现代数字信号习题二答案

习题二

I、求证：&.a/)=c<“)+4%。

证明：R&,i)=E(%,Xj)=jjXjXjp(Xj,ydXjibij

C«")=矶七一〃％)，(%-〃%)1

=0(七一％)，(x厂叫JP(Xj,Xj$,tjM'dXj

=0(XiXJ-玉心一"%+W)P(Xj，Xj，k，tjWx/Xj

=R&,ij)一%〃%7%%+mxmXj

=R«Jj)-〃%叫

2、令x(n)和y(n)不是相关的随机信号,试证:若—=x(n)+y(n),WJmw=mx+m

和，=b：+b；。

证明：⑴

%=E[(o(n)]=EU(〃)+><//)]

=E[x(H)]+E[.y(/?)]

=叫+my

其叫(0(〃)一心2]

=©[M〃)+yS)-(/+勺)]2}

=E[(x(n)-inv)+(y(〃)一〃八)f

(2)

,22

=E[(x(n)-mx)]+E\(y(n)-mv)]+2E[(x(n)-mx)(y(n)-znv)J

=o-^+(j；+2[nim-inm-mm+inm]

J人J.r1J•%J人r,

=b;+b;

即HE+b；

3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明:

①当T=o时，R，(0)=2，C(0)=o>

②当r=8时，R、(oo)=G(8)=0o

证明：(1)

凡(0)=卜2(/)〃。,工)公

Rs(r)=E[x(t)x(t+z)]

=jj犬⑺工(r+r)p(x、x,r)dx/lx

22=E[X2]=DX

C.v(r)=/?¥(r)-/^

Cx(O)=R,(O)_欣

=Dx-m^

=(Tx

(2)

Cv(oo)=lim[/?v(r)-/n；]

/?(□□)=limR(r)=limE[x.x.]

-g…=limR"⑺一"

=E(xi)E(xj)=m^.

=in\-m\-0

4、设随机信号1«)=4<：05。0，+35血1供/,线为正常数，月、8为相互独立的随机变

量，且E(A)=E(5)=0,量A)=0(8)=/.试讨论X⑺的平稳性。

解：(1)均值为

mx=七次⑺]=aAcoscoQt+Bsina)ot]

=E[AcoscoQt\+E[Bs\n豌”

=0

(2)自相关函数为

Rx(t9t+T)=E[x(t\x(t+r)]

=E[(Acosa)ot+BsincoQt)(AcosT)+coQ[t+r))]

2

=E\Acosco()tcosco()(t+r)+ABcoso(Jsin供)(/+r)+

ABsin30rcos/Q+r)+8,sinco0tsin例)(r+r)]

2

=E[Acos690rcosco[}(t+r)]+E[ABcosco^tsin/。+7)]+

Ef.A^sin①Jcosfy()(f+r)]+E\B2sin//sin①+r)l

A、B相互独立

/.EAH=EAEB=0

故：&(f,f+r)=/cos(y()r与起始时间无关

2

(3)DX=/?V(0)=O-<OO

可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义

平稳的随机信号。

5、设随机信号我/)=4+8/，力、A是两个相互独立的随机变量，且

E(A)=4,E(5)=7,DG4)=0.1,DCB)=2。求％⑴的均值、方差、相关函数和协方差函数。

解：⑴

=E\At]+E\Br]

=4r+7r

(2)

222

Dx=E[x(t)]=E[(At+Bt)]2n2

07=Dx-m~

=E[A2r2+B2r4+2AB?J',,…

=0.k2+56r3+2r4-(4r+7r2)2

22

=E[At]^E[BY]+2E[ABP]__159/2_47?

=0.1/+56/+2/

(3)

R\Q,t+r)=E[x(t\x(t+r)]

=E[(At+Bt2)(—(，+.)+B(t+r)2)]

=E[A2t(t+T)+B2t2(t+r)2+ABt(t+r)?+。+r)]

=0.\t(t+T)+It2(t+r)2+28r(r+r)2+28r2(t+T)

Cv(r,r+r)=Rx(tyt^T)-mx(t)mx(t+r)

mx(t+v)=E[x(t+r)]

=E[A{t+T)+B(t+r)2]

=4(r+r)+7(r+r)2

2222

Cx(r,/+r)=0.l/(/+r)+2/X/+r)+28/(/+r)+2812a+T)-(4/+7z)[4(/+r)+7(/+r)]

=-15.9r(r+r)-47/(/+r)2

6、若两个随机信号x(f)，)0分别为x(7)=A(f)cos/,y(/)=B(r)sinr,其中A"),B(t)

是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明

z(r)=x«)+)，0)是广义平稳的。

证明：

E[z(t)]=E[A(t)cost+B(t)sint]=E[A(t)]cost+E[B(t)]sint=0

Rz(t,t+r)=E[z(t)z(t+r)]

=E{[A(t)cost+B(t)sint]|A(t+r)cos(t+r)+B(t+r)sin(t+r)])

=E|costcos(t+r)A(t)A(t+r)+sintsin(t+r)B(t)B(t+r)]

=costcos(t+r)R4(r)+sintsin(t+r)RB(r)

=cosTRA(T)

00

D(z)=Rz(0)=RA(0)=D(A)<

均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的

7、设随机信号x(1)=Acos(o(j+0),式中力、夕为统计独立的随机变量，0在[0,

上均匀分布.试讨论xQ）的遍历性。

解：（1）首先讨论X。）的平稳性

P(x)=P(9)竽

——,()09«2%ex

p((p)=<24

.dx.

0，其它clx=——d(p

d(p

叫⑴=七口⑺]=匚M『)P(x)ax

=[ACOS(^Z+9)P(9)£Ud(p

丁2%]

=J()Acos((o0t+(p)—d(p

=(sin(%+0)甲

=0

%⑺=E[x(t)]=匚戈⑺p(x)公

=jAcos(卬+(p)p((p)d(p

=J；Acos(卬+0)d(p

=E[A]^0

=0

Rs(tJ+l)=E\x(t),x(t+T)\

=jAcos(^/+Acos(6y()(/+r)+(p)p((p)d(p

=E[A?]j；y--^[cos(^(2r+r)+2(p)+cos(o^\d(p与t无关

E[A2~\

=--——-2乃COSCDJ

4乃

D[A]

=—icos^r

D\A]

DX=R(0)=—L-1<QO

故x«）是平稳随机信号

（2）遍历性

m'1=lim——][Tx(t)dt

TTBCT'-T

1rT

=lim——Acos(卬+(p)dt=0=m(t)

T->cc27J，x

R\'⑺=hm^-STx(t)x(t+r)c/t

2/J-7

1r

=lim—jrJAcosgf+e)Acos(g(/+T)+e)]〃f

1eiA2

=lim——一[cos(2利/+2g+例)r)+cosq)zM/

T-XD2TJ"2

A2

=­cosa^r

工段⑺

故Mf)不具有广义遍历性

8、随机序列x(〃)=cos(69o〃+e),e在［0,2万］上均匀分布，x(〃)是否是广义平稳

的？

解：由己知得

——^<(P<2TU

p((p)=<2乃

0，其它

①

〃人(〃)=E[x(〃)]=j3sgoil+(p)p((p)d(p

,2k1

=——cos(<y077+(p)d(p

Jo2)

1

[cos供)〃cose-sinco()nsin(p\l(p

2万

=0

②

Rx(m,n)=E[x(m)tx(n)]

产.d(pdx,

=cosi例)m+夕)cos(例4+0)〃(夕)------d(p

dxd(p

「2万11

=----|cos(例)+①o〃+0)+cos/(〃?-n)]d(p

Jo27r2

=止J；cosco()(m-n)d(p

1/、

=—coscoQ(fn-n)

1

=­COS690r

③Dx=R、（0）=；v8

均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳

9、若正态随机信号的相关函数为：

一klsinTIT

①R、3=be21②尺

7tT

试分别写出随机变量戈“），M/+1），M/+2）的协方差矩阵。

解：由已知得

G（r）=K（r）-成

卜nCg=Rg-R、(8)

疔=R'3）

当凡(c)=V时,Ct(r)=/?v(r)-0=%⑺

e(())Cx⑴G⑵(&(())品⑴用⑵、

c.=Q(l)Q(o)G(l)=bRx(l)之⑼%⑴

<Q(2)Cx⑴G（o）J血⑵Rx⑴Rx(0”

1

/e21

②当(⑺=时，Cv(r)=/?v(r)-0=R、(r)

TIT

0(0)用⑴勺⑵(\0()、

Rx⑴010

C2=Rx⑴&(0)=b

Ex⑵&⑴仆（°”(00

10、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数?

②"底尸；③T--5(⑼；

'd/+3疗+3(O+1

cCO4

④1~~;——⑤——⑥——―—r

\+(0~+JCO(1+“)~1+2。+0

解：由已知得，实函数的功率谱函数为实偶函数，应满足:

S,(-⑼=s<。)⑷

-Sr(0)=S；(⑼S),S「(o)=S；3)S；3)(d)

Sv(<w)>0(c)

则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足(d)；②不满足(a)；③Sx(0)=-3(0)<0不

满足(c)；④不满足(b)；⑥不满足(a)o

11、设X"),)，。)是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为

Ix八2

X(<y)=———，Y((o)=———，新的随机信号z(/)=x(r)+y⑺。求：①z«)的功率

“+16+16

谱；②x⑺和)*)的互谱密度。

解.：由已知得〃八=x(f)，y(f)独立且平稳nz(f)平稳

凡⑺=E[z(r),z(r+r)]=E[(x(r)+y(r))(x(r+r)+y(r+r)]

=E[x(/)X/+r)++r)+x(t)y(t+r)+y(t)x(t+r)]

=%«)+%«)

iox

Sz(①)=[R7\r)edT

J-

==[&⑺+J：Ry(T)e-^dT

=5«3)+5V(⑼

=1

仆⑺=EMt),y(t+r)]=E[x(t)]E[y(t+r)]=0

nSp3)=。

12、已知平稳高斯信号加)的自相关函数为《⑴二公用。求X”)的一阶概率密度函

数p(x)及二阶概率密度函数〃(％,乙)，其中石=M0)，/=%)及

解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得

E[x(t)]=,Rx(8)=o,D[x(t)]=Rx(0)=4

/、1,(X-"八11X.

则一阶概率密度函数〃(")=g=exp{-一彳:}二£/玄"Pf{-京}

11

对于二阶概率密度函数〃(』，々)二-=exp{--(x-/n)TC(x-m)}

2加」2rxx

其中5为x的协方差矩阵，啊为均值

段(。)

E[X](t)X]⑴]E[X](t)x2(t)]段⑴

c[&⑴=4

E[x2(t)xl(t)lE[x2(t)x2(t)]段(。“1

i

cj|CJ=4(l-e-2)

4(1-4)、

exp---(x-m)TC~\x-m)-

P(xpx2)=----=xx

21风

1——二-(x；+京-2/1工,)，

8(1-e2)

13、令