2026年中考数学二轮复习 高效培优练10 二次函数与几何综合原卷版

专题10二次函数与几何综合

I►题型01二次函数与线段.周长问题・

》技巧提炼

1.线段长度计算：利用西点间距离公式-再『十（乃-必）2，通常使用平方形式避免开方

万活

2.线段最值问题：常用“将军饮马”模型，通过对称转化线段和

总结3.周长问题：将多边形周长转化为若干线段长度之和，利用函数求最值

4.关键步骤：设动点坐标一表示相关线段长度一建立函数关系一求最值

易错1.忽略线段长度的非负性，忘记取绝对值

2.在对称转化时，对称点找错导致路径错误

辨析3.求最值时未考虑动点坐标的取值范围限制

♦例题剖析

【典例01】(2025•吉林一模)已知抛物线y=--2x+c经过点。(2,-2).点/在这个抛物线上，当点

力不在P轴上时，过点4作轴于点8,作线段关于坐标原点。成中心对称的线段设点/

的横坐标为

(1)求此抛物线对应的函数解析式；

(2)当线段AB与线段49在同一条直线上时，求线段AAf的长度；

(3)当点力在丁轴左侧时，若线段力方与此抛物线有旦只有一个公共点，求，〃的取值范围；

(4)作平行四边形力8/夕.当边力*与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点8为顶点构造三

角形的面积是A/IB9面积的一半，直接写出加的值.

【典例02】(2025•安徽合肥•三模)如图，抛物线y=+m+3与x轴交于48两点(点力在点〃右

侧)，与V轴交于点C，且经过点-12),抛物线的对称轴为直线x=-l.

(1)求抛物线的表达式；

(2)将线段48先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段H*.若抛物线

)，=。/+加+3关于、轴对称得至日抛物线必，将凹平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线

段三等分，求抛物线必平移的方式和距离；

⑶已知点河(6,-3),N(O「3),线段MN以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线尸加+区+3

以每秒I个单位长度的速度向下平移，，秒后，若抛物线与线段MN有两个交点，求/的取值范围.

♦巩固训练♦

【训练01】(2025•安徽六安•三模)如图，抛物线夕=〃/+旅+3与戈轴交于4,8两点(点4在点8右

侧)，与歹轴交于点。，且经过点(3,-12),抛物线的对称轴为直线x=-1.

B|\力〜

IO\X

（1）求抛物线的表达式；

（2）将线段48先向右平移I个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段HZT.若抛物线

），=0?+灰.+3关于.》轴对称得至1］抛物线乂，将M平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线

段三等分，求抛物线必平移的方式和距离；

⑶已知点胡（6,-3）,N（0,-3）,线段MN以每秒1个单位长度H勺速度向左平移，同时抛物线y=a/+云+3

以每秒I个单位长度的速度向下平移./秒后,若抛物线与线段MN有两个交点,求/的取值范围.

【训练02】（2024•四川宜宾•模拟预测）如图，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于点4（1,0）,B两点,与

J'轴交于点。（0，-5）,对称轴为直线/.

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线/上是否存在一点N,使得△/CN的周长最短.若存在，求出点N的坐标及△/CW的周长；若

不存在，请说明理由；

（3）若点尸在以点4为圆心，2为半径的04上，03与“轴交丁点"£两点（点力在点E的左侧）,连接

AP,以”为边在北的下方作等腰Rt△力P。，且/产力。=90。，连接。E,求何?长度的取值范围.

【训练03】（2026・陕西•一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示.

素材一：广告牌由抛物线£、厂以及线段CE、。尸围成，点。、。在抛物线L上，点石、尸在抛物线”

上，且点力、8分别是CE、。尸的中点，抛物线▲与V关于48所在直线对称.

素材二：以直线48为x轴，48的垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系.已知48=8米，CE=DF=2

米，抛物线L的最高点G到48的距离为5米，点G在V轴上，CE//DF//y^\.

素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形PQMW宣传画，顶点户、。均在抛物线£上，顶点"、N均

在抛物线2/上.

(1)求抛物线上、〃的函数表达式;

(2)求宣传画的周长/(矩形尸0MW的周长)的最大值.

A题型02二次函数与面积问题♦

,技巧提炼

1,铅垂高法：三角形面积=；x水平宽x铅垂高，适用于任意三角形

方法2,割补法：将不规则图形分割为三角形、梯形等基本图形

3.函数转化法：设动点坐标一用坐标表示面积一转化为二次函数求最值

总结4.水平宽确定：取图形最左和最右点的横坐标差

5.铅垂高求法：过动点作x轴垂线，与底边交点的纵坐标差。

易错1.混淆水平宽和铅垂高的方向，导致面积计算错误

2.动点在边界时，未检验是否满足题意

辨析3.使用铅垂面法时，未考虑铅垂线在三角形外部的情况

♦例题剖析，

【典例01】(2025•陕西西安•模拟预测)【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直

角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？

【规律探究】如图①，是一个直角三角形，NB=9U。，在/。上任取点E,作EO_L4C,EFLAB,得

到矩形8OE/L我们可以设M=x,证明得到A/E/S△力C8后，经过推导，用含有x的代数式表示出该

矩形的面积S,从而求得答案.

探究：如图①，AB=8,BC=6,请根据材料，

填空：①肝=X；②S=；③矩形8DEF的最大面积的值为.

【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”"CO£,AR=32,8c=40,AE=20,CQ=16,小明

从中剪出了一个面积最大的矩形(N4为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.

【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料48CO,经测量48=70cm,5C=108cm,CD

=76cm,且/8=/C=60。，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边8C上且面积最大的矩形

PQMN,则该矩形的面积为.(直接写出答案)

图①图②图③

【典例02】(2026•内蒙古通辽一模)抛物线)，=-/+队+。与不轴交于/(-2,0)、8(4,0)西点，与y轴

交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点尸，与直线4c交于点M,连接P8.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得4BCD的面积最大？若存在，求出点D的坐标及4BCD

面积的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线上是否存在点0,使得AOMB与面积相等？若存在，直接写出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

♦巩固训练

【训练01】(2024•山东•模拟预测)如图，平面直角坐标系中,已知抛物线y=ad+瓜+c交x轴于点

力、B,交》轴于点C.连接8C、AC.已知力(7,0),4(5,0),tan/8c0=2.

(1)求抛物线的表达式；

⑵已知点。为线段8。上方抛物线上的一个动点，连接8Q、CD.连接力O,分别交y轴与8c于点E、

F.当四边形z/BCO的面积最大时，求直线力。的表达式及此时ANE/7的面积：

(3)点尸为抛物线上的一个动点，当四动形48CO的面积最大时，抛物线的对称轴x=〃？卜是否存在点。.

使得四边形6PQ为平行四边形？若存在，请求出平行四边形CQP。的面积；若不存在，请说明理由.

【训练02】(2025•甘肃酒泉•一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ad+云+1与x轴交于

4(7,0),8(3,0)两点，与V地交于点C,点。是点C关于二轴的对称点.

(1)求抛物线y=ax2+bx+\的表达式：

(2)P为直线8C上方抛物线上一动点，求△BPC的面积最大值及&BPC的面积最大时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点M,在8。上有一动点N,

且MNYBD,求PM+MN的最小值.

【训练03】(2026•广东中山•模拟预测)学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发

现一个有趣现象：如图，直线/：P=-x+2与抛物线交于43两点.点P为抛物线)，=/-标+2上的动

点，过点尸且平行于歹轴的直线交直线/于点E.当点P在直线y=-x+2下方时，连接力尸、4尸得到

△APB,当面积最大时，点P在什么位置？

(1)数学兴趣小组成员很快就求出点尸的坐标，请你也求出点尸的坐标.

(2)机智的小涛同学通过计算发现，当△4P8面积最大时，点E与线段有特殊的位置关系，请你写出

小涛的结论.

(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当△4PZ?面积取最大值时，动

点P的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论.

A题型03二次函数与特殊三角形存在性问题・

1.等腰三角形：“两圆i线”法

(1)以已知线段两端点为圆心，线段长为半径画圆

(2)作已知线段的垂直平分线

方法(3)分类讨论：分别以三个顶点为等腰三角形顶角顶点

2.直角三角形：“两线一圆”法

(1)过已知线段端点作垂线

(2)以已知线段为直径画圆

(3)代数法：利用勾段定理列方程

3.等腰直角三角形：结合等腰和直角特性，构造K型全等

1.分类讨论不全，漏掉某种情况

易错

2.使用距离公式时忘记平方，直接开方导致计算复杂

3.未验证解是否在抛物线有效范围内

辨析

4.等腰三角形讨论时，忽略三点共线的退化情况

♦例题剖析，

【典例01】(2024•新疆昌吉・模拟预测)［建立模型］(1)如图1,在等腰直角三角形48c中，

ZACB=90°,AC=BC,直线机经过点C,分别过点力，8作直线〃，的垂线，垂足分别为点。，E.求

证："CD&CBE；

【类比迁移］(2)如图2,在△力中，N4CB=90。，4C=BC,48与V轴交于点。，点C的坐标为

(0,-4),点/的坐标为(8,0),求B,。两点的坐标；

【拓展延伸］(3)如图3,抛物线尸gx2—2x—6与x轴交于点力(-2,0),点8(6,0),与y轴交于点C,

点尸是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M,使是以尸M为斜边的等腰直角三角

形?若存在，请求出点〃的坐标?若不存在，请说明理由.

【典例。2】

(2汝口图②，在抛物线上是否存在点石，使AEXC是以力C为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标:

若不存在，请说明理由;

(3)如图③，连接8C,在直线4c上是否存在点尸，使是以8C为腰的等腰三角形？若存在，求

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由;

(4)如图④，若抛物线的顶点为〃，连接4〃，在x轴上是否存在一点K,使△4〃K是等腰三角形？若存

在，求出点K的坐标：若不存在，请说明理由；

(5)如图⑤，在抛物线的对称粕上是否存在点G,使△力CG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标：

若不存在，请说明理由.

♦巩固训练♦

【训练01】(2026•海南省直辖县级单位•一模)如图，已知二次函数y+c的图象经过点

4(7,0),8(3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为抛物线的顶点，求力。的面积；

(3)抛物线上是否存在点P,使ABCP是以8C为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明

理由：

(4)在第一象限的抛物线上是否存在点N,使点N到BC的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存

在，说明理由.

【训练02】(2025•四川泸州•二模)如图,抛物线y=-/+h+c经过点4(-3,0),8(1,0),交V轴于点

C,点户是直线4C上方抛物线上一点，其横坐标为，，连接4Q交直线4C于点Q.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)在抛物线上是否存在点P,使△尸/CSAACO,若存在，求出，值；若不存在，请说明理由.

(3)点。是抛物线上的点，当e的值最大时，是否存在点。使得△AP。是直角三角形，若存在，求出点

BD

。坐标；若不存在，请说明理由.

【训练03】(2026•广东广州一模)如图，抛物线经过点&T0),4(3,0),0(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标：

(2)将抛物线沿歹轴向下平移机(机＞0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共

点.求〃?的值；

(3)点尸是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得APBC是以8C为直角边的直角三角形？并存在,

求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

A题型04二次函数与特殊四边形存在性问题・

©技巧提炼

1.平行四边形：利用对角线互相平分性质，中点坐标公式

(1)设动点坐标一列出所有可能对角线组合一中点重合列方程

方法

2.菱形：先满足平行四边形条件，再验证邻边相等

3.矩形：先满足平行四边形条件，再验证对角线相等

总结

4.正方形：同时满足菱形和矩形的条件

5.梯形：利用一组对边平行且不相等

1.平行四边形讨论时，对角线对应关系错误

易错

2.验证特殊条件时，计算顺序混乱

3.动点个数不确定时，未考虑所有组合情况

辨析

4.忽略四边形顶点顺序，导致图形不成立

♦例题剖析，

【典例01](2025•黑龙江•模拟预测)综合与探究

如图，抛物线卜二以2十加+3与x轴相交丁4(40),。(.⑼两点(点月在点6的左侧)，其中多，修

是方程V—2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C.

(备用图)

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)已知直线p=3x+9与x,歹轴分别相交于点。，E.

①抛物线上是否存在点M直线8。上是否存在点°,使以D,N,E,。为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由.

②设直线8c与/相交于点八问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得NP8/7=N0/4?若存

在，求出点尸的坐标；若小存在，说明理由；

③过抛物线上一点〃作直线8C的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线财8,NC相交于点J连

接QD,QE.求线段QO+QE的最小值.

【典例02】(2025•四川绵阳•三模)如图，抛物线y=o?+加+6与％轴交于彳(-2,0),8(6,0)两点,与y

轴相交于点C连接AC,BC.

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1,线段石尸(点石在点尸左侧)是直线6。上一段长度为2的动线段，y轴上。点下方有点

试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点P,使得四边形PEQ"是菱形，若存在则求出该菱形面积,

若不存在则说明理由；

(3)如图2,点M为抛物线第一象限图象上点，若NOCM=N4C5,求点〃坐标.

♦巩固训练♦

【训练01】(2025•内蒙古赤峰•二模)己知如图：二次函数图象的顶点坐标为E。,4),与坐标轴交于

4、B、。三点，且3点的坐标为(3,0).

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,在二次函数图象位干x轴卜方有两个动点M、N,口点N在点M的左侧，过M、N作4轴

的垂线交x轴于点G、〃两点，当四边形MM7G为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)当矩形MW/G的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使△PN8的面积是矩形MM/G面

9

积的77?若存在，直接写出该点的坐标：若不存在，请说明理由.

16

【训练02】(2025•辽宁盘锦•三模)定义：在平面直角坐标系中，若点力(飞凹)，8(9,月)的坐标满足

为一乂=〃?(与一用)(机是常数，且加工0),则称点力，4是一对“加阶差值点

备用图得用图

⑴在点(2,-1),(-2,-1)中，能与点(T2)构成一对“3阶差值点”的是」

(2)已知点8(-1,3),点力在函数y=:的图象上，若点力，8是一对“2阶差值点”，求点力的坐标；

(3)如图，抛物线歹=尔-2办-3(4>0)交y轴于点C,点M在抛物线的对称轴上.点M的纵坐标为

且一3</<0.

①若点M与点。是一对“g阶差值点"，求/的值；

②点。为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形CPQM为正方形，则正方形河的四个顶

点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点''？若存在，请求出。的值；若不存在，请说明理由；

(4)点力，6是一对“机阶差值点”，且直线48过点(0,-3〃?)，当直线上存在到两个坐标轴的距离都小

于或等于1的点，请直接写出用的取值范围.

【训练03】(2025•湖南长沙•模拟预测)定义：在平面直角坐标系中，若点力(再,必)，〃(.小为)满足

%一%="?(々—xj是常数，且加工0)，则称点力，4是一共倾点对”.

(1)下列各组点中，是“2一共做点对”的有(填序号)

①点(2,-1)与点(1,3)；②点(-3,3)与点(-⑺：③点(0,4)与点(一2,0).

(2)若直线y="+4与反比例函数)，=竺(加=0)在第一象限内的两个交点力和A是“T一共倾点对”.

X

①求〃?的取值范围；

②若△力。4的面积为5加，求机的值.

③已知抛物线”尔+瓜+{4>0)过点c(0,-3),点是抛物线对称轴上一点，且-3</<0,点Q

为平面内一点，点尸为抛物线上的动点.若四边形C尸为正方形，则正方形CP。河的四个顶点中是

否存在相邻的两个顶点是“1一共倾点对“？若存在，请求出。的值；若不存在，请说明理由.

A题型05二次函数与角度问题♦

•技巧提炼

1.角相等问题：优先考虑相似三角形，利用对应角相等

c

方法2.特殊角度：45。、90等，构造等腰直角三角形或K型相似

3.三角函数法：利用正切值相等证明角相等

4.一线三等角模型：构造相似三角形证明角相等

5.关键步骤：找等角一证相似一列比例一求坐标

1.相似三角形对应顶点找错，导致比例关系错误

2.使用三角函数时，未考虑角度所在象限

3.忽略钝角、锐角的区别，相似判定条件不充分

辨析

4.坐标表示线段时，方向未考虑导致符号错误

♦例题剖析

【典例01］（2023•浙江绍兴•模拟预测）如图所示，己知抛物线歹=-；/+gx+2,与X轴分别交于4

B两点,与夕轴交于点C,连接8C,过点力作交抛物线于点。，连接8。，则的度数

【典例02】（2025・陕西西安•三模）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段

表小水平路面.现需在此抛物线型拱门左侧内壁上的点力处安装一个装饰灯，图中/历1C与抛物线围成

的区域是灯的光照范围，/加。的度数可以调节.以MN所在直线为x轴，以过点力垂直于x轴的直线

为V轴，建立平面直角坐标系.已知此拱门的最高点与MN的距离是2米，点力到的距离为I米,

点力与拱门最高点的水平距离也是1米，点民C均在此抛物线型拱门上.

（1）求此抛物线的函数表达式.

（2）根据设计要求，点8的横坐标为机，点。的横坐标为2加（阳＞0）,/41C的一边需要与x轴平行.问,

是否存在满足要求的点6和点。？若存在，请求出点8,C的坐标及此时z历的度数：若不存在，请说

明理由.

♦巩酬II练。

【训练01】（2025•辽宁鞍山•一模）已知抛物线丁=32-2.«之0）上有两点川小必）,8（12-也为），且

满足必•必＜0;

(1)求，〃的取值范围：

(2)连接/出，求初与x轴相交所形成的锐角的度数；

(3)作点/关于y轴的对称点4,以4为顶点的抛物线夕经过原点，当直线与y轴交于点。(0,一乂)时,

试求出抛物线〃与直线力B的交点坐标.

【训I练02】(2025•广东揭阳•模拟预测)如图：抛物线J，=g/+瓜+。与x轴交于点力(-2,0)和点8,

与y轴交于点。(0,4),若点尸是线段48上的一动点(不与力、B重合),分别以/P、BP为一边,在

直线48的同侧作等边三角形，仍W和4PN,连接力N、8M相交于点£连接回答以下问题

(1)求抛物线的解析式；

(2)求NMEN的度数；

(3)求三角形PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标.

【训练03】(2025•湖南长沙一模)如图，在菱形片8CO中，4?=6,N8=60。，点分别是力£/1。

上的动点，满足花=。小连接CE,CF,EF,EF与4C交于点、G.

⑴求NEb的度数;

(2)填空：

cAFAE^AFFG~AGAG

(T)----1----=,(2^'--------(3)----1----=

CDAC7CDEC7AEAF

(3)记△4EG的面积为S1,zUHG的面积为S?,△/反?的面积为S-△力/C的面积为S-

①若C尸=3折孙求率的值;

*

ss

②试判断/+f•的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.

A题型06二次函数与动点轨迹问题・

》技巧提炼

1.路径类型判断：

(1)到定点距离相等■*圆

方法(2)到定线段两端点距离相等f中垂线

(3)与定点连线成定角一圆弧

函2.主动点与从动点：分析旋转、对称、位似等几何关系

3.参数方程法：设主动点坐标一表示从动点坐标一消参得物迹方程

4.特殊位置法：取几个特殊点，观察轨迹形状

1.未考虑动点运动范围，轨迹不完整

2.几何变换关系分析错误，导致轨迹方程错误

3.消参过程中，未注意参数取值范围

辨析

4.轨迹验证不足,特殊点检验遗漏

♦例题剖析

【典例01】(2025•安徽亳州•三模)二级火箭是航天发射中常见的一种火箭类型，其第一级运行路径形

如抛物线，当火箭运行•定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行.某数学兴趣小

组受到启发，根据二级火箭的运行路径，运用信息技术设计了一种小球运动模型.如图，小球。从点。

处发射，以发射点O为坐标原点，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系.已知小球尸"亍轨迹的08

段为抛物线歹=-"/+乐的一部分，力为小球P飞行轨迹的最高点.小球P在距离地面高度为2m的点B

处开始加速冲击目标C,冲击目标阶段BC为直线》=r+14的一部分.

（1）求6的值.

97

（2）已知小球P上升阶段在竖直方向上的平均速度为,m/s,下降阶段在竖直方向上的平均速度为am/s,

冲击目标阶段在竖直方向上的平均速度为l（）m/s,那么小球尸从点。发射开始，到击中目标C这一过

程中，一共用时多少秒？

（3）现要在线段OC上的点A7处设置一个拦截装置，发射小球。来拦截小球P,小球。的拦截轨迹为直

线的一部分，且与8C平行.若要在小球夕下降阶段（不包含点力）拦截，求出点M的横坐标机的取值

范围.

【典例02】（2023•陕西西安•模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑力8安装喷水装置.喷水口位于雕

塑的顶端点4处，距离地面3m,喷出的水柱轨迹呈抛物线型.据此建立如图的平面直角坐标系.若喷

出的水柱轨迹8C上，任意一点与支柱48的水平距离x（单位：m）与广场地面的垂直高发为y（单位:

m）满足关系式y=-W/+bx+G,且点。上,在抛物线8C上

28I/7

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求水柱落地点与雕塑力8的水平距离；

（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的弛物线形为

3

必=-77工2+4工+。2,把水柱喷水的半径（动态喷水时，点。到的距离）控制在7m到14m之间,

请探究改建后喷水池水柱的最大高度

♦巩固训练

【训练01］（2025•山西忻州•三模）综合与实践

某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速菱延，情况危急.接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救,

如图，他们先对山坡底部点力处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线乙的一部分.已知喷水口E到地面

的距离OE=2米，点4到点。的距离为10米，以。力所在直线为x轴，OE所在直线为V轴建立平面直角

坐标系，抛物线。的函数表达式为y=-二/+版+。（6,c•为常数）.

（1）求扑救点力时抛物线。的函数表达式;

（2）成功扑灭点”的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡4C

段.已知该山坡的坡度为：，力？间的直线距离为5米，4c间的直线距离达10米.由于喷射角度需维持

不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控.设平移后喷头到地面的垂

直距离为力，求解人的合理取值范围：

（3）在扑救的过程中，在山坡上距离点力处7.5米的。点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点E

处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线"的一部分.已知水流的喷射角度和苜个喷头不同，水流路径

恰好经过复燃点。且最高点到OE的水平距离为13米，请直接写出抛物线4的函数表达式.

注：图上各点均在同一平面内.

【训练02】（2025•陕西西安•二模）射水鱼是一种小型的观赏鱼类，它“枪打K鸟”的捕食方式在鱼类中

是极罕见的，因拥有精准的射水技巧而被称为自然界的神射手.一条射水鱼某次捕食时射出的水流轨迹

呈抛物线形，如图所示，抛物线的最高点为点P,以水流起点。为坐标原点，分别以过点。的水平直线

和竖直线为x轴和，'轴，建立如图所示的平面直角坐标系，图中所有的点都在同一平面内，已知水流抛

物线满足关系式y=-3/+队"为常数），且水流恰好击中了点力（3,9）处的一只昆虫.

⑴求/）的值；

（2）求水流抛物线最高点P到4轴的距离；

21

（3）己知距离X轴下dm高度的点4处也有一只昆虫（点4在抛物线对称轴的右侧），请问这只昆虫到V

4

轴的距离为多少dm时，恰好会被同一轨迹的水流击中？

【训练03】（2026•山西太原一模）综合与实践

问题情境：小希和弟弟在小区广场玩弹力球，广场四周是绿化带.如图1,弟弟将弹力球抛出，球在空

中划出一条抛物线轨迹，落在地面上后弹起，再次形成一条效物线轨迹，最终落在广场边缘绿化带内

（未再弹起）.

素材收集：小希用手机拍摄了弹力球运动的视频，并杳阅资料以及技术还原得到如卜素材（图中各点均

在同一整直平面内）：

素材①：弹力球出手点力距地面1m,第一次落地点为点2

425

素材②：第一次飞行过程中，弹力球达到最高点时，与出手点4的水平距离为距离地面石m；

素材③：弹力球落地后立即弹起，由于碰撞过程中的能量损失，其弹起后的运动轨迹形状与第一次相同,

但最高点明显降低.研究表明,普通弹力球的恢复系数（反弹高度与下落高度之比的平方根）通常在0.8

左右；

素材④：矩形COEb表示绿化带截面（绿化带内植物顶部被修剪为平面），绿化带高度CO=lm,宽度

Q£=lm,绿化带边缘CO与出手点力的水平距离为4.5m.

建立模型：如图2,以地面上的某点。为原点，沿地面水平方向为x轴，04所在直线为），轴建立平面

直角坐标系.设弹力球笫一次运动轨迹为抛物线％,笫二次弹起后运动轨迹为抛物线%,且％与%形

状相同（即二次项系数相等）.

问题解决：根据上述素材，解答下列问题:

(1)求抛物线/所对应的函数表达式;

(2)已知该弹力球恰好落在绿化带顶部B的中点〃处，求该弹力球的恢更系数：

(3)在抛出弹力球时的速度、角度、高度均不变的情况下，若要使弹力球第二次落地点的位置在广场内

(即线段。。上)，弟弟应至少沿。。方向左移多少米？直接写出结论即可.

A题型07二次函数与几何变换综合/

》技巧提炼

1.翻折变换：对称轴垂直平分对应点连线

2.旋转变换：对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等

3.位似变换：坐标按比例缩放

方法

4.平移变换：横纵坐标分别加减

5.关键技巧：

总结

(1)旋转90°-构造等腰直角三角形

(2)旋转60°-构造等边三角形

(3)翻折一利用对称性求对称点坐标

1.旋转方向不明确，导致坐标计算错误

易错

2.翻折时对称轴找错，对应点关系错误

3.位似中心不在原点时，缩放比例计算错误

辨析

4.变换后的点是否在抛物线上未验证

♦例题剖析

【典例01】(2025•广西崇左一模)将抛物线y=平移得到抛物线J，=(X+3)2-2,下列叙述正确的是

()

A.向右平移3个单位，向上平移2个单位B.向左平移3个单位，向下平移2个单位

C.向右平移3个单位，向下平移2个单位D.向左平移3个单位，向上平移2个单位

【典例02】（2025•辽宁锦州•三模）定义：将抛物线y向右平移〃个单位，再向上平移4个单位得

到抛物线歹=«r-〃）2+〃（爪火均大于0）,则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物

^y=a（x-h）2+k称为抛物线歹=a/的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径，，，平移前后对应点之间

的距离称为“衍生距离如图，已知抛物线—2x-3与x轴交于点4,B（点A在点、B

的左侧），与y轴交于点C.

（1）若抛物线丁二一为抛物线七的“原函数”，则抛物线£的“衍生路径”为；平移前后对应点的“衍

生距离''为.

（2）将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移必〃20）个单位，再向上平移〃个单位（〃>。）得到它的“衍生

函数”//,7/与x轴的左交点为E,与y轴的交点为立若△EOF9AAOC,请写出抛物线Z/的“衍生

路径”；

（3）将抛物线£作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”二,L”与x轴的右交点为

P，与），轴的交点为。，若△户。。与△4OC相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离

♦巩固训练，

【训练01】（2025・浙江•模拟预测）已知抛物线G^=x2+4.r-10,将抛物线。平移得到抛物线C,若

两条抛物线关于直线x=l对称，则平移的方法是（）

A.将抛物线。向右平移4个单位B.将抛物线。向右平移5个单位

C.将抛物线。向右平移6个单位D.将抛物线。向右平移7个单位

【训练02】（2025•辽宁锦州二模）定义：在平面直角坐标系中，关于）'与x的函数图象，当xNO时,

将函数V对应的图象向上平移加个单位长度，当x<0时，将函数N对应的图象向下平移加个单位长度,

y+〃?（x20）

变化后的图象所对应的函数表达式为了=「八，我们称函数了为函数歹的“对称平移函数“，/〃

<0）

为函数y的“对称平移距离”.若函数的“对称平移函数”经过原点.

(1)求函数歹一2丫-1的“对称平移距离”；

⑵若函数歹二7一2-1的"对称平移函数”在2范围内的最大值比最小值大;，求。的值；

⑶函数y=-2x+2的“对称平移距离”为小，它的“对称平移函数少与函数2x-1的“对称平移函数”

的交点为4B(点力在点8的左侧)，j/与y轴交点为C,J轴上是否存在一点。(0,2-m)，使得△力C。

是直角三角形？若存在，求出点力坐标；若不存在，请说明理由.

【训练03】(2024・广西南宁•二模)综合与实践

【问题初探】数学小组先以抛物线N=g/为例，对函数图象的平移变换做了以下研究：

1.向PF移2个小位1,、2

)，二一/T必=_"+])"

2向左平移I个单位]27

(1)左的值为，若%-2,2)在抛物线y=；/上，则平移后对应的点为H坐标为；

【探究归纳】同学们对函数图象向左平移1个单位，解析式中的x反而变为x+1产生了疑惑，这与点的

坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记：

定义：函数图象按(儿女)平移是指沿x轴方向向右("＞0)平移〃个单位或向左(力＜。)平移同个单位；再

沿y轴向上(左＞0)平移左个单位或向下(攵＜0)平移网个单位.

设抛物线为歹上的任意一点为将抛物线按(-1,3)平移后，M的对应点N(x”j，3

【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式

的研究.

(2)若反比例函数尸;按(1,4)平移，求平移后的函数解析式；

（3）若抛物线按（〃?,〃）平移，规定平移路径长为4”.将抛物线卜=！/平移后交直线y=x-l于/,B

两点，48=4,当平移路径最短时，求机，〃的值.

题型强化训练

一、单选题

1.（2025•河北邯郸•二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这

个函数图象的完美点.如：函数y=2x+l的图象上的点卜热到两个坐标轴的距离相等，我们

就称点信1）（-1,-1）是函数y=2x+l的图象的完美点.若二次函数旷=&-〃?）2+3帆-2（〃山0）的图象

上存在到两个坐标轴的距离相等且等于加的完美点，则满足要求的机的值有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.（2026•陕西西安•一模）已知物物线1）（'-3）与了轴负半轴交于点C,抛物线上的顶点为。,

对称轴与x轴的交点为E,当tan/C0E=；时，。的值为（）

A.-1B.1C.--D.2

2

3.（2026•安徽阜阳•一模）如图，抛物线y与抛物线、=%/+&相交于点网_2,〃?），过点尸作x轴

的平行线，与两条抛物线分别交于点M,N.若M是PN的中点，则"的值是（）

4,

1

A.B.2C.D.3

23

4.（2026・山东济南•一模）定义：二次函数歹="2+云+《〃>0）与x轴有两个交点，将其位于x轴下方的

图象沿X轴向上翻折，与原X轴上方的图象合称为该函数的型函数”.已知抛物线2〃a+〃/一4

（〃?为常数），记其对应的“田型函数''为力"），有如下结论：

①当m取任意实数值，W（X）的函数图象一定关于直线l二也对称：

②当〃7=1时，%（x）的函数图象与直线y=3有4个公共点；

③当机=2时，%（x）的最小值为4；

④若"W的函数图象与直线尸二左（左为常数）有2个公共点，则人的取值范围是k>4；

⑤当“<x<m+2时，〃（力的值随x的增大而减小.

则正确结论的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5.（2026•河北石家庄•一模）如图，抛物线y=/—5x-6与x相交于点4B,与V轴交于点。，点。为直

线8c上一点，且横坐标为7