：本题作出直径DE,利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直

角三角形，给解题带来了方便.

4.解：CD与。0相切，理由如下：如图，作直径CE,连接AE.

（第4题）

•.•CE是直径，/.ZEAC=90°.

•,.ZE+ZACE=90°.

:CA=CB,/.ZB=ZCAB.

•.•AB〃CD,

，ZACD=ZCAB.

VZB=ZE,/.ZACD=ZE,

.*.ZACE+ZACD=90°,即OC_LDC.又OC为。O的半径，ACD与。0

相切.

5.C6.60°

(第7题)

7.⑴证明：连接AD,二•AB是。O的直径，

...NADB=90。.•.•点D是BC的中点，.'AD是线段BC的垂直平分线,

，AB=AC.

VAB=BC,/.AB=BC=AC,

/.△ABC为等边三角形.

(2)解：连接BE.

TAB是直径，/.ZAEB=90°,/.BE±AC,

•.'△ABC是等边三角形，，AE=EC,即E为AC的中点.

•.•D是BC的中点，故DE为aABC的中位线.

.,.DE=；AB=；X2=L

8.(1)证明:连接OB,VOA=OB,NOAB=NOBA.

VPA=PB,/.ZPAB=ZPBA.

，ZOAB+ZPAB=ZOBA+ZPBA,即ZPAO=ZPBO.

又是。O的切线，/.ZPAO=90°.

.,.ZPBO=90°./.OB±PB.

又；OB是。。的半径，，PB是。。的切线.

(2)解：连接OP,

•.•PA=PB,...点P在线段AB的垂直平分线上.

•.•OA=OB,...点O在线段AB的垂直平分线上.

AOP为线段AB的垂直平分线，

XVBC±AB,，PO〃BC.

ZAOP=ZACB=60°..\ZOPA=30°.

在RtAAPO中，AO2+PA2=PO2,即AO2+3=(2AO)2.

又YAO〉。，

••.AO=1./.OO的半径为1.

9.(1)证明：如图，连接CO,交DB于点E,/.ZO=2ZCDB=60o.

又,.•/OBE=30。，.,.ZBEO=180°-60°-30°=90°.

VAC/7BD,/.ZACO=ZBEO=90°,E[JOC±AC.

又•.•点C在。O上，...AC是。O的切线.

(2)解：VOE±DB,，EB=；DB=3小cm.

在Rf^EOB中，VZOBE=30°,.•.OE=|oB.

\'EB=3yf3cm,由勾股定理可求得OB=6c•九

又•.•ND=NDBO,DE=BE,ZCED=ZOEB,

••△CDE=AOBE,SACDE=SAOBE>

.6012

・・S阴影=S扇形OCB=36()Q6-=6兀(cm).

专训3

1.解：(1)如图，过B作BH_LPQ于H,在&4BHP中，由条件易知：BP

=320km,ZBPQ=30°.ABH=1BP=160^<200km.：.台风会影响B市.

(2)如图，以B为圆心，200h”为半径作圆，交PQ于P”P2两点，连接BPi，

由垂径定理知P|P2=2P|H.

在♦△BHPI中,BPj=200fon,BH=160hn,

，P]H=.20()2_]6()2=1203”).

.,.PiP2=2PiH=240)lm.

240

...台风影响B市的时间为何=8(%).

点拨：本题在图形中画出圆，可以非常直观地构造数学模型，然后利用垂径

定理解决生活中的实际问题.

2.解：选择射门方式二较好，理由如下：设AQ与圆的交点为C,连接PC,

如图所示.

*.•ZPCQ是APAC的外角，，NPCQ>NA.又•.•/PCQ=NB,

•••NB>NA....在B点射门比在A点射门好....选择射门方式二较好.

点拨：本题运用转化昼卷,将射门角度大小的问题，建模转化到圆中，根据

圆周角的相关知识来解决实际问题.

3.解：修建的这条水渠不会穿过公园.

理由：过点C作CD_LAB,垂足为D.

VZCBA=45°,，NBCD=45。，CD=BD.

设CD=xkm,则BD=xkm.

易知NCAB=30°,：.AC=2xkm,AD=^/(2x)2-x2=V3xkm.

.,.小x+x=1,解得x=^2

-1

即CD=2k"770.366km=366777>350m,

也就是说，以点C为圆心，350m为半径的圆与AB相离.

即修建的这条水渠不会穿过公园.

4.解：•.•圆锥形漏斗的底面半径为20c〃z,高为4即an,

：.圆锥的母线长为)2()2+(40吸)2=60(刖).

设圆锥的侧面展开图的圆心角为n。，则有嚓盥=2;rX2(),解得n=120.

1OV

方案一：如图①，扇形的半径为60cm,矩形的宽为6052,易求得矩形的

长为6O\/3cm.

此时矩形的面积为60X6()V3=360()V3(cm2).

方案二：如图②，扇形与矩形的两边相切，有一边重合，易求得矩形的宽为

60cm,长为30+60=90(cm),此时矩形的面积为90X60=5400(。/??).

•.•360即＞5400,.•.方案二所用材料最省，即选长为90cm,宽为60所的

矩形铁皮，才能使所用材料最省.

①②(第4题)

专训4

1.解：（1）作OD_LBC于D.

由垂径定理知，点D是BC的中点，即BD=；BC,•••0B=；AB=5c〃z,OD

=4cm,由勾股定理得，BD=^OB2-OD2=3cm,，BC=2BD=6cm.

（2）设经过ts,ABPC是等腰三角形.

①当PC为底边时，有BP=BC,即10—1=6,解得t=4；

②当BC为底边时，有PC=PB,此时P点与O点重合，t=5.

,经过4s或5sABPC是等腰三角形.

2.解：（1）线段AB长度的最小值为4.

理由如下：连接OP.

•..AB切。O于P,AOPIAB.

取AB的中点C,则AB=2OC,

当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4.

（2）存在.假设存在符合条件的点Q.

如图①，设四边形APOQ为平行四边形，

VZAPO=90°,，四边形APOQ为矩形.又•.•OP=OQ,

二四边形APOQ为正方形，

.*.OQ=QA..\NQOA=45。，

在&AQQA中，根据OQ=2,NAOQ=45。，

得Q点的坐标为（啦，一也）.

如图②，设四边形APQO为平行四边形，连接OP,

VOQ^PA,ZAPO=90°,/.ZPOQ=90o.

又•.•OP=OQ,，NPQO=45。，

•.•PQ〃OA,；.PQ_Ly轴.

设PQ交y轴于点H,

在放△OHQ中，根据OQ=2,NHQO=45。，

得Q点的坐标为（一6，

，符合条件的点Q的坐标为（近，一也）或（一也，也）.

3.解：如图，设PQ与。0相切于点H,过点P作PELBC,垂足为E.

•.•在四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,

，PE=AB.由题意可知：AP=BE=tcm,CQ=2tcm,

BQ=BC-CQ=(22-2t)cm,EQ=BQ-BE=22-2t-t=(22-3t)cm.

VAB为。O的直径，ZABC=ZDAB=90°,

AAD,BC为。O的切线./.AP=PH,HQ=BQ.

，PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=(22-t)a九

在/?/APEQ中，PE2+EQ2=PQ2,

Al22+(22-3t)2=(22—t)2,即

t"-1lt+18=0,解得ti=2,t2=9.

TP在AD边运动的时间为半4=8(s),

而t=9>8,，t=9(舍去).

...当t=2s时，PQ与。O相切.

4.解：(1)'.•在△ACO中，ZOAC=60°,OC=OA,

.•.△ACO是等边三角形.

.,.ZAOC=60°.

（第4题）

（2）如图，①作点C关于直径AB的对称点M],连接AM“OM）.

易得SZ\M|AO=SMAO，NAOMI=60。，

.—4万4

••AMi=]goX60=

当点M运动至！JM]时，SAMAO=SACAO»

此时动点M经过的弧长为表.

②过点Ml作M1M2〃AB交。0于点M2,连接AM2,OM2,易得SZiM2Ao

=SACAO»

...ZOM1M2=ZAOM1=60°.

OO

又•.•0MI=0M2，.•.ZM|OM2=60,.*.ZAOM2=120.

x-x47r8

••AM2=jgQX120=^TT.

Q

.•・当点M运动到M2时，SAMAO=SACAO»此时动点M经过的弧长为彳r.

③过点C作CM./AB交。0于点M3,连接AM.3，OM3,易得SAM3AO

=SMAO，ZAOM3=120°.

47r16

AM?M=7^7:X240=-pr.

、31803

，当点M运动至ijM3时，SAMAO=SMAO，此时动点M经过的弧长为竽乃.

④当点M运动到C时，M与C重合，SAMAO=SACAO>

此时动点M经过的弧长为4温7rX300=2芸0.

1OV3

综上所述，当SAMAO=SACAO时，动点M所经过的弧长为此或至■或墨或写

专训5

(第1题)

1.(1)证明：如图，连接OD,

•.•直线CD切直0于点D,...ZCDO=90°.VAB为直O的直径，，ZADB

=90°,.,.Zl+Z2=Z2+Z3=90°,.,.Z1=Z3.VOB=OD,/.Z3=Z4,

，NADC=NABD.

(2)证明：VAM±CD,AZAMD=ZADB=9O°.VZ1=Z4,

AMAD

/.△ADM^AABD,，不二宣，

AUAD

AAD2=AM-AB.

3312

(3)解："."sinZABD=7»AsinZ1=7.'•*AM，AD=6,/.AB=10,

ABD=^AB2-AD2=8.VBN1CD,.，.ZBND=90°,AZDBN+ZBDN=Z1

324

+ZBDN=90°,.•.NDBN=N1,：.sin/DBN=$,ADN=y,ABN=

•\/BD_—DN2=-^-.

2.解：(1)连接PA,〈BA平分NPBC,AZPBA=ZCBA=ZACP.

■:ZACP+ZPCB=NBCD+NPCB=90。，AZACP=ZBCD.AZBCD=

ZCBA=ZPBA.AAB//CD.

AZPBA=ZD./.ZBCD=ZD,/.BC=BD.

又•.•NPCD=90。，易证得PB=BC=BD.

又「AB〃CD,，PE=EC.

.•.BE是APCD的中位线.

.BEI

••瓦=,

(2)YNPCD=NACB=90。，

NCAB=NCPD,.,.△ABC^APDC.

PCAC111c

•♦cc=「口=不.■S^PCD=OPC-CD=^PC-2PC=PC~.

当PC最大时，APCD的面积最大，

即PC为。。的直径时，4PCD的面积最大.

.•.当PC=AB=NAC?+BC2=小时,4PCD面积的最大值为(小产=5.

3.(1)解：设抛物线的函数表达式为y=ax?+bx+c,

(4=c,

把B(0,4),C(-2,0),D(-8,0)的坐标分别代入得｛0=4a-2b+c,解

lo=64a-8b+c,

第h=£

b—2，

<c=4.

经过B,C,D三点的抛物线的函数表达式为y=：x2+|x+4.

151Q

(2)证明：•.,y=ax2+卧+4=a(x+5)2—不

设直线CE的函数表达式为y=mx+n,

3

-

0=—2m+n,m-4

直线CE与y轴交于点G,则9,解得3

=--

—45m+n,n-2

直线CE的函数表达式为y=^3x+j3.

在y=1x+,中，令x=0,则y=,,

如图①，连接AB,AC,AG,

35

则BG=OB—0G=4-2=],

CG=^OC2+OG2=^j22+Q'=|,

，BG=CG.

fAB=AC,

在aABG与AACG中，5BG=CG,

IAG=AG,

:.AABG^AACG./.ZACG=ZABG.

・••G)A与y轴相切于点B(0,4),

，ZABG=90o.AZACG=ZABG=90°.

•.•点C在OA上，直线CE与。A相切.

(3)解：存在点F,使4BDF面积最大.

设爪¥+jt+4),如图②，连接BD,BF,DF,

过F作FN〃y轴交BD于点N,

4=d,

设直线BD的函数表达式为y=kx+d,则八

[0=-8k+d,

解得2

、d=4.

直线BD的函数表达式为y=1x+4.

二点N的坐标为(t,提+4).

FN=1t+4-&2+|t+4)=—；t2—2t.

S-DBF=SADNF+SABNF=/OD.FN=]X8X(一不~—2tJ=-t2—8t=—(t+4)2

+16.

.•.当t=-4时，SABDF最大，最大值是16.

当t=14时，+摄+4=—2,F(—4,12).

专训6

1.(1)解：由题意可知NABC+NCBC|=180。，ZABC=120°,

AZCBCi=60°,即旋转角的度数为60。.

(2)证明：由⑴知NCBC|=60。，

...△AIBCI是由AABC绕点B顺时针旋转60。得到的，

.,.AB=A,B,ZABAi=ZCBCi=60°,ZC=ZCi，

.•.△ABAi是等边三角形.

，ZA|AB=60°.

/.ZA|AB=ZCBC|,；.AAi〃BC.

ZA,AC=ZC.，ZA,AC=ZCb

2.A点拨：A既是轴对称图形，又是中心对称图形；8是中心对称图形，

不是轴对称图形；C、。是轴对称图形，不是中心对称图形.故选A.

3.D

4.⑴证明：VAB是。O的直径，BM是。O的切线，，AB_LBE.BCD〃BE,

CD±AB.Z.AD=AC.DA=DC,Z.DA=AC=CD.Z.AD=AC=CD.，AACD

是等边三角形.

iM

（第4题）

（2）解：如图，过。作ONJ_AD于N..•.AN=DN.由⑴知△ACD是等边三角

形，ZDAC=60°.AD=AC,CD1AB,AZDAB=30°,，BE=；AE,ON

=去\0.易得AN=^AO.设。0的半径为r,/.ON=y,AN=DN=^r,EN

=2+号,AE=2+小r,.,.BE=3AE=*；+2在7?rANEO与7?/ABEO中，OE2

=ON2+NE2=OB2+BE2,即+（2+坐J=r2+产,.」=2小什=一

芈舍去），+坐r）=28,...0£=2币.

5.解：VZAOC=40°,/.ZBOC=180°-40°=140°,ZACO=1x（180°

-40。）=70。.连接OD.；D是配的中点，AZCOD=|ZBOC=70°./.ZOCD=

180°-70°,

-----2------=55°.，NACD=NACO+NOCD=700+55°=125°.

6.思路导引：（1）如图，过点。作OE_LAB于点E,根据NB=30。，OB=2

可得BE=S，由垂径定理知AB=2小.（2）如图，连接OA,利用半径相等，可

得NBAD=NBAO+NDAO=NB+/口=30。+20。=50。.再利用圆周角定理可

得ZBOD=2ZBAD=100°.（3）由ZBCD是ZxADC的外角，可知

NBCDWNCAD,NBCDWND,只有NBCD=NACD,即NBCD=NACD=

90°.由ZB=30°，得NBOD=120。.由圆周角定理知/CAD=；NBOD=60。.可得

△DAC^ABOC,AC=1AB=V3.

解：⑴2小

（第6题）

(2)如图，连接OA.

VOA=OB,OA=OD,

.,.ZBAO=ZB,ZDAO=ZD.

ZBAD=ZBAO+ZDAO=ZB+ZD.

又•.•NB=30°,ZD=20°,,•.ZBAD=50°.

ZBOD=2ZBAD=100°.

(3)VZBCO=ZDAC+ZD,

.,.ZBCO>ZDAC,ZBCO>ZD,

二要使ADAC与△BOC相似，只能NACD=ZOCB=90°.

此时NBOC=60。，ZBOD=120°,

:.ZDAC=|ZBOD=60°.ZDAC=ZBOC.

.,.△DAC^ABOC.

VZBCO=90°,即OCLAB,

/.AC=；AB=4.

.•.当AC的长度为小时，ADAC与△BOC相似.

点拨：圆周角定理、垂径定理在与圆有关的证明、计算题中经常出现，要牢

固掌握.

叱N

4(小学)

(第7题)

7.解：如图，过点A作AC_LON,垂足为C.

VZMON=30°,OA=80m,

.,.AC=40/«.

设当第一台拖拉机到B点时对小学产生噪音影响，连接AB,此时AB=50〃